高中数学不等式的性质教学设计 (1)

●课 题

§6.1.2 不等式的性质(二) ●教学目标 (一)教学知识点

1.不等式的性质定理1，定理2，定理3及其推论.

2.不等式性质定理1，定理2，定理3及其推论的证明方法. (二)能力训练要求

1.掌握不等式性质定理1、2、3及推论的证明，初步理解证明不等式的逻辑推理方法. 2.理解定理3是移项法则的依据.

3.能运用不等式性质定理及推论解决一些简单的问题. (三)德育渗透目标

通过对不等式性质定理的掌握，培养学生灵活应变的解题能力和思考问题严谨周密的习惯.

●教学重点

掌握不等式性质定理1、2、3及推论，注意每个定理的条件.理解不等式的性质，是不等式变形的理论依据.

●教学难点

1.理解定理1、定理2的证明，即“a＞bb＜a和a＞b，b＞ca＞c”的证明.这两个定理证明的依据是实数大小的比较与实数运算的符号法则.

2.定理3的推论，即“a＞b，c＞da＋c＞b＋d”是同向不等式相加法则的依据.但两个同向不等式的两边分别相减时，就不能得出一般结论.

●教学方法

引导启发结合法——即在教师引导下，由学生利用已学过的有关知识，顺利完成定理的证明过程及定理的简单应用.

●教具准备 幻灯片两张.

第一张：记作§６.1.2 A

1.比较两实数大小的依据： a>ba-b>0 a=ba-b=0 a(一)打出投影片§6.1.2 A，让学生解决下面问题：

［师］请同学们回顾一下，我们比较两实数大小的理论依据是什么? ［生］我们比较两实数大小的理论依据是三个“等价”关系，即

a>ba-b>0

a=ba-b=0

a［师］我们用“作差法”比较两实数的大小，其一般步骤是什么? ［生］用“作差法”比较两实数的大小，一般分三步.即：

第一步：作差并化简，其化简目标应是n个因式之积或完全平方或常数的形式. 第二步：判断差值与零的大小关系，必要时进行讨论. 第三步：得出结论.

［师］已知x，y均为正数，设m＝

114，n＝，试比较M和N的大小. xyxy分析：在此题中，变形过程较灵活，既要通分，又要进行因式分解，使同

学们正确运用完全平方公式. ［生］M－N＝（

114）－ xyxy＝

xy4 xyxy(xy)24xy＝

xy(xy)(xy)2＝ xy(xy)∵x，y均为正数

2

∴x＞0，y＞0，xy＞0，x＋y＞0，（x－y）≥0 ∴M－N≥0 即M≥N.

(二)打出投影片§6.1.2 B，使学生熟练口述初中已学过的不等式的三条基本性质. ［师］请同学们回顾初中我们学过的不等式的基本性质是什么? ［生］(口述)不等式的基本性质是：

基本性质1 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变. 基本性质2 不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变. 基本性质3 不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变. ［师］我们不仅从文字上理解不等式基本性质，更重要的是我们要理解掌握其数学含义，

即

(1)若a＞b，则a＋c＞b＋c，a－c＞b－c；

ab＞； ccab(3)若a＞b，c＜0，则ac＜bc，＜.

cc(2)若a＞b，c＞0，则ac＞bc，

［师］自然界中的等量关系是相对的，而不等关系是绝对的，不等量关系比等量关系的存在更具有普遍性，所以不等关系的研究具有重要的意义，是中学数学的重要内容.我们将在前面学过的一元一次不等式、一元二次不等式和含绝对值的不等式的解法的基础上，进一步学习不等式的重要性质.

Ⅱ.讲授新课

［师］课本中定理1～定理3的证明，都是以实数的运算性质与大小顺序之间的关系为依据，并直接运用实数运算的符号法则(如：正数的相反数是负数；负数的相反数是正数，两个正数的和仍是正数，同号相乘得正，异号相乘得负)来确定差的符号.

定理1 如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.

［师］此定理分前、后两部分，让两个学生在理解实数运算的符号法则基础上板演证明过程.

［生甲］（证明定理1的前半部分） ∵a＞b ∴a－b＞0

由正数的相反数是负数，得 －（a－b）＜0 ∴b－a＜0 即b＜a.

