在解决问题的过程中发展学生的符号感

第１１卷第２期　数学教育学报　Ｖｏｌ１１．Ｎｏ　２　２　卑５月　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＭＡＴＨＢＭ　ⅡＣＳ日　ＵＣ　ⅡＯＮ　Ｍａｙ．，２ＯＯ２　在解决问题的过程中发展学生的符号感　史炳星‘，马云鹏　，唐复苏　（１．北京教育学院数学系，北京　１０００１１；　２．东北师范大学教育科学学院，吉林长春１３００２４；３．苏州大学数学系，江苏苏州２１５００６）　摘要：符号是数学的语言，是＾们进行表示、计算、推理、交流和解决问题的工具．学习代数的主要目的之一是要使　学生懂得符号的意ｊＬ、会运用符号解决问题．《标准》强调发展学生的符号感，就是要使学生能够从具体情境中抽象出教量　关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和　方注解决用符号所表示的问题．创设问题情境，使学生经历解决问题的过程，对发展学生的符号感十分必要．　关ｔ词：课程标准；符号感；一般化；数学模型；解决问题　中田分类号：Ｇ６３２．３文献标识码：Ａ文章编号：１００４－９８９４（２００２）０２￣００５７－－０４　用符号进行表示是社会文明得以发展的最强　如ｚ，Ｎ．其次，字母可作为不确定的名词，就像　有力的工具之一，数学课程的任务就是使学生感　日常生活中的‘人’，可以表示所有的人．”¨Ｊ　受和拥有这种能力，掌握和运用这个工具．《标　用符号来表示具体情境中的敷量关系，也像　准》根据数学学科和课程的特点，把在解决问题　普通的语言一样，首先需要引进基本的字母．在　过程中发展学生的“符号感”作为义务教育阶段　数学语言中，像数字以及表示数的字母，表示运　的一个重要学习内容．　算的符号和表示关系的符号等等．是用数学语言　１　《标准》中的符号感　刻画各种现实问题的基础．　从第二学段开始接触用字母表示数，是学习　符号是数学的语言，是人们进行表示、计算、　数学符号的重要一步．　推理、交流和解决问题的工具．学校数学教育的　从研究一个十特定的数到用字母表示一般的　目的之一是要使学生懂得符号的意义、会运用符　数，是学生认识上的一个飞跃，初学时学生往往　号解决实际问题和数学本身的问题，发展学生的　会感到困难，有些学生是形式主义地死记硬背，　符号感．《标准》强调发展学生的符号感，并指出：　而不理解其意义．因此，要尽可能从实际问题中　“符号感主要表现在：能从具体情境中抽象出数量　引八，使学生感受到字母表示数的意义．　关系和变化规律，并用符号来表示；理解符号所　（１）用字母表示运算法则、运算律以及计算　代表的数量关系和变化规律；会进行符号问的转　公式．这种一般化是基于算法的，常常开始于小　换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表示　学算术中数的运算．算法的一般化，深化和发展　的闸题．”　了对数的运算的认识．如加法交换律：　１　１　能从具体情境中抽象出数量关系和变化舰律　ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ；乘法结合律：（ａｂ）ｃ＝ａ（ｂｃ）；完垒　并用符号表示　平方公武：（ａ＋ｂ）　＝ａ　＋２ａｂ＋ｂ　等．在这里，　引进字母表示，是用符号表示数量关系和变　字母ａ，ｂ，ｃ表示任意的实数．　化规律的基础．　代数中用字母表示数，把人们对数的知识上　荷兰著名数学衷　数学教育家弗赖登塔尔指　升到更一般化的水平，使得算术中关于数的理论　出：“代数开始的典型特征是文字演算……字母作　有了一般化、普遍化的意义，这是从算术向代数　为数学符号有２种作用．