高三数学专题训练一

命题：宜昌金东方高中姚永兆 时间120分钟 满分150分

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为正确的

答案填在后面的表格中）（10×5=50） 1．1．如图，已知U是全集，M，P，S是U的非空子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A．(M∩P)∩S

2．已知函数

log2x(x0)f(x)x3(x0)

B．(M∩P)∪S D．(M∩P)∪ US

C．(M∩P)∩ US

，则

f[f(14)]的值是

A． 9

B．

19 C．－9 D．－

19

3．已知函数f (x) = 2 + logax(a＞0，且a≠1)，f – 1 (x)是f (x)的反函数，若f – 1 (x)的图像过点(6，4)，则a等于（ ） A．1

4．若函数

A．(

5．已知t〉0，关于x的方程xtx2

ax1x2 B．2 C．2 D．3

f(x)(a为常数)在(2,2)内为增函数，则实数a的取值范围是

12,)12,) B．[ C．(,12) D．(,12]

2，则这个方程有相异实根的个数是

A、0个或2个 B、0个或2个或4个

C、0个或2个或3个或4个 D、0个或1个或2个或3个或4个

6．设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（ ） ．．．．A．|a – b|≤|a – c| + |b – c| C．

7．已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点(f(1)1，f(0)2

a

B．a2 +

1a2≥a +

1ab1a

a3a1≤a2D．a – b +≥2

34, 0)对称，且满足

f(x)f(x32)，又

，则f(1)f(2)f(3)f(2009)

C．0

D．2

A．－2 B．–1

8．.对于R上可导的任意函数f(x)，若满足x1fx0则必有

A．f0f2＜2f1 C．f0f22f1

9．关于函数

f(x)sin(2x

B．f0f22f1

D．f0f2＞2f1

4)，有下列命题:

；

① 其表达式可写成

② 直线x8f(x)cos2x4是f(x)图象的一条对称轴；

③ f(x)的图象可由g(x)sin2x的图象向右平移④ 存在(0,)，使f(x)f(x3)4个单位得到；

恒成立

则其中真命题为

A．②③ B．①②

10．设函数fx的定义域为M，若函数fx满足：①fx在M内单调递增，②方程fx=x在M内有两个不等的实根，则称fx为递增闭函数。若fx=KK是递增闭函数，则实数K的取值范围是

A、,0 B、2, C、,2 D、2,0

二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分。请把答案填在答题卷对应题号后的

横线上） 11．若(a1)

12．已知p＞0，q＞0，p、q的等差中项为，且x = p +

211p1313C．②④ D．③④

x2(32a),则a的取值范围是 .

，y = q +

1q，则x + y的最小值为

13．碳14的衰变极有规律，其精确性可以称为自然界的“标准时钟”．碳14的“半衰期”

是5730年，即碳14大约每经过5730年就衰变为原来的一半，经探测，一块鱼化石中碳14的残留量约为原始含量的46.5%．设这群鱼是距探测时t年前死亡的，则t满足的关系式为 .

14．已知实数cf(x)lg(cx02，命题p:关于x的不等式xpx2c1对xR恒成立；命题q:函数

2x1)的定义域为R，若“且q”为假命题，“p或q”为真命题，则实

数c的取值范围是 。

15．设函数f(x)的定义域为R，若|f(x)|≤|x|对一切实数x均成立，则称f(x)为函数，下列函

数①f1(x) = xsinx，②f2(x) = （只填序号）．

三、解答题：(本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．（本小题满分12分） 已知关于x的不等式

a11xax2eexx1，③f3(x) =

x22x1，④f4(x) = ln(x2 + 1)中为函数的是

＞–4和|2x3|x在实数集R上的解集分别为A和B，

2∈ RA，且a∈B，求实数a的取值范围．

17．（本小题满分12分）

已知二次函数f (x) = ax2 + bx +与直线y = x相切于点A(1，1)

41（Ⅰ）求f (x)的解析式；

（Ⅱ）若对任意x∈[1，9]，不等式f (x– t)≤x恒成立，求实数t的取值范围．

18．本小题满分12分）

某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（注：利润与投资单位：万元）

y y 0.45 0.25 3.75 2.5 o 图1

1 1.8 x o 4 9 x

（I）分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式，并写出它们的函数关系式； （II）该企业现已筹集到10万元资金，并准备全部投入A、B两种产品的生产，问：怎

