高三一轮复习讲座一
高三一轮复习讲座一 ---- 集合与简易逻辑
二、复习要求
1、 理解集合及表示法,掌握子集,全集与补集,子集与并集的定义;
2、 掌握含绝对值不等式及一元二次不等式的解法; 3、 理解逻辑联结词的含义,会熟练地转化四种命题,掌握反证法;
4、 理解充分条件,必要条件及充要条件的意义,会判断两个命题的充要关系;
主讲教师:王思俭 (苏州中学)
5、学会用定题,理解数形结合,分类讨论及等价变换等思想方法。 三、学习指导
1、集合的概念:
(1) 集合中元素特征,确定性,互异性,无序性; (2) 集合的分类:
① 按元素个数分:有限集,无限集;
②按元素特征分;数集,点集。如数集{y|y=x},表示非负实数集,点集{(x,y)|y=x2}表示开口向上,以y轴为对称轴的抛物线; (3) 集合的表示法:
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①列举法:用来表示有限集或具有显著规律的无限集,如N+={0,1,2,3,…};②描述法。 2、两类关系:
(1) 元素与集合的关系,用或表示;
(2)集合与集合的关系,用,,=表示,当AB时,称A是B的子集;当AB时,称A是B的真子集。 3、集合运算
(1)交,并,补,定义:A∩B={x|x∈A且x∈B},A∪B={x|x∈A,或x∈B},CUA={x|x∈U,且xA},集合U表示全集;
(2) 运算律,如A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C),CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB), CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)等。 4、命题:
(1) 命题分类:真命题与假命题,简单命题与复合命题;
(2) 复合命题的形式:p且q,p或q,非p; (3)复合命题的真假:对p且q而言,当q、p为真时,其为真;当p、q中有一个为假时,其为假。对p或q而言,当p、q均为假时,其为假;当p、q中有一
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个为真时,其为真;当p为真时,非p为假;当p为假时,非p为真。
(3)四种命题:记“若q则p”为原命题,则否命题为“若非p则非q”,逆命题为“若q则p“,逆否命题为”若非q则非p“。其中互为逆否的两个命题同真假,即等价。因此,四种命题为真的个数只能是偶数个。 5、 充分条件与必要条件
(1)定义:对命题“若p则q”而言,当它是真命题时,p是q的充分条件,q是p的必要条件,当它的逆命题为真时,q是p的充分条件,p是q的必要条件,两种命题均为真时,称p是q的充要条件;
(2)在判断充分条件及必要条件时,首先要分清哪个命题是条件,哪个命题是结论,其次,结论要分四种情况说明:充分不必要条件,必要不充分条件,充分且必要条件,既不充分又不必要条件。从集合角度看,若记满足条件p的所有对象组成集合A,满足条件q的所有对象组成集合q,则当AB时,p是q的充分条件。BA时,p是q的充分条件。A=B时,p是q的充要条件; (3) 当p和q互为充要时,体现了命题等价转换的思想。
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素的字母无关,例{y|y≥1}={x|x≥1}。
例2、已知集合A={x|x-3x+2=0},B+{x|x-mx+2=0},且A∩B=B,求实数m范围。 解题思路分析:
化简条件得A={1,2},A∩B=BBA
根据集合中元素个数集合B分类讨论,B=φ,B={1}或{2},B={1,2} 当B=φ时,△=m-8<0 ∴22m222
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0当B={1}或{2}时,,m无解 1m20或42m2012m当B={1,2}时, 122∴m=3
综上所述,m=3或22m22
说明:分类讨论是中学数学的重要思想,全面地挖掘题中隐藏条件是解题素质的一个重要方面,如本题当B={1}或{2}时,不能遗漏△=0。
例3、用反证法证明:已知x、y∈R,x+y≥2,求 证x、y中至少有一个大于1。 解题思路分析:
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假设x<1且y<1,由不等式同向相加的性质x+y<2与已知x+y≥2矛盾 ∴ 假设不成立
∴x、y中至少有一个大于1
说明;反证法的理论依据是:欲证“若p则q”为真,先证“若p则非q”为假,因在条件p下,q与非q是对立事件(不能同时成立,但必有一个成立),所以当“若p则非q”为假时,“若p则q”一定为真。
例4、若A是B的必要而不充分条件,C是B的充要条件,D是C的充分而不必要条件,判断D是A的什么条件。
