● ≤爰・ ● ●嵇＊ 随机 晋 法艚非线性系统响虞 研兔 ◎张毅驰 （广州大学数学与信息科学学院 广东 广州 ５１０００６） 【摘要】本文研究了Ｄｕｆｆｉｎｇ—Ｖａｎ ｄｅｒ Ｐｏｌ算例，放弃了 ＦＦＴ（快速Ｆｏｕｒｉｅｒ变换）数值方法，通过函数项级数和 Ｆｏｕｒｉｅｒ级数展开二次近似，逐步推导逼近了结果，这样可以 使结果更具有理论依据． 【关键词】随机平均法，Ｄｕｆｆｉｎｇ—Ｖａｎ ｄｅｒ Ｐｏｌ振子，级 数展开 ’ ∞ １理论推导 同时受乘性和加性宽带随机激励的Ｄｕｆｆｉｎｇ—Ｖａｎ ｄｅｒ Ｐｏｌ 振子由Ｚｈｕ…研究，作为一个例子，系统模型的方程是 ＋（一 ｌ＋ ２ ） ＋ ２ ＋ ＝ｘＦ１（ｔ）＋Ｆ２（ｔ） （１） ａ 其中 卢。卢 是常量，Ｆ。（ｔ）Ｆ：（ｔ）是稳定的零均值各态 历经过程，具有零均值和互功率谱密度如下： Ｄ ｓｉ（ｔｏ） （２ 其中 ， ，Ｄ 为常数． 记 Ａ＝（ａ２／４）／（∞ ＋３ａ ／４）≤÷ （３） 卢（ａ， ）由Ｆｏｕｒｉｅｒ级数展开可得 （ａ， ）＝ｂ０（ａ）＋ｂ２（ａ）ｃｏｓ２ｑ￣＋ｂ４（ａ）ｃｏｓ４￣ｖ＋ ６ （ａ）ｅｏｓ６￣ 所以，平均频率为 ∞（ｏ）＝ｂ。（ｏ）：（∞ ＋３ａ ／４） （１一Ａ ／１６） （４ （５） 然后做一个由 ， 到ａ， 的一个Ｖａｎ—ｄｅｒ—Ｐｏｔ变换，可 写成２个在变换域内一阶差分方程，对方程中各项系数做 Ｆｏｕｒｉｅｒ级数展开，所得结果用于求解伊藤方程的漂移和扩 散系数． ２．结果分析 Ｘ 改变 ，的数值，功率谱密度函数的形状从窄变化到 宽．对Ｄ取合适的值，方程（１）的正态激励可以变得非常小． ＦＰＫ方程的２个边界是ａ：０和ｏ。．如果∞：＞０，ａ＝０是 一ｓ由参数Ｐ度量Ｐ＝ ／ｍ，其中 ；是激励的功率谱密度函 数区域的切割，ｍ是系统的质量． 的度量由于它同样依靠 激励频率的带宽和系统频率激励的主要频率将很困难．就 个规则边界．如果永久激励没有消失，ａ＝ 是一个异常 边界．在假设２个边界间以零概率循环ＦＰＫ方程的稳态 解是 此问题ｍ＝１时， ；Ｆ（ ）的功率谱密度函数切割下方区域． ｐ ａ ＝南唧 Ｐ（ ）就可以由以下关系得出 ａ） ＝ 】 ￣ａ＝Ｖ－１（Ｅ） ㈩ （７） 乘性激励Ｆ （ｔ）和加性随机激励 （ｔ）的功率谱密度函数， 其中Ｄ＝０．２， ，＝５， ，＝０．５．从前文中获得概率密度函数 ｐ（ａ）和Ｐ（ ）和模拟结果见上图左和上图右． 其中Ｃ是正规化常量，一旦Ｐ（ａ）得到了，Ｐ（ ，；）和 【参考文献】 ［１］Ｗ．Ｑ．Ｚｈａ，Ｚ．Ｌ．Ｈｕａｎｇ，Ｙ，Ｓｕｚｕｋｉ，Ｒｅｓｐｏｎｓｅ ａｎｄ ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ ｓｔｒｏｎｇｌｙ ｎｏｎ－・ｌｉｎｅａｒ ｏｓｃｉｌｌａｔｏｒｓ ｕｎｄｅｒ ｗｉｄｅ・・ｂａｎｄ ｐｐ）＝ｆ ｘ）＝互 ，一 ∞ ｐ（ ， ）‘＝工躲ｄ）＝ｆｄｘ 一 ∞』～』 Ｊ ｄ’ｘ 应的性质可以进行进一步研究． （８） 由此就得到了Ｄｕｆｆｉｎｇ—Ｖａｎ ｄｅｌ Ｐｏｌ的概率密度，对其响 ｒａｎｄｏｍ ｅｘｃｉｔａｔｉｏｎ，Ｉｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｎｏｎ—Ｌｉｎｅａｒ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ３６（２００１）１２３５—１２５０． 数学学习与研究２０１５．１
