数学试卷
一、选择题（共10小题）.
1．在平面直角坐标系中，一条直线的斜率等于A．30°
B．60°
，则此直线的倾斜角等于（ ） C．120°
D．150°
2．已知直线l1：x+ay+2＝0，l2：ax+（a+2）y+4＝0，若l1∥l2，则实数a的值是（ ） A．2或﹣1
B．2
C．﹣1
D．﹣2或1
3．已知直线m⊄平面α，直线n⊂平面α，且点A∈直线m，点A∈平面α，则直线m，n的位置关系不可能是（ ） A．垂直
B．相交
C．异面
D．平行
4．如图，用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）
A．2+ B．1+ C．1+ D．+
5．已知a，b为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥b
B．若a⊂α，b⊂β，α，β不平行，则a，b为异面直线 C．若a⊥b，b⊥α，则a∥α D．若a∥α，b⊥β，α∥β，则a⊥b
6．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
7．已知m，n，a，b∈R，且满足3m+4n＝16，3a+4b＝1，则（ ） A．3
B．
C．1
D．
的最小值为
8．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2＝1（a＞0）与直线y＝2x相交于P、Q两点，则当△CPQ的面积为时，实数a的值为（ ） A．
B．
C．
D．
，二面角A﹣BC
9．在三棱锥A﹣BCD中，△BCD是边长为﹣D的大小为θ，且cosθ＝A．
B．
的等边三角形，∠BAC＝
，则三棱锥A﹣BCD体积的最大值为（ ）
C．
D．
10．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为P在三角形ACB1内，且三角形PMN的面积
，M，N为体对角线BD1的三等分点，动点
，则点P的轨迹长度为（ ）
A．π B． C． D．
二、填空题（共7小题，其中11-14题每空3分，15-17题每空4分，共36分）
11．1）（6分）空间直角坐标系O﹣xyz中，点M（1，﹣1，关于x轴的对称点坐标是 ；|OM|＝ ．
12．（3分）已知圆C1：x2+y2﹣2x+10y﹣24＝0和圆C2：x2+y2+2x+2y﹣8＝0相交于A、B两点，则线段AB的长度为 ．
13．（6分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），B（﹣2，0），C（1，0），分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF与ACGH，则点H的坐标为 ，直线FH的一般式方程为 ．
14．（6分）设M＝，N＝
，则M∩N≠∅时，实数a的最大值
是 ，最小值是 ．
15．（3分）已知＝（2，﹣1，3），＝（﹣1，4，﹣2），＝（7，5，λ），若，，
三向量共面，则λ＝ ． 16．设直线l：x﹣
y+m＝0上存在点P到点A（3，0），O（0，0）的距离之比为2，则
实数m的取值范围为
17．（8分）斜线OA与平面α成15°角，斜足为O，A′为A在α内的射影，B为OA的中点，l是α内过点O的动直线．若l上存在点P1，P2使∠AP1B＝∠AP2B＝30°，则
的最大值是 ，此时二面角A﹣P1P2﹣A′平面角的正弦值是 ．
三、解答题（共5小题，共74分，其中18题14分，19-22题每题15分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（14分）如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求： （1）该几何体的体积． （2）截面ABC的面积．
19．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．
（Ⅰ）求证：PE⊥BC；
（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD； （Ⅲ）求证：EF∥平面PCD．
20．（15分）在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，1）且互相垂直的两条直线分别与圆O：x2+y2＝4交于点A，B，与圆M：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1交于点C，D． （1）若
，求CD的长；
（2）若CD中点为E，求△ABE面积的取值范围．
21．（15分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．
