应变片测量钢丝的杨氏模量

ＰＨＹＳＩＣＡＬＥＸＰＥＲＩＭＥＮＴＯＦＣＯＬＬＥＧＥ

大学物理实验

Ｖｏｌ.３１Ｎｏ.１Ｆｅｂ.２０１８

文章编号:１００７￣２９３４(２０１８)０１￣００１９￣０４

应变片测量钢丝的杨氏模量

周旭汀ꎬ马　彦ꎬ唐　芳∗

(北京航空航天大学ꎬ北京　１００１９１)

摘关

键

要:应变片法操作简单ꎬ可以快速完成测量ꎬ并且该方法在一般实验室都可实现ꎬ也适用其它词:钢丝杨氏模量ꎻ应变片ꎻ惠斯通电桥

文献标志码:Ａ

ＤＯＩ:１０.１４１３９/ｊ.ｃｎｋｉ.ｃｎ２２￣１２２８.２０１８.０１.００６

金属材料杨氏模量的测量ꎮ中图分类号:Ｏ４￣３４

　　杨氏模量是描述材料形变与应力关系的重要特征量ꎬ它是工程技术中常用的一个参数ꎮ测量材料的杨氏模量的方法有很多ꎬ最常用的有光杠杆法ꎮ

光杠杆法巧妙地利用光杠杆和多次反射将微小的形变得以放大.然而实验中由于光路较长ꎬ调节光路比较困难ꎬ经常会找不到像或找到的像不清晰ꎬ由此会给测量带来不便ꎮ

纯光学方法的不便让我们考虑到可以用电学方法使实验更加快捷又能有较精确的实验结果ꎮ用惠斯通电桥直接测量钢丝电阻变化来测量钢丝杨氏模量的方法已经被证明可行[１]ꎮ我们用实验室待测钢丝的参数预估了直接测钢丝电阻的可行性ꎬ并针对面临的困难ꎬ提出了用应变片测量钢丝的杨氏模量ꎬ放大了电阻的变化ꎬ从而降低了对实验仪器的要求ꎮ最后分析了应变片测量钢丝杨氏模量的误差来源和操作要点ꎮ

这种力学量ꎮ

将式(１)可取对数后进行微分得ｄＲｄＬｄＡｄρ＝－＋ＲＬＡρ式中ꎬ

(２)

ｄＬ

为金属丝长度的相对变化ꎬ用轴向Ｌ

ｄＬｄＡꎮ是截面积的相对变化ꎮＬＡ

ｄＡｄｒｄｒ

＝２ꎮ是金属Ａｒｒ

应变ε表示ꎬ即ε＝

Ａ＝πｒ２(ｒ为金属丝的半径)ꎬ

丝半径的相对变化ꎬ即径向应变εｒ[２]ꎮ应变与径向应变有下列关系:

εｒ＝－με

金属丝轴向伸长的同时径向缩小ꎬ所以轴向

(３)

μ为金属材料的泊松比[３]ꎮｄρｄＶ＝ＣρＶ

根据实验ꎬ金属材料电阻率相对变化与其体积的相对变化之间的关系为:

(４)

１　实验原理

金属丝的电阻Ｒ与其长度Ｌ成正比ꎬ与其截面积Ａ成反比ꎬ即

Ｒ＝ρ

Ｌ

Ａ

(１)

Ｖ＝Ａ􀅰Ｌꎬ我们可以导出:

ｄＲ

＝ＫＳεＲ

Ｃ为金属材料的一个常数ꎬ如铜丝Ｃ＝１ꎮ由

(５)

ＫＳ称为金属丝灵敏系数ꎬ其物理意义是单位应变引起的电阻相对变化ꎮ可见ＫＳ由两部分组成ꎬ前一部分由金属丝的几何尺寸变化引起ꎬ一般金属的μ在０.３左右[４]ꎬ因此１＋２μ≈１.６ꎬ后一部分为电阻率随应变而引起变化的部分ꎬ它除与金

金属丝被拉伸后ꎬ会沿其轴线方向受力产生形变ꎬ其长度和横截面积都会发生相应的变化ꎬ则其电阻值也随之发生变化ꎮ因此ꎬ我们可以通过测量电阻变化量这种电学量来测量金属丝的应变

收稿日期:２０１７￣１０￣２８∗通讯联系人

２０

应变片测量钢丝的杨氏模量

属丝几何尺寸有关外还与金属本身的特性有关ꎮＫＳ对于一种金属材料在一定应变范围内是一常数ꎬ于是得出:

ΔＬΔＲ＝ＬＲＫＳ

量ꎬ由式(６)可以得出金属丝的应变ꎮ

为了测量金属丝电阻的相对变化量ꎬ惠斯通电桥如图１所示ꎮ(Ｒ１为金属丝电阻)ꎮ

(６)