首先，字母可作为专用　抽象的一个飞跃．用符号表示数也是学生学习一　名词，如Ⅱ是个完垒确定的数，或用Ａ表示２直　般化、形式化地认识和表示研究对象的开始．　线交点．显然特定集台需要使用标准的专用名词，　（２）用字母可以表示现实世界和各门学科中　收稿日期：２００２－－０３－９５　作者茼舟：史炳量（１９４７－），女，扛宁＾．北京教育学ｊ｝芒副教授．从事数学碾程标准厦实验教材编写研兜　维普资讯 http://www.cqvip.com

颤学教育学报　第ｌ１卷　的各种数量关系．例如，匀速运动中的速度ｖ、时　间ｆ和路程　的关系：　＝ｗ等等．　（３）用字母表示数，便于从具体情境中抽象　出数量关系和变化规律，并确切地表示出来，从　而进一步用数学知识去解决问题．例如，我们用　字母表示实际问题中的未知量，利用问题中的数　字母和表达式在不同的场合有不同的意义，　如：５：２　＋ｌ表示　所满足的一个条件，事实上，　在这里只是占据一个特殊数的位置，可以利用解　方程找到它的值；Ｙ＝２ｘ表示变量之间的关系，　是自变量，可以取定义域内的任何数，Ｙ是因变量，　Ｙ随　的变化而变化；（ａ＋扫）　～ｂ）＝ａ　一ｂ　表示　一量相等关系列出方程；我们用字母（例如　，Ｙ）　表示某一变化过程中相关的２个变量，利用问题　条件给出的变量问的相互关系，列出函数表达式　等等．　个一般化的算法，表示一个恒等武；如果ａ和ｂ　分别表示矩形的长和宽，　表示矩形的面积，那么　＝ａｂ表示计算矩形面积的公式，同时也表示矩形　面积随长和宽的变化而变化的关系．　从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，　并用符号来表示，是将问题进行一般化的过程．一　对于《标准》所说的“能从具体情境中抽象　出数量关系和变化规律，并用符号来表示”的意　义在于这种表示常常开始于探索和发现规律，然　后用代数式一般化地将它们表示出来．　例如图ｌ所示的月历，你知道深色方框中９　般化超越了具体实际问题的情景，深刻地揭示和　指明存在于一类问题中的共性和普遍性，把认识　和推理提到一个更高的水平．一般化和符号化对　数学活动和数学思考是本质的，一般化是每一个　人都要经历的过程．　１．２理解符号所代表的数量关系和变化规律　个数的和是多少吗？你能推断出一个计算任意这　样方框中９个数的和的一般方法吗？　３　４　５　６　嘲　１０　１ｌ　ｌ２　２５　２６　（１）使学生在现实情境中能够理解符号表示　的意义并能解释代数式的意义．　如代数武６　可以表示什么？学生可以解释　为：如果Ｐ表示正六边形的边长，印可以表示正　六边形的周长；如果Ｐ表示一本书的价格，印可　ｌ３　２０　２８　２９　隧　１７　ｌ８　１９　氍强国　２４　３０　３ｌ　图１月历　深色方框中９个数的和是ｌ３５，如果我　们用ａ表示方框中间的数，则方框中的数可用　以表示６本书的价格；６ｐ也可以表示一张光盘的　价格是一本书的价格的６倍；如果一条长凳可以　图２表示：很显然，这９个数的和等于９ｎ．因　此我们判断任意一个这样方框中的９个数的和　都是中间数的９倍．　坐６个小朋友，印表示Ｐ条长凳可以坐印个小朋　友等．　（２）用关系武、表格、图像表示变量之间的　关系．　如制成一个尽可能大的无盖长方体的问题：　图２九数求和　用代数武表示是由特殊到一般的过程，而由　代数武求值和利用数学公式求值是从一般到特殊　用一张正方形的纸，利用在它的４－个角分别　剪去一个小正方形的方法制成一个无盖长方体，　怎样才能使制成的无盖长方体的客积最大？　