2009年天津市高考数学试卷(理科)

2009年天津市高考数学试卷（理科）

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）i是虚数单位，A．1+2i B．﹣1﹣2i C．1﹣2i

=（ ） D．﹣1+2i

，则目标函数z=2x+3y的最

2．（5分）设变量x，y满足约束条件：小值为（ ） A．6

B．7

C．8

D．23

3．（5分）命题“存在x0∈R，2x2﹣1≤0”的否定是（ ） A．不存在x0∈R，2x02﹣1＞0

B．存在x0∈R，2x02﹣1＞0

C．对任意的x∈R，2x2﹣1≤0 D．对任意的x∈R，2x2﹣1＞0 4．（5分）设函数f（x）=x﹣lnx（x＞0），则y=f（x）（ ） A．在区间（，1），（l，e）内均有零点 B．在区间（，1），（l，e）内均无零点

C．在区间（，1）内无零点，在区间（l，e）内有零点 D．在区间（，1）内有零点，在区间（l，e）内无零点

第1页（共27页）

5．（5分）阅读程序框图，则输出的S=（ ）

A．26 B．35 C．40 D．57 6．（5分）设a＞0，b＞0．若A．8

B．4

C．1

是3a与3b的等比中项，则

的最小值为（ ）

D．

）（x∈R，ω＞0）的最小正周期为π，为

7．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+

了得到函数g（x）=cosωx的图象，只要将y=f（x）的图象（ ） A．向左平移C．向左平移

个单位长度 B．向右平移个单位长度 D．向右平移

个单位长度 个单位长度

若f（2﹣a2）＞f（a），则实数a的

8．（5分）已知函数f（x）=取值范围是（ ）

A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） B．（﹣1，2） C．（﹣2，1） D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）

第2页（共27页）

9．（5分）设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（，0）的直线与抛物线相交于

A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比

=（ ）

A． B． C． D．

10．（5分）0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数恰有3个，则（ ）

A．﹣1＜a＜0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜3 D．2＜a＜3

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）

11．（4分）某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取 名学生．

12．（4分）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是

，则a= ．

13．（4分）设直线l1的参数方程为则l1与l2的距离为 ．

（t为参数），直线l2的方程为y=3x+4

14．（4分）若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay﹣6=0（a＞0）的公共弦的长为a= ．

15．（4分）在四边形ABCD中，则四边形ABCD的面积是 ．

=

=（1，1），

，则

，

16．（4分）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个（用数字作答）

第3页（共27页）

三、解答题（共6小题，满分76分） 17．（12分）已知：△ABC中，BC=1，AC=（1）求AB的值． （2）求

第4页（共27页）

，sinC=2sinA

的值．

18．（12分）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求：

（I）取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望； （II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．

第5页（共27页）

19．（12分）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD， （1）求异面直线BF与DE所成的角的大小； （2）证明平面AMD⊥平面CDE； （3）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值．

第6页（共27页）

20．（12分）已知函数f（x）=（x2+ax﹣2a2+3a）ex（x∈R），其中a∈R． （Ⅰ）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）当

第7页（共27页）

时，求函数f（x）的单调区间和极值．

21．（14分）已知椭圆（c，0）（c＞0），过点|F1A|=2|F2B|．

（1）求椭圆的离心率； （2）求直线AB的斜率；

的两个焦点分别为F1（﹣c，0）和F2

的直线与椭圆相交于A，B两点，且F1A∥F2B，

（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H（m，n）（m≠0）在△AF1C的外接圆上，求的值．

第8页（共27页）

22．（14分）已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），等比数列{bn}的公比为q（q＞1）．设sn=a1b1+a2b2+…+anbn，Tn=a1b1﹣a2b2+…+（﹣1）n﹣1anbn，n∈N+， （1）若a1（2）=b1（3）=1，d=2，q=3，求S3的值； （Ⅱ）若b1（6）=1，证明（1﹣q）S2n﹣（1+q）T2n=N+；

（Ⅲ）若正数n满足2≤n≤q，设k1，k2，…，kn和l1，l2，…，ln是1，2，…，n的两个不同的排列，c1=ak1b1+ak2b2+…+aknbn，c2=al1b1+al2b2+…+alnbn证明c1≠c2．

