一、选择题（每小题3分，共30分） 1．方程x2=x的解是（ ） A．x1=3，x2=﹣3 B．x1=1，x2=0
C．x1=1，x2=﹣1 D．x1=3，x2=﹣1
2．关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根，则q的取值范围是（ ）
A．q＜16 B．q＞16 C．q≤4 D．q≥4
3．抛物线y=（x+2）2﹣2的顶点坐标是（ ） A．（2，﹣2）
B．（2，2）
C．（﹣2，2）
D．（﹣2，﹣2）
4．将抛物找y=2x2向左平移4个单位，再向下平移1个单位得到的抛物找解析式为（ ）
A．y=2（x﹣4）2+1 C．y=2（x+4）2+1
B．y=2（x﹣4）2﹣1 D．y=2（x+4）2﹣1
5．下列图形：（1）等边三角形，（2）矩形，（3）平行四边形，（4）菱形，是中心对称图形的有（ ）个 A．4
B．3
C．2
D．1
6．如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，C为⊙O上一点，∠P=66°，则∠C=（ ）
A．57° B．60° C．63° D．66°
7．下列事件中，是随机事件的是（ ） A．任意画一个三角形，其内角和为180° B．经过有交通信号的路口，遇到红灯 C．太阳从东方升起
D．任意一个五边形的外角和等于540°
8．如图，一飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖，
击中黑色区域的概率是（ ）
1
A．
B． C． D．
9．如图，A、B两点在双曲线y=上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已知S阴影=1，则S1+S2=（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，AB⊥OB，AB=2，OB=4，把∠ABO绕点O顺时针旋转60°得∠CDO，则AB扫过的面积（图中阴影部分）为（ ）
A．2 B．2π C． D．π
二、填空题（每小题3分，共15分)
11．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0有一个根为0，则另一个根为 ．
12．抛物线y=x2﹣4x+3与x轴两个交点之间的距离为 ．
13．在半径为40cm的⊙O中，弦AB=40cm，则点O到AB的距离为 cm． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形，点D恰好在双曲线上
，则k值为 ．
2
15．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB=6，则△AEC的面积为 ．
四、解答题(8个小题，共75分) 16．（8分）已知，如图，AB是⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D的切线交AC的延长线于E．求证：DE⊥AE．
17．（8分）如图，某小区规划在一个长16m，宽9m的矩形场地ABCD上，修建同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草，若草坪部分总面积为112m2，求小路的宽．
18．（9分）“五一劳动节大酬宾！”，某商场设计的促销活动如下：在一个不透明的箱子里放有4个相同的小球，球上分别标有“0元”、“10元”、“20元”和“50元”的字样．规定：在本商场同一日内，顾客每消费满300元，就可以在箱子里先后摸出两个球（第一次摸出后不放回）．商场根据两小球所标金额的和返还相等价格的购物券，购物券可以在本商场消费．某顾客刚好消费300元． （1）该顾客至多可得到 元购物券；
（2）请你用画树状图或列表的方法，求出该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率．
19．（9分）某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数关系m=162﹣3x．
3
（1）请写出商场卖这种商品每天的销售利润y（元）与每件销售价x（元）之间的函数关系式．
（2）商场每天销售这种商品的销售利润能否达到500元？如果能，求出此时的销售价格；如果不能，说明理由．
20．（10分）如图所示，⊙O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，
（1）求证：△ABD是等腰三角形； （2）求CD的长．
21．（10分）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象相交于A（2，3），B（﹣3，n）两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据所给条件，请直接写出不等式kx+b＞的解集； （3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，求S△ABC．
22．（10分）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，O是AB的中点，AC=6，∠MON=90°，将∠MON绕点O旋转，OM、ON分别交边AC于点D，交边BC于点E（D、E不与A、B、C重合）
