高三一轮复习讲座一

高三一轮复习讲座一

高三一轮复习讲座一 ---- 集合与简易逻辑

二、复习要求

1、 理解集合及表示法，掌握子集，全集与补集，子集与并集的定义；

2、 掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法； 3、 理解逻辑联结词的含义，会熟练地转化四种命题，掌握反证法；

4、 理解充分条件，必要条件及充要条件的意义，会判断两个命题的充要关系；

主讲教师：王思俭 （苏州中学）

5、学会用定题，理解数形结合，分类讨论及等价变换等思想方法。 三、学习指导

1、集合的概念：

（1） 集合中元素特征，确定性，互异性，无序性； （2） 集合的分类：

① 按元素个数分：有限集，无限集；

②按元素特征分；数集，点集。如数集{y|y=x}，表示非负实数集，点集{(x，y)|y=x2}表示开口向上，以y轴为对称轴的抛物线； （3） 集合的表示法：

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①列举法：用来表示有限集或具有显著规律的无限集，如N+={0，1，2，3，…}；②描述法。 2、两类关系：

（1） 元素与集合的关系，用或表示；

（2）集合与集合的关系，用，，=表示，当AB时，称A是B的子集；当AB时，称A是B的真子集。 3、集合运算

（1）交，并，补，定义：A∩B={x|x∈A且x∈B}，A∪B={x|x∈A，或x∈B}，CUA=｛x|x∈U，且xA｝，集合U表示全集；

（2） 运算律，如A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C），CU（A∩B）=（CUA）∪（CUB）， CU（A∪B）=（CUA）∩（CUB）等。 4、命题：

（1） 命题分类：真命题与假命题，简单命题与复合命题；

（2） 复合命题的形式：p且q，p或q，非p； （3）复合命题的真假：对p且q而言，当q、p为真时，其为真；当p、q中有一个为假时，其为假。对p或q而言，当p、q均为假时，其为假；当p、q中有一

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个为真时，其为真；当p为真时，非p为假；当p为假时，非p为真。

（3）四种命题：记“若q则p”为原命题，则否命题为“若非p则非q”，逆命题为“若q则p“，逆否命题为”若非q则非p“。其中互为逆否的两个命题同真假，即等价。因此，四种命题为真的个数只能是偶数个。 5、 充分条件与必要条件

（1）定义：对命题“若p则q”而言，当它是真命题时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，当它的逆命题为真时，q是p的充分条件，p是q的必要条件，两种命题均为真时，称p是q的充要条件；

（2）在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论，其次，结论要分四种情况说明：充分不必要条件，必要不充分条件，充分且必要条件，既不充分又不必要条件。从集合角度看，若记满足条件p的所有对象组成集合A，满足条件q的所有对象组成集合q，则当AB时，p是q的充分条件。BA时，p是q的充分条件。A=B时，p是q的充要条件； （3） 当p和q互为充要时，体现了命题等价转换的思想。

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素的字母无关，例{y|y≥1}={x|x≥1}。

例2、已知集合A={x|x-3x+2=0}，B+{x|x-mx+2=0}，且A∩B=B，求实数m范围。 解题思路分析：

化简条件得A={1，2}，A∩B=BBA

根据集合中元素个数集合B分类讨论，B=φ，B={1}或{2}，B={1，2} 当B=φ时，△=m-8<0 ∴22m222

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0当B={1}或{2}时，，m无解 1m20或42m2012m当B={1，2}时， 122∴m=3

综上所述，m=3或22m22

说明：分类讨论是中学数学的重要思想，全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面，如本题当B={1}或{2}时，不能遗漏△=0。

例3、用反证法证明：已知x、y∈R，x+y≥2，求 证x、y中至少有一个大于1。 解题思路分析：

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假设x<1且y<1，由不等式同向相加的性质x+y<2与已知x+y≥2矛盾 ∴ 假设不成立

∴x、y中至少有一个大于1

说明；反证法的理论依据是：欲证“若p则q”为真，先证“若p则非q”为假，因在条件p下，q与非q是对立事件（不能同时成立，但必有一个成立），所以当“若p则非q”为假时，“若p则q”一定为真。