，n∈（10）

第9页（共27页）

2009年天津市高考数学试卷（理科）

参与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．（5分）（2009•天津）i是虚数单位，A．1+2i B．﹣1﹣2i C．1﹣2i

D．﹣1+2i

=（ ）

【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简即可． 【解答】解：故选D．

，

2．（5分）（2009•天津）设变量x，y满足约束条件：z=2x+3y的最小值为（ ） A．6

B．7

C．8

D．23

，则目标函数

【分析】本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件

．画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数的最小

值．

【解答】解：画出不等式．表示的可行域，如图，

让目标函数表示直线在可行域上平移，

知在点B自目标函数取到最小值， 解方程组所以zmin=4+3=7，

第10页（共27页）

得（2，1），

故选B．

3．（5分）（2009•天津）命题“存在x0∈R，2x2﹣1≤0”的否定是（ ） A．不存在x0∈R，2x02﹣1＞0

B．存在x0∈R，2x02﹣1＞0

C．对任意的x∈R，2x2﹣1≤0 D．对任意的x∈R，2x2﹣1＞0 【分析】命题的否定只否定结论即可，不要与否命题混淆． 【解答】解：结论的否定形式为：2x2﹣1＞0 ∴原命题的否定为：D． 故选D．

4．（5分）（2009•天津）设函数f（x）=x﹣lnx（x＞0），则y=f（x）（ ） A．在区间（，1），（l，e）内均有零点 B．在区间（，1），（l，e）内均无零点

C．在区间（，1）内无零点，在区间（l，e）内有零点 D．在区间（，1）内有零点，在区间（l，e）内无零点

【分析】先对函数f（x）进行求导，再根据导函数的正负情况判断原函数的增减性可得答案． 【解答】解：由题得

，令f′（x）＞0得x＞3；

令f′（x）＜0得0＜x＜3；f′（x）=0得x=3，

故知函数f（x）在区间（0，3）上为减函数，在区间（3，+∞）为增函数，

第11页（共27页）

在点x=3处有极小值1﹣ln3＜0；又

．

故选C．

，，

5．（5分）（2009•天津）阅读程序框图，则输出的S=（ ）

A．26 B．35 C．40 D．57

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S=2+5+8+…+14的值． 【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知：

该程序的作用是累加并输出S=2+5+8+…+14的值 ∵S=2+5+8+…+14=40． 故选C．

6．（5分）（2009•天津）设a＞0，b＞0．若最小值为（ ） A．8

B．4

C．1

D．

是3a与3b的等比中项，则

的

第12页（共27页）

【分析】由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入利用基本不等式就可得出其最小值 【解答】解：因为3a•3b=3，所以a+b=1，

，

当且仅当故选择B．

7．（5分）（2009•天津）已知函数f（x）=sin（ωx+

即

时“=”成立，

中，将其变为2+，

）（x∈R，ω＞0）的最小正

周期为π，为了得到函数g（x）=cosωx的图象，只要将y=f（x）的图象（ ） A．向左平移C．向左平移

个单位长度 B．向右平移个单位长度 D．向右平移

个单位长度 个单位长度

，算得ω=2．接下来将f（x）的表

【分析】由周期函数的周期计算公式：

达式转化成与g（x）同名的三角函数，再观察左右平移的长度即可． 【解答】解：由题知ω=2， 所以故选择A．

8．（5分）（2009•天津）已知函数f（x）=则实数a的取值范围是（ ）

A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） B．（﹣1，2） C．（﹣2，1） D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）

【分析】由题义知分段函数求值应分段处理，利用函数的单调性求解不等式． 【解答】解：

，

若f（2﹣a2）＞f（a），

由f（x）的解析式可知，f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调递增函数，在由f（2﹣a2）＞f（a），得2﹣a2＞a

第13页（共27页）

即a2+a﹣2＜0，解得﹣2＜a＜1． 故选C

9．（5分）（2009•天津）设抛物线y2=2x的焦点为F，过点M（

，0）的直线与

抛物线相交于A、B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|=2，则△BCF与△ACF的面积之比

