复数复习课教案

课题：复数复习课

莱西一中南校 王连珍

教学目的：

1.理解复数的有关概念；掌握复数的代数表示及向量表示.

2.会运用复数的分类求出相关的复数(实数、纯虚数、虚数等)对应的实参数值.

3.能进行复数的代数形式的加法、减法、乘法、除法等运算. 4.掌握复数代数形式的运算法则及加减法运算的几何意义 教学重点：复数的有关概念、运算法则的梳理和具体的应用． 教学难点：复数的知识结构的梳理 授课类型：复习课 课时安排：1课时 教 具：多媒体 教学过程： 一、知识要点：

1.虚数单位i:

(1)它的平方等于-1，即i21;

(2)实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立 2. i与－1的关系:

i就是－1的一个平方根，即方程x2=－1的一个根，方程x2=－1的另一个根是－i

3. i的周期性：

i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1 4.复数的定义：

形如abi(a,bR)的数叫复数，a叫复数的实部，b叫复数的虚部全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C表示.

5. 复数的代数形式:

复数通常用字母z表示，即zabi(a,bR)，把复数表示成a+bi的形式，叫做复数的代数形式 6. 复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：

对于复数abi(a,bR)，当且仅当b=0时，复数a+bi(a、b∈R)是实数a；当b≠0时，复数z=a+bi叫做虚数；当a=0且b≠0时，z=bi叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z就是实数0.

7.复数集与其它数集之间的关系： NZQRC.

8. 两个复数相等的定义：

如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+dia=c，b=d

一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小.如果两个复数都是实数，就可以比较大小 只有当两个复数不全是实数时才不能比较大小

9. 复平面、实轴、虚轴：

点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi(a、b∈R)可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，x轴叫做

实轴，y轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数

对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0)， 它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数 10．复数z1与z2的和的定义： z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 11. 复数z1与z2的差的定义： z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i. 12. 复数的加法运算满足交换律: z1+z2=z2+z1.

13. 复数的加法运算满足结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 14．乘法运算规则：

设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 15.乘法运算律：

(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 ; (2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3; (3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3. 16.除法运算规则：

设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的商 (a+bi)÷(c+di)=17.共轭复数：

acbdbcadi. c2d2c2d2

当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数 18. 复数加法的几何意义：

如果复数z1，z2分别对应于向量OP1、OP2，那么，以OP1、OP2为两边作平行四边形OP1SP2，对角线OS表示的向量OS就是z1+z2的和所对应的向量

19.复数减法的几何意义：

两个复数的差z－z1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应. 20．复数的模：|z||abi||OZ|a2b2

二、双基自测 ：

32i(1i)（ ） 1. （安徽卷·文科·1）．复数

A．2

B．－2 C． 2i D． 2i

ai2（浙江卷·文科·1）已知a是实数，1i是纯虚数，则a=（ ）

A．1 B．-1 C．2 D．－2

3.（上海卷·文理科·3）若复数z满足zi(2z)（i是虚数单位），则z_____ 4.已知z1i,则1z50z100的值为 . 2三、专题探究：

专题一：复数的概念与分类

设z＝a＋bi(a，b∈R)，则

a＝0

(1)z是虚数⇔b≠0，(2)z是纯虚数⇔

b≠0

，(3)z是实数⇔b＝0

z

例题1、已知z是复数，z＋2i，均为实数(i为虚数单位)，对于复数w＝(z

2－i＋ai)2，当a为何值时，w为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数． 【思路点拨】 求复数z→化简w→待定a. 【解】 设z＝x＋yi(x、y∈R)，

z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2，

x－2i1z11＝＝(x－2i)(2＋i)＝(2x＋2)＋(x－4)i.

552－i2－i5

由题意得x＝4，∴z＝4－2i.

∵w＝(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i， (1)当w为实数时，令a－2＝0，∴a＝2，

即w＝12＋4×2－22＝16.

(2)w为虚数，只要a－2≠0，∴a≠2.

(3)w为纯虚数，只要12＋4a－a2＝0且a－2≠0， ∴a＝－2或a＝6.

