高考数学压轴专题石家庄备战高考《矩阵与变换》知识点总复习附答案解析

一、15

1．给定矩阵【答案】【解析】

试题分析：由题意已知矩阵A=

，将其代入公式|λE﹣A|=0，即可求出特征值λ1，

，

；求A4B．

λ2，然后解方程求出对应特征向量α1，α2，将矩阵B用征向量α1，α2，表示出来，然后再代入A4B进行计算即可．

解：设A的一个特征值为λ，由题知（λ﹣2）（λ﹣3）=0 λ1=2，λ2=3 当λ1=2时，由当λ1=3时，由由于B=

=2

+

=2=3=2α1+α2

，得A的属于特征值2的特征向量α1=，得A的属于特征值3的特征向量α2=

=0

故A4B=A4（2α1+α2）=2（24α1）+（34α2）=32α1+81α2 =

+

=

点评：此部分是高中新增的内容，但不是很难，套用公式即可解答，主要考查学生的计算能力，属于中档题．

2．（1）计算行列式

5112834，，的值；

7289121022（2）你能否从（1）中的结论得出一个一般的结论？试证明你的结论； （3）你发现的（2）的结论，在三阶行列式中是否成立？ 【答案】（1）三个行列式的值都为0；（2）解析；（3）成立 【解析】 【分析】

（1）分别进行化简计算即可求得；

（2）观察可知对应行或列应成比例关系，化简求值即可证明； （3）可假设成立，再结合运算关系进行求证即可 【详解】

akaab0kR；证明见0或

bkbkakb（1）

3491236360，

51110221101100，

2782856560；

akaab0kR，证明如下： 0或（2）由（1）可知

bkbkakbabkabkab0，kabkab0，即0或

kakbbkbkakbakabkb0kR成立；

a（3）假设三阶行列式中成立，即kaabakabkbcakanakc0或bkbnb0

nanbncckcnc证明如下：

akabkbckcknabcknabcknabcknabcknabcknabc0

nanbncakanabkbnbknabcknabcknabcknabcknabcknabc0 ckcnc得证，故三阶行列式也成立 【点睛】

本题考查行列式的简单计算，结论的类比推理，属于基础题

sinx3．求证：sin2xcosx1cos2x1sin2x2sinx. cos3x1sin3x【解析】 【分析】

【答案】证明见解析

先利用三阶矩阵的计算方法，化简等式的左边，再结合两角差的正弦公式化简即可证明． 【详解】

sinxsin3xcosx1sin2xcos2x1cos3x1sin2xcos2xsinxcosxsinxcosx=sin（-x）-sin

sin3xcos3xsin3xcos3xsin2xcos2x（-2x）+sin（-x）=sin2x-sin2x. 【点睛】

本题考查行列式的运算法则及性质的应用，变换的能力及数学分析能力，涉及两角和差的

正弦公式，属于中档题．

axy1x,y4．利用行列式讨论关于的方程组解的情况.

3axay2a31x【答案】①当a0且a3时，方程组有唯一解a；②当a0时，方程组无

y2xt解；③当a3时，方程组有无穷多解，可表示为tR.

y3t1【解析】 【分析】

由题,可得Daa3,Dxa3,Dy2aa3,分别讨论方程组有唯一解,无解,无穷多解的情况即可 【详解】

Da1a13aaa23aaa3, 1a2a3a3a3, a2a33a2a26a2aa3,

DxDy2a3a13a2a3a31Dxx1Daa3ax①当a0且a3时,方程有唯一解,,即a；

yDy2aa32y2Daa3②当a0时,D0，Dx30,方程组无解；

③当a3时,DDxDy0,方程组有无穷多解,设xttR,则原方程组的解

xt可表示为tR.

y3t1【点睛】

本题考查利用行列式解方程组,考查运算能力,考查分类讨论思想

5．已知直线l1：mx4ym20，l2：xmym0，分别求实数m满足什么条件时，直线l1与l2相交？平行？重合？

【答案】当m2且m2时，相交；当m2时，平行；当m2时，重合 【解析】

【分析】

计算出D(m2)(m2)，Dxm(m2)Dy(m1)(m2)，讨论是否为0得到答案. 【详解】

mx4ym2 xmymDm114mm24(m2)(m2)，Dxm2m4m(m2)m4mm(m2)

Dymm2mm2(m2)(m1)(m2)

（1）当m2且m2时，D0，方程组有唯一解，l1与l2相交 （2）当m2时，D0,Dx80，l1与l2平行 （3）当m2时，DDxDy0，l1与l2重合 【点睛】

本题考查了直线的位置关系，意在考查学生的计算能力.