=（ ）

A． B． C． D． 【分析】根据

=

，进而根据两三角形相似，推断出

=

，根

据抛物线的定义求得

=

，根据|BF|的值求得B的坐标，进而利用两点式求得直线的方程，

把x=代入，即可求得A的坐标，进而求得 的值，则三角形的面积之比可得．

【解答】解：如图过B作准线l：x=﹣的垂线，垂足分别为A1，B1， ∵

=

，

又∵△B1BC∽△A1AC、 ∴

=

，

由拋物线定义==． ，

由|BF|=|BB1|=2知xB=，yB=﹣∴AB：y﹣0=

（x﹣

）．

第14页（共27页）

把x=

代入上式，求得yA=2，xA=2，

∴|AF|=|AA1|=． 故

=

=

=．

故选A．

10．（5分）（2009•天津）0＜b＜1+a，若关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数恰有3个，则（ ）

A．﹣1＜a＜0 B．0＜a＜1 C．1＜a＜3 D．2＜a＜3

【分析】要使关于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中的整数恰有3个，那么此不等式的解集不能是无限区间，从而其解集必为有限区间， 【解答】解：由题得不等式（x﹣b）2＞（ax）2 即（a2﹣1）x2+2bx﹣b2＜0，它的解应在两根之间，

因此应有 a2﹣1＞0，解得a＞1或a＜﹣1，注意到0＜b＜1+a，从而a＞1， 故有△=4b2+4b2（a2﹣1）=4a2b2＞0， 不等式的解集为不等式的解集为又由0＜b＜1+a得

或， ，

（舍去）．

第15页（共27页）

故，，这三个整数解必为﹣2，﹣1，0

2（a﹣1）＜b≤3 （a﹣1），

注意到a＞1，并结合已知条件0＜b＜1+a．

故要满足题设条件，只需要2（a﹣1）＜1+a，即a＜3即可， 解得1＜a＜3． 故选：C．

二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）

11．（4分）（2009•天津）某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取 40 名学生．

【分析】根据全校的人数和A，B两个专业的人数，得到C专业的人数，根据总体个数和要抽取的样本容量，得到每个个体被抽到的概率，用C专业的人数乘以每个个体被抽到的概率，得到结果．

【解答】解：∵C专业的学生有1200﹣380﹣420=400， 由分层抽样原理，应抽取故答案为：40

12．（4分）（2009•天津）如图是一个几何体的三视图，若它的体积是a= ．

，则

名．

【分析】该几何体是放倒的三棱柱，依据所给数据求解即可．

【解答】解：由已知可知此几何体是三棱柱，其高为3，底面是底边长为2， 底边上的高为a的等腰三角形，

第16页（共27页）

所以有故答案为：

．

13．（4分）（2009•天津）设直线l1的参数方程为的方程为y=3x+4则l1与l2的距离为

．

（t为参数），直线l2

【分析】先求出直线的普通方程，再利用两条平行线间的距离公式求出它们的距离即可．

【解答】解析：由题直线l1的普通方程为3x﹣y﹣2=0， 故它与l2的距离为故答案为

14．（4分）（2009•天津）若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay﹣6=0（a＞0）的公共弦的长为

，则a= 1 ．

．

【分析】画出草图，不难得到半径、半弦长的关系，求解即可． 【解答】解：由已知x2+y2+2ay﹣6=0的半径为

，圆心（0，﹣a），

公共弦所在的直线方程为，ay=1．大圆的弦心距为：|a+| 由图可知故答案为：1．

，解之得a=1．

15．（4分）（2009•天津）在四边形ABCD中，

第17页（共27页）

==（1，1），

，则四边形ABCD的面积是 【分析】根据题意知四边形ABCD是菱形，其边长为的

倍，再由向量数量积运算的应用可得

，最终可得四边形ABCD的面积

【解答】解：由题

．

，且对角线BD等于边长

和

，可知平行四边形ABCD的角平分

，且对角线BD等于边长的

线BD平分∠ABC，四边形ABCD是菱形，其边长为倍， 所以cos∠BAD=故sin∠BAD=故答案为：

，SABCD=（．

=﹣， ）2×

=

．

16．（4分）（2009•天津）用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 324 个（用数字作答）

【分析】由题意知本题需要分类来解，当个位、十位和百位上的数字为3个偶数，当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数，根据分类计数原理得到结果． 【解答】解：由题意知本题需要分类来解： 当个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有：当个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有：种，

