三角函数的图像与性质

三角函数的图象与性质

本节知识点：

1、函数yAsin(x)在R上的单调性 2、函数yAsin(x)在某个区间上的单调性 3、求函数yAsin(x)在某个区间的值域 4、换元法求三角函数的值域 5、轴动区间定

6、利用单调性比较两个三角函数值的大小 7、求函数yAsinx的周期

题型1、函数yAsin(x)在R上的单调性

题1：（课本71页T8） 函数ysin3x错解：由，xR在什么区间上是增函数？ 42423x2k 2k34422kxk 12343错误分析：ysin3x2k3x2k

4由ysinu和u3x4复合而成, ux是减函数，故

ysinu的减区间即为整个函数的增区间。

fsin1 1244 f3sin1

444

ff 124 fx在正解1.

22k,k不是增函数

4312332k 4222k3x

52k3x2k 44522k kx123123 

正解2. ysin3x

sin3x 4432k

24237 2k3x2k

44272 kxk

431232k3x

备注：复合函数的单调性：“同增异减”，即“同增为增，同减为增，一增一减为减” 2 函数y2sin2x的单调递增区间是3

Ak12,k5 Bkzk,kkz 1222 Ck55,kkz D2k,2kkz 12121212 注：y2sinu和u2x3，其中u为增，y2sinu为增，则整体为增，

22ku22k，52k2x2k 66 若题目改为y2sin2x 方法一：3，求增区间。 322k2x222k

方法二：y2sin2x

3

2k2x32k

32题型2、函数yAsin(x)在某个区间上的单调性

例1：求函数ysin11x,x2,2的单调递增区间。

32分析：我们可以利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间。 解：令z

1x。函数ysinz的单调递增区间是2k,2k 2322

由254kx4k,kZ 得33设A2,2，Bx2k1xy2k 23254kx4k,kZ 33易知A5B,

33115x,x2,2的单调递增区间是, 2333所以函数ysin

（2）函数y2sin( (A)[0,

62x)(x[0,])为增函数的区间是( )

3] (B)[12,7] 12 (C) [3,5] 6

(D)[5,] 6题型3、求函数yAsin(x)在某个区间的值域 例1：求函数y2sin(2x解： 3)在x[,]的值域 666x6 32x3

2 0sin(2x)1 0y2

3332（3）函数y2cos(x)(≤x≤)的最小值是（ ）

363 02x(A)2 (B)3 (C)1 (D)1

题型4、换元法求三角函数的值域

例1：求函数的值域：（1）ytanx2tanx,x[22,)；（2）ycosxsinx2 4222解：（1）令ttanx，则t[1,)，yt2t(t1)1

当t1时，ymin1 所以值域为t[1,)

2（2）y(1sinx)sinx21sinxsinx2sinxsinx1

22

令tsinx，则t[1,1] ytt1(t)当t21223 413时，ymin，当t1时，ymax3 243所以值域为[,3]

4

题型5、轴动区间定

2例1：设关于x的函数y2cos的最小值f(a)，试确定满足x2acosx(2a1)1的实数a的值，并对此时的a值求y的最大值。 2 解：令cosxt （1t1）

f(a)=

a2a2y2t2at(2a1)=2(tat)2a1

4222a2a2t)a2 1 2( (1t1) 22当

a1，即a2时，f(t)在1,1单调递增 2yminf(1)22a2a11（舍）

aaa212a1 当11，即2a2时，yminf()2222a24a210 (a1)(a3)0 a1或a3（舍） a1，即a2时，f(t)在1,1单调递减 211yminf(1)22a2a1 a（舍）

28a1

当

题型6、利用单调性比较两个三角函数值的大小

例1：利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小。 （1）sin与sin； 1810

（2）cos1723与cos45 分析：利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小，可以先用诱导公式将已知角化为同一单调区间的角，然后在比较大小。 解：（1）因为 210180

正弦函数ysinx在区间（2）

,0上是增函数，所以，sin>sin 2181023323coscoscos,555

1717coscoscos444因为043，且函数ycosx，x0,是减函数，所以 535 coscos即cosx41723cos45 

题型7、求函数yAsinx的周期

例1：（1）函数ysinx的最小正周期是（ ） 2(A)

 (B) (C) 2 (D) 4 2

例1．（2009浙江理）已知a是实数，则函数f(x)1asinax的图象不可能是 ( ) ．．．

解析 对于振幅大于1时，三角函数的周期为T2,aa1,T2，而D不符合要

求，它的振幅大于1，但周期反而大于了2．答案：D 1. 函数y = －x·cosx的部分图象是( D )

2、函数f(x)2sin|x

|的部分图象是 （ ）

y 2 O x A

2y 2 O x B

y 2 O x C y 2 O x D 56