2004高考数学试题湖南文W答案

2004年普通高等学校招生全国统一考试

数学（文史类 湖南卷）

一、选择题：本大题 共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项符合要求的. 1．函数ylg(11) 的定义域为

x （ ）

A．x|x0} B．x|x1} C．x|0x1} D．x|x0或1}

（ ）

2．设直线 ax+by+c=0的倾斜角为，且sin+cos=0，则a,b满足

A．ab1

1B．ab1 C．ab0 D．ab0

（ ）

3．设f

(x)是函数f(x)=x的反函数，则下列不等式中恒成立的是

11A．fC．f(x)2x1 (x)2x1

1312B．fD．f11(x)2x1

(x)2x1

224．如果双曲线xy1上一点P到右焦点的距离为13, 那么点P到右准线的距离是（ ）

A．

13 5B．13 C．5 D．

5 13（ ）

5．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当A、B C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，

直线BD与平面ABC所成的角的大小为

A．90°

B．60°

C．45°

D．30°

6．某公司甲、乙、丙、丁四个地区分别有150 个、120个、180个、150个销售点.公司为了

调查产品的情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本，记这项调查为①；在丙地区中有20个特大型销售点，要从中抽取7个调查其收入和售后服务等情况，记这项调查为②.则完成这两项调查宜采用的抽样方法依次为

A．分层抽样法，系统抽样法 C．系统抽样法，分层抽样法

（ ）

B．分层抽样法，简单随机抽样法 D．简单随机抽样法，分层抽样法

（ ）

7．若f(x)=-x2+2ax与g(x)a在区间[1,2]上都是减函数，则a的值范围是 x1▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓

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A．(1,0)(0,1) B．(1,0)(0,1] C．（0，1） D．(0,1]

8．已知向量a(cos,sin),向量b(3,1)则|2ab|的最大值，最小值分别是（ ）

A．42,0

B．4,42

C．16，0

D．4，0

（ ） y 9．若函数f(x)=x2+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f /(x)的图象是 A o x o B

x

o C

x o D

y y y x

10．从正方体的八个顶点中任取三个点作为三角形，直角三角形的个数为

A．56

B．52

C．48

D．40

（ ）

11．农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成.2003年某地区农民人均收入为3150元(其

中工资性收入为1800元，其它收入为1350元), 预计该地区自2004年起的5 年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加160元。根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于

A．4200元~4400元 C．4600元~4800元

（ ）

B．4400元~4600元 D．4800元~5000元

12．设集合U={(x,y)|x∈R,y∈R}, A={(x,y)|2x-y+m>0}, B={(x,y)|x+y-n≤0},那么点P（2，3）

A(CUB)的充要条件是

A．m1,n5 C．m1,n5

B．m1,n5 D．m1,n5

（ ）

二、填空题：本大题 共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上.

13．过点P（－1，2）且与曲线y=3x2-4x+2在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是__________. 14．(x219)的展开式中的常数项为___________(用数字作答) xx2x21的焦点，15．F1，F2是椭圆C：在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为__________.

84▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓

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16．若直线y=2a与函数y=|ax-1|(a>0,且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是_______. 三、解答题：本大题 共6小题，共74分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或运算步

骤. 17．（本小题满分12分）

1已知tan()2,求的值. 242sincoscos

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18．（本小题满分12分）

如图，在底面 是菱形的四棱锥P—ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a,PB=PD=2a,点E是PD的中点.

（I）证明PA⊥平面ABCD，PB∥平面EAC；

（II）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的正切值. P

E

A

D

B C

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19．（本小题满分12分）

甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙

1,乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不412是一等品的概率为,甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为.

129机床加工的零件不是一等品的概率为

（Ⅰ）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工零件是一等品的概率；

（Ⅱ）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率.

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20．（本小题满分12分）

已知数列{an}是首项为a且公比q不等于1的等比数列，Sn是其前n项的和，a1,2a7,3a4 成等差数列.

（I）证明 12S3,S6,S12-S6成等比数列； （II）求和Tn=a1+2a4+3a7+…+na3n-2.

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21．（本小题满分12分）

如图，已知曲线C1：y=x3(x≥0)与曲线C2:y=－2x3+3x(x≥0)交于O，A,直线x=t(0（Ⅰ）写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系式S=f(t); （Ⅱ）讨论f(t)的单调性，并求f(t) 的最大值.

y

C1 D

A

C2

B O x t

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22．（本小题满分14分）

如图，过抛物线x2=4y的对称轴上任一点P（0,m）(m>0)作直线与抛物线交于A,B两点，点Q是点P关于原点的对称点。

（I）设点P分有向线段AB所成的比为，证明:QP(QAQB)

（II）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A,B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程.