假设用边长为２０的正方形纸，剪去的小正方　形的边长依次为ｌ，２，３，４－，５，６，７，８，９，１０　时，折成的无盖长方体的容积将如何变化？　的过程，可进一步帮助学生体会字母表示的意义．　在用字母表示数的过程中，学生往往会感到　些困惑，如弗赖登塔尔指出的：“如果字母作为　个数的不确定名词，那又为什么要用这么多ａ，　一①用表格表示（见表１ｊ：　表１窖积变化（一）　正方带的边长　长方体的容积　正方形的过长　长方体的喜积　一ｂ，ｃ……其实，这就像我们讲到这个人和那个人　一１　２　３　４　５　样，学生不理解ａ怎么能等于ｂ，你可以告诉他　３２４　５１２　５８８　５７６　５００　６　３８４　‘实际上，ａ与ｂ不一定相等，但也可能偶然相等，　就像我想象中的人恰好与你想象中的人相同’．最　本质的一点是要使学生知道字母表示某些东西，　７　２５２　８　１２Ｂ　９　３０　１ｏ　０　通过表１，我们看到当小正方形的边长为３时，　不同的字母或表达式可表示相同的东西．”Ⅲ　维普资讯 http://www.cqvip.com

第２期　史炳星等：在解决问题的过程中发展学生的符号砬　无盖长方体的容积最大．　统计数据，而且要能分析每隔ｌ０年人口变化的趋　我们把表ｌ在小正方形的边长取２．５到３．５之　间进行细化，得到表２：　衰２窖积变化ｆ二）　势，从而初步地作出一些预测．　又如从图像获取信息，图４表示的是汽车运　动的速度和时间的关系：　这时得到当小正方形的边长为３．５时，无盖长　方体的容积最－大．我们还可　把表２在小正方形　的边长取３到３．５之间进行细化．总之，我们可　根据所要达到的精确度继续上述过程，直到满意　为止．　图４汽车速度与时间关系　②根据表ｌ与表２中的数据画图，得到如图３　所示的图像．　①汽车运动的时间、速度范围是什么？　②在最初的ｌ５分钟内，汽车速度的变化有什　么特点？在第ｌ５分钟时，汽车的速度是多少？　③在以后的Ｉ５分钟内，汽车速度的麦化可以　怎样描述？在第３０分钟时，汽车的速度是多少？　④在最后的ｌ０分钟内，汽车速度的变化有什　么特点？在第４ｏ分钟时，汽车的速度是多少？　学生应该能移用语言正确地描述图像所表示　的关系，从图中获得以上问题的答案．　１＿３会进行符号间的转换　围３窖积变化　这里所说的符号问的转换，主要指表示变量　之问关系的表格法、解析式法、图像法和语言表　示之间的转换．　（　用代数式表示：　仍设这张正方形纸的边长为ａ，所折无盖长方　体的高为ｈ，则无盖长方体的容积ｖ与ｈ的关系是：　Ｖ：ｈ（ａ一２ｈ）　．　用多种形式描述和呈现数学对象是一种有效　获得对概念本身或问题背景深八理解的方法．因　此用多种方法表示不仅可以加强对概念的理解，　而且也是解决问题的重要策略．从数学学习心理　的角度看，不同的思维形式之间的转换及其表达　方式是数学学习的核心．能把变量之间关系表示　的一种形式转换为另一种方式，也就是能在４种　表示形式之间进行转换，构成数学学习过程中的　重要方面．　会用符号进行表示，也就是会把实际问题中　的数量关系用符号表示出来，这个过程叫做符号　化．符号化的问题已经转化为数学问题，随后就　是进行符号运用和推理，最后得到结果，这就是　数学建模的思想．事实上，我们所熟悉的方程和　函数都是某种问题的数学模型．　（３）能从关系武、表格、图像所表示的变量　之间的关系中获取所需信息．　表３是我国从１９４９年到１９９９年的人口统计　图像对于理解变量之间的关系具有十分重要　数据（精确到０．叭亿）：　衰３我国人口统计数据　时间（年）１９４９　１９５９　１９６９　１９７９　６　７２　８　０７　９　７５　１９８９　１１　０７　１９９９　１２　５９　的意义，图像表示以其直观性有着其它的表示方　式所不能替代的作用，图像是将关系武和数据转　化为几何形式．