电压的变化量太小ꎬ实验室的普通设备难以测量微伏级别的电压ꎬ可以考虑用适当的放大器放大电压测量[７]ꎮ从式(８)也可以看出ꎬΔＵＢＤ与Ｒ１０成正比ꎬ因此我们可以考虑增大钢丝的阻值ꎬ比如选择更细更长的钢丝ꎬ但这样又会带来新的问题:太长的钢丝难以被拉直ꎬ太细的钢丝容易被拉断ꎮ

因此ꎬΔＵＢＤ不便测得ꎬ但直接测量钢丝的电阻变化测量杨氏模量这种方法给了我们启发ꎬ我们将直接测量钢丝电阻变化换成了测量贴在钢丝因此ꎬ只要测量出了金属丝电阻的相对变化

图１　惠斯通电桥

ＵæＲＲＢＤ＝ç４

èＲＵ３＋Ｒ４－Ｒ２ö÷Ｕ１＋Ｒ２ø

Ｓ

ＢＤ表示ＢＤ两端电压ꎬＲ四个桥臂的电阻ꎬＵ１、Ｒ２、Ｒ(７)

３、Ｒ４是电桥

Ｓ是电源输出电压ꎬＲ的初始电阻ꎬ若Ｒ１０是钢丝１发生变化ΔＲ１ꎬ由于ΔＲ１≪Ｒ１０ꎬ

由(７)式可得ΔＵΔＲＢＤ≈

(Ｒ１Ｒ２

ＵＳꎬ因此有

ΔＲ１０＋Ｒ２)２

Ｒ１(Ｒ１０＋Ｒ２)结合(６)１０＝２

Ｒ式金属丝的杨氏模量可表示为１０Ｒ２ＵＳ

ΔＵＢＤꎬ:

Ｆ

Ｅ＝ΔＬＳ

４ＦＫＳＲ１０ＵＬ

＝

Ｓ＋ＲπＤ２ΔＵＲ２ＢＤ(Ｒ１０２)２(８)

式中ꎬＦ表示施加在金属丝两端的拉力ꎬＳ表示金属丝的横截面积ꎬΔＬ表示金属丝长度的变化量ꎬＬ表示金属丝的原长ꎬＤ表示钢丝的直径ꎮ

将钢丝接入惠斯通电桥ꎬ通过测量电压的变化量ΔＵＢＤ得到钢丝的杨氏模量ꎮ实验室待测钢丝的长度约为５０ｃｍꎬ直径为０.７９６ｍｍꎬ钢丝的电阻率约为０.６×１０－６始电阻ＲΩ􀅰ｍꎬ由式(１)知ꎬ钢丝的初钢丝的１０约为０.６Ω.Ｋ的典型值为３.１[５]ｐａ

ꎬ取ＵＳ[６]

ꎬＥ约为２×１０１１

ΔＵＳ＝５ＢＤ没有影响ꎬ因此可以任意取值ＶꎬＲ２＝５０ΩꎮＲ３和Ｒꎮ将数值代入４的取值对

式(８)ꎬ当拉力每增加３ｋｇ的时侯ꎬΔＵＢＤ＝５５ｕＶꎮ

上的阻值较大的应变片的电阻变化ꎬ将待测电阻的变化放大ꎮ其实验原理和测量钢丝电阻变化实验的原理几乎一样ꎬ只是图１惠斯通电桥中的Ｒ是贴在钢丝上的应变片电阻ꎮ

１应变片是由⌀＝０.０２~０.０５ｍ９的康铜丝或镍铬丝绕成栅状(或用很薄的金属箔腐蚀成栅状)夹在两层绝缘薄片中(基底)制成[８]线与应变片丝栅连接ꎬ作为电阻片引线ꎮꎮ

用镀银铜为表示应变片的电阻变化与试件应变的关

系ꎬ引入应变片的灵敏系数Ｋꎬ定义为:试件受到一维应力的作用时ꎬ如应变片的主轴线与应力方向一致ꎬ则应变片的电阻变化率ΔＲ

Ｒ

和试件主应力方向的应变εｘ＝ｄＬ

Ｌ

之比称为应变片的灵敏系ΔＲ

数[９]ꎬ即:Ｋ＝εＲ

ｘ

ꎮ

由于粘结剂传递形变的失真与应变片的横向变形等因素的影响ꎬ应变片的灵敏系数Ｋ总是小

于应变片丝栅的灵敏系数ＫＳ给出ꎮ

ꎮＫ值由生产厂家所以只要测出应变片阻值的相对变化ꎬ便可得出被测试件的应变ꎮ

实验室的应变片的候ꎬΔＵ５ＶꎬＲ当拉力每增加Ｋ为２ꎬ其电阻约３ｋｇ１２０Ωꎬ取ＵＳ＝２＝５０Ωꎮ的时ＢＤ的仪器准确测量≈０.６３ｍＶꎬ[１０ꎬ１１]该电压变化值很容易被普通ꎮ