样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润为多少万元？

图2

19．（本小题满分12分）

宜昌稻花香集团产品开发中心主要从事新产品的研制和开发，该中心的第一实验室

的主要任务是对新开发的不同口感的饮料进行口感调和试验．口感的度量指标称为“口感度”，即该饮料中所含某主要成分的百分比．现有甲、乙两个容器，分别盛有口感度为10％、20％的某种饮料各500ml，实验人员对它们进行口感调和试验，调和操作程序是同时从甲、乙两个容器中各取出100ml溶液，分别倒入对方容器中并充分搅拌均匀，称为第一次调和；然后又同时从第一次调和后的甲、乙两个容器中各取出100ml溶液分别倒入对方容器中并充分搅拌均匀，称为第二次调和；„依照上述操作程序反复进行调和试验，记第n – 1 (n∈N*)次调和后甲、乙两容器中饮料的口感度分别为an和bn． （1）试写出a1 ，b1的值；

（2）依据调和程序，试用n表示甲、乙两个容器中的两种饮料的口感度的差bn –an； （3）试分别求出第n – 1次调和后甲、乙两个容器中的口感度an、bn关于n表达式．

20．（本小题满分13分）

已知f (x) =x1xx1x1及g (x) =x1xx1x1 （Ⅰ）求证：f (x)·g (x)为定值； （Ⅱ）求g (x)的最大值； （Ⅲ）若a =xx1,bt2x,cx1，问是否存在满足下列条件的正数t，使得对于

任意的正数x，以a、b、c为边可以组成一个三角形？若存在，则求出t的取值范围；若不存在，请说明理由． 21．（本小题满分14分）

设函数

f(x)13ax3bx2cx(abc),其图象在点A(1,f(1))，B(m,f(m))处的切线的

斜率分别为0,a （I）求证：0（II）若函数（III）若当xba1；

f(x)k的递增区间为[s,t]，求|st|的取值范围；

f'(x)a0，试求k时（k是与a,b,c无关的常数），恒有的最小值。

训练一答案：一、1、C，2、B，3、B，4、A，5、C，6、D，7、D，8、C，9、C，10、C。

二、11．a1或231pa1q32，12．答案：5． 解析：∵p + q = 1，x + y = p

1p1q)(pq)3pqqp+

1pq1q11( ≥5． 当且仅当p = q =时等式

21成立．

13．．(112t)57300.465 或

t5730ln0.465ln0.5

14．(,1]，15．答案：①③④ 解析：∵|x||sinx|≤|x|，∴f1(x) = xsinx是函数．

2∵f2(0) =，∴|f(0)|≤|0|不满足，∴f2(x) =

21exxe1不是函数；

∵当x = 0时，f3(0) = 0，显然符合条件；当x≠1时， | f3(x)|=

x22x12x2x212|x||x|

∴f3(x) =

x22x1是函数．

f4(x) = ln(x2 + 1)是偶函数，只需考查x≥0时即可， 令g(x) = x – f (x)= x – ln(x2 + 1)．( x≥0) ． g′(x) = 1 –

2xx12(x1)22x1≥0（仅有x = 1时取“=”号）

∴g(x)在[0，+∞)上单调递增，又g (0) = 0． ∴g(x)≥0 ∴x≥f 4(x)

又f 4(x) ≥0 ∴|x|≥f 4(x) ∴f 4(x) = ln(x2 + 1)是函数．

三、16．∵2∈ RA，∴

a13a224或a– 2 = 0(a7)(a3)a2≤0或a– 2 = 0

(a7)(a3)(a2)0a7或2a3①„„„„„„„„„„„„„„（5分）

又∵1∈B，

由|2x3|x解得1x3

又aB ∴1a3 ②„„„„„„„„（10分）

由①②知2≤a<3，即a的取值集合M = [2，3)．„„„„„„„„„„„„（12分）

(注：没有设a-2=0 扣2分)