因此，图像是“看见”相应的关　系和变化情况的途径之一．　这４种表示之间是互相联系的，一种表示的　改变会导致其它表示的相应改变．　１．４能选择适当的方法解决符号表示的问题　解决问题的第一步是将问题进行表示，也就　＾Ｉ：Ｉ（亿）　５　４２　①表３中的数据表示了哪２个量之间的关系？　哪个是自变量？哪个是因变量？　②根据表３的数据，预测一下我国２００９年人　口的总数，并说明为什么．　学生不仅要能获得１９４９年到１９９９年的人口　是进行符号化．然后就是选择算法，进行符号运　■ｒ—１　・■　维普资讯 http://www.cqvip.com

６０　颤学教育学报　第１１卷　算．如果说第一步是把实际问题转化为数学问题，　印数学化，那么第二步就是在数学内部的推理、　运算等．算法的选择以及进行符号运算是十分重　要的问题．　要尽可能在实际的问题情境中帮助学生理解　符号以及表达式、关系式的意义，在解决实际问　题中发展学生的符号感．在教材编写与教学中，　对符号演算的处理尽量避免让学生机械地练习和　记忆，而应增加实际背景、探索过程、几何解释　等以帮助学生理解．　２注重培养学生的符号感　数学符号的系统化首先归功于法国数学家韦　达（Ｆｒａｃｏｉｓ　Ｖｉｅｔｅ），由于他的符号体系的引入导致　《标准》认为必须要对符号运算进行训练，要　适当地、分阶段地进行一定数量的符号运算．但　是并不主张进行过多、过繁琐的形式运算的训练．　代数在性质上产生重大变革．在这以后的１００年　之中，几乎所有初等数学和微积分背后的想法都　被发现了．没有符号化的代数，就没有高层次的　数学数量科学，从而也就没有现代技术和现代科　学的发展口Ｉ．　如果说代数是一种语言的话，那么数字和字　母就是这种语言的“字母”，表达式就是这种语言　的“词”，关系式（如等式、不等式）就是这种语　言的“句子”．既然是语言，就会有相应的语法，　代数的语法就是各种符号演算的法则和规定等．只　有学习、熟悉、掌握代数这种语言的语法，才能　利用它进行推理、计算、交流和解决问题．　学生符号感的发展不是一朝一夕就可以完成　的，而是贯穿于学生数学学习的垒过程，伴髓着　学生数学思维层次的提高逐步发展的．　参考文献：　【ｌ】［荷】弗赖登塔尔．作为教育任务的数学【Ｍ】．上海：上　海教育出版社．１９９５．２３０．　【２］王长沛．掌上电脑与后ＰＣ时代的数学教育叨．数学　教育学报，２０００，９（１）：ｌ７．　Ｔｏ　Ｄｅｖｅｌｏｐ　Ｓｔｕｄｅｎｔｓ’Ｓｙｍｂｏｌ　Ｓｅｎｓｅ　ｉｎ　ｔｈｅ　Ｐｒｏｃｅｓｓ　ｏｆ　Ｐｒｏｂｌｅｍ　Ｓｏｌｖｉｎｇ　ＳＨＩ　Ｂｉｎｇ－ｘｉｎｇ。，ＭＡ　Ｙｕｎ－ｐｅｎｇ：ＴＡＮＧ　Ｆｕ－ｓｕ　，（１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｉｔｃｓ，Ｂｅｉｊｉｎｇ　Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ　ｏｆＥｄｕｃａｔｉｏｎ，Ｂ　ｅｉｊｉｎｇ　１０００１　１，Ｃｈｉａ￣　２　Ｔｈｅ　Ｆａｃｕｌｔｙ　ｏｆＥｄｕｃａｆｉｏｎ，Ｎｏｒｔｈｅａｓｔ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉｌｉｎ　Ｃｈａｎｇｅｈｔｍ　１３００２４，Ｃｈｉｎａ；　３．