［生乙］(证明定理1的后半部分) ∵b＜a ∴b－a＜0

由负数的相反数是正数，得 －（b－a）＞0 ∴a－b＞0 即a＞b.

［师生共析］定理1说明，把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向；定理1的作用是把用“＞”（或“＜”)连结的不等式等价地转化为用“＜”(或“＞”)连结的不等式，即a＞bb＜a.

注释：同向不等式——在两个不等式中，如果每一个的左边都大于(或小于)右边，这两

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个不等式就是异同向不等式.例如a＋2＞a＋1，3a＋5＞2a是同向不等式.

异向不等式——如果一个不等式的左边大于(或小于)右边，而另一个不等式的左边小于

22

(或大于)右边，这两个不等式就是异向不等式.例如a＋3＞2a，a＜a＋5是异向不等式.

定理2 如果a＞b，且b＞c，那么a＞c.

［师］同学们对定理2是容易理解的，但对它进行证明，却是比较困难的.为克服同学们出现下面两种问题：一是同学们可能认为没有必要进行证明；二是同学们不知道如何证明.我们可以先回答下面问题：“如果a＞b，则

11与谁大?”大家可能有如下答案(学生思考并ab回答)：学生甲：“若a＞b，则

1111＞”；学生乙：“若a＞b，则＜”，很显然，学生甲、abab乙的答案是错误的，他们考虑问题都不全面.引导学生做出正确答案：“当a、b同号，即a＞b＞0或0＞a＞b时有

1111＜；当a、b异号，即a＞0＞b时有＞”.这就告诉我们，abab任何一个命题要判断其真假，我们不能只看其表，必固其根本.因此，我们掌握定理2的证

明是非常必要的.

［生］(在教师指导下让学生完成证明过程) ∵a＞b，b＞c

∴a－b＞0，b－c＞0.

根据两个正数的和仍是正数，得 （a－b）＋（b－c）＞0 ∴a－c＞0 即a＞c.

［师生共析］运用定理1、可将定理2改写为：如果a＜b，b＜c，那么a＜c，即a＜b，b＜ca＜c；定理2是不等式的传递性(a＞b且b＞ca＞c），它是“放缩”不等式的依据.

定理3 如果a＞b，那么a＋c＞b＋c.

［师］在引导学生证明定理1，定理2的基础上，使学生明确定理3的实质是：“在a＞b的条件下，比较a＋c与b＋c的大小.”这样学生就可运用实数的运算性质与大小顺序之间的关系顺利完成定理3的证明过程.

［生甲］∵a＞b ∴a－b＞0 ∴（a＋c）－（b＋c）＝a－b＞0 即a＋c＞b＋c

［生乙］∵a＞b ∴a－b＞0∴a－b＋c－c＞0(利用互为相反的两个数和是零) ∴（a＋c）－（b＋c）＞0 即a＋c＞b＋c.

［师生共析］定理3说明，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.利用定理3，可以得出：“如果a＋b＞c，那么a＞c－b”.［这是因为：a＋b＞ca＋b＋（－b）＞c＋（－b）a＞c－b］.也就是说：“不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边.”显然，定理3的逆命题也成立.

想一想：如果a＜b，是否有a＋c＜b＋c？ ［生］答案是肯定的.这是由于： a＜ba－b＜0

∴（a＋c）－（b＋c）＝a－b＜0 即a＋c＜b＋c.

定理3推论 如果a＞b，且c＞d，那么a＋c＞b＋d.

［师］定理3的推论是同向不等式相加，要多次运用定理3然后由定理2证出，灵活变形，选出恰当方法.

［生甲］∵a＞b，c＞d ∴a－b＞0，c－d＞0

∴（a＋c）－（b＋d）＝（a－b）＋（c－d）＞0(两个正数的和仍为正数) ∴a＋c＞b＋d. ［生乙］∵a＞b

∴a＋c＞b＋c 又∵c＞d ∴b＋c＞b＋d

∴由不等式的性质定理2，得 a＋c＞b＋d.

［师生共析］对于定理3的推论，很明显，它可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加.这就是说，两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向.

