沪科版八年级数学(下)复习

一、知识梳理 1、形如a（a≥0）的式子叫做二次根式。

2、满足下列两个条件的式子叫做最简二次根式： （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

3、化为最简二次根式后，被开方的式子叫做同类二次根式。 4、(a)2＝________；a2＝________；ab＝________；ab＝_______。

5、在进行二次根式加减运算时，应先将各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式合并。 二、重点、难点分析

重点：正确理解与掌握二次根式的概念，概念成立的条件是正确进行运算的基础。灵活运用好两个重要公式： ．．（a≥0,b＞0）。

难点：掌握化简二次根式的方法，二次根式的混合运算，及公式

a2abab（a≥0,b≥0）和abab(a0)a　　　a的理解。

(a0)a　　三、思想方法 1、字母表示数的方法 例1、已知A＝

19961999，B＝19971998，试比较A与B的大小。

2、整体代入的方法 第 1 页

例2、已知x＝3、转化思想 例3、化简：12(75)，y＝

12(75)，求xxyy22的值。

x2x12x6x92（－1＜x＜3）

4、分类讨论思想 例4、x是什么数时，式子四、考点例析

考点1：有关二次根式的基本概念、基本公式问题 例5、下列等式成立的是（ ） A．a2x3在实数范围内有意义？何时无意义？

b2aba B．

baab C．abab D．ab22ab

考点2：有关二次根式的非负性 b、例6、设a、且满足(2a)2c都是实数，

abcc8022，axbxc0，

求代数式x2x1的值。

考点3：有关最简二次根式问题 例7、下列二次根式不是最简二次根式的是( ) A．a1 2 B．2x1 C．

2b4 D．0.1y 五、易错点例析

1、对二次根式的意义理解不透彻致错 例9、判断题：a1是二次根式吗？

2、概念模糊求解致错 例10、若ab8与3ab是同类二次根式，求ab的值。

3、运算顺序致错 第 2 页

例11、计算：633212

一元二次方程复习指导 一、知识梳理

1、只含有一个未知数,并且未知数最高次数为2的整式方程，这样的方程

叫做一元二次方程。

2、一元二次方程的一般形式是ax^2+bx+c=0，其中ax^2叫做二次项，a是

二次项系数，bx叫做一次项，b是一次项系数，c叫做常数项。 3

、

一

元

二

次

方

程

常

用

的

解

法

有

：

_____________,_______________,_______________,_____________ 4、简要说下怎样用一元二次方程的根的判别式判断方程解的情况 二、重点、难点分析

重点：（1）理解一元二次方程的概念；（2）掌握求一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项的方法；（3）熟练应用直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法解一元二次方程；（4）熟练应用一元二次方程解决实际问题。

难点：（1）熟练地利用配方法解一元二次方程，理解转化思想，设法将方程中的“二次”将为“一次”；（2）理解一元二次方程的b2根据b24ac，会

4ac判断数字系数的一元二次方程根的情况。（3）建立一元二次

方程或分式方程模型解决实际问题。 三、思想方法 1、转化思想 一元二次方程的解法，其实就是如何将“二次”转化为“一次”，例如配方

第 3 页

法就是把“一般”形式的一元二次方程转化为“特殊”（可直接开平方法解）的一元二次方程。通过转化思想的学习，可以利用已经学过的知识解决新问题，把“未知”向“已知”转化，由“陌生”向“熟悉”转化。 2、由特殊到一般的思想 在研究一元二次方程时，先通过研究特殊形式的一元二次方程的解法，由此引入了直接开平方法，接着研究了一元二次方程的解法，而在求解的过程中，暴露出开平方法的局限性，故此引入配方法，进而得出一元二次方程的公式解法，即求根公式，最后介绍因式分解法。 3、整体思想 在直接开平方法解一元二次方程时，就涉及到了整体思想，所谓整体思想，就是从整体着眼，把一些看似毫不相干而实质上又紧密联系的数、式看成一个整体去处理，如方程3(x2)求x2的值，再求x。 4、分类讨论思想 由于一元二次方程ax2bxc＝0

213，把括号内的代数式看作一个整体，先

成立必须的条件是a≠0，所以在涉及到含

有字母系数的一元二次方程时，经常要用到分类讨论思想。 四、考点例析

考点1：一元二次方程的基本概念 例1、下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A．D．x23(x2)2(x1)2 B．

1x21x20 C．

ax2bxc＝0

2xx1

2考点2：一元二次方程的解法 第 4 页

例2：方程(x1)(x3)5的解是（ ）

A．x1＝1，x2＝－3 B．x1＝4，x2＝－2 C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－4，x2＝2

