积化和差与和差化积公式(教师版)

积化和差与和差化积公式(教师版)

积化和差与和差化积公式、和角、倍半角公式复习课

一、基本公式复习

1、两角和与差公式及规律

sin()sincoscossin.cos()coscossinsin. tan()tantan.1tantan

2二倍角公式及规律

sin2sin22sin22sincos.cos,sin.1sin(sincos).

2cos2cos22 21coscos.22 2cossin222cos2cos. 21cos222cos11cos.sin 222sin2.12sin2.

21cos2tan. 21cos2tantan2. 1tan2

3、积化和差与和差化积公式

1sincos[sin()sin()].

21cossin[sin()sin()].

21coscos[cos()cos()].

21sinsin[cos()cos()].

2

sinsin2sincos.

22

生动的口诀：（和差化积） 口诀  coscos2coscos. 正加正，正在前，余加余，余并肩 22

正减正，余在前，余减余，负正弦 sin2cossin.sin 反之亦然 22

cos2sinsin.cos22

和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是： ①其中前两个公式可合并为一个：sinθ+sinφ=2sin

cos

②积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。

③只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积。

④合一变形也是一种和差化积。

⑤三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用。

3、积化和差与积差化积是一种孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用。如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算。和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值。正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段。

sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程 因为

sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β， sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β， 将以上两式的左右两边分别相加，得

sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β， 设 α+β=θ，α-β=φ 那么

α=(θ+φ)/2, β=（θ-φ）/2 把α，β的值代入，即得

sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]

cos(α-β)-cos(α+β)

=[(cosαcosβ+sinαsinβ)-(cosαcosβ-sinαsinβ)] =2sinαsinβ

sinαsinβ=-1/2[-2sinαsinβ]

=-1/2[(cosαcosβ-sinαsinβ)-(cosαcosβ+sinαsinβ)] =-1/2[cos(α+β)-cos(α-β)]

其他的3个式子也是相同的证明方法。

4、万能公式

2tan2,tan2 1tan2222sincos2tansin222 证：sin1sin2cos21tan2222cos2sin21tan2cos222 cos1sin2cos21tan22222sincos2tansin222 tancoscos2sin21tan2222注意：

1、上述三个公式统称为万能公式。

2、 这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切，即：所以利用它对三角式进行化简、求值、证明，可以使解题过程简洁

3、上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小。

二、应注意的问题

1、两角差的余弦公式是本章中其余公式的基础，应记准该公式的形式.

2tan2、倍角公式

cos22cos2112sin2有升、降幂的功能，如果升幂，

1tan22,cossin1tan21tan22则角减半，如果降幂，则角加倍，根据条件灵活选用. 3、公式的“三用”（顺用、逆用、变用）是熟练进行三角变形的前提.

3、整体原则-------从角度关系、函数名称差异、式子结构特征分析入手，寻求三角变形的思维指向；

4、角度配凑方法 ，其中,是任意角。

()()222222

2()()()()2(

三、例题讲解

例1 已知α，β均为锐角， sinα=

)2(22)510，sin，求α+β的值。 510

解析：由已知条件有cosα=

235，cos10，且0＜α+β＜π。 510 又cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ

23555×1010105×10 22＞0， 所以4sin(3x)cos(x)tan(x)cot(n例2已知f(x)2x)cos(nx),(nZ)

（１） 求f(523); （２） 若cos(342)5,求f()的值．

解当n2k(nZ)时，

f(x)sinxcosxtanxcotxcosxsinx; 当n2k1(kZ)时，f(x)sinxcosxtanx(tanx)cosxsinxtan2x. cos(342)sin,sin5.

故当n为偶数时，

f(523)sin523sin4332,

f()sin45;当n为奇数时，

f(523)sin523tan2523.sin43tan243332,sintansinsin2

f()29cos216.

21例3已知sin(),sin().

35（１） 求tancot的值； （２） 当(,),(,)时，求sin2的值．

2222解（１）

sincoscossin23,

［方法１］sincoscossin15,

sincos13730,cossin30.

从而，tancotsincos13cossin7.

［方法２］设xtancotsincoscossin,

sin()sin()103,且sin()sin()coscossin()tantansin()tantan coscostan1tanx1tan1,tan1x

x1x1103,tancotx137. （２）由已知可得 sin2sin[()()]

sin()cos()cos()sin() 46515.