评述：定理3是不等式移项法则的基础；定理3的推论是同向不等式相加法则的依据，但两个同向不等式的两边分别相减时，就不能作出一般的结论.例如：

“5＞3且4＞2有5－4＝3－2”； “8＞3且4＞2有8－4＞3－2”；

“6＞4且3＞－５有6－3＜4－（－5）”.

课本［例3］已知a＞b，c＜d，求证a－c＞b－d.

［师］不等式的性质运用时较为灵活，熟练掌握其性质是解决不等式问题的关键. 分析：思路一：证明“a－c＞b－d”，实际是根据已知条件比较a－c与b－d的大小，所以以实数的运算性质与大小顺序之间的关系为依据，直接运用实数运算的符号法则来确定差的符号，最后达到证题目的.

［生］∵a＞b，c＜d ∵a－b＞0，d－c＞0 ∴（a－c）－（b－d）

＝（a－b）＋（d－c）＞0(两个正数的和仍为正数) 故a－c＞b－d. 思路二：我们已熟悉不等式的性质中的定理1～定理3及推论，所以运用不等式的性质，加以变形，最后达到证明目的.

［生］∵c＜d ∴－c＞－d 又∵a＞b

∴a＋（－c）＞b＋（－d） ∴a－c＞b－d Ⅲ.课堂练习

1.判断下列命题的真假，并说明理由： (1)如果a＞b，那么a－c＞b－c；

(2)如果a＞b，那么

ab＞. cc分析：从不等式性质定理找依据，与性质定理相违的为假，与定理相符的为真. 答案：(1)真.因为推理符号定理3.

(2)假.由不等式的基本性质2，3(初中)可知，当c＜0时，

ab＜.即不等式两边同乘cc以一个数，必须明确这个数的正负.

2.回答下列问题：

（1)如果a＞b，c＞d，能否断定a＋c与b＋d谁大谁小?举例说明； (2)如果a＞b，c＞d，能否断定a－2c与b－2d谁大谁小?举例说明.

答案：(1)不能断定.例如：2＞1，1＜32＋1＜1＋3；而2＞1，－1＜－0.８2－1＞1－0.８.异向不等式作加法没定论.

(2)不能断定.例如a＞b，c＝1＞d＝－1a－2c＝a－2，b＋2＝b－2d，其大小不定.a＝８＞1＝b时a－2c＝６＞b＋2＝3.而a＝2＞1＝b时a－2c＝0＜b＋2＝3.

3.求证：(1)如果a＞b，c＞d，那么a－d＞b－c； (2)如果a＞b，那么c－2a＜c－2b.

abadbd证明：(1)cdcdadbc.

bcbd(2)a＞b－2a＜－2bc－2a＜c－2b. 4.已和a＞b＞c＞d＞0，且

ac，求证：a＋d＞b＋c. bdac bdabcd∴ bd证明：∵

∴（a－b）d＝（c－d）b. 又∵a＞b＞c＞d＞0

∴a－b＞0，c－d＞0，b＞d＞0且∴

b＞1 dabb＞1 cdd∴a－b＞c－d 即a＋d＞b＋c.

评述：此题中，不等式性质和比例定理联合使用，使式子形与形之间的转换更迅速.这道题不仅有不等式性质应用的信息，更有比例的信息，因此这道题既要重视性质的运用技巧，也要重视比例定理的应用技巧.

Ⅳ.课时小结

本节课我们学习了不等式的性质定理1～定理3及其推论，理解不等式性质的反对称性(a＞bb＜a＝、传递性(a＞b，b＞ca＞c)、可加性(a＞ba＋c＞b＋c)、加法法则（a＞b，c＞da＋c＞b＋d），并记住这些性质的条件，尤其是字母的符号及不等式的方向，要搞清楚这些性质的主要用途及其证明的基本方法.

Ⅴ.课后作业

(一)课本P８习题6.1 4.（1）、（2）

(二)1.预习内容：课本P６～７不等式性质定理4及其推论，定理5及其证明方法. 2.预习提纲：

(1)预习定理4及其推论，理解不等式性质的可积性、乘法法则、乘方法则. (2)预习定理5，掌握用反证法证明不等式的开方法则. ●板书设计

§6.1.2 不等式的性质(二) 一、不等式的性质 二、不等式性质的证明 课时小结 定理1 例题 定理2 课后作业 定理3 课堂练习 推论