例4、若A是B的必要而不充分条件，C是B的充要条件，D是C的充分而不必要条件，判断D是A的什么条件。

解题思路分析：

利用“”、“”符号分析各命题之间的关系 DCBA

∴ DA，D是A的充分不必要条件

说明：符号“”、“”具有传递性，不过前者是单方向的，后者是双方向的。

例5、求直线：ax-y+b=0经过两直线1：2x-2y-3=0和2：3x-5y+1=0交点的充要条件。

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解题思路分析：

从必要性着手，分充分性和必要性两方面证明。

2x2y301711由 得1，2交点P（,） 3x5y1044∵过点P

11∴a17b0 44∴17a+4b=11

充分性：设a，b满足17a+4b=11 ∴b11417a

代入方程：axy11417a0

17整理得：(y11)a(x)0 44此方程表明，直线恒过两直线y110,411（17,） 44x1704的交点

而此点为1与2的交点 ∴ 充分性得证

∴ 综上所述，命题为真

说明：关于充要条件的证明，一般有两种方式，一种是利用“”，双向传输，同时证明充分性及必要性；另

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一种是分别证明必要性及充分性，从必要性着手，再检验充分性。

同步练习

（一） 选择题

1、 设M={x|x2+x+2=0}，a=lg(lg10)，则{a}与M的关系是

A、{a}=M B、M{a} C、{a}M

D、M{a}

2、 已知全集U=R，A={x|x-a|<2}，B={x|x-1|≥3}，且A∩B=φ，则a的取值范围是

A、 [0，2] B、（-2，2） C、（0，2] D、（0，2）

3、 已知集合M={x|x=a2-3a+2，a∈R}，N、{x|x=b2-b，b∈R}，则M，N的关系是

A、 MN B、MN C、M=N

D、不确定

4、设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1}，B={x|x∈Z，且|x|≤5}，则A∪B中的元素个数是

A、11 B、10 C、16 D、15

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5、集合M={1，2，3，4，5}的子集是

A、15 B、16 C、31 D、32

6、对于命题“正方形的四个内角相等”，下面判断正确的是

A、所给命题为假 B、它的逆否命题为真

C、它的逆命题为真 D、它的否命题为真

7、“α≠β”是cosα≠cosβ”的

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件

C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

8、集合A={x|x=3k-2，k∈Z}，B={y|y=3+1，∈Z}，S={y|y=6m+1，m∈Z}之间的关系是

A、SBA B、S=BA C、SB=A

D、SB=A

9、方程mx+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是

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A、0A、充分不必要条件 B、必要不充分条件

充要条件 D、既不充分又不必要条件 （二） 填空题 11、 已知M={

m|m4Z22

}，N={x|

x3N}2，则M∩

N=__________。

12、在100个学生中，有乒乓球爱好者60人，排球爱好者65人，则两者都爱好的人数最少是________人。

13、 关于x的方程|x|-|x-1|=a有解的充要条件是________________。

14、 命题“若ab=0，则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为____________。

15、 非空集合p满足下列两个条件：（1）p2，3，{1，

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4，5}，（2）若元素a∈p，则6-a∈p，则集合p个数是__________。 （三） 解答题

16、 设集合A={(x，y)|y=ax+1}，B={(x，y)|y=|x|}，若A∩B是单元素集合，求a取值范围。

17、 已知抛物线C：y=-x2+mx-1，点M（0，3），N（3，0），求抛物线C与线段MN有两个不同交点的充要条件。

18、 设A={x|x2+px+q=0}≠φ，M={1，3，5，7，9}，N={1，4，7，10}，若A∩M=φ，A∩N=A，求p、q的值。 19、 已知

1ax22，b=2-x，c=x-x+1，用反证法证明：a、

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b、c中至少有一个不小于1。

参

（一） 选择题

1、C 2、A 3、C 4、C 5、D 6、B 7、B 8、C 9、D 10、A （二） 填空题

11、φ 12、25，60 13、-1≤a≤1 14、若a、b均不为0，则ab≠0 15、7

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（三） 解答题

16、a≥1或a≤-1，提示：画图 17、 3＜m≤10 3p8p20p14 18、，或，或 q16q10q40 13