11 例4已知cos(),cos(),求tantan的值.

22 解

1coscossinsin,2coscossinsin1, 351coscos,sinsin.1212tantansinsin1.

coscos511 例5已知sincos,cossin,求sin()的值.

23 解 将两条件式分别平方，得

1sin22sincoscos2,4

1cos22cossinsin2.9将上面两式相加，得

13,36 59sin().7222sin() 例6

sin7cos15sin8的值等于 （ ）

cos7sin15sin82323 D．

22 A．23 B．23 C．

解

sin(15080)cos150sin80原式cos(15080)sin150sin80sin150cos80cos150sin80cos150sin80cos150cos80sin150sin80sin150sin80

tan450tan300000tan15tan(4530)1tan450tan30023.故选B.

例7 已知cos(α－β)= ，sin2，2、都是锐角，求cos(α+β)的值。 解析：由已知条件有

10＜2＜，又sin2,231则cos21sin221()2322。31213

11因为0＜sin2α=＜，所以0＜2α＜，所以0＜α＜。 ①

12326又因为0＜β＜

，所以＜-β＜0 。 ②由①、②得＜α-β＜。

22212又因为cos（α-β）=

1，所以＜＜0。 22=3。 2所以sin()1cos2()从而cos(α+β)=cos[2α-(α-β)]

=cos2αcos(α-β)+sin2αsin(α-β)

22113××（）3232223。6



11评析：本例通过0＜sin2α= ＜，发现了隐含条件：0＜α＜，将α-32121β的范围缩小为＜＜，进而由cos(α-β)= ,将α-β的范围确定

2122为2＜＜0，从而避免了增解。

例8 已知2222x233x40的两个根，求α+β的值。

＜＜，＜＜，且tanα,tnaβ是一元二次方程

解析：由已知条件得tanα+tanβ= 33＜0，tanαtanβ=4＞0， 所以tanα＜0，tanβ＜0。

又因为 22＜＜22，2＜＜2，

所以＜＜0，＜＜0,所以-π＜α+β＜0。 又因为tan(α+β)=

2所以α+β= 。

333tantan3 =141tantan评析：本例根据韦达定理tanα+tanβ= 33，tanαtanβ=4，挖掘出了隐含条件tanα＜0,tanβ＜0，知＜＜0，＜＜0，得出了α+β的确切范围，从而顺利求解。

例9 已知tan3，求①

解：①

sin2cos2sincoscos2tan17②sin2cos． 2221sincostan11022222sin2cos2；②sin2cos．

5cossinsin2costan25=；

5cossin5tan2

1例10 已知sincos，，求sincos的值． （0，）3125 解：sincos12sincos12sincos80（）1-2sincos3999225(sincos)，

9又因为（）及，所以，即sincos0， （，）（0，）25所以sincos．

3 注：“已知sincos”与 “未知sincos”的联系是“(sincos)2 =(sincos)4sincos”，从而目标是求出sincos的值．

4例11 已知sin，tan()1,且是第二象限的角，求tan．

解：∵是第二象限的角，sin，

534 ∴cos，即tan，

532

∴tan=tan[()]=

tan()tan7．

1tan()tan注：“未知”与“已知”和“已知”的联系显然是“()”．

1243例12 已知cos(),cos(),且,求sin2．

13524

33解：∵,∴,,

24442124又cos(),cos(),

135所以可知是第一象限的角，是第三象限的角．

325∴sin()1cos2(),sin()1cos(),

513∴sin2sin[()()]sin()cos()cos()sin()， 312(4)556．

51351365注：“未知2”与“已知”和“已知”的联系显然是“2()()”．

11cos()．例13 已知sinsin，求（１）（２） coscos，cos(-)，43解：解法一：

1122sinsinsin2sinsinsin……①

4161122coscoscos2coscoscos……②

39263①＋②得：cos(-)＝；

28811②－①得：cos2cos22cos()，

9167即2cos()cos()2cos()，

14477所以cos()＝．

288[cos()1]25解法二：把已知和差化积得：

11sinsin2sincos……③

422411coscos2coscos……④

3223252③２＋④２得：4cos ，214425，即2[1cos() 144

263． 2883③÷④得：tan

24∴cos()=-27．

2251tan2注：求cos(-)利用方法一简单，求cos()利用方法二简单．一般地，已知两角的正余弦的和与差，求两角和与差的正余弦，往往采用和差化积或者平方后求和与差． 【 课堂练习1】