根据分类计数原理得到 ∴共有90+234=324个． 故答案为：324．

三、解答题（共6小题，满分76分）

17．（12分）（2009•天津）已知：△ABC中，BC=1，AC=（1）求AB的值．

第18页（共27页）

+=90种； +

=234

，sinC=2sinA

（2）求的值．

【分析】（1）根据正弦定理将题中正弦值的关系转化为边的关系，即可得到答案． （2）根据三边长可直接验证满足勾股定理进而得到△ABC是Rt△且∠ABC=90°，从而可得到角A的正弦值和余弦值，再由两角和与差的正弦公式和二倍角公式可求最后答案．

【解答】解：（1）在△ABC中，∵sinC=2sinA ∴由正弦定理得AB=2BC 又∵BC=1 ∴AB=2

（2）在△ABC中，∵AB=2，BC=1，ABC=90° ∴∴===

18．（12分）（2009•天津）在10件产品中，有3件一等品，4件二等品，3件三等品．从这10件产品中任取3件，求：

（I）取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望； （II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率．

【分析】（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是从10件产品中任取3件的结果为C103，满足条件的事件是从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为C3kC73﹣k，写出概率，分布列和期望．

（II）取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数包括三种情况，一是恰好取出1件一等品和2件二等品，二是恰好取出2件一等品，三是恰好取出3件一等品，这三种情况是互斥的，根据互斥事件的概率，得到结果．

第19页（共27页）

∴AB2+BC2=AC2∴△ABC是Rt△且∠

，

【解答】解：（Ⅰ）由题意知本题是一个古典概型， 由于从10件产品中任取3件的结果为C103，

从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的结果数为C3kC73﹣k， 那么从10件产品中任取3件，其中恰有k件一等品的概率为P（X=k）=k=0，1，2，3．

∴随机变量X的分布列是

x p

∴X的数学期望EX=

0

，

1

2

3

（Ⅱ）解：设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A， “恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1 “恰好取出2件一等品“为事件A2，

”恰好取出3件一等品”为事件A3由于事件A1，A2，A3彼此互斥， 且A=A1∪A2∪A3而P（A2）=P（X=2）=

，

，P（A3）=P（X=3）=

，

∴取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 P（A）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=

19．（12分）（2009•天津）如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=AD， （1）求异面直线BF与DE所成的角的大小； （2）证明平面AMD⊥平面CDE； （3）求二面角A﹣CD﹣E的余弦值．

+

+

=

第20页（共27页）

【分析】（1）先将BF平移到CE，则∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角，在三角形CED中求出此角即可；

（2）欲证平面AMD⊥平面CDE，即证CE⊥平面AMD，根据线面垂直的判定定理可知只需证CE与平面AMD内两相交直线垂直即可，易证DM⊥CE，MP⊥CE； （3）设Q为CD的中点，连接PQ，EQ，易证∠EQP为二面角A﹣CD﹣E的平面角，在直角三角形EQP中求出此角即可． 【解答】（1）解：由题设知，BF∥CE，

所以∠CED（或其补角）为异面直线BF与DE所成的角． 设P为AD的中点，连接EP，PC． 因为FE=∥AP，所以FA=∥EP，同理AB=∥PC． 又FA⊥平面ABCD，所以EP⊥平面ABCD． 而PC，AD都在平面ABCD内，

故EP⊥PC，EP⊥AD．由AB⊥AD，可得PC⊥AD设FA=a， 则EP=PC=PD=a，CD=DE=EC=

，故∠CED=60°．

所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60° （2）证明：因为DC=DE且M为CE的中点，

所以DM⊥CE．连接MP，则MP⊥CE．又MP∩DM=M， 故CE⊥平面AMD．而CE⊂平面CDE， 所以平面AMD⊥平面CDE．

（3）解：设Q为CD的中点，连接PQ，EQ． 因为CE=DE，所以EQ⊥CD．因为PC=PD，

所以PQ⊥CD，故∠EQP为二面角A﹣CD﹣E的平面角． 可得，

20．（12分）（2009•天津）已知函数f（x）=（x2+ax﹣2a2+3a）ex（x∈R），其中

第21页（共27页）

．

a∈R．

（Ⅰ）当a=0时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （Ⅱ）当

时，求函数f（x）的单调区间和极值．

【分析】（Ⅰ）把a=0代入到f（x）中化简得到f（x）的解析式，求出f'（x），因为曲线的切点为（1，f（1）），所以把x=1代入到f'（x）中求出切线的斜率，把x=1代入到f（x）中求出f（1）的值得到切点坐标，根据切点和斜率写出切线方程即可；