1m（m0）满足A24I（I为单位矩阵）． m1（1）求m的值；

6．已知矩阵Ax1mx（2）设P(x,y)，Q(x',y)．矩阵变换y可以将点P变换为点Q．当ym1点P在直线l:yx1上移动时，求经过矩阵A变换后点Q的轨迹方程．

（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，求出所有这样的直线；若不存在，则说明理由．

【答案】（1）m3（2）(31)x(31)y40（3）存在，l1:y3x，3l2:y3x．

【解析】 【分析】

（1）计算A2，由A24I可求得m；

x1（2）由y3yx1可得；

3xxx3y4xx3y，得，解得．代入y1y3xy4y3xy（3）首先确定这种变换，与坐标轴垂直的直线不合题意，因此设直线l方程为

ykxb(k0)，求出变换后的直线方程，两方程表示的直线重合，可求得k，可分类

b≠0和b0．

【详解】

01m1m1m210A4（1）Qm0，m1m101， 201m2m3 x1（2）Qy33xx3y， y13xyxx3y4xx3y即，． y3xy4y3xy∵点P(x,y)在直线yx1上，

3xyx3y4，

即点Q(x',y')的轨迹方程(31)x(31)y40． （3）垂直于坐标轴的直线不合要求．

设l:ykxb(k0)，P(x,y)，Q(x3y,3xy)

Q3xyk(x3y)b， (3k1)y(k3)xb

当b≠0时，(3k1)1,k3k，无解． 当b0时，(3k1)k33k22k30, 1k解得k3或k3． 33x，l2:y3x． 3∴所求直线是l1:y【点睛】

本题考查矩阵的运算，考查矩阵变换，求变换后的曲线方程，可设原曲线上点坐标为

x'f(x,y)xh(x',y')P(x,y)，变换后为Q(x',y')，由矩阵运算得，然后解得，

y'g(x,y)yi(x',y')把(x,y)代入原曲线方程即得新方程．

A2B7．在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且sin2Bsec2sincosAcsin22Bcos02，201求角C的大小.

 2【解析】 【分析】

【答案】

先将三阶行列式化简，结合三角形内角和与诱导公式、辅助角公式化简即可求值 【详解】

A2B由sin2Bsec2sincosAcsin22BABCBAcos02sincossinsincos2 22222201CABsinsin2 22又CAB， sinCCABsincos， 222CCCABsinsin2sincos2， 2222C3CC2sin2sin1，又Q,24442424解得CC， ，2422【点睛】

本题考查三阶行列式的化简求值，三角函数的诱导公式、辅助角公式的使用，属于中档题

235cn0，其中c为常数，命题Q：把三阶行列式xc64中第8．已知命题P：limn18x一行，第二列元素的代数余子式记为f(x)，且函数f(x)在,上单调递增，若命题41P是真命题，而命题Q是假命题，求实数c的取值范围.

【答案】1c【解析】 【分析】

先由已知命题P是真命题，得：1c1，根据三阶行列式中第一行、第二列元素的代

2数余子式写出f(x)xcx4，结合函数f(x)在上单调递增．求得c的取值范围，最

1 2后即可解决问题． 【详解】

c0，其中c为常数，是真命题，得：1c1。 由已知命题P:limn5三阶行列式xcn2364中第一行、第二列元素的代数余子式记为f(x)，则8x1f(x)x2cx4，且函数f(x)在上单调递增．

1c11函数f(x)在(,]上单调递增，厖c，

4242Q命题Q是假命题，c1． 2命题P是真命题，而命题Q是假命题，

实数c的取值范围是1c【点睛】

本题主要考查极限及其运算、三阶行列式的代数余子式，解答的关键是代数余子式的符号问题．

1． 2

xmyz19．解关于x，y，z的方程组xyz2.

m1xyz31xm21y【答案】（1）m2且m1时，；（2）m2或m1时，无

m12m24m3zm2m2解. 【解析】 【分析】

先根据方程组中x,y,z的系数及常数项计算计算出D，Dx，Dy，Dz下面对m的值进行分类讨论，并求出相应的解． 【详解】

Dm2m1，Dxm1，Dym2，Dz2m24m3.

1xm21所以（1）m2且m1时，y；

m12m24m3zm2m2（2）m2或m1时，无解. 【点睛】

本题考查三元一次方程组的行列式、线性方程组解得存在性，唯一性、三元一次方程的解法等基础知识，考查运算能力与转化思想，属于中档题．

10．已知等比数列an的首项a11，公比为qq0.

a1（1）求二价行列式

a2a3的值； a4a1xa3y3.

axay242（2）试就q的不同取值情况，求解二元一次方程组422x3t【答案】（1）0；（2）当q时，方程组无数解，且9，tR；当q且

33ytq0时，方程组无解.

