极坐标与参数方程基本知识点

一、极坐标知识点

xx,(0),1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换:yy,(0).的作用下，点P(x,y)对应到点P(x,y)，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点O，从O引一条射线Ox，选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系，O点叫做极点，射线Ox叫做极轴

①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.

3．点M的极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM叫做点M的极角，记为。有序数对(,)叫做点M的极坐标，记为M(,).

极坐标(,)与(,2k)(kZ)表示同一个点。极点O的坐标为(0,)(R). 4.若0,则0,规定点(,)与点(,)关于极点对称，即(,)与(,)表示同一点。

如果规定0,02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示；同时，极坐标(,)表示的点也是唯一确定的。 5．极坐标与直角坐标的互化：

(1)互化的前提条件

①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极轴与x轴的正半轴重合 ③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式

6.曲

2x2y2,ysin,xcos, ytan(x0)x线的极坐标方程：

1．直线的极坐标方程：若直线过点M(0,0)，且极轴到此直线的角为，则它的方程为：

sin()0sin(0)

几个特殊位置的直线的极坐标方程

（1）直线过极点 （2）直线过点M(a,0)且垂直于极轴 （3）直线过M(b,)且平行于极轴 方程：（1）(R) 或写成

及

（2）cosa （3）ρsinθ=b

22．圆的极坐标方程： 若圆心为M(0,0)，半径为r的圆方程为：

220cos(0)02r20

几个特殊位置的圆的极坐标方程

（1）当圆心位于极点，r为半径 （2）当圆心位于C(a,0)(a>0),a为半径 （3）当圆心位于C(a,2)(a0)，a为半径

方程：(1)r (2)2acos (3)2asin

7.在极坐标系中，(0)表示以极点为起点的一条射线；(R)表示过极点的一条直线.

二、参数方程知识点

xf(t)1.参数方程的概念：在平面直角坐标系中，若曲线C上的点P(x,y)满足，该方程叫

yf(t)曲线C的参数方程，变量t是参变数，简称参数。

（在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数xf(t),

yg(t),并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。）

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 2．曲线的参数方程

（1）圆(xa)2(yb)2r2的参数方程可表示为xarcos,(为参数).

ybrsin.xacos,x2y21（2）椭圆2(ab0)的参数方程可表示为(为参数).

ybsin.ab2x2pt2,（3）抛物线y2px的参数方程可表示为(t为参数).

y2pt.2xxotcos,（4）经过点MO(xo,yo)，倾斜角为的直线l的参数方程可表示为（t为

yytsin.o参数）.

3．在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使x,y的取值范围保持一致.

规律方法指导：

1、把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法. 常见的消参方

法有：代入消法 ；加减消参；平方和（差）消参法；乘法消参法；比值消参法；利用恒等式消参法；混合消参法等. 2、把曲线

的普通方程

化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保

互化前后方程的等价性， 注意方程中的参数的变化范围。