（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由； （2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为
，求
的值．
22．（15分）如图，四边形ABCD关于直线AC对称，∠A＝60°，∠C＝90°，CD＝2，把△ABD沿BD折起．
（Ⅰ）若二面角A﹣BD﹣C的余弦值为
，求证：AC⊥平面BCD；
（Ⅱ）若AB与面ACD所成的线面角为30°时，求AC长．
参考答案
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．在平面直角坐标系中，一条直线的斜率等于A．30°
B．60°
，则此直线的倾斜角等于（ ） C．120°
D．150°
解：设此直线的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°）， ∵tanθ＝
，
∴θ＝60°． 故选：B．
2．已知直线l1：x+ay+2＝0，l2：ax+（a+2）y+4＝0，若l1∥l2，则实数a的值是（ ） A．2或﹣1
B．2
C．﹣1
D．﹣2或1
解：由a2﹣（a+2）＝0，解得a＝2或﹣1． 经过验证a＝2时两条直线重合，舍去． ∴a＝﹣1时，l1∥l2． 故选：C．
3．已知直线m⊄平面α，直线n⊂平面α，且点A∈直线m，点A∈平面α，则直线m，n的位置关系不可能是（ ） A．垂直
B．相交
C．异面
D．平行
解：∵直线m⊄平面α，直线n⊂平面α，且点A∈直线m，点A∈平面α， ∴m∩α＝A，
∴直线m，n的位置关系不可能是平行直线． 故选：D．
4．如图，用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（ ）
A．2+ B．1+ C．1+ D．+
解：把直观图还原出原平面图形，如图所示； ∴这个平面图形是直角梯形， 它的面积为 S＝×（1+1+＝2+
．
）×2
故选：A．
5．已知a，b为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A．若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥b
B．若a⊂α，b⊂β，α，β不平行，则a，b为异面直线 C．若a⊥b，b⊥α，则a∥α D．若a∥α，b⊥β，α∥β，则a⊥b
解：若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a与b平行或相交或异面，相交或异面时也不一定垂直，故A错误；
若a⊂α，b⊂β，α，β不平行，则α与β相交，此时a与b平行或相交或异面，故B错误；若a⊥b，b⊥α，则a∥α或a⊂α，故C错误；
若b⊥β，α∥β，则b⊥α，由a∥α，∴a⊥b，故D正确． 故选：D．
6．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
解：延长CA到D，使得AD＝AC，则ADA1C1为平行四边形， ∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角， 又A1D＝A1B＝DB＝
AB，
则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B＝60° 故选：C．
7．已知m，n，a，b∈R，且满足3m+4n＝16，3a+4b＝1，则（ ） A．3
B．
C．1
D．
的最小值为
解：此题可理解为点A（m，n）与点B（a，b）分别在直线l1：3x+4y＝16与直线l2：3x+4y＝1上，
求A、B两点间的距离的最小值， ∵l1∥l2， ∴|AB|min＝故选：A．
8．已知圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2＝1（a＞0）与直线y＝2x相交于P、Q两点，则当△CPQ的面积为时，实数a的值为（ ） A．
B．
C．
D．
＝3．
解：圆C：（x﹣a）2+（y﹣a）2＝1（a＞0）的圆心（a，a）半径为1， 圆心到直线y＝2x的距离d＝
＝
，半弦长为：
＝
，
∴△CPQ的面积S＝•2•＝＝，
故解得a＝故选：D．
．
9．在三棱锥A﹣BCD中，△BCD是边长为﹣D的大小为θ，且cosθ＝A．
B．
，
的等边三角形，∠BAC＝，二面角A﹣BC
，则三棱锥A﹣BCD体积的最大值为（ ）
C．
D．
解：设AB＝x，AC＝y，∠BAC＝由余弦定理得：BC2＝x2+y2﹣2xycos当且仅当x＝y时取等号， 又BC＝
，∴xy≤3，
＝x2+y2﹣xy≥2xy﹣xy＝xy，
