2021年北京高考理科数学真题及答案

2021年北京高考理科数学真题及答案

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试完毕后，将本市卷和答题卡一并交回。

第一局部〔选择题共40分〕

一、选择题共8小题，每题5分，共40分。在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 〔1〕假设集合Ax2x1，Bxx1或x3，那么A。 B=〔 〕

〔A〕x2x1 〔B〕x2x3 〔C〕x1x1 〔D〕x1x3

【答案】A

【难度】容易

【点评】此题在高考数学〔理〕进步班讲座 第一章?集合?中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

〔2〕假设复数1iai在复平面内对应的点在第二象限，那么实数a的取值范围是〔 〕。 〔A〕,1i〔B〕,1〔C〕1,〔D〕(1,)

【答案】B 【难度】容易

【点评】此题在高二数学〔理〕下学期课程讲座 第四章?复数?中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

〔3〕执行如下图的程序框图，输出的s值为〔 〕。

- 1 - 笨小孩字路上

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〔A〕2

3 25〔C〕

38〔D〕

5〔B〕

【答案】C 【难度】容易

【点评】此题在高考数学〔理〕进步班讲座 第十三章?算法与统计?中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

x3,〔4〕假设x,y满足xy2,那么x2y的最大值为〔 〕。

yx,〔A〕1〔B〕3〔C〕5〔D〕9 【答案】D 【难度】容易

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【点评】此题在高考数学〔理〕进步班讲座 第二章?函数?中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

1〔5〕函数fx3x，那么fx〔 〕。

3〔A〕是奇函数，且在R上是增函数 〔B〕是偶函数，且在R上是增函数 〔C〕是奇函数，且在R上是减函数 〔D〕是偶函数，且在R上是减函数

【答案】A 【难度】中等

【点评】此题在高考数学〔理〕进步班讲座 第三章?函数的性质及其应用?中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

〔6〕设m,n为非零向量，那么“存在负数，使得mn〞是“mn0〞的〔 〕。 〔A〕充分而不必要条件 〔B〕必要而不充分条件

〔C〕充分必要条件

〔D〕既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】容易

【点评】此题在高考数学〔理〕进步班讲座 第九章?平面向量?中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

〔7〕某四棱锥的三视图如下图，那么该四棱锥的最长棱的长度为〔 〕。

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〔A〕32 〔B〕23 〔C〕22 〔D〕2 【答案】B 【难度】容易

【点评】此题在高考数学〔理〕进步班讲座 第十一章?立体几何?中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

〔8〕根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3为10，那么以下各数中与〔A〕10〔B〕10 〔C〕10〔D〕10 【答案】D 【难度】中等

【点评】此题在高考数学〔理〕进步班讲座 第二章?函数?中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

第二局部〔非选择题共110分〕

二、填空题〔共6小题，每题5分，共30分〕

7393335380361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约

M最接近的是〔 〕。〔参考数据：lg30.48〕 Ny21的离心率为3，那么实数m_________. 〔9〕假设双曲线xm2【答案】2

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【难度】容易

【点评】此题考察双曲线的计算问题。在高考数学〔理〕进步班讲座，第十二章?圆锥曲线的方程与性质?有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

〔10〕假设等差数列an和等比数列bn满足a1b11,a4b48，那么【答案】1

a2_________. b2

【难度】中等

【点评】此题考察数列的计算。在高考数学〔理〕进步班讲座，第六章?数列?有详细讲解，在寒假特训班有涉及。

〔11〕在极坐标系中，点A在圆2cos4sin40 ，点P的坐标为1,0，那么|AP|的最小

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值为___________. 【答案】1

【难度】中等

【点评】此题考察直线间隔 的求解。在高考数学〔理〕进步班讲座，第十章?直线与圆?有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

(12) 在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称。假设

1sin,cos_______.

