习题课讨论题(9)

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习题课讨论题（9）

一.（1）设f(x)在(a,b)内至多有第一类间断点，且对任意x,y∈(a,b)有

求证：f(x)在(a,b)内连续.

（2）若不设f(x)在(a,b)内至多有第一类间断点，定理还成立吗？（证明或者举反例）.并比较”开区间的凸函数一定是连续函数”的异同点.

二.函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，那么f(x)在[a,b]上是严格下凸的充要条件是f󰀂(x)在(a,b)内严格递增.

三.(H¨older不等式）设x1,···,xn和y1,···,yn均为非负数，又有p>1,q>1,且满足（共轭）条件

p󰀆x+y󰀁f(x)+f(y)

≤,22

q=1,则成立不等式

n󰀅k=1

xkyk≤

n󰀂󰀅k=1

xpk

n1󰀂󰀅󰀃pk=1

󰀃1q,

qpq

其中等号成立的充要条件是数组xp,···,x和y11,···,yn成比例.(谢惠民P255,命题8.5.2)n

四.设已知函数

f(x)=

󰀄

(1+x)x,x=0,

e,x=0,

在x=0无穷次可微，计算f(x)的Maclaurin公式到x4项.(谢惠民P212,7.2.4)五.设f(x)在(0,+∞)上二次可微，且已知

M0=sup{|f(x)|;x∈(0,+∞)},M2=sup{|f󰀂󰀂(x)|;x∈(0,+∞)}

为有限数.证明M1=sup{|f󰀂(x)|;x∈(0,+∞)}也是有限数，并且满足不等式M1≤√

2M0M2.(谢惠民P213,7.2.5)

六.设f(x)在(−∞,+∞)上为下凸函数，又有limx→±∞

f(x)x=0,证明f(x)是常值函数.

七.（P1927)设f(x)在(a,+∞)上可导，证明若limx→+∞(f(x)+f󰀂(x))=A,那么limx→+∞f(x)=A.

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