过A作AO⊥平面BCD，作AE⊥BC，连接OE， 又BC•AE＝xy•sin
，∴AE＝xy，
易知，∠AEO为二面角A﹣BC﹣D的平面角，大小为θ， ∴AO＝AEsinθ＝∴
即三棱锥A﹣BCD体积的最大值为故选：B．
． xy＝
， ＝
．
10．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为P在三角形ACB1内，且三角形PMN的面积
，M，N为体对角线BD1的三等分点，动点
，则点P的轨迹长度为（ ）
A．π B． C． D．
解：因为棱长为 ∴
，
，所以 BD1＝6，
设 P 到 MN 的距离为 ，
所以P点既在以 BD1为中心轴，又在△AB1C 上， ∵BD1⊥AB1，BD1⊥AC， ∴BD1⊥面 AB1C，
∴P 点在△AB1C 内的轨迹是以 ∵△AB1C 内切圆的半径为 该圆一部分位于三角形外，
为底面半径的圆柱侧面上，
为半径的圆，
，
，
∴
，
所以圆位于三角形内的圆弧为圆周长的一半， ∴故选：A．
二、填空题（本大题共7小题，其中11-14题每空3分，15-17题每空4分，共36分） 11．（6分）空间直角坐标系O﹣xyz中，点M（1，﹣1，1）关于x轴的对称点坐标是 （1，1，﹣1） ；|OM|＝
．
，
解：空间直角坐标系O﹣xyz中，点M（1，﹣1，1）关于x轴的对称点坐标是M′（1，1，﹣1）； |OM|＝
＝
． ．
故答案为：（1，1，﹣1），
12．（3分）已知圆C1：x2+y2﹣2x+10y﹣24＝0和圆C2：x2+y2+2x+2y﹣8＝0相交于A、B两点，则线段AB的长度为 2
．
解：由圆C1：x2+y2﹣2x+10y﹣24＝0和圆C2：x2+y2+2x+2y﹣8＝0相减可得， 公共弦的方程为x﹣2y+4＝0，
又圆C1：x2+y2﹣2x+10y﹣24＝0的圆心为（1，﹣5），半径为5
，
可得C1到直线x﹣2y+4＝0的距离为d＝则|AB|＝2故答案为：2
．
＝2
，
＝3，
13．（6分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），B（﹣2，0），C（1，0），分别以AB，AC为边向外作正方形ABEF与ACGH，则点H的坐标为 （2，3） ，直线FH的一般式方程为 x+4y﹣14＝0 ．
解：分别过H、F作y轴的垂线，垂足分别为M、N， ∵四边形ACGH为正方形，
∴Rt△AHM≌Rt△CAO，可得AM＝OC，MH＝OA， ∵A（0，2），C（1，0），
∴MH＝OA＝2，AM＝OC＝1，可得OM＝OA+AM＝3， 由此可得H坐标为（2，3），同理得到F（﹣2，4）， ∴直线FH的斜率为k＝
＝﹣，
可得直线FH的方程为y﹣3＝﹣（x﹣2），化简得x+4y﹣14＝0． 故答案为：x+4y﹣14＝0．
14．（6分）设M＝，N＝
，则M∩N≠∅时，实数a的最大值是
2+2 ，最小值是 2﹣2 ．
，
，
解：∵M＝N＝
M∩N≠∅时，
∴两个圆x2+y2＝2a2，（x﹣1）2+（y﹣当两圆内切时，∴实数a的最大值是当两圆外切时，∴a的最小值是2故答案为：2
﹣a＝2，解得a＝2
， ，解得a＝2﹣2． ，2
．
）2＝a2相交或相切，
，
，
15．（3分）已知＝（2，﹣1，3），＝（﹣1，4，﹣2），＝（7，5，λ），若，，
三向量共面，则λ＝
．
解：∵＝（2，﹣1，3），＝（﹣1，4，﹣2），＝（7，5，λ）， ，，三向量共面三向量共面， ∴存在p，q，使得＝p+q，
∴（7，5，λ）＝（2p﹣q，﹣p+4q，3p﹣2q）
∴，
解得p＝故答案为：
，q＝．
，λ＝3p﹣2q＝．
16．设直线l：x﹣y+m＝0上存在点P到点A（3，0），O（0，0）的距离之比为2，则
实数m的取值范围为 [﹣3，5] 解：设点P（x，y），
∵点P到点A（3，0），O（0，0）的距离之比为2， ∴
＝2，化为：（x+1）2+y2＝4，
可得点P在以（﹣1，0）为圆心，2为半径的圆上．
又点P在直线l：x﹣∴
y+m＝0上，
≤2，
化为：|m﹣1|≤4， 解得﹣3≤m≤5．
∴实数m的取值范围为[﹣3，5]． 故答案为：[﹣3，5]．
17．（8分）斜线OA与平面α成15°角，斜足为O，A′为A在α内的射影，B为OA的中点，l是α内过点O的动直线．若l上存在点P1，P2使∠AP1B＝∠AP2B＝30°，则
的最大值是 2 ，此时二面角A﹣P1P2﹣A′平面角的正弦值是
．
解：由∠AP1B＝∠AP2B＝30°可得四点A，P1，B，P2共圆，即AB所对的圆心角60°，圆心为M，如图，
则
由平面图易知
，此时∠AHA′为二面角A﹣P1P2﹣A′平面角，
，
∴，．
故答案为：2，．
三、解答题（本大题共5小题，共74分，其中18题14分，19-22题每题15分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