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，ＳｕｚｈｏｕＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，］ｉａｎｇｓｕ　Ｓｕｚｂｏｕ２１５００６，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｓｙｍｂｏｌｓ　ｗｅｒｅ　ｔｈｅ　ｌａｎｇｕａｇｅ　０ｆ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ．Ｓｙｍｂｏｌｓ　ｗｅｒｅ　ａｌｓｏ　ｔｏｏｌｓ　ｈ　ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎ．ｃａｌｃｕｌａ￣ｏｎ．　ｒｅａｓｏｎｉｎｇ，ｃｏｍｍｕｕｉｃａｔｉｏｎ　ｎｄ　ａｐｒｏｂｌｅｍ－ｓｏｌｖｉｎｇ．Ｏｎｅ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｍａｊｏｒ　ｐｕｒｐｏｓｅｓ　ｏｆ　ｓｃｈｏｏｌ　ａｌｇｅｂｒａ　ｗａｓ　ｔｏ　ｅｎａｂｌｅ　ｓｔｕｄｅｎｔｓ　ｏ　ｔｕｎｄｏ＇ｓｔａｎｄ　ｈｅ　ｍｅａｎｉｎｇ　０ｆ　ｓｙｍｂｔｏｌｓ　ａｎｄ　ｔｏ　ａｐｐｌｙ　ｓｙｍｂｏｌｓ　ｔｏ　ｐｒｏｂｌｅｍ－ｓｏｌｖｉｎｇ．Ｔｈｅ　Ｓｔａｎｄａｒｄｓ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　Ｃｕｒｒｉｃｕｌｕｍ　ｅｍｐｈａｓｉｚｅｄ　ｔｈａｔ　ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ｃｕｒｒｉｃｕｌｕｍ　ｓｈｏｕｌｄ　ｄｅｖｅｌｏｐ　ｓｔｕｄｅｎｔｓ　ｓｙｍｂｏｌ　ｓｅｌｌｓｅ．Ｔｈａｔ　ｗａｓ　ｏ　ｅｎａｂｌｔｅ　ｓｔｕｄｅｎｔｓ　ｔｏ　ｒｅｃｏｇｎｉｚｅ　ｑｕａｎｔｉｔａｔｉｖｅ　ｅｌｒａｔｉｏｎｓｈｉｐｓ　ｏ１＂ｐａｔｔｅｒｎｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｃｏｎｔｅｘｔｓ　ａｎｄ　ｔｏ　ｒｅｐｒｅｓｅｎｔ　ｔｈｅｍ　ｉｎ　ｓｙｍｂｏｌｓ，ｔｏ　ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄ　ｔｈｅ　ｒｅｌａｆｉｏｓｈｉｐｓ　ｏｒ　ｒｕｌｅｓ￣ｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ　ｉｎ　ｓｙｍｂｏｌｓ，ｔｏ　ｔｒａｎｓｌａｔｅ　ａｍｏｎｇ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｍｏｄｅｓ　ｏｆ　ｒｅｐｒｅｓｅｎｔａｔｉｏｎｓ，ｔｏ　ｓｅｌｅｃｔ　ｐｒｏｇｒａｍｓ　ｏ１＂ｍｅｔｈｏｄｓｔｏｓｏｌｖｅ　Ｆｃｏｂｌｅｍｓ．Ｔｏ　ｃｒｅａｔｅ　ｃｏｎｔｅｘｔｓ　ａｎｄｔｏ　ａｖｅ　ｓｔｕｄｅｎｔｓ　ｅｘｐｅｒｉｈｅｎｃｅ　ｔｈｅ　ｐｒｏｂｌｅｍ－ｓｏｌｖｉｎｇ　ｗａｓ　ｖｅｒｙ　ｉｍｐｏｒｔａｎｔ　ｉｎ　ｄｅｖｅｌｏｐｉｎｇ　ｓｔｕｄｅｎｔｓ＂ｓｙｍｂｏｌ　ｓｅｎｓｅ．　Ｋｅｙ　ｗｍ￣ｓ：ｃｕｎＳｃｕｌｕｍ　ｓｔａｎｄａｒｄｓ；ｓｙｍｂｏｌ　ｓｅｎｓｅ；ｇｅｎｅｃａｌｉｚ４ａｔｉｏｎ；ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　ｍｏｄｅｌ；ｐｒｏｂｌｅｍ　ｓｏｌｖｉｎｇ　【责任编校：陈汉君】　囊谩　本刊２００２年第１期中，将《探索法教学的动态模型与控制策略》一文作者鲍曼的性别误登为“男”　应为“女”．特此更正，在此向作者表示由衷的歉意．