（Ⅱ）令f'（x）=0求出x的值为x=﹣2a和x=a﹣2，分两种情况讨论：①当﹣2a＜a﹣2时和②当﹣2a＞a﹣2时，讨论f'（x）的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性即可得到函数的最值．

【解答】（Ⅰ）解：当a=0时，f（x）=x2ex，f'（x）=（x2+2x）ex，故f'（1）=3e， 所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为3e，f（1）=e， 所以该切线方程为y﹣e=3e（x﹣1）， 整理得：3ex﹣y﹣2e=0．

（Ⅱ）解：f'（x）=[x2+（a+2）x﹣2a2+4a]ex 令f'（x）=0，解得x=﹣2a，或x=a﹣2．由以下分两种情况讨论．

①若a＞，则﹣2a＜a﹣2．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x

（﹣∞，a﹣2）

f′（x） F（x）

+ ↗

0 极大值 ﹣2a

（﹣2a，a﹣2） ﹣ ↘

0 极小值 a﹣2

（a﹣2，+∞） + ↗

知，﹣2a≠a﹣2．

所以f（x）在（﹣∞，﹣2a），（a﹣2，+∞）内是增函数，在（﹣2a，a﹣2）内是减函数．

函数f（x）在x=﹣2a处取得极大值f（﹣2a），且f（﹣2a）=3ae﹣2a． 函数f（x）在x=a﹣2处取得极小值f（a﹣2），且f（a﹣2）=（4﹣3a）ea﹣2． ②若a＜，则﹣2a＞a﹣2，当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

x

（﹣∞，aa﹣2 （a﹣2，﹣﹣2a （﹣2a，+

第22页（共27页）

﹣2）

f′（x） F（x）

+ ↗

0 极大值

2a） ﹣ ↘

0 极小值

∞） + ↗

所以f（x）在（﹣∞，a﹣2），（﹣2a，+∞）内是增函数，在（a﹣2，﹣2a）内是减函数

函数f（x）在x=a﹣2处取得极大值f（a﹣2），且f（a﹣2）=（4﹣3a）ea﹣2， 函数f（x）在x=﹣2a处取得极小值f（﹣2a），且f（﹣2a）=3ae﹣2a．

21．（14分）（2009•天津）已知椭圆（﹣c，0）和F2（c，0）（c＞0），过点且F1A∥F2B，|F1A|=2|F2B|． （1）求椭圆的离心率； （2）求直线AB的斜率；

（3）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H（m，n）（m≠0）在△AF1C的外接圆上，求的值．

的两个焦点分别为F1

的直线与椭圆相交于A，B两点，

【分析】（1）由F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|，得，从而，

由此可以求出椭圆的离心率．

（2）由题意知椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2，设直线AB的方程为设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则它们的坐标满足方程组

，整理，得（2+3k2）x2﹣18k2cx+27k2c2

，

﹣6c2=0．再由根的判别式和根与系数的关系求解． （III）解法一：当平分线l的方程为

时，得

，

直线l与x轴的交点

．线段AF1的垂直

是△AF1C外

第23页（共27页）

接圆的圆心，因此外接圆的方程为值．

．由此可以推导出的

解法二：由椭圆的对称性可知B，F2，C三点共线，由已知条件能够导出四边形AF1CH为等腰梯形．由此入手可以推导出的值． 【解答】（1）解：由F1A∥F2B且|F1A|=2|F2B|，