【解析】 【分析】

（1）由行列式定义计算，再根据等比数列的性质得结论； （2）由二元一次方程组解的情况分析求解． 【详解】

（1）∵an是等比数列，∴a1a4a2a3，

a1∴a2a3a1a4a2a30． a4（2）由（1）知方程组无解或有无数解．

a2a424q当时，方程组有无数解，此时方程组中两个方程均为xy3， a1a3394x3t解为9，

yt2且q0时，方程组无解． 3【点睛】

当q本题考查行列式的概念，考查等比数列的性质，考查二元一次方程组的解的情况．掌握二元一次方程组的解的情况的判断是解题基础．

a111．已知a，bR，点P1,1在矩阵A对应的变换下得到点Q1,3. 3b（1）求a，b的值；

（2）求矩阵A的特征值和特征向量；

ur5ur4（3）若向量，求A.

9【答案】（1）a2；（2）矩阵A的特征值为1，3，分别对应的一个特征值为

b0485113，；（）489 31【解析】 【分析】

（1）直接利用矩阵的乘法运算即可； （2）利用特征多项式计算即可；

uruuruuruuruuruur4444（3）先计算出162，再利用AA162A16A2计算即

uruur可得到答案. 【详解】

a11a11（1）由题意知，13b3， 3ba11a2. 则，解得3b3b0212123， （2）由（1）知A，矩阵A的特征多项式f330令fλ0，得到A的特征值为11，13.

2xy01将1代入方程组，解得y3x，

3xy0uur1所以矩阵A的属于特征值1的一个特征向量为1.

32xy03再将1代入方程组，解得yx，

3xy0uur1所以矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为2.

111综上，矩阵A的特征值为1，3，分别对应的一个特征值为，.

31uuruur511mn（3）设m1n2，即mn， 9313mnuruuruurmn5m1所以，解得，所以162，

3mn9n6uruuruuruuruur4444所以AA162A16A2

ur1485411634. 31489【点睛】

本题考查矩阵的乘法、特征值、特征向量，考查学生的基本计算能力，是一道中档题.

axyz112．用行列式讨论下列关于x、y、z的方程组xyaz2的解的情况，并求出相应

xyz1的解.

x02a【答案】（i）当a1时有唯一解.方程组的解为：y；

a13za1（ii）当a1时，无解；

3xt21 (iii) 当a1时,有无穷多解.通解为：y.

2zt【解析】 【分析】

首先由二元一次方程组得到矩阵：D,Dx,Dy,Dz，然后根据条件判断a的不同取值方程组解的情况，并分类讨论. 【详解】

a 1 1x1方程组可转化为：1 1 a y 2

1 1 1z1a 1 1D1 1 a1a2(a1)(a1),

1 1 11 1 11 1 1a 1 11 1 1a 1 11 1 1QDx2 1 a0,Dy1 2 aa23a2,Dz1 1 23a3

x02a（i）当a1时有唯一解.方程组的解为：y；

a13za1（ii）当a1时，无解；

3xt21 (iii) 当a1时,有无穷多解.通解为：y.

2zt【点睛】

本题考查了二元一次方程组和矩阵形式、以及行列式值的计算，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于中档题.

13．矩阵与变换:变换T1是逆时针旋转

的旋转变换，对应的变换矩阵是M1变换T2对应用21122M的变换矩阵是2求曲线xy1的图象依次在T1,T2变换的作用下所得曲线01的方程.

【答案】x2xy2y1 【解析】 【分析】

220111x旋转变换矩阵M1，求出MM2M110，设y是变换后曲线上任一

10点，与之对应的变换前的点是【详解】

x0yx0，得到，即得解. y0y0yx01M旋转变换矩阵1 10110111记MM2M11010 01x0x设是变换后曲线上任一点，与之对应的变换前的点是，

y0yxx0y0x0yx0x面积M，也就是，即，

yyyxyxy0002222代入x0y01，得y(yx)1，

所以所求曲线的方程是x2xy2y1 【点睛】

本题主要考查矩阵和变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.

22

a1v1A是矩阵的属于特征值的一个特征向量. 031（1）求实数a，的值；

14．已知向量（2）求A2. 【答案】（1）【解析】 【分析】

（1）根据特征值的定义可知A，利用待定系数法求得实数a，的值。 （2）直接利用矩阵的乘法法则进行运算。 【详解】

a4,1672（2）A 3.09ururur1a1解：（1）因为矩阵A属于特征值的一个特征向量为1， 03a1,a4,a111所以所以 11，即3,033.4141411672（2）由（1）知A，所以A030309 03【点睛】

本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题。

15．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）

已知矩阵A＝A的逆矩阵A

akk (k≠0)的一个特征向量为α＝， 011对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a，k的值．

－1

【答案】解：设特征向量为α＝kakkk对应的特征值为λ，则 ＝λ，即10111akkk 1因为k≠0，所以a＝2． 5分

因为A1，所以A＝，即311111312k01131＝1， 所以2＋k＝3，解得 k＝1．综上，a＝2，k＝1． 10分 【解析】

试题分析：由 特征向量求矩阵A, 由逆矩阵求k 考点：特征向量, 逆矩阵

点评：本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，考查逆矩阵．

125771711BABB，，的逆矩阵满足B23y7. x0（1）求实数x，y的值；

（2）求矩阵A的特征值和特征向量.