18．（14分）如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求： （1）该几何体的体积．
（2）截面ABC的面积．
解：（1）以同样大的几何体，进行补形，可得一直三棱柱， 其底面为△A1B1C1，高为3×2＝6， ∴所求几何体的体积为 V＝×
h＝××2×2×6＝6；
＝
，
（2）△ABC中，AB＝BC＝AC＝
＝＝2
， ，
∴△ABC为等腰三角形，底边AC的高为： h＝
∴截面ABC的面积为 S△ABC＝×2
×
＝
． ＝
；
19．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点． （Ⅰ）求证：PE⊥BC；
（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD； （Ⅲ）求证：EF∥平面PCD．
【解答】证明：（Ⅰ）PA＝PD，E为AD的中点， 可得PE⊥AD，
底面ABCD为矩形，可得BC∥AD， 则PE⊥BC；
（Ⅱ）由于平面PAB和平面PCD有一个公共点P， 且AB∥CD，
在平面PAB内过P作直线PG∥AB， 可得PG∥CD，
即有平面PAB∩平面PCD＝PG， 由平面PAD⊥平面ABCD，又AB⊥AD， 可得AB⊥平面PAD，即有AB⊥PA， PA⊥PG；
同理可得CD⊥PD，即有PD⊥PG，
可得∠APD为平面PAB和平面PCD的平面角， 由PA⊥PD，
可得平面PAB⊥平面PCD；
（Ⅲ）取PC的中点H，连接DH，FH，
在三角形PBC中，FH为中位线，可得FH∥BC， FH＝BC，
由DE∥BC，DE＝BC， 可得DE＝FH，DE∥FH， 四边形EFHD为平行四边形， 可得EF∥DH，
EF⊄平面PCD，DH⊂平面PCD， 即有EF∥平面PCD．
20．（15分）在平面直角坐标系xOy中，过点P（0，1）且互相垂直的两条直线分别与圆O：x2+y2＝4交于点A，B，与圆M：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1交于点C，D． （1）若
，求CD的长；
（2）若CD中点为E，求△ABE面积的取值范围．
解：（1）设直线AB的方程为：y＝kx+1（k≠0）， ∵
，∴
+
＝22，
化为：k2＝15， 解得k＝
．
x+1．
∴直线CD的方程为：y＝
∴|CD|＝2＝．
（2）①直线AB为y轴时，直线AB的方程为：x＝0，直线CD的方程为：y＝1． S△ABE＝
＝
＝4．
②直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：y＝kx+1，
若k＝0，则方程为y＝1，经过圆心（2，1），此时△ABE不存在，舍去．
k≠0时，可得直线CD的方程为：y＝﹣x+1．
|AB|＝2＝2．
联立，化为：（k2+1）x2﹣4k2x+3k2＝0，
△＝16k4﹣12（k2+1）k2＞0，化为：k2＞3． ∴x1+x2＝
，可得E
．
∴点E到直线AB的距离d＝＝．
∴S△ABE＝|AB|•d＝×2×＝2＝2 ，
令k2+1＝t＞4，可得f（t）＝＝∈（，2）．
∴S△ABE∈（，4）．
，4]．
综上可得：S△ABE∈（
21．（15分）《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P﹣ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB交PB于点F，连接DE，DF，BD，BE．
（1）证明：PB⊥平面DEF．试判断四面体DBEF是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，说明理由； （2）若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为
，求
的值．
【解答】解法1）（1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC， 由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD＝D， 所以BC⊥平面PCD．而DE⊂平面PDC，所以BC⊥DE． 又因为PD＝CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．
而PC∩CB＝C，所以DE⊥平面PBC．而PB⊂平面PBC，所以PB⊥DE． 又PB⊥EF，DE∩FE＝E，所以PB⊥平面DEF．