得，从而

整理，得a2=3c2，故离心率

（2）解：由（I）得b2=a2﹣c2=2c2， 所以椭圆的方程可写为2x2+3y2=6c2 设直线AB的方程为

，即y=k（x﹣3c）．

由已知设A（x1，y1），B（x2，y2）， 则它们的坐标满足方程组

消去y整理，得（2+3k2）x2﹣18k2cx+27k2c2﹣6c2=0． 依题意，而

①

②

由题设知，点B为线段AE的中点，所以x1+3c=2x2③ 联立①③解得

将x1，x2代入②中，解得（III）解法一：由（II）可知

，

．

第24页（共27页）

当时，得，由已知得．

直线l与x轴的交点

线段AF1的垂直平分线l的方程为

是△AF1C外接圆的圆心，

因此外接圆的方程为直线F2B的方程为

，

．

于是点H（m，n）的坐标满足方程组，

由m≠0，解得故

当时，同理可得．

解法二：由（II）可知当

时，得

，由已知得

由椭圆的对称性可知B，F2，C三点共线， 因为点H（m，n）在△AF1C的外接圆上， 且F1A∥F2B，所以四边形AF1CH为等腰梯形． 由直线F2B的方程为知点H的坐标为因为|AH|=|CF1|，所以则

22．（14分）（2009•天津）已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），等比数列{bn}的公比为q（q＞1）．设sn=a1b1+a2b2+…+anbn，Tn=a1b1﹣a2b2+…+（﹣1）n﹣1anbn，n∈N+，

（1）若a1（2）=b1（3）=1，d=2，q=3，求S3的值；

第25页（共27页）

， ．

，解得m=c（舍），或

．当

时同理可得

．

，所以

（Ⅱ）若b1（6）=1，证明（1﹣q）S2n﹣（1+q）T2n=N+；

，n∈（10）

（Ⅲ）若正数n满足2≤n≤q，设k1，k2，…，kn和l1，l2，…，ln是1，2，…，n的两个不同的排列，c1=ak1b1+ak2b2+…+aknbn，c2=al1b1+al2b2+…+alnbn证明c1≠c2． 【分析】（Ⅰ）由题设，可得an=2n﹣1，bn=3n﹣1，n∈N*，由此可求出S3的值． （Ⅱ）证明：由题设可得bn=qn﹣1则S2n=a1+a2q+a3q2++a2nq2n﹣1，T2n=a1﹣a2q+a3q2﹣a4q3+﹣a2nq2n﹣1，由此能够推导出（1﹣q）S2n﹣（1+q）T2n=（

Ⅲ

）

证

明

：

由

题

设

条

件

可

． 知

，由此入手能够导出c1≠c2．

【解答】（Ⅰ）解：由题设，可得an=2n﹣1，bn=3n﹣1，n∈N* 所以，S3=a1b1+a2b2+a3b3=1×1+3×3+5×9=55

（Ⅱ）证明：由题设可得bn=qn﹣1则S2n=a1+a2q+a3q2+…+a2nq2n﹣1，① T2n=a1﹣a2q+a3q2﹣a4q3+…﹣a2nq2n﹣1， S2n﹣T2n=2（a2q+a4q3+…﹣a2nq2n﹣1）

1式加上②式，得S2n+T2n=2（a1+a3q2+…+a2n﹣1q2n﹣2）③ 2式两边同乘q，得q（S2n+T2n）=2（a1q+a3q3+…+a2n﹣1q2n﹣1） 所以，（1﹣q）S2n﹣（1+q）T2n=（S2n﹣T2n）﹣q（S2n+T2n） =2d（q+q3+…+q2n﹣1） =

（Ⅲ）证明：c1﹣c2=（ak1﹣al1）b1+（ak2﹣al2）b2+…+（akn﹣aln）bn =（k1﹣l1）db1+（k2﹣l2）db1q+…+（kn﹣ln）db1qn﹣1 因为d≠0，b1≠0，所以若kn≠ln，取i=n

若kn=ln，取i满足ki≠li且kj=lj，i+1≤j≤n，

第26页（共27页）

由题设知，1＜i≤n 且

当ki＜li2时，得ki﹣li≤﹣1，由q≥n， 得ki﹣li≤q﹣1，i=1，2，3i﹣13

即k1﹣l1≤q﹣1，（k2﹣l2）q≤q（q﹣1），（ki﹣1﹣li﹣1）qi﹣2≤qi﹣2（q﹣1） 又（ki﹣li）qi﹣1≤﹣qi﹣1， 所以

因此c1﹣c2≠0，即c1≠c2 当ki＞li，同理可得

，因此c1≠c2．综上c1≠c2．

第27页（共27页）