２　实验装置

实验装置分为拉伸装置(如图２所示)和惠斯通电桥(如图１所示)ꎮ拉伸装置中ꎬ钢丝两端固定ꎬ通过转动旋钮Ｓ来改变施加在钢丝两端的拉力ꎬ拉力可以通过拉力显示屏读出ꎮ应变片贴

应变片测量钢丝的杨氏模量

２１

合在钢丝上ꎬ两端接入惠斯通电桥ꎬ即Ｒ１是贴在金属丝上的应变片ꎮ为了提高实验精度ꎬ本实验做了如下工作:

Ｒ２ꎬ将应变片Ｒ１贴合在钢丝上ꎮ转动旋钮不断增

加施加给钢丝的拉力ꎬ以３ｋｇ为间隔记录ＵＢＤꎮ由于拉力装置施加的拉力会随时间增加而变小ꎬ图２　拉伸装置

１)被测物体有自我膨胀系数温度补偿法:

ꎬ会随着温度的变

化伸长或缩短ꎬ因此如果温度发生变化ꎬ即使不施加外力ꎬ贴在被测定物上的应变片也会测到应变ꎬ从而带来误差ꎬ为了解决这个问题ꎬ可以应用温度补偿法ꎮ

图１中ꎬ测量钢丝应变时ꎬ工作应变片Ｒꎬ补偿应变片Ｒ１粘

贴在被测钢丝表面上ꎬ只有工作应变片承受应变２贴在与被测

件完全相同的钢丝上ꎮ

Ｕ(ＲＵＳ

ＢＤ＝３＋Ｒ４)(Ｒ１＋Ｒ２)(Ｒ４Ｒ１－Ｒ２Ｒ３)(９)

由上式可知ꎬ当Ｒ３和Ｒ４为常数时ꎬＲ对电桥输出电压Ｕꎬ当温度升高或１和Ｒ２

ＢＤ的作用相反降低Δｔ时ꎬ两个应变片因温度引起的电阻变化量相等ꎬ它们的变化互相抵消ꎬ几乎不会引起ＵＢＤ的变化ꎮ

２)由于钢丝的直径比较细应变片尺寸大小

ꎬ若应变片的尺寸比

较大ꎬ应变片的形变和钢丝的形变不完全一致ꎮ实验中ꎬ用螺旋测微器测量钢丝上中下三部分的直径各一次ꎬ如表１所示ꎮ钢丝的直径Ｄ取平均值为０.７９７ｍｍꎬ故选取丝栅尺寸０.５∗０.５ｍｍ的小应变片ꎮ

表１　钢丝直径变化

上

０.７９８Ｄｍｍ０.７９６Ｄ中

ｍｍ０.７９８Ｄ下

ｍｍ０.７９７Ｄ平均

ｍｍ３　实验数据

连接好惠斯通电桥ꎬ并以应变片为桥臂Ｒ１和

并且钢丝的变形滞后于施力ꎬ实验分别记录了拉

力增加和减小时对应的Ｕ＋ＢＤ和Ｕ－ＢＤＵ－

ꎮＵＢＤ＝(Ｕ＋

ＢＤ＋ＢＤＵ)/２ꎮ用台式万用表测得Ｒ１０＝１２０.９６１Ωꎬ取

９９.５４２ΩꎬＳ＝５.０Ｖꎬ如表Ｒ２２＝所示９９.ꎮ

６７８ΩꎬＲ３＝９９.７３５ΩꎬＲ４＝表２　测量结果

ｉＦ/ｋｇＵ＋

ＢＤ１

２０.０２４３.８３/ｍｖ

Ｕ－

ＢＤ２４３.８３/ｍｖ

ＵＢＤ２４３.８３

/ｍｖ３３.０２４４.５０２４４.４９４６.０５９.０

２４５.１６２４５.８３２４５.１７２４４.４９５２４５.１６５６１２.０２４６.４９２４５.８２２４５.８２５７１５.０２４７.１９２４６.４７８１８.０２１.０２４７.８９２４７.１８２４７.１８５２４６.４８２４８.５７２４７.８７２４７.８８１０９