（1）判断△ODE的形状，并说明理由；
（2）在旋转过程中，四边形CDOE的面积是否发生变化？若不改变，直接写出这个值，若改变，请说明理由；
（3）如图2，DE的中点为G，CG的延长线交AB于F，请直接写出四边形CDFE的面积
4
S的取值范围．
23．（11分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，直线y=﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D．点P是直线CD上方的抛物线上一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线CD于点E，设点P的横坐标为m． （1）求抛物线的解析式； （2）求PE的长最大时m的值．
（3）Q是平面直角坐标系内一点，在（2）的情况下，以PQCD为顶点的四边形是平行四边形是否存在？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
5
参考答案
一、选择题
1．解：方程变形得：x2﹣x=0， 分解因式得：x（x﹣1）=0， 可得x=0或x﹣1=0， 解得：x1=1，x2=0． 故选：B．
2．解：∵关于x的一元二次方程x2+8x+q=0有两个不相等的实数根， ∴△=82﹣4q=64﹣4q＞0， 解得：q＜16． 故选：A．
3．解：∵抛物线为y=（x+2）2﹣2， ∴顶点坐标为（﹣2，﹣2）， 故选：D．
4．解：将抛物找y=2x2向左平移4个单位所得直线解析式为：y=2（x+4）2；再向下平移1个单位为：y=2（x+4）2﹣1． 故选：D．
5．解：矩形，平行四边形，菱形是中心对称图形， 等边三角形不是中心对称图形， 故选：B．
6．解：连接OA，OB，
∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B点， ∴∠OAP=90°，∠OBP=90°，
∴∠AOB=360°﹣90°﹣90°﹣66°=114°， 由圆周角定理得，∠C=∠AOB=57°， 故选：A．
7．解：A、任意画一个三角形，其内角和为180°是必然事件；
6
B、经过有交通信号的路口，遇到红灯是随机事件； C、太阳从东方升起是必然事件；
D、任意一个五边形的外角和等于540°是不可能事件； 故选：B．
8．解：黑色区域的面积=3×3﹣×3×1﹣×2×2﹣×3×1=4， 所以击中黑色区域的概率=故选：C．
9．解：∵点A、B是双曲线y=上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段， 则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k|=4， ∴S1+S2=4+4﹣1×2=6． 故选：D．
10．解：∵∠AB⊥OB，AB=2，OB=4，∴AC=10， ∴边AB扫过的面积=
90•π×102
360
﹣
90•π×82
360
=9π， 故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分)
11．解：把x=2代入方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0得方程m2﹣4=0，解得m1=2，m2=﹣2，而m﹣2≠0， 所以m=﹣2，
此时方程化为4x2﹣3x=0，
设方程的另一个根为t，则0+t=，解得t=， 所以方程的另一个根为． 故答案为．
7
=．
12．解：∵抛物线y=x2﹣4x+3=（x﹣3）（x﹣1）， ∴当y=0时，0=（x﹣3）（x﹣1）， 解得，x1=3，x2=1， ∵3﹣1=2，
∴抛物线y=x2﹣4x+3与x轴两个交点之间的距离为2， 故答案为：2．
13．解：作OC⊥AB于C，连接OA， 则AC=AB=20， 在Rt△OAC中，OC==20
（cm）
故答案为：20
．
14．解：作DE⊥x轴于点E．
在y=﹣3x+3中，令x=0，解得：y=3，即B的坐标是（0，3）．令y=0，解得：x=1，即A的坐标是（1，0）． 则OB=3，OA=1． ∵∠BAD=90°， ∴∠BAO+∠DAE=90°，
又∵Rt△ABO中，∠BAO+∠OBA=90°， ∴∠DAE=∠OBA， 在△OAB和△EDA中， ∵
，
∴△OAB≌△EDA（AAS），
8
∴AE=OB=3，DE=OA=1， 故D的坐标是（4，1）， 代入y=得：k=4， 故答案为：4．
15．解：∵旋转后AC的中点恰好与D点重合，即AD=AC′=AC， ∴在Rt△ACD中，∠ACD=30°，即∠DAC=60°， ∴∠DAD′=60°， ∴∠DAE=30°， ∴∠EAC=∠ACD=30°， ∴AE=CE，
在Rt△ADE中，设AE=EC=x，则有 DE=DC﹣EC=AB﹣EC=6﹣x，AD=
×6=2
，
根据勾股定理得：x2=（6﹣x）2+（2解得：x=4， ∴EC=4， 则S△AEC=
EC•AD=4
．
．
）2，
故答案为：4
四、解答题(8个小题，共75分) 16．证明：连接OD．
∵DE是⊙O的切线， ∴OD⊥DE， ∴∠ODE=90°， ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， ∵AD平分∠BAC，
