3.韦达定理教案

bb24acbb24acb2(b24ac)4accx1x22． 22a2a4a4aa 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝bc，x1·x2＝．这一关系也被称为韦达定理． aa特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知 x1＋x2＝－p，x1·x2＝q． ３、二元二次方程 一个含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程． 二、主要方法归纳 １、以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0． ２、一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律： 设x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则 bb24acbb24acx1，x2， 2a2abb24acbb24ac2b24ac∴| x1－x2|＝ 2a2a2ab24ac． |a||a|于是有下面的结论： 若x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则| x1－x2|＝（其中Δ＝b2－4ac）． |a|３、一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法求解． 三、典型例题精讲 例1判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根． （1）x2－3x＋3＝0； （2）x2－ax－1＝0； （3）x2－ax＋(a－1)＝0；（4）x2－2x＋a＝0． 2

【解】（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根． （2）该方程的根的判别式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根 aa24aa24，x2． x122（3）由于该方程的根的判别式为Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2， 所以， ①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根x1＝x2＝1； ②当a≠2时，Δ＞0，所以方程有两个不相等的实数根x1＝1，x2＝a－1． （4）由于该方程的根的判别式为Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)， 所以 ①当Δ＞0，即4(1－a) ＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根x111a，x211a； ②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝1； 例２已知方程5x2③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根． kx60的一个根是2，求它的另一个根及k的值． 【解法一】 ∵2是方程的一个根， ∴5×22＋k×2－6＝0，∴k＝－7． 于是，方程就为5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－． 35所以，方程的另一个根为－3，k的值为－7． 56535【解法二】 设方程的另一个根为x1，则 2x1＝－，∴x1＝－． 由（－）＋2＝－35k，得k＝－7． 53，k的值为－7． 5所以，方程的另一个根为－例3已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值． 【解】设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得 3

x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4． 由题意，得 x12＋x22－x1·x2＝21， ∴(x1＋x2)2－3 x1·x2＝21， 即 [－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21， 化简，得m2－16m－17＝0， 解得m＝－1，或m＝17． 当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意； 当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去． 综上，m＝17． 例4已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数． 【解法一】设这两个数分别是x，y， 则x＋y＝4，① xy＝－12．② 由①，得y＝4－x，代入②，得 x(4－x)＝－12， 即x2－4x－12＝0， ∴x1＝－2，x2＝6． ∴x12,x26,或 y16,y22.因此，这两个数是－2和6． 【解法二】由韦达定理可知，这两个数是方程x2－4x－12＝0的两个根． 解这个方程，得x1＝－2，x2＝6． 所以，这两个数是－2和6． 例5若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根． （1）求| x1－x2|的值； 4

（2）求11的值； x12x22（3）x13＋x23． 【解】 ∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根， ∴x1x253，x1x2． 22523229＋6＝， 44 2（1）∵| x1－x2|2＝x12+ x22－2 x1x2＝(x1＋x2)2－4 x1x2＝()4()＝∴| x1－x2|＝7． 221212 （2）xx211x12x22xx225325()22()3(x1x2)2x1x237224． 329(x1x2)29()242 （3）x13＋x23＝(x1＋x2)( x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[ ( x1＋x2) 2－3x1x2] ＝(－553215)×[(－)2－3×()]＝－． 2228例6若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围． 【解】 设x1，x2是方程的两根，则x1x2＝a－4＜0，① 且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0．② 由①得a＜4， 17由②得a＜ ． 4∴a的取值范围是a＜4． 例７解方程组 x24y240, x2y20.【解】由②,得x＝2y＋2，③ ① 把③代入①,整理,得 8y2＋8y＝0，即y(y＋1)＝0． 5

解得y1＝0，y2＝－1． 把y1＝0代入③, 得x1＝2； 把y2＝－1代入③, 得x2＝0． x12,x20,所以原方程组的解是 y0，y1.12例８解方程组xy7, xy12.① 【解法二】由①，得x7y. ③ 把③代入②，整理，得y27y120 解这个方程，得y13,y24． 把y13代入③，得x14； 把y24代入③，得x23． x14,x23,所以原方程的解是 y3，y4.12【解法二】对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把x,y看作一个一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求x,y． 2这个方程组的x,y是一元二次方程z7z120 的两个根，解这个方程，得z3，或z4． 所以原方程组的解是 x14,x23,  y13;y24.四、课后巩固练习 Ａ组 1．选择题: （1）已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（） （A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2 （2）下列四个说法： 6

①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7； ②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7； ③方程3 x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为7； 3④方程3 x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0． 其中正确说法的个数是（） （A）1个（B）2个（C）3个（D）4个 （3）关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是（） （A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－1 2．填空: （1）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝． （2）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝． （3）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ． （4）方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则| x1－x2|＝． 3．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1) x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？ 4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－7x－1＝0各根的相反数． 5．解下列方程组： x222(x3)2y29,xy4,y21,（1）4（2） （3）2 2xy2.x2y0;xy20; B 组 1．选择题: 若关于x的方程x2＋(k2－1) x＋k＋1＝0的两根互为相反数，则k的值为（） 7