16．已知矩阵A【答案】（1）x1,y3；（2）特征值为2和1，分别对应一个特征向量为2，111. 【解析】 【分析】

211ABB（1）计算，可得5y147y21，根据AAB1B，可得结果.

（2）计算矩阵A的特征多项式frrAxx，可得结果.

【详解】 （1）因为AB112，可得2或1，然后根据

171757B， y723所以AB12717571By7235y147y21

21211AABB由，所以x05y147y21

5y14xx1 所以7y210y3（2）矩阵A的特征多项式为：

f121221

1令fλ0，解得2或1 所以矩阵A的特征值为2和1. ①当2时，

12xxx2y2x2 10yyx2y令y1，则x2，

2所以矩阵M的一个特征向量为.

1②当1时，

12xxx2yx 10yyxy令y1，则x1

所以矩阵M的一个特征向量为. 因此，矩阵A的特征值为2和1， 分别对应一个特征向量为【点睛】

本题考查矩阵的应用，第（1）问中，关键在于AAB1121，1. 11B，第（2）问中，关键在于

f

120，考验分析能力以及计算能力，属中档题.

1uur3ab17．已知矩阵A若矩阵A属于特征值1的一个特征向量为a1，属于特征141uur1值5的一个特征向量为a2求矩阵A.

1【答案】23 14【解析】 【分析】

uur3根据矩阵A属于特征值1的一个特征向量为a1得到3ab3，属于特征值5的一

1uur1个特征向量为a2，故ab5，解得答案.

1【详解】

uur3aburura1a1，故3ab3； 矩阵A属于特征值1的一个特征向量为a1，114uur1abuurura25a1，故ab5， 属于特征值5的一个特征向量为a2，114a223解得，故A. b314【点睛】

本题考查了矩阵的特征向量，意在考查学生的计算能力和对于特征向量的理解.

1218．已知矩阵A（c，d为实数）.若矩阵A属于特征值2，3的一个特征向量分

cd21别为，，求矩阵A的逆矩阵A1.

11231【答案】A16【解析】 【分析】

根据特征值的定义可知Aαλα，利用待定系数法建立等式关系，求出矩阵A，即可求出逆矩阵A1． 【详解】 解：由题意知，所以13 16122421213123，12cd1cd1cd1， cd2cd2c1. ，解得cd3d413. 1623121所以A，所以A1146【点睛】

本题主要考查了二阶矩阵，以及特征值与特征向量的计算，属于基础题．

1106A19．已知矩阵01，B14.若矩阵C满足ACB，求矩阵C的特征值和

相应的特征向量.

【答案】特征值12，相应的特征向量；特征值23，相应的特征向量 【解析】 【分析】

2111abC设cd，由矩阵乘法法则求得矩阵C，再由特征多项式求得特征值，再得特征向

量． 【详解】

ab11ab06解：设C，由ACB，即01cd14， cdac0a1c1b212得，解得，所以C. bd6c114d4d4设f1124142256，

x32fλ0令，得1，2，特征向量为，

yuur2当12时，x2y0，取1；

1uur1当23时，2x2y0，取2.

1【点睛】

本题考查矩阵的乘法运算，考查特征值和特征向量，掌握矩阵乘法运算法则与特征多项式概念是解题基础．

20．已知ABC的顶点坐标分别为A(5,0)、B(3,3)、C(0,2)，请分别运用行列式、向量、平面解析几何知识，用其中两种不同方法求ABC的面积.

31 2【解析】

【答案】

【分析】

x1解法一：用行列式求解，面积公式为SABCx2y11y21，代入点的坐标求解即可；解法y31x3二：平面解析几何知识求解，先求出直线BC的方程、点A到直线BC的距离d及BC，利用SABC【详解】

解法一：行列式求解，

1BCd计算即可. 2x1SABCx2x3y11y31500211y2133131； 2解法二：平面解析几何知识求解， 直线BC的方程为：

y3x3，即：5x3y60， 53点A到直线BC的距离d5(5)30652322313134，

3434BC(03)22(3)34，

所以SABC【点睛】

本题考查利用三阶行列式计算三角形面积、利用平面向量知识计算三角形面积、利用平面解析几何知识求解三角形面积，属于基础题.

11313431BCd34. 22342