2019届中考数学复习《圆的相关证明及计算》专题训练题含答案

2019届初三数学中考复习 圆的相关证明及计算 专题训练题

1. 若扇形面积为3π，圆心角为60°，则该扇形的半径为( ) A．3 B．9 C．23 D．32

2. 如图，在矩形ABCD中，CD＝1，∠DBC＝30°.若将BD绕点B旋转后，点︵

D落在DC延长线上的点E处，点D经过的路径DE，则图中阴影部分的面积是( )

ππ3ππ3A.－3 B.－ C.－3 D.－ 332222

3. 如图，直径AB为12的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是( )

A．12π B．24π C．6π D．36π

4. 如图，要制作一个圆锥形的烟囱帽，使底面圆的半径与母线长的比是4∶5，那么所需扇形铁皮的圆心角应为( )

A．288° B．144° C．216° D．120°

5. 如图，用一张半径为24 cm的扇形纸板制作一顶圆锥形帽子(接缝忽略不计)，

1

如果圆锥形帽子的底面半径为10 cm，那么这张扇形纸板的面积是( )

A．240πcm2 B．480πcm2 C．1200πcm2 D．2400πcm2

︵6. 如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交AB于︵

点E，以点O为圆心，OC的长为半径作CD交OB于点D.若OA＝2，则阴影部分的面积为__________．

7. 如图，半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b，然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动，使半圆的直径与直线b重合为止，则圆心O运动路径的长度等于______．

8. 如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫做正三角形的渐开线，其中弧CD，弧DE、弧EF的圆心依次是A，B，C，如果AB＝1，那么曲线CDEF的长是_________．

2

9. 在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是 10. 已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为 11. 如图，用一个半径为30 cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)，则圆锥的底面半径r为 cm.

12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别于与BC、AC交于点D、E，过点D作DF⊥AC于点F. (1) 求证：DF是⊙O的切线；

(2) 若⊙O的半径为2，BC＝22，求DF的长．

3

13. 如图，BD是汽车挡风玻璃前的刮雨刷．如果BO＝65 cm，DO＝15 cm，当BD绕点O旋转90°时，求刮雨刷BD扫过的面积

14. 如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E是弦BD的中点，点C是⊙O外一点且∠DBC＝∠A，连接OE延长与圆相交于点F，与BC相交于点C. (1) 求证：BC是⊙O的切线；

(2) 若⊙O的半径为6，BC＝8，求弦BD的长．

4

︵

15. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，点D是BC的中点，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F. (1) 求证：DE是⊙O的切线； (2) 若OF＝2，求AC的长度．

16. 如图，AB是⊙O直径，点C在⊙O上，AD平分∠CAB，BD是⊙O的切线，AD与BC相交于点E (1) 求证：BD＝BE；

(2) 若DE＝2，BD＝5，求CE的长．

5

17. 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，连接AO并延长，交PB的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D. (1) 求证：PO平分∠APC；

(2) 连接DB，若∠C＝30°，求证：DB∥AC.

18. 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，

过点D作⊙O的切线DE交AC于点E，交AB延长线于点F. (1) 求证：DE⊥AC；

(2) 若AB＝10，AE＝8，求BF的长．

6

19. 现有30%圆周的一个扇形彩纸片，该扇形的半径为40 cm，小红同学为了在六一儿童节联欢晚会上表演节目，她打算剪去部分扇形纸片后，利用剩下的纸片制作成一个底面半径为10 cm的圆锥形纸帽(接缝处不重叠)，求剪去的扇形纸片的圆心角度数．

参： 1---5 DBBAA 6. π312＋2

7. 5π 8. 4π 9. 2π 10. 33 11. 10

12.