9
∴∠CAD=∠DAB， ∴∠CAB=∠ADO， ∴OD∥AE，
∴∠E+∠ODE=180°， ∴∠E=90°， ∴DE⊥AE．
17．解：设小路的宽度为xm，
那么草坪的总长度和总宽度应该为（16﹣2x），（9﹣x）． 根据题意即可得出方程为：（16﹣2x）（9﹣x）=112， 解得x1=1，x2=16． ∵16＞9，
∴x=16不符合题意，舍去， ∴x=1．
答：小路的宽为1m．
18．解：（1）则该顾客至多可得到购物券：50+20=70（元）； 故答案为：70；
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，该顾客所获得购物券的金额不低于50元的有6种情况， ∴该顾客所获得购物券的金额不低于50元的概率为：
=．
19．解：（1）由题意得，每件商品的销售利润为（x﹣30）元，那么m件的销售利润为y=m（x﹣30）， 又∵m=162﹣3x，
∴y=（x﹣30）（162﹣3x）， 即y=﹣3x2+252x﹣4860， ∵x﹣30≥0，
10
∴x≥30． 又∵m≥0，
∴162﹣3x≥0，即x≤54． ∴30≤x≤54．
∴所求关系式为y=﹣3x2+252x﹣4860（30≤x≤54）． （2）由（1）得y=﹣3x2+252x﹣4860=﹣3（x﹣42）2+432，
所以可得售价定为42元时获得的利润最大，最大销售利润是432元． ∵500＞432，
∴商场每天销售这种商品的销售利润不能达到500元． 20．（1）证明：连接OD， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB=90°，
∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠ACD=∠BCD=45°，
由圆周角定理得，∠AOD=2∠ACD，∠BOD=2∠BCD， ∴∠AOD=∠BOD，
∴DA=DB，即△ABD是等腰三角形； （2）解：作AE⊥CD于E， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴AD=
AB=5
，
∵AE⊥CD，∠ACE=45°， ∴AE=CE=
AC=3
，
在Rt△AED中，DE==4
，
∴CD=CE+DE=3
+4
=7
．
21．解：（1）∵点A（2，3）在y=的图象上，
11
∴m=6，
∴反比例函数的解析式为：y=， ∵B（﹣3，n）在反比例函数图象上， ∴n=
=﹣2，
∵A（2，3），B（﹣3，﹣2）两点在y=kx+b上， ∴， 解得：
，
∴一次函数的解析式为：y=x+1；
（2）﹣3＜x＜0或x＞2；
（3）以BC为底，则BC边上的高AE为3+2=5， ∴S△ABC=×2×5=5．
22．解：（1）△ODE是等腰直角三角形， 理由：连接OC， 在等腰Rt△ABC中， ∵O是AB的中点， ∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，
∴∠OCE=45°，OC=OA=OB，∠COA=90°， ∵∠DOE=90°， ∴∠AOD=∠COE，
12
在△AOD与△COE中，∴△AOD≌△COE，（ASA）， ∴OD=OE，
∴△ODE是等腰直角三角形；
，
（2）在旋转过程中，四边形CDOE的面积不发生变化， ∵△AOD≌△COE，
∴四边形CDOE的面积=△AOC的面积， ∵AC=6， ∴AB=6
，
，
×3
=9；
∴AO=OC=AB=3
∴四边形CDOE的面积=△AOC的面积=×3
（3）当四边形CDFE是正方形时，其面积最大， 四边形CDFE面积的最大值=9，
故四边形CDFE的面积S的取值范围为：0＜S≤9．
23．解：（1）将A（﹣1，0），B（5，0）代入y=﹣x2+bx+c，得：
，解得：
，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+4x+5．
（2）∵直线y=﹣x+3与y轴交于点C，与x轴交于点D， ∴点C的坐标为（0，3），点D的坐标为（4，0）， ∴0＜m＜4．
∵点P的横坐标为m，
∴点P的坐标为（m，﹣m2+4m+5），点E的坐标为（m，﹣m+3），
13
∴PE=﹣m2+4m+5﹣（﹣m+3）=﹣m2+∵﹣1＜0，0＜∴当m=
＜4，
m+2=﹣（m﹣）2+．
时，PE最长．
，
）．
（3）由（2）可知，点P的坐标为（
以PQCD为顶点的四边形是平行四边形分三种情况（如图所示）： ①以PD为对角线，∵点P的坐标为（为（0，3）， ∴点Q的坐标为（
+4﹣0，
+0﹣3），即（
，
，
）；
，
），点D的坐标为（4，0），点C的坐标
②以PC为对角线，∵点P的坐标为（为（0，3）， ∴点Q的坐标为（
+0﹣4，
），点D的坐标为（4，0），点C的坐标
+3﹣0），即（﹣
，
，）；
③以CD为对角线，∵点P的坐标为（为（0，3）， ∴点Q的坐标为（0+4﹣
，3+0﹣
），点D的坐标为（4，0），点C的坐标
），即（，﹣）．
综上所述：在（2）的情况下，存在以PQCD为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为（
，
）、（﹣
，
）或（
，﹣
）．
14
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