二重积分积分区域的对称性

定理4 设二元函数f(x,y)在平面区域D连续，且D关于x轴对称,则 1)当f(x,y)f(x,y)(即f(x,y)是关于y的奇函数）时,有

f(x,y)dxdy0 .

D2）当f(x,y)f(x,y)（即f(x,y)是关于y的偶函数)时，有

Df(x,y)dxdy2f(x,y)dxdy .

D1其中D1是由x轴分割D所得到的一半区域。 例5 计算I32y2x与x2围成的区域。 (xyy)dxdy,其中为由DD解：如图所示，积分区域D关于x轴对称,且

f(x,y)(xyy3)f(x,y)

即f(x,y)是关于y的奇函数,由定理1有

Df(xyy3)dxdy0.

类似地，有：

定理5 设二元函数f(x,y)在平面区域D连续，且D关于y轴对称，则

D2f(x,y)dxdy,当f(x,y)f(x,y).f(x,y)dxdyD2

0,当f(x,y)f(x,y).其中D2是由y轴分割D所得到的一半区域.

例6 计算I2xydxdy,其中D为由Dy2x2;y-2x2及y0所围。

解：如图所示，D关于y轴对称,并且

f(x,y)x2yf(x,y)，即被积分函数是关于x轴

的偶函数，由对称性定理结论有:

Ixydxdy2xydxdy2dxDD102212x20x2ydxdy2. 15定理6 设二元函数f(x,y)在平面区域D连续,且D关于x轴和y轴都对称，则 （1）当f(x,y)f(x,y)或f(x,y)f(x,y)时,有

Df(x,y)dxdy0 。

(2）当f(x,y)f(x,y)f(x,y)时，有

Df(x,y)dxdy4f(x,y)dxdy

D1其中D1为由x轴和y轴分割D所的到的1/4区域。 9例7 计算二重积分I

解：如图所示，D关于x轴和y轴均对称，且被积分函数关于x和y是偶函数，即有

(xDy)dxdy,其中D:xy1 .

f(x,y)f(x,y)f(x,y)，由定理2，得

I(xDy)dxdy4(xy)dxdy

D1其中D1是D的第一象限部分，由对称性知，

D1xdxdyD1ydxdy，

4. 3故I4(xy)dxdy4(xx)dxdy8xdxdyD1D1D1情形二、积分区域D关于原点对称

定理7 设平面区域DD1D2,且D1,D2关于原点对称,则当D上连续函数满足 1)f(x,y)f(x,y)时，有

f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdy

DD12）f(x,y)f(x,y)时，有

f(x,y)dxdy0.

D33(xy)dxdy,D为D 例8 计算二重积分

yx3与yx所围区域.

解:如图所示,区域D关于原点对称，对于被积函数f(x,y)xy,有

33f(x,y)(x)3(y)3(x3y3)f(x,y)，有定理7，得

33(xy)dxdy0. D情形三、积分区域D关于直线yx对称

定理8 设二元函数f(x,y)在平面区域D连续,且DD1D2,D1,D2关于直线yx对称,则 1）

f(x,y)dxdyf(y,x)dxdy；

DDD2f(x,y)dxdyf(x,y)dxdy.

D12）当f(y,x)f(x,y)时，有3）当f(y,x)f(x,y)时，有

f(x,y)dxdy0.

DDf(x,y)dxdy2f(x,y)dxdy。

D1x2y2222例9 求I(22)dxdy，D为xyR所围.

abD解：积分区域D关于直线yx对称,由定理8,得

x2y2y2x2(22)dxdy(22)dxdy， ababDDx2y21x2y2y2x2故 I(22)dxdy[(22)dxdy(22)dxdy]

ab2DababDDR111111222(22)(xy)dxdy(22)dr2rdr

002abD2ab4R4(11). 22ab类似地，可得：

定理9 设二元函数f(x,y)在平面区域D连续，且DD1D2，D1,D2关于直线yx对

称，则 （1）当f(y,x)f(x,y)，则有（2）当f(y,x)f(x,y)，则有

f(x,y)dxdy0；

DD1Df(x,y)dxdy2f(x,y)dxdy。

22(xy)arcsin(xy)dxdy，其中D为D例10 计算I区域：0x1，1y0 。

解：如图所示,积分区域D关于直线yx对称,且满足

f(y,x)f(x,y)，

由以上性质，得：

I(x2y2)arcsin(xy)dxdy0.

D注：在进行二重积分计算时，善于观察被积函数的积分区域的特点,注意兼顾被积函数的奇偶性和积分区域的对称性,恰当地利用对称方法解题，可以避免繁琐计算，使二重积分的解答大大简化。