(1) 证明：连接OD，如解图，

7

∵OB＝OD，∴∠ABC＝∠ODB， ∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB， ∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，∴DF⊥OD， ∴DF是⊙O的切线；

(2) 解：连接AD，如解图，∵AB是⊙O的直径，

∴AD⊥BC，又∵AB＝AC，∴BD＝DC＝2， ∴AD＝AB2－BD2＝42－（2）2＝14， ∵DF⊥AC，∴△ADC∽△DFC， ADAC1447∴＝，∴＝，∴DF＝. DFDCDF22

13. 解：在△AOC和△BOD中，∵OC＝OD，AC＝BD，OA＝OB，∴△AOC1

≌△BOD，∴阴影部分的面积为扇环的面积，即S阴影＝S扇形AOB－S扇形COD＝π

41

(OA－OC)＝π×(652－152)＝1000π(cm2)

4

2

2

14. (1) 证明：连接OB，如解图所示，

∵E是弦BD的中点，

︵︵1︵

∴BE＝DE，OE⊥BD，BF＝DF＝BD，∴∠BOE＝∠BAD，∠OBE＋∠BOE

2＝90°，

8

∵∠DBC＝∠BAD，∴∠BOE＝∠DBC， ∴∠OBE＋∠DBC＝90°，∴∠OBC＝90°， 即BC⊥OB，∴BC是⊙O的切线；

(2) 解：∵OB＝6，BC＝8，BC⊥OB，∴OC＝OB2＋BC2＝10， ∵S11

△OBC＝2OC·BE＝2OB·BC，

∴BE＝OB·BC6OC＝×8

10＝4.8，

∴BD＝2BE＝9.6，即弦BD的长为9.6. 15.

图①

(1) 证明：如解图①，连接OD、AD，

∵点D是BC︵

的中点，

∴BD︵＝CD︵

，∴∠DAO＝∠DAC， ∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ODA， ∴∠DAC＝∠ODA，∴OD∥AE， ∵DE⊥AE，∴∠AED＝90°， ∴∠AED＝∠ODE＝90°， ∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；

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图②

(2) 解：如解图②，连接BC，

∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，

∵OD∥AE，∴∠DOB＝∠EAB， ∵∠DFO＝∠ACB＝90°， ∴△DFO∽△BCA， ∴OFAC＝ODAB＝12，即2AC＝12， ∴AC＝4.

16. (1) 证明：设∠BAD＝α，

∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD＝α，

∵AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°－2α，

∵BD是⊙O的切线，∴BD⊥AB，

∴∠DBE＝2α，∠BED＝∠BAD＋∠ABC＝90°－α，∴∠D＝180°－∠DBE－∠BED＝90°－α， ∴∠D＝∠BED，∴BD＝BE；

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(2) 解：设AD交⊙O于点F，

CE＝x，则AC＝2x，连接BF， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AFB＝90°， ∵BD＝BE，DE＝2， ∴FE＝FD＝1， ∵BD＝5，∴BF＝2，

∵∠BAD＋∠D＝90°，∠D＋∠FBD＝90°， FD1

∴∠FBD＝∠BAD＝α，∴tanα＝＝，

BF2BF2

∴AB＝＝＝25，

sinα5

5

在Rt△ABC中，由勾股定理可知(2x)2＋(x＋5)2＝(25)2， 3535

∴解得x＝－5(舍去)或x＝，∴CE＝. 5517. 证明：(1) 如解图，连接OB，

∵PA，PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，又OA＝OB，∴PO平分∠APC； (2) ∵OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠CAP＝∠OBP＝90°，∵∠C＝30°，∴∠APC

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11

＝90°－30°＝60°，∵PO平分∠APC，∴∠OPC＝∠APC＝×60°＝30°，

22∴∠POB＝90°－∠OPC＝90°－30°＝60°，又∵OD＝OB，∴△ODB是等边三角形，∴∠OBD＝60°，∴∠DBP＝∠OBP－∠OBD＝90°－60°＝30°，∴∠DBP＝∠C，∴DB∥AC.

18. 解：(1) 如解图，连接OD、AD，

∵DE切⊙O于点D，∴OD⊥DE，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴D是BC的中点，又∵O是AB中点，∴OD∥AC，∴DE⊥AC；

OD

(2) ∵AB＝10，∴OB＝OD＝5，由(1)得OD∥AC，∴△ODE∽△AEF，∴＝

AEOFBF＋OB5x＋51010＝，设BF＝x，AE＝8，∴＝，解得：x＝，经检验x＝AFBF＋AB8x＋103310是原分式方程的根，且符合题意，∴BF＝

3

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19. 解：∵圆锥的母线长为40，底面半径为10，∴圆锥展开图的圆心角＝×40180°＝90°，∴剪去扇形纸片的圆心角度数＝360°×30%－90°＝108°－90°＝18°

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