考点3：一元二次方程根的判别式 例3、关于x的一元二次方程x23x2m0的根的情况是（

2 ）

A．有两个不相等的实根 B．有两个相等的实根 C．无实数根 D．不能确定

考点4：一元二次方程的根与系数关系 例4、已知一元二次方程x2取值范围。

考点5：一元二次方程的实际应用 例5、现有长方形纸片一张，长19cm，宽15cm，按照如图所示的裁法，需要裁去边长是多少的小正方形才能做成底面积为77cm2的无盖长方体型的纸盒？

求aax4a0的两实根中仅有一根为负数，

2的

五、易错点例析

1、忽略一元二次方程二次项系数不为零的条件 例6、已知一元二次方程kx2取值范围是______。 2、忽视方程的同解性 例7、解方程：(x2)24(x2)(2k1)xk0有两个不相等的实数根，则k的

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3、忽视一元二次方程有根的前提条件 例8、关于x的方程x22k＋1

勾股定理复习指导 一、知识梳理

1、直角三角形是一类特殊三角形，它的三边（a、b、c，其中c为斜边）具有一种特定的关系，该关系是______________，称之为勾股定理。 2、勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

3、能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数。 4、在坐标平面内任意两点A（x1,y1），B（x2，y2），那么A、B两点之间的距离公式为__________。 二、重点、难点分析

1、勾股定理反映的是直角三角形的三边之间的关系。如果已知直角三角形的任意两边，可利用它来求出第三边。

2、勾股定理与逆定理的题设与结论正好相反，它们都与直角三角形有关。 3、勾股定理在现实生活中有着广泛的应用，它的前提是直角三角形，因此在求解时要先将实际问题抽象成相应的几何模型，再用数学的观点求解未知量。其关键是运用题目中的直角条件或构造直角三角形。其中构造的方式一般有两种：一是借助已知条件中直角构造，二是作垂线构造。 三、思想方法 1、方程思想 第 6 页

(k2)x2k10的两实数根为x1＋x2＝k＋2，x1x2＝

在利用勾股定理求线段的长时，常设某条线段的长为x，其他相关线段用含

x的代数式表示，结合图形，构造关于x的方程（组）进行求解。

2、分类讨论思想 由于有的数学问题中包含着多种可能的情形，不能一概而论，于是，这些问题的解决就需要按照可能出现的所有情况分别给予讨论，做到既不重复，又不遗漏地得出各种情况下相应的结论，进而达到全面解决整个问题的目的，这种思考问题的方法就是分类讨论。如已知一直角三角形的两边，或对于无图形的应用问题，常采用分类讨论的数学思想来进行，防止漏解。 3、转化思想 在本章中，如将实际问题转化为数学问题，将非直角三角形转化为直角三角形，将立体图形转化为平面图形等，充分显示了转化思想的妙用。 4、数形结合思想 在对实际问题解决的过程中，首先要将其转化为数学问题，提炼其数学元素，并画出图形，然后根据图形找出数量关系，将“数”与“形”结合起来，这种思想就是数形结合思想。如求网格中的线段长，以及作线段长等。 5、数学建模思想 所谓数学建模思想是指通过抽象和简化，使用数学语言对实际现象的一个近似的刻画，以便于人们更深刻地认识所研究的对象。就是说用数学知识去解决实际问题时所使用的数学语言和数学方法。 四、考点例析

考点1：利用勾股定理求与边有关的代数式的值 第 7 页

2、5等

例1、（荆门市）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别为a、b，那么(a＋b)2的值是______

考点2：利用勾股定理探索网格中的线段长 例2、（金华市）如图，在由24个边长都为1的小正三角形的网格中，点P是正六边形的一个顶点，以点P为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形），请你写出所有可能的直角三角形斜边的长 ．

PP P P 考点3：利用勾股定理求正方形的边长 例3、（芜湖市）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm、B的边长为5cm、C的边长为5cm，则正方形D的边长为（ ） A．

14cm B．4cm C．

15cm D． 3cm

考点4：利用勾股定理解决折叠问题 例4、（乐山）如图（5），把矩形纸条ABCD沿EF，GHA A E P D G D C

同时折叠，B，C两点恰好落在AD边的P点处，若

B ∠FPH90，PF8，PH6，则矩形ABCD的边BCF H 长为（ ）

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Ａ．20 Ｂ．22 Ｃ．24 Ｄ．30

五、易错点例析 1、只看形式，粗心大意 例5、判断有线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形，其中a＝