1．cos105°的值为 （ ）

∴cos()＝A．

6 ＋2

B． 4

6 －2

C． 4

2 －6

4

1tan2D．

－6 －2

4

π

2．对于任何α、β∈（0，），sin(α+β)与sinα+sinβ的大小关系是 （ ）

2A．sin(α+β)＞sinα+sinβ B．sin(α+β)＜sinα+sinβ C．sin(α+β)=sinα+sinβ D．要以α、β的具体值而定 3．已知π＜θ＜

3π

，sin2θ=a，则sinθ+cosθ等于 （ ） 2

A． a+1 B．－ a+1 C． a2+1 D．±a2+1 11

4．已知tanα=，tanβ=，则cot(α+2β)= ．

331

5．已知tanx=，则cos2x= ．

2

【 课堂练习2】 求下列各式的值

1．cos200°cos80°+cos110°cos10°= ． 1

2．（cos15°+3 sin15°）= ．

2

3．化简1+2cos2θ－cos2θ= ．

4．cos(20°+x)cos(25°－x)－cos(70°－x)sin(25°－x)= ．

11

5．－ = ．

1－tanθ1＋tanθ

【课后反馈1】 1．已知0＜α＜（ ）

242424

A．0 B．0或 C． D．0或－

2525252．

sin7°+cos15°sin8°

的值等于 （ ）

cos7°－sin15°sin8°A．2+3 B．

2+3 2－3

C．2－3 D． 22

π34

＜β＜π，sinα=，cos(α+β)=－，则sinβ等于 255

3． △ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则∠C的大小为

（ ）

A．

π5ππ5ππ2π B． C． 或 D． 或 666633

π1

4．若α是锐角，且sin(α－)= ，则cosα的值是 ．

635．cos

π2π3π

coscos = ． 777

11

6．已知tanθ=，tanφ=，且θ、φ都是锐角．求证：θ+φ=45°．

23

44π

7．已知cos(α－β)=－，cos(α+β)= ，且（α－β）∈（，π），α+

552β∈（

3π

，2π），求cos2α、cos2β的值． 2

11tanα

8． 已知sin(α+β)= ，且sin(π+α－β)= ，求．

23tanβ

【课后反馈2】

1．cos75°+cos15°的值等于 （ ） A． 6 6 2 2 B － C． － D． 22222 2 （sin17°+cos17°），b=2cos213°－1，c= ，则 （ ） 22

2．a=

A．c＜a＜b B． b＜c＜a C． a＜b＜c D． b＜a＜c 3．化简

1+sin2θ-cos2θ

= ．

1+sin2θ+cos2θ

4．化简sin(2α+β)－2sinαcos(α+β)= ．

ACAC

5．在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，则tan+tan+3 tantan的值2222

为 ．

6．化简sin2A+sin2B+2sinAsinBcos(A+B)．

7 化简sin50°(1+3 tan10°)．

8 已知sin(α+β)=1，求证：sin(2α+β)+sin(2α+3β)=0．

参：

【 课堂练习1】

13

1． C 2． B 3． B 4． 5． 25【 课堂练习2】

12 2

1．－ 2． 3． 2 4． 5．tan2θ

222

【课后反馈1】

1． C 2． C 3． A 4．

26 －11

5． 6．略 68

7． cos2α=－

71

，cos2β=－1 8． 255

【课后反馈2】

1． A 2． A 3． tan θ 4． sinβ 5． 3 6． sin2（A＋B）． 7. 1 8 .略．

2sincos5sin3cos 例14 已知，求3cos 2 + 4sin 2 的值。

2sincos5 ∴cos   0 (否则 2 =  5 )

sin3cos2tan15 解之得：tan  = 2 ∴

tan3 解：∵

3(1tan2)42tan3(122)4227 ∴原式51tan21tan2122122

【 课堂练习1】 1. ．已知sinx =

45，且x是锐角，求sinxx2cos2的值。

2. 下列函数何时取得最值？最值是多少？

① ysin2xcos2x

② y2sinxcos2x

③ ycos(2x27)2cos(x7)

【课后反馈1】

1. 求函数f(x)cos2xsinx在[4,4]上的最小值。

参：

【 课堂练习1】 1、(355,55) 2、(y1max2,y1313min2)、(ymax2,ymin2)、(ymax3,ymin2)【课后反馈1】 1．(122)