17．解析：（Ⅰ）依题意，有

111f(1)aba,44f(1)2ab1b12．„„„„„„（4

分）

因此，f (x)的解析式为f (x)=(分）

（Ⅱ）由f(x– t)≤x (1≤x≤9)得(（7分） 解之得(分） 由此可得t[(分）

所以实数t的取值范围是{t | t = 4}．„„„„„„„„„„„„„„„„„„（12分）

18．（I）设投资为x万元，A产品的利润为由题设从而：

f(x)k1xx1)]min4且t[(2x12)2；„„„„„„„„„„„„„„„„„„（5

xt12)2≤x (1≤x≤9)，„„„„„„„„„„

x1)t(2x1)2(1≤x≤9)„„„„„„„„„„„„„„„„„（9

x1)]max42，„„„„„„„„„„„„„（11

f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元，

14，g(x)k2x，由图知

54f(1)14，k1，又g(4)52，k254，

f(x)14x(x0)，g(x)x(x0) „„„„„„（5分）

x万元，设企业利润为y（II）设A产品投入x万元，则B产品投入10则y令当tf(x)g(10x)x42万元

5410x，014(t52)x106516 „„„„„„（8分）

(0t25410xt，则y651610t454t210)，

52时，ymax40625（万元），此时x10375 „„„„„（11分）

当A产品投入375万元，B产品投入625万元时，企业获得最大利润为40625万元。

„„„„„„„（12分）

19．解析：（1）依题设a1 = 10％，b1 = 20％．„„„„„„„„„„„„„„„„（2分） （2）∵an = 分） bn =

400bn1100an1500400an1100bn1500 =

45an1 +

15bn1．„„„„„„„„„„„„„„ （4

=

45bn1 +

15an1，∴bn – an = (

45bn1+

15an1) – (

45an1+

15bn1) =

35

35(bn –1 –an –1)(n≥2) 可知数列{bn –an }为等比数列，首项b1 –a1 = 10％，公比为，所以bn –an = (b1 –a1)· (

1

35)n

– 1

= 10％(

35)n

– 1

=

110·(

35)n

–

„„„„„„„„„„„„„„（9分）

110（3）由(2) 知bn –an = 又an + bn =

an1·()n – 1 „„ ①

53+

bn1= „ = a1 + b1 = 30％ =

310 „„

② „„„„„„„„„„（10分） 联立①②得an =bn =

32013203n1() 20513n1()．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„205（12分）

20．解析：（1）f (x)g (x) =(（3分） （2）由于∴x1x1x1x32x1x)(x21x1)1„„„„„„„„„„„„„„

，当x = 1时等号成立，又x +≥2，

x1，当x = 1时等号成立．„„„„„„„„„„„„„„„„„„

（5分） 故x1x+x1x122123．即x = 1时，f (x)的最大值2 +3．„„（7

分）

又f (x)·g (x) = 1，∴g (x) =故–31f(x)≤2 –，

3．

(x)

的

最

大

值

2

x = 1时g

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（9分）

xx12（3）∵a =＜x + 1 = c，

xx1t22∴若能构成三角形，只需xx1x

xx1(x1)tttx1xx1x1x1对

1x∈

R+

恒成

x1xx立„„„„„„„„„„„„„„„„„„（10分）

t[g(x)]maxt[f(x)]min

3由（2）知f (x)min = f (1) = 2 +（11分） g –3 ∴t＜2+3„„„„„„„„„„„„„„„(x)max = 2 –

3 ∴t＞2

„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（12分）

3综上，存在t∈(2 –（13分）

21．（（I）又a，2 +3) 满足题设条件．„„„„„„„„„„„„„„

2f(x)ax2bxc,由题意及导数的几何意义得

②

f(1)a2bc0① 2f(m)am2bmcabc,可得4aa2bc4c,即4a04c,故a0,c0a2b，代入abc,再由a0,得13ba2由①得c将c1③ „„„„（2分）

有实根，

a2b代入②得am222bm2b0,即方程axba22bx2b0ba故判别式4b8ab0,得(ba)2(ba)0,得ba2或0④

分）

由③、④得0（II）由知方程又由

1 „„„„„„„（4

22f(x)ax2bxc的判别式4b4ac0

2f(x)ax2bxc0（*）有两个不等实根，设为x1，x2，

（*）的一个实根，

2ba10x1

2baf(1)a2bc0知，x11为方程则由根与系数的关系得x1当xx2或xx1x2,x2时，

f(x)0;当x2xx1时f(x)0

ba故函数

f(x)的递增区间为[x2,x1]，由题设知[x2,x1][s,t]， „„„„„„„（7分）

x2|22ba,由（1）知0ba1且ba取遍区间[0，1），故

因此|st||x1st[0,1)

的取值范围为[2,4) „„„„„„„（9分）

22f(x)a0,即ax2bxac0，亦即ax2bx2b0（Ⅲ）由又a0

，故得x22bax2ba0,整理得(2x2)bax20

设g(g(baba)(2x2)ba2bax,则g(2ba)可以看作是关于ba的一次或常数函数，由题意，

)0对于01恒成立

g(1)0x2x20即得x故2g(0)0x031或x31

由

[k,)(,31][31,)，故k题

31,因此k的最小值为31„„„„„„（14

意分）