215，b，c。

572、思维定势，忽视讨论 例6、若直角三角形的两边长分别为6cm，8cm，求第三边的长。 3、考虑不周，出现漏解 例7、已知△ABC的两边长为10cm和12cm，BC边上的高为8cm，求第三边的长。 定理的作用：

①已知直角三角形的两边，求第三边。 ②证明三角形中的某些线段的平方关系。 (勾股定理的应用：

勾股定理只适用于直角三角形，首先分清直角及其所对的斜边。当已知中没有直角时，可作辅助线，构造直角三角形后，再运用勾股定理解决问题。求线段的长度，常常综合运用勾股定理和直角三角形的其它性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质来解决。 勾股定理的逆定理。

运用勾股定理的逆定理的步骤： ①首先确定最大的边(如c) ②验证：

与是否具有相等关系：

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若 当 当

，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形。 时，△ABC是锐角三角形； 时，△ABC是钝角三角形。

注意总结直角三角形的性质与判定。 直角三角形的性质：

角的关系：直角三角形两锐角互余。 边的关系：直角三角形斜边大于直角边。 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。

边角关系：直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半。 双垂图中的线段关系。 直角三角形的判定：

①有一个角是直角的三角形是直角三角形。 ②有两个角互余的三角形是直角三角形。

③两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形。(最长的边的平方等于另外两边的平方和的三角形是直角三角形) 已知直角三角形的两边长，会求第三边长。

设直角三角形的两直角边为a，b，斜边长为c，由勾股定理知道：

。变形得：

，

，

，

，

，因此已知直角三角形的任意两边，利用勾股定理可求出第三条

边。

当直角三角形中含有30°与45°角时，已知一边，会求其它的边。

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(1)含有30°的直角三角形的三边的比为：1：三个内角的比为1：2：3，则三边 的比为1：

：2)

：2。(一个三角形的

(2)含有45°的直角三角形的三边的比为：1：1： (3)等边三角形的边长为，则高为典型方法的总结：

(1)斜三角形转化为直角三角形 (2)图形的割、补、拼接

(3)面积法与代数方法证明几何问题

，面积为

。 。

例1．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ=60°，且BQ=BP，连结CQ．

(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论． (2)若PA：PB：PC=3：4：5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．

解：(1)猜想：AP=CQ

证明：在△ABP与△CBQ中，

∵ AB=CB，BP=BQ，∠ABC=∠PBQ=60°

∴ ∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ ∴ △ABP≌△CBQ ∴ AP=CQ

(2)由PA：PB：PC=3：4：5 可设PA=3a，PB=4a，PC=5a 连结PQ，在△PBQ中，由于PB=BQ=4a，且∠PBQ=60°

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∴ △PBQ为正三角形 ∴ PQ=4a 于是在△PQC中，∵ ∴ △PQC是直角三角形

例2．如图(1)所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图(2)所示．已知展开图中每个正方形的边长为1．试比较立体图中∠BAC与平面展开图中

的大小关系?

解： ∵ 立体图中∠BAC为平面等腰直角三角形的一锐角，∴ ∠BAC=45°．

在平面展开图中，连接线段

。

又∵

，

为直角三角形． ，由勾股定理可得：

，

由勾股定理的逆定理可得 又∵ ∴ △

，

为等腰直角三角形． ∴

相等．

．

所以∠BAC与练习 (一)选择题

1．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10cm，正方形A的边长为6cm、B的边长为5cm、

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C的边长为5cm，则正方形D的边长为( )

A．

B．4cm C．

D．3cm

2．如图，在三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AB=6，在AC上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则CE的长度为( ) A．3 B．6 C．

D．

3．如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处．己知BC=12，∠B=30°，则DE的长是( )

A．6 B．4 C．3 D．2 (二)填空题

4．已知直角三角形两边长为__________。

5．如图，以Rt△ABC的三边为边向外作正方形，其面积分别为且

，

，则AB的长为_______。

，

的长满足

，则第三边

6．在直线上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是，，，，则

=____．

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7．如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm和5cm，那么这个直角三角形的面积是_____平方厘米．

8．如图，将一根25cm长的细木棒放入长、宽、高分别为8cm、6cm、和

cm的长方体无盖盒子中，则细木棒露在盒外面的最短长度是

(四)

分

__________cm． 解答题

9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD，CE别是AB边上的中线和高．

(1)求证：AE=ED；

(2)若AC=2，求△CDE的周长．

10．如图，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC上的一点，且AD⊥AB，点E是BD的中点，连结AE．

(1)求证：∠AEC=∠C (2)求证：BD=2AC

(3)若AE=6.5，AD=5，那么△ABE的周长是多少?

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