一、极坐标知识点
xx,(0),1.伸缩变换:设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换:yy,(0).的作用下,点P(x,y)对应到点P(x,y),称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换。
2.极坐标系的概念:在平面内取一个定点O,从O引一条射线Ox,选定一个单位长度以及计算角度的正 方向(通常取逆时针方向为正方向),这样就建立了一个极坐标系,O点叫做极点,射线Ox叫做极轴
①极点;②极轴;③长度单位;④角度单位和它的正方向,构成了极坐标系的四要素,缺一不可.
3.点M的极坐标:设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径,记为;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的xOM叫做点M的极角,记为。有序数对(,)叫做点M的极坐标,记为M(,).
极坐标(,)与(,2k)(kZ)表示同一个点。极点O的坐标为(0,)(R). 4.若0,则0,规定点(,)与点(,)关于极点对称,即(,)与(,)表示同一点。
如果规定0,02,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示;同时,极坐标(,)表示的点也是唯一确定的。 5.极坐标与直角坐标的互化:
(1)互化的前提条件
①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合; ②极轴与x轴的正半轴重合 ③两种坐标系中取相同的长度单位. (2)互化公式
6.曲
2x2y2,ysin,xcos, ytan(x0)x线的极坐标方程:
1.直线的极坐标方程:若直线过点M(0,0),且极轴到此直线的角为,则它的方程为:
sin()0sin(0)
几个特殊位置的直线的极坐标方程
(1)直线过极点 (2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴 (3)直线过M(b,)且平行于极轴 方程:(1)(R) 或写成
及
(2)cosa (3)ρsinθ=b
22.圆的极坐标方程: 若圆心为M(0,0),半径为r的圆方程为:
220cos(0)02r20
几个特殊位置的圆的极坐标方程
(1)当圆心位于极点,r为半径 (2)当圆心位于C(a,0)(a>0),a为半径 (3)当圆心位于C(a,2)(a0),a为半径
方程:(1)r (2)2acos (3)2asin
7.在极坐标系中,(0)表示以极点为起点的一条射线;(R)表示过极点的一条直线.
二、参数方程知识点
xf(t)1.参数方程的概念:在平面直角坐标系中,若曲线C上的点P(x,y)满足,该方程叫
yf(t)曲线C的参数方程,变量t是参变数,简称参数。
(在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数xf(t),
yg(t),并且对于t的每一个允许值,由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上,那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数x,y的变数t叫做参变数,简称参数。)
相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 2.曲线的参数方程
(1)圆(xa)2(yb)2r2的参数方程可表示为xarcos,(为参数).
ybrsin.xacos,x2y21(2)椭圆2(ab0)的参数方程可表示为(为参数).
ybsin.ab2x2pt2,(3)抛物线y2px的参数方程可表示为(t为参数).
y2pt.2xxotcos,(4)经过点MO(xo,yo),倾斜角为的直线l的参数方程可表示为(t为
yytsin.o参数).
3.在建立曲线的参数方程时,要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致.
规律方法指导:
1、把参数方程化为普通方程,需要根据其结构特征,选取适当的消参方法. 常见的消参方
法有:代入消法 ;加减消参;平方和(差)消参法;乘法消参法;比值消参法;利用恒等式消参法;混合消参法等. 2、把曲线
的普通方程
化为参数方程的关键:一是适当选取参数;二是确保
互化前后方程的等价性, 注意方程中的参数的变化范围。
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