2011届田家炳高三数学期中试题(理)答案

2011届田家炳中学高三数学上学期期中考试题（理）

(满分150分，考试时间120分钟) （2010.11）

一 二 17 18 19 20 21 22 题号 得分 总分 一、填空题（本大题满分48分） 11．函数y(log1a)x在R上为增函数，则a (0,) 。

2212.指数函数y=f(x)的反函数的图象过点（2，－1），则此指数函数为f(x)()x。

23．已知cos(x)3, 则sin2x的值为

457 。 25a2b2c24．已知：ABC的面积为S，则角C= 。

445.设函数f(x)x(x0)2,则不等式xf(x)x20的解集是 (,1] 。

x(x0)6．已知等差数列an的公差d0，且a1,a3,a9成等比数列，则a1a3a9的值

a2a4a10是

13 。 167.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是，

且当x[0,]时，

2f(x)sinx，则f(5)的值为 3 。

328.等差数列{an}中，前n项和为Sn，|a3|＝|a9|，公差d<0，若存在自然数N，对于任意的自然数n，总有Sn≤SN，则N等于 5和6 。

9．矩形的面积与其周长的数值相等，则矩形面积的最小值是___16________． 10. 方程

2x5x21在实数集上的解的个数有 4个 。

11.若函数fxxp在1,上是增函数，则实数p的取值范围是 1, 。 x12.设函数fnk(其中nN*)，k是

2的小数点后第n位数字

1

21.41421356237，则fff[f(8)]的值为 4 。

2010个二、选择题（本大题满分16分）

13．若函数y＝f (x) (f (x)不恒为零)的图象与y＝－f (x)的图象关于原点对称， 则y＝f (x) （ B ） A．是奇函数而不是偶函数 B．是偶函数而不是奇函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数

11}，则下列关系正x确的是 （ A ）

14 已知全集I=R，集合M{x|lgx0}，集合N{x| A．MN B．MN C．MN D．MNR

15.数列{an}的前n项和是Sn，如果Sn＝3＋2an (n∈N)，则这个数列一定是（A） A．等比数列 B．等差数列

C．除去第一项后是等比数列 D．除去第一项后是等差数列

216.利用函数f(t)=12+3sin[(t-81)]可用来估计某一天的白昼时间的长短，

365其中f(t)表示白昼的小时数，t是某天的序号。t=0表示1月1日，依次类推0t365,若二月份28天，则这个地区白昼最长的一天大约是 （ B） A．6月21日 B．6月22日 C．6月23日 D．6月24日 三、解答题（本大题满分86分） 17．（本题满分12分）在等差数列lgan中，第5项为10，第10项为5，求数列an的前20项的和。

10201 910518.（本题满分12分）已知不等式x2–3x+t<0的解集为{x|1(2)若f(x)= –x2+ax+4在(–∞,1)上递增，求不等式log a (–mx2+3x+2–t)<0的解集。

1m3m2解：(1) 由条件得：，所以

1mtt2a2a2(2)因为f(x)= –(x–)+4+在(–∞,1)上递增，

24a所以≥1，a≥2 log a (–mx2+3x+2–t)= log a (–2x2+3x)<0=log a 1

2 2

30x2132x3x02所以2，所以所以0222x3x10x1或x1219（本题满分14分） 设函数f(x)4sinxsin2(x)cos2x(xR)。 42（1）求函数f(x)的值域；

2（2）若对任意x,都有|f(x)m|2成立，求实数m的取值范围。

63解：(1) [-1,3] (2) 1,4 20．（本题满分14分）

2010年10月1日，我国成功发射嫦娥二号卫星，这标志着中国人民又迈出了具有历史意义的一步.已知火箭的起飞重量M是箭体（包括搭载的飞行器）的重量m和燃料重量x之和.在不考虑空气阻力的条件下，假设火箭的最大速度y关于x的函数关系式为：yk[ln(mx)ln(2m)]4ln2(其中k0).当燃料重量为(e1)m吨（e为自然对数的底数，时，该火箭的最大速度为4（km/s）. e2.72）（1）求火箭的最大速度y(km/s)与燃料重量x吨之间的函数关系式yf(x)； （2）已知该火箭的起飞重量是544吨，问应装载多少吨燃料，才能使该火箭的最大飞行速度达到8km/s，顺利地把卫星发送到预定的轨道？ 解：（1）依题意把x(e1)m,y4代入函数关系式

yk[ln(mx)ln(2m)]4ln2,解得k8.

所以所求的函数关系式为y8[ln(mx)ln(2m)]4ln2, 整理得yln(mx8). m 3

（2）设应装载x吨燃料方能满足题意，此时，m544x,y8

代入函数关系式yln(mx8544),得ln1,解得x344(t). m544x即 应装载344吨燃料方能顺利地把卫星发送到预定的轨道。

21.（本题满分16分）

x1设函数f(x)（a,b为常数，a0），若f(1)，且f(x)x只有一个实

axb3数根.

（1）求f(x)的解析式；

（2）若数列{an}满足关系式：anf(an1)（nN且n2），又a11，求2005{an}的通项公式； （3）设bnan，求bn的最大值与最小值，以及相应的n值. an111，x[ax(1b)]0，可得ab3， 又由f(x)x0得： ab31bx0 由①②得：a2,b1，则f(x)∵方程只有一个实数根，∴ a2x1解：（1）由f(1)（2）由anf(an1)得：anan11112，又2005

2an11anan1a1∴{111 }是等差数列，且20052(n1)2n2007，∴an2n2007anan2n200921，

2n20072n2007（3）此时bn当n1003时，bn单调递增且大于1；当n1003时，bn单调递增且小于1， ∴当n1003时，bn最大值为3；当n1004时，bn最小值为－1 22.（本题满分18分）

对于定义域为D的函数yf(x)，若同时满足下列条件： ①f(x)在D内单调递增或单调递减；

②存在区间[a,b]D，使f(x)在[a,b]上的值域为[a,b]；那么把yf(x)（xD）叫闭函数。

4

（1）求闭函数yx3符合条件②的区间[a,b]；

31（2）判断函数f(x)x(x0)是否为闭函数？并说明理由；

4x（3）若ykx2是闭函数，求实数k的取值范围。

ba3a1（1）由题意，yx3在[a,b]上递减，则ab3解得

b1ba所以，所求的区间为[-1，1]

776f(x2)，（2）取x11,x210,则f(x1)即f(x)不是(0,)上的减函数。

4101133,f(x1)10100f(x2)， 取x1,x21010040400即f(x)不是(0,)上的增函数

所以，函数在定义域内不单调递增或单调递减，从而该函数不是闭函数。 （3）若ykx2是闭函数，则存在区间[a,b]，在区间[a,b]上，函数f(x)

aka2的值域为[a,b]，即 bkb2，a,b为方程xkx2的两个实数根，即方程x2(2k1)xk220(x2,xk)有两个不等的实根。

09当k2时，有f(2)0，解得k2。

42k1220当k2时，有f(k)0，无解。

2k1k29综上所述，k(,2]。

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