２４.０２７.０２４９.２６２４８.５９２４９.９７

２４９.２９２４９.９８

２４９.２７５２４８.５８２４９.９７５

逐差法求ＵＢＤ的改变量ΔＵＢＤ(Ｕꎮ其中(ΔＵＢＤ)ｉ

ＢＤ)ｉ变化＝(ＵＢＤ)ｉ＋５￣ꎮ

ꎮ表３为逐差法求ＢＤ间电压

表３　逐差法求ＢＤ间电压变化

ｉ１２３４５平均ΔＵＢＤ/ｍｖ

３.３５５

３.３８５

３.４１５

３.４５

３.４９５

３.４２

ΔＵＢＤ表示ΔＵＢＤ的平均值Ｆ

Ｅ＝ΔＬＳ

４ＦＫＳＲ１０ＵＳＲＬ

＝

πＤ２ΔＵ２ＢＤ(Ｒ１０＋Ｒ２)２＝

π×(０４×１５×９.８０１２×２×１２０.９６１×５.０×＝２.１３.７９７××１０－３１０１１)２ｐａ

×３.４２×１０－３×(１２０.９６１９９＋.６７８

９９.６７８)２

ｐａ

(北京地区ｇ＝９.８０１２ｍ/ｓ２)４　误差分析

由表４可知ｕ(Ｆ)ꎬｕ(Ｄ)ꎬｕ(􀅰ＵＢＤ较大ꎬ即误差主要来自测力、直径测量和)ＢＤ的影响

间电压变化ꎬ我们可以通过提高实验装置的精度进一步提高我们测量结果的准确度ꎮ

２２

应变片测量钢丝的杨氏模量

表４　各物理量对杨氏模量不确定度的影响物理量ＦＤΔＵＢＤＲ１０Ｒ２

影响３.８×１０－３７.５×１０－３

０.１６２.７９×１０－４２.７９×１０－４

参考文献:

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(５):４０￣４５.

验竞赛试题的解答与考试评析[Ｊ].物理实验ꎬ２０１４

除了上述提到的误差来源以外ꎬ应变片与钢丝贴合不完全导致形变不完全一样ꎻ应变片焊入电路的接触电阻ꎻ钢丝拉伸后自动回缩导致拉力不稳定都会引起一定的实验误差ꎮ

[２]　夏樟根ꎬ俞嘉隆.杨氏模量用电学量转换测量的设

计[Ｊ].大学物理实验ꎬ２００５(１):５￣７.

[３]　刘家菊ꎬ钱良存.杨氏杨氏模量非电量电测法[Ｊ].牡

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[４]　张万松ꎬ周广刚ꎬ邵长金.剖析钢丝杨氏模量测量中

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(２):２１８￣２２１.

５　结　论

针对光杠杆法测杨氏模量光路调整的困难ꎬ提出了用电学方法测量钢丝的杨氏模量ꎮ基于惠斯通电桥ꎬ首先验证了直接测量钢丝电阻变化测其杨氏模量的可行性ꎬ发现在钢丝变形满足胡克定律的前提下ꎬ电阻的变化量非常小ꎬ导致待测电压变化过小ꎬ对测量仪器要求高且误差大ꎮ基于此我们提出了应变片法ꎬ将钢丝的形变转换成应变片的电阻值的变化ꎬ电阻的变化放大ꎬ待测电压值变大ꎬ可以方便快捷地测量出钢丝的杨氏模量ꎮ需要的仪器也很简单ꎬ在一般实验室都可以实现测量ꎬ在工程上对其它类似金属材料杨氏模量的测量也同样适用ꎮ

与应用[Ｊ].河北师范大学学报(自然科学版)ꎬ１９９９

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ＭｅａｓｕｒｉｎｇＹｏｕｎｇ’ｓＭｏｄｕｌｕｓｏｆＳｔｅｅｌＷｉｒｅｖｉａＳｔｒａｉｎＧａｕｇｅｓ

ＺＨＯＵＸｕ￣ｔｉｎｇꎬＭＡＹａｎꎬＴＡＮＧＦａｎｇ∗

(ＢｅｉｈａｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙꎬＢｅｉｊｉｎｇ１００１９１)

Ａｂｓｔｒａｃｔ:ＵｓｉｎｇｓｔｒａｉｎｇａｕｇｅｓｔｏｍｅａｓｕｒｅＹｏｕｎｇ’ｓｍｏｄｕｌｕｓｏｆｓｔｅｅｌｗｉｒｅｉｓｑｕｉｔｅｓｉｍｐｌｅａｎｄｔｉｍｅｓａｖｉｎｇꎬａｎｄｉｔｉｓｆｅａｓｉｂｌｅｉｎｍｏｓｔｌａｂｏｒａｔｏｒｉｅｓ.ＷｅｃａｎａｌｓｏｕｓｅｔｈｉｓｗａｙｔｏｍｅａｓｕｒｅＹｏｕｎｇ’ｓｍｏｄｕｌｕｓｏｆｏｔｈｅｒｍｅｔａｌ.Ｋｅｙｗｏｒｄｓ:Ｙｏｕｎｇ’ｓｍｏｄｕｌｕｓｏｆｓｔｅｅｌｗｉｒｅꎻｓｔｒａｉｎｇａｕｇｅｓꎻＷｈｅａｔｓｔｏｎｅｂｒｉｄｇｅ