37【答案】

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【难度】容易

【点评】此题考察平面向量的综合知识。在高考数学〔理〕进步班讲座，第九章?平面向量?有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

(13) 可以说明“设a,b,c是任意实数.假设abc，那么abc〞是假命题的一组整数a,b,c的值依次为_________. 【答案】-1，-2，-3

由题意知a,b,c，均小于0，所以找到任意一组负整数，满足题意即可。

【难度】中等

【点评】此题考察不等式的应用。在高考数学〔理〕进步班讲座，第七章?不等式?有详细讲解，在高二数学〔理〕下学期 课程讲座中有涉及。

(14) 三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如下图，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标学科&网分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i1,2,3。

①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，那么Q1，Q2，Q3中最大的是______。

②记Pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件总数，那么p1，p2，p3中最大的是_______。

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【答案】①Q1 ②p2

【难度】较难

【点评】此题考察直线的相关计算。在高考数学〔理〕进步班讲座，第十章?直线与圆?有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。

三、解答题〔共6题，共80分.解容许写出文字说明，演算步骤或证明过程〕 〔15〕〔本小题13分〕 在ABC中，A60,c〔Ⅰ〕求sinC的值；

〔Ⅱ〕假设a7，求ABC的面积。 【答案】〔1〕

3a 733 〔2〕63 14- 8 - 笨小孩字路上

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【难度】中等

【点评】此题考察三角函数的应用。在高考数学〔理〕进步班讲座，第八章?三角函数?有详细讲解，在百日冲刺班中有涉及。

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〔16〕〔本小题14分〕

如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，点M在线段PB上，

PD∥平面MAC,PAPD6,AB4。

〔Ⅰ〕求证：M为PB的中点； 〔Ⅱ〕求二面角BPDA的大小；

〔III〕求直线MC与平面BDP所成角的正弦值。 【答案】

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【难度】较难

【点评】此题考察立体几何的应用。在高考数学〔理〕进步班讲座，第十一章?立体几何?有详细讲解，在百日冲刺班、寒假特训班、高二数学〔理〕上学期 课程讲座、高二数学〔理〕下学期 课程讲座中均有涉及。

〔17〕〔本小题13分〕

为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组个50名，一组服药，另一组不服药。一段时间后，记录了两组患者的生理指标xy和的学科.网数据，并制成以下图，其中“·〞表示服药者，“+〞

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表示未服药者.

〔Ⅰ〕从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；

〔Ⅱ〕从图中A,B,C,D,四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望E〔〕；

〔Ⅲ〕试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.〔只需写出结论〕 【答案】

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【难度】较难

【点评】此题考察概率的计算。在高考数学〔理〕进步班讲座，第十四章?概率?有详细讲解，在高二数学〔理〕上学期 课程讲座、高二数学〔理〕下学期 课程讲座中均有涉及。

〔18〕〔本小题14分〕

抛物线C：y2x过点P1,1过点0,作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N，过点M作x轴的垂

212线分别与直线OP、ON交于点A,B，其中O为原点. 〔I〕求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程； 〔II〕求证：A为线段BM的中点。 【答案】

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【难度】较难

【点评】此题考察抛物线的计算。在高考数学〔理〕进步班讲座，第十二章?圆锥曲线的方程与性质?有详细讲解，在高二数学〔理〕上学期 课程讲座、寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。 〔19〕〔本小题13分〕 函数fxecosxx

x〔I〕求曲线yfx在点0,f0处的切线方程； 〔II〕求函数fx在区间0,【答案】

上的最大值和最小值. 2- 16 - 笨小孩字路上

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【难度】中等

【点评】此题考察曲线的切线方程的计算。在高考数学〔理〕进步班讲座，第十二章?圆锥曲线的方程与性质?有详细讲解，在高二数学〔理〕上学期 课程讲座、寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。 〔20〕〔本小题13分〕

设an和bn是两个等差数列，记cnmaxb1a1n,b2a2n,……,bnann,n1,2,3,……， 其中maxx1,x2,……xs表示x1,x2,……xs这s个数中最大的数．

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〔I〕假设ann,bn2n1，求c1,c2,c3的值，并证明cn是等差数列； 〔II〕证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当nm时，

cnM；或者存在正整数m，使得ncm,cm1,cm2……是等差数列．

【答案】

【难度】较难

【点评】此题考察等差数列的性质。在高考数学〔理〕进步班讲座，第六章?数列?有详细讲解，在寒假特训班有涉及。

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