平面向量基本定理系数的等和线

【适用题型】在平面向量基本定理的表达式中，研究两系数的和差及线性表达式的范围与最值。 【基本定理】

（一） 平面向量共线定理

已知OAOBOC，若1，则A,B,C三点共线；反之亦然 （二） 等和线

平面内一组基底OA,OB及任一向量OP，OPOAOB(,R)，若点P在直线AB上或者在平行于AB的直线上，则k（定值），反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线。

（1） 当等和线恰为直线AB时，k1；

（2） 当等和线在O点和直线AB之间时，k(0,1)； （3） 当直线AB在点O和等和线之间时，k(1,)； （4） 当等和线过O点时，k0；

（5） 若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数；

【解题步骤及说明】

1、 确定等值线为1的线；2

2、 平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值； 3、 从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值和最小值；

说明：平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致，若不一致，本着少数服从多数的原则，优先平移固定的向量；若需要研究的两系数的线性关系，则需要通过变换基底向量，使得需要研究的代数式为基底的系数和。 【典型例题】

例1、 给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角

BlC1CB1BQOPlA1A为120，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动。 若OCxOAyOB，其中x,yR，则xy的最大值 是__________。

（1）跟踪练习：已知O为ABC的外心，若cosABC为_______

(2)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，

→→→

E为线段AO的中点.若BE＝λBA＋μBD(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝________.

O0A1，AOABAC，则的最大值3→→→

(3)在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若AP＝λ AB＋μ AD，则λ＋μ的最大值为( )

A．3 C.5

B．22 D．2

→→→

(4)A，B，C是圆O上不同的三点，线段CO与线段AB交于点D(点O与点D不重合)，若OC＝λOA＋μOB(λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是( )

A．(0,1) C．(1，2]

例2、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，两定点A,B满足|OA||OB|OAOB2，则点集

B．(1，＋∞) D．(－1,0)

{P|OPOAOB,||||1,,R}所表示的区域面积为__________________.

例3、如图，在扇形OAB中，AOB60，C为弧AB上不与A,B重合的一个动点，

0OCxOAyOB，若uxy (0)存在最大值，则的取值范围为__________.

BCOA跟踪练习：在正方形ABCD中，E为BC中点，P为以AB为直径的半圆弧上任意一点，

设AExADyAP，则2xy的最小值为_____________.

【强化训练】

1、在正六边形ABCDEF中，P是三角形CDE内（包括边界）的动点，设APxAByAF，则xy 的取值范围__________.

2、如图，在平行四边形ABCD中，M,N为CD边的三等份点，S为AM,BN的交点，P为边AB上的一动点，Q为SMN内一点（含边界），若PQxAMyBN，则xy的取值范围__________.

3、设D,E分别是ABC的边AB，BC上的点，AD（1,2为实数），则12的值为_____________.

4、梯形ABCD中，ADAB，ADDC1，AB3，P为三角形BCD内一点（包括边界），

DNQSMCA12AB，BEBC，若DE1AB2AC 23PBAPxAByAD，则xy的取值范围__________.

05、已知|OA|1,|OB|3，OAOB0，点C在AOB内，且AOC30，设OCmOAnOB，

m的值为____________. n6、在正方形ABCD中，E为AB中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆弧上的任意一点，设

则

ACxDEyAP，则xy的最小值为_____________.

7、已知|OM||ON|1，OPxOMyON(x,y为实数）。若PMN为以M为直角顶点的直角三角

形，则xy 取值的集合为_______。

8、平面内有三个向量OA,OB,OC，其中OA,OB夹角为120，OA,OC的夹角为30，且|OA||OB|1，

00|OC|23，若OCmOAnOB，则mn的值为____________________。

9、如图，A,B,C是圆O上的三点，CO的延长线与线段BA的延长线交于圆O外的点D，若

OCmOAnOB，则mn的取值范围为___________。

10、已知O为ABC的外心，若A(0,0),B(2,0)，AC1,BACDBOA2，且AOABAC，则3C=________.

11、已知a,b是两个互相垂直的单位向量，且cacb1，则对任意的正实数t，|ctab|的最小

值为_______________.

1t