【思维总结】 正确求z及化简w是解本题的关键．

举一反三：

实数m取什么值时，复数zm1(m1)i 是（1）实数？ （2）虚数？ （3）纯虚数？ ( 口答 ）

专题二：复数的四则运算

复数的乘除法的运算是历年高考在复数部分考查的重点，熟练掌握复数乘除法的运算法则，熟悉常见的结论和复数的有关概念是迅速求解的关键． 1＋2i

例题2、(2010年高考辽宁卷)设a，b为实数，若复数＝1＋i，则( )

a＋bi

31

A．a＝，b＝ B．a＝3，b＝1

2213

C．a＝，b＝ D．a＝1，b＝3

22

3＋i3

【解析】 ∵＝1＋i，∴a＋bi＝＝＝，∴a＝，

22a＋bi1＋i1＋i1－i1

b＝.

2【答案】 A

1－i1＋i12

例题3、若＋＝a＋bi(a，b∈R)，且z＝，求z.

1＋i21－i2a＋bi【思路点拨】 首先求出a、b，再设z＝x＋yi，求x、y. i1＋ii1－iii

【解】 ＋＝－＋＝－＝－1. 22221＋i1－i1＋i1－i∴a＋bi＝－1，∴z2＝－1. ∵i2＝－1，(－i)2＝－1，∴z＝±i.

【思维总结】 本题实际是求x2＝－1的方程的两根，设(x＋yi)2＝－1，也是求方程根的通法．

1－i

1＋i

1＋2i1＋2i

1＋2i1－i

举一反三： (1i)2（ ）复数． 1i A．22i

B．1i

C．1i

D．2i

专题三：复数的几何意义及应用

复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义以及复数的加减法的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法．

例题4 已知点集D＝{z||z＋1＋3i|＝1，z∈C}，试求|z|的最小值和最大值．

【解】

点集D对应的曲线为以点

→|＝C(－1，－3)为圆心，1为半径的圆，圆上任一点P对应的复数为z，则|OP

|z|.

由图知，当OP过圆心C(－1，－3)时，与圆交于点A、B，则|z|的最小值是|OA|＝|OC|－1＝

－12＋－32－1＝2－1＝1，即|z|min＝1；|z|的最大值是|OB|＝

|OC|＋1＝2＋1＝3，即|z|max＝3.

举一反三： 1. （上海春季卷·16）已知zC，且|z22i|1,i为虚线单位，则|z22i|的最小值是 （ ）

（A）2. （B）3. （C）4. （D）5. 2. |z34i|2，则|z|的最大值为（ ） A 3 B 7 C 9 D 5

四、课堂小测

1、以 5i2的实部为虚部构成的新2i5的虚部为实部，并以 复数是（ ）

A、 B、 C、 D、 55i22i2i55iziiii2、复数 的值是（ ）

A、-1 B、0 C、1 D、i

234

i3、在复平面内，复数 (13i)2对应的点在第（ ）象限 1iA、一 B、二 C、三 D、四

3i4、计算：（1） 12i

13i2（2） ()1i

22(x1)(x3x2)i是纯虚数，则实数x = ___ 5、若

五、课堂小结 ：通过系统复习复数的知识，及专题精讲，进一步体会数学转

化的思想、方程的思想、数形结合思想的运用

六、作业

1zi，则 的值为 . 1、若复数z满足 z11z

2、若n是奇数，求

1i4n1i4n22

1in1in3、设f(n)= + 则集合｛x｜x=f(n)｝中元素的个数是 . 1i1i4、如果复数

2bi （其中i为虚数单位，b为实数 ）的实部和虚部互为相反12i数，那么b等于

22A. B. C.－ D. 2 3325、当 ＜m＜1时，复数z=(3m－2)+(m－1)i在复平面上对应的点位于

32A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

 yi6、已知 ( 2 x  1 )  i  ( 3  y )，其中 x,yR，求 x与y.

7、 i

200225022i1i88、已知 z

2z4i求复数z

七、板书设计（略）