解题思路分析:
利用“”、“”符号分析各命题之间的关系 DCBA
∴ DA,D是A的充分不必要条件
说明:符号“”、“”具有传递性,不过前者是单方向的,后者是双方向的。
例5、求直线:ax-y+b=0经过两直线1:2x-2y-3=0和2:3x-5y+1=0交点的充要条件。
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解题思路分析:
从必要性着手,分充分性和必要性两方面证明。
2x2y301711由 得1,2交点P(,) 3x5y1044∵过点P
11∴a17b0 44∴17a+4b=11
充分性:设a,b满足17a+4b=11 ∴b11417a
代入方程:axy11417a0
17整理得:(y11)a(x)0 44此方程表明,直线恒过两直线y110,411(17,) 44x1704的交点
而此点为1与2的交点 ∴ 充分性得证
∴ 综上所述,命题为真
说明:关于充要条件的证明,一般有两种方式,一种是利用“”,双向传输,同时证明充分性及必要性;另
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一种是分别证明必要性及充分性,从必要性着手,再检验充分性。
同步练习
(一) 选择题
1、 设M={x|x2+x+2=0},a=lg(lg10),则{a}与M的关系是
A、{a}=M B、M{a} C、{a}M
D、M{a}
2、 已知全集U=R,A={x|x-a|<2},B={x|x-1|≥3},且A∩B=φ,则a的取值范围是
A、 [0,2] B、(-2,2) C、(0,2] D、(0,2)
3、 已知集合M={x|x=a2-3a+2,a∈R},N、{x|x=b2-b,b∈R},则M,N的关系是
A、 MN B、MN C、M=N
D、不确定
4、设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1},B={x|x∈Z,且|x|≤5},则A∪B中的元素个数是
A、11 B、10 C、16 D、15
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5、集合M={1,2,3,4,5}的子集是
A、15 B、16 C、31 D、32
6、对于命题“正方形的四个内角相等”,下面判断正确的是
A、所给命题为假 B、它的逆否命题为真
C、它的逆命题为真 D、它的否命题为真
7、“α≠β”是cosα≠cosβ”的
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
8、集合A={x|x=3k-2,k∈Z},B={y|y=3+1,∈Z},S={y|y=6m+1,m∈Z}之间的关系是
A、SBA B、S=BA C、SB=A
D、SB=A
9、方程mx+2x+1=0至少有一个负根的充要条件是
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A、0 充要条件 D、既不充分又不必要条件 (二) 填空题 11、 已知M={ m|m4Z22 },N={x| x3N}2,则M∩ N=__________。 12、在100个学生中,有乒乓球爱好者60人,排球爱好者65人,则两者都爱好的人数最少是________人。 13、 关于x的方程|x|-|x-1|=a有解的充要条件是________________。 14、 命题“若ab=0,则a、b中至少有一个为零”的逆否命题为____________。 15、 非空集合p满足下列两个条件:(1)p2,3,{1, 11 4,5},(2)若元素a∈p,则6-a∈p,则集合p个数是__________。 (三) 解答题 16、 设集合A={(x,y)|y=ax+1},B={(x,y)|y=|x|},若A∩B是单元素集合,求a取值范围。 17、 已知抛物线C:y=-x2+mx-1,点M(0,3),N(3,0),求抛物线C与线段MN有两个不同交点的充要条件。 18、 设A={x|x2+px+q=0}≠φ,M={1,3,5,7,9},N={1,4,7,10},若A∩M=φ,A∩N=A,求p、q的值。 19、 已知 1ax22,b=2-x,c=x-x+1,用反证法证明:a、 2 b、c中至少有一个不小于1。 参 (一) 选择题 1、C 2、A 3、C 4、C 5、D 6、B 7、B 8、C 9、D 10、A (二) 填空题 11、φ 12、25,60 13、-1≤a≤1 14、若a、b均不为0,则ab≠0 15、7 12 (三) 解答题 16、a≥1或a≤-1,提示:画图 17、 3<m≤10 3p8p20p14 18、,或,或 q16q10q40 13 因篇幅问题不能全部显示,请点此查看更多更全内容
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