（A）1，或－1 （B）1 （C）－1 （D）0 2．填空: （1）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于． （2）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是． 3．已知关于x的方程x2－kx－2＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求实数k的取值范围． 4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1和x2．求： （1）| x1－x2|和 5．关于x的方程x2＋4x＋m＝0的两根为x1，x2满足| x1－x2|＝2，求实数m的值． C 组 8

x1x2；（2）x13＋x23． 21．选择题： （1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于（） （A）3（B）3 （C）6 （D）9 （2）若x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则x1x2的值为（） x2x132 （A）6 （B）4 （C）3 （D） （3）如果关于x的方程x2－2(1－m)x＋m2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为（） （A）α＋β≥11（B）α＋β≤（C）α＋β≥1 （D）α＋β≤1 22c＝0的根的情况是（） 4（4）已知a，b，c是ΔABC的三边长，那么方程cx2＋(a＋b)x＋（A）没有实数根（B）有两个不相等的实数根 （C）有两个相等的实数根（D）有两个异号实数根 2．填空： 若方程x2－8x＋m＝0的两根为x1，x2，且3x1＋2x2＝18，则m＝． 3．已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根． （1）是否存在实数k，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－3成立？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由； 2（2）求使x1x2－2的值为整数的实数k的整数值； x2x1x1，试求的值． x2（3）若k＝－2， 9

m20． 4．已知关于x的方程x(m2)x42（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根； （2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相应的x1，x2． 5．若关于x的方程x2＋x＋a＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a的取值范围． 五、参与提示 A 组 1．（1）C （2）B 提示：②和④是错的，对于②，由于方程的根的判别式Δ＜0，所以方程没有实数根；对于④，其两根之和应为－2． 3（3）C 提示：当a＝0时，方程不是一元二次方程，不合题意． 2．（1）2 （2）17（3）6 （3）3 43．当m＞－111，且m≠0时，方程有两个不相等的实数根；当m＝－时，方程有两个相等的实数根；当m＜－时，方444程没有实数根． 4．设已知方程的两根分别是x1和x2，则所求的方程的两根分别是－x1和－x2，∵x1＋x2＝7，x1x2＝－1，∴(－x1)＋(－x2)10

＝－7，(－x1)×(－x2)＝x1x2＝－1，∴所求的方程为y2＋7y－1＝0． 1024x,x,x12,x10,2235５．（1）（2） y10,y4.y10,y12.2253x33,x132,x232,x13,x23,x43,（3）（4） y11,y21,y41.y31,y132,y232; B组 1．C 提示：由于k=1时，方程为x2＋2＝0，没有实数根，所以k＝－1． 2．（1）2006 提示：∵m＋n＝－2005，mn＝－1，∴m2n＋mn2－mn＝mn(m＋n－1)＝－1×(－2005－1)＝2006． （2）－3 提示；∵a＋b＝－1，ab＝－1，∴a3＋a2b＋ab2＋b3＝a2(a＋b)＋b2(a＋b)＝(a＋b)( a2＋b2)＝(a＋b)[( a＋b) 2－2ab]＝(－1)×[(－1)2－2×(－1)]＝－3． 3．（1）∵Δ＝(－k)2－4×1×(－2)＝k2＋8＞0，∴方程一定有两个不相等的实数根． （2）∵x1＋x2＝k，x1x2＝－2，∴2k＞－2，即k＞－1． 3abcb3bb24acx1x2334．（1）| x1－x2|＝，＝；（2）x1＋x2＝． 322aa|a|5．∵| x1－x2|＝164m24m2，∴m＝3．把m＝3代入方程，Δ＞0，满足题意，∴m＝3． C组 1．（1）B （2）A （3）C 提示：由Δ≥0，得m≤1，∴α＋β＝2(1－m)≥1． 2（4）B 提示：∵a，b，c是ΔABC的三边长，∴a＋b＞c，∴Δ＝(a＋b)2－c2＞0． 2．（1）12 提示：∵x1＋x2＝8，∴3x1＋2x2＝2(x1＋x2)＋x1＝2×8＋x1＝18，∴x1＝2，∴x2＝6，∴m＝x1x2＝12． 3．（1）假设存在实数k，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－3成立． 2∵一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0有两个实数根， ∴k≠0，且Δ＝16k2－16k(k+1)=－16k≥0，∴k＜0． 11

∵x1＋x2＝1，x1x2＝k1， 4k∴ (2x1－x2)( x1－2 x2)＝2 x12－51x2＋2 x22 ＝2(x1＋x2)2－9 x1x2＝2－9(k1)3＝－， 4k2即99(k1)73＝，解得k＝，与k＜0相矛盾，所以，不存在实数k，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－成立． k22x1x2x12x22(x1x2)22x1x2(x1x2)2－2＝（2）∵224 x2x1x1x2x1x2x1x2＝4k4k4(k1)44， k1k1k1∴要使x1x2－2的值为整数，只须k＋1能整除4．而k为整数， x2x1∴k＋1只能取±1，±2，±4．又∵k＜0，∴k＋1＜1，∴k＋1只能取－1，－2，－4，∴k＝－2，－3，－5． ∴能使x1x2－2的值为整数的实数k的整数值为－2，－3和－5． x2x118（3）当k＝－2时，x1＋x2＝1，①x1x2＝，② ①2÷②，得x1x21＋2＝8，即6，∴2610， x2x1∴322． 4．（1）Δ＝2(m1)20； 2m2（2）∵x1x2＝－≤0，∴x1≤0，x2≥0，或x1≥0，x2≤0． 4①若x1≤0，x2≥0，则x2＝－x1＋2，∴x1＋x2＝2，∴m－2＝2，∴m＝4．此时，方程为x2－2x－4＝0，∴x115， x215．②若x1≥0，x2≤0，则－x2＝x1＋2，∴x1＋x2＝－2，∴m－2＝－2， ∴m＝0．此时，方程为x2＋2＝0，∴x1＝0，x2＝－2． 5．设方程的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－1，x1x2＝a， 由一根大于1、另一根小于1，得 (x1－1)( x2－1)＜0，即x1x2－(x1＋x2)+1＜0， 12

∴a－(－1)＋1＜0，∴a＜－2． 此时，Δ＝12－4×(－2) ＞0， ∴实数a的取值范围是a＜－2．

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