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2004年普通高等学校招生全国统一考试

数学参考答案（文史类 湖南卷）

1.D 2.D 3.C 4.A 5.C 6.B 7.D 8.D 9.A 10.C 11.B 12.A 13．2x－y+4=0 14．84 15．2 16．(0,) 17．（本小题满分12分）

解：由tan(124)1tan2,1tan21得tan.

3221()211sincostan12 3于是.22132sincoscos2sincoscos2tan121318．（Ⅰ）证法一 因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，

所以AB=AD=AC=a， 在△PAB中， 由PA2+AB2=2a2=PB2 知PA⊥AB. 同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.

因为 PBPDDCCB2EDDCDA (EDDA)(EDDC)EAEC.

所以 PB、EA、EC共面.

又PB平面EAC，所以PB//平面EAC. 证法二 同证法一得PA⊥平面ABCD.

连结BD，设BDAC=O，则O为BD的中点. 连结OE，因为E是PD的中点，所以PB//OE.

又PB平面EAC，OE平面EAC，故PB//平面EAC. （Ⅱ）解 作EG//PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD. 知EG⊥平面ABCD.

作GH⊥AC于H，连结EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的平面角. 又E是PD的中点，从而G是AD的中点，

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113a,AGa,GHAGsin60a. 224EG23所以 tan.

GH3EG19．（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件.

11P(AB),P(A)(1P(B)),① 4411由题设条件有P(BC),即P(B)(1P(C)), ② 121222P(AC).P(A)P(C).③ 99 由①、③得P(B)1解得 P(C)将 P(C)9P(C) 代入②得 27[P(C)]2－51P(C)+22=0. 8211或（舍去）. 39211 分别代入 ③、② 可得 P(A),P(B). 334112即甲、乙、丙三台机床各加工的零件是一等品的概率分别是,,.

343（Ⅱ）记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，

2315. 34365故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为.

620．（Ⅰ）证明 由a1,2a7,3a4成等差数列， 得4a7a13a4，

则 P(D)1P(D)1(1P(A))(1P(B))(1P(C))1即 4aqa3aq. 变形得 (4q1)(q1)0, 所以q363331或q31（舍去）. 4a1(1q6)1q31 1q由 S6.312S312a1(1q)12161qa1(1q12)S12S6S121 1q66111q1q.6S6S616a1(1q)1q▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓

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得

S6SS612. 所以12S3，S6，S12－S6成等比数列. 12S3S614142（Ⅱ）解：Tna12a43a7na3n2a2aq33aq6naq3(n1). 即 Tna2()a3()an()14n1a. ①

441①×()得： 1Tn1a2(1)2a3(1)3an(1)n1an(1)na

444441a[1()n]4n(1)na4a(4n)(1)na. 145541()4所以 Tn16a(164n)(1)na.

25255421．（本小题满分12分）

3yx解：（Ⅰ）由得交点O、A的坐标分别是（0，0），（1，1）. 3y2x3x,f(t)SABOSOBD3即 f(t)(t3t).2（Ⅱ）f(t)111|BD||10||BD|(3t33t), 222(0t1).

9233t. 令f(t)0 解得 t. 22333当0t时,f(t)0,从而f(t)在区间(0,)上是增函数；

3333当t1时,f(t)0,从而f(t)在区间(,1)上是减函数.

33333所以当 t时，f(t)有最大值为 f().

333222．解：（Ⅰ）依题意，可设直线AB的方程为 ykxm,代入抛物线方程x4y得

x24kx4m0. ①

设A、B两点的坐标分别是 (x1,y1)、(x2,y2),则x1、x2是方程①的两根. 所以 x1x24m.

由点P（0，m）分有向线段AB所成的比为， 得

x1x2x0,即1.

1x2又点Q是点P关于原点的对称点，

故点Q的坐标是（0，－m），从而QP(0,2m).

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QAQB(x1,y1m)(x2,y2m)(x1x2,y1y2(1)m). QP(QAQB)2m[y1y2(1)m]

2x12x1x2xxx4m 2m[ (11)m]2m(x1x2)124x24x24x24m4m 2m(x1x2)0.

4x2所以 QP(QAQB). （Ⅱ）由 x2y120,x4y,2得点A、B的坐标分别是（6，9）、（－4，4）.

2由 xy 得 y121x,yx, 42x6所以抛物线 x24y在点A处切线的斜率为y设圆C的方程是(xa)(yb)r,

2223

1b9,则ab 3(a6)2(b9)2(a4)2(b4)2.3232125,r(a4)2(b4)2. 解之得 a,b22232232125), 所以圆C的方程是 (x)(y22222即 xy3x23y720.

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