由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形， 即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．（2）如图1，
在面BPC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ACBD的交线． 由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG．
又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB＝P，所以DG⊥平面PBD． 所以DG⊥DF，DG⊥DB
故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角， 设PD＝DC＝1，BC＝λ，有BD＝
，
在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DPB＝∠FDB＝则 tan所以
＝tan∠DPF＝＝
＝
时，
＝
＝
，解得
，
．
故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为（解法2）
＝．
（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD＝DC＝1，BC＝λ，
则D（0，0，0），P（0，0，1），B（λ，1，0），C（0，1，0），点E是PC的中点，所以E（0，，），于是
＝0，即PB⊥DE．
＝（0，，），
＝（λ1，﹣1），
又已知EF⊥PB，而ED∩EF＝E，所以PB⊥平面DEF． 因
＝（0，1，﹣1），
＝0，则DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC．
由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形， 即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．（2）由PD⊥底面ABCD，所以
＝（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量； ＝（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量．
，
由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以
若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为
则运用向量的数量积求解得出cos＝＝，
解得．所以所以＝＝
时，
＝
．
故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为
22．（15分）如图，四边形ABCD关于直线AC对称，∠A＝60°，∠C＝90°，CD＝2，把△ABD沿BD折起．
（Ⅰ）若二面角A﹣BD﹣C的余弦值为
，求证：AC⊥平面BCD；
（Ⅱ）若AB与面ACD所成的线面角为30°时，求AC长．
解：（Ⅰ）证明：取BD的中点M，连接AM、CM， ∵四边形ABCD关于直线AC对称，
∴AB＝AD，CB＝CD，∴AM⊥BD，CM⊥BD，
∴∠AMC即为二面角A﹣BD﹣C的夹角，即cos∠AMC＝∵∠A＝60°，∠C＝90°，CD＝2，∴AM＝
，CM＝
， ，
×
AC2＝AM2+CM2﹣2AM•CMcos∠AMC＝6+2﹣2×在△AMC中，由余弦定理知，×
＝4，
∴AC＝2，∴AM2＝AC2+CM2，即AC⊥CM．
∵四边形ABCD关于直线AC对称，∴BD⊥AM，BD⊥CM， 又AM∩CM＝M，AM、CM⊂平面ACM， ∴BD⊥平面ACM，∵AC⊂平面ACM，
∴BD⊥AC，∵CM∩BD＝M，CM、BD⊂平面BCD， ∴AC⊥平面BCD．
（Ⅱ）以M为原点，MB、MC所在的直线分别为x、y轴，作Mz⊥平面BCD，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（
，0，0），C（0，
，0），D（﹣
，0，0），
设A（0，y，z），且y＞0，z＞0，则AM2＝y2+z2＝6①， ∴
＝（0，
﹣y，﹣z），
＝（
，
，0），
＝（
，﹣y，﹣z），
设平面ACD的法向量为＝（a，b，c），则，即，
令b＝1，则a＝﹣1，c＝，∴＝（﹣1，1，），
∵AB与面ACD所成的线面角为30°， ∴sin30°＝|cos＜，＞|＝||＝|
|＝②，
由①②解得，y＝，z＝2，∴A（0，，2），
∴AC＝2．
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