2016_中考数学圆切线的证明题题集

CEFBOA1．已知：如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，OC垂直AD于F交⊙O于E， 连结DE、BE，且∠C=∠BED． （1）求证：AC是⊙O的切线；

D（2）若OA=10，AD=16，求AC的长．

2．（本题12分）如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点．求证：GE是⊙O的切线．

3、 如图是⊙O的直径，∠A=30,延长OB到D使BD=OB. (1)ABC是否是等边三角形说明理由. (2)求证：DC是⊙O的切线.

8

4、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交BC于点E，点O是AB上一点，⊙O过A、

C 图

A O B o

D

E两点, 交AD于点G，交AB于点F．

（1）求证：BC与⊙O相切；

（2）当∠BAC=120°时，求∠EFG的度数．

1

CDGAO第5题图

EFB5．（10分）如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，ACCD，ACD120， （1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积.

6.在Rt△ACB中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以BC为直径作⊙O交AB于点D.

（1）求线段AD的长度；

（2）点E是线段AC上的一点，试问当点E在什么位置时，直线ED与⊙O相切请说明理由.

A D

B C O

（第7题图）

7、如图，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝6，AB＝8．以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E． (1)求证：直线EF是⊙O的切线； (2)求sin∠E的值．

8、如图，直线l与⊙O相交于A，B两点，且与半径OC垂直，垂足为H ，已知AB=16厘米，cosOBH(1) 求⊙O的半径；

(2) 如果要将直线l向下平移到与⊙O相切的位置，平移的距离应是多少请说明理由．

OHBC

04． 5Al9．如图，⊙O的直径AB=4，C、D为圆周上两点，且四边形OBCD是菱形，过点D的直线EF∥AC，交BA、BC的延长线于点E、F．

（1）求证：EF是⊙O的切线； （2）求DE的长．

2 EAOBFDC10、如图，已知矩形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O直径,将△BCD沿BD所在的直线翻折后，得到点C的对应点N仍在⊙O上,BN交AD与点M.若∠AMB=60°，⊙O的半径是3cm.

(1)求点O到线段ND的距离.

(2)过点A作BN的平行线EF，判断直线EF与⊙O的位置关系并说明理由.

E N

DA M

o C FB

11． 如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为E，连接AC，将△ACE沿AC翻折得到△ACF，直线FC与直线AB相交于点G．

（1）直线FC与⊙O有何位置关系并说明理由； F （2）若OBBG2，求CD的长． C A G O E B

D

（第13

12．如图，△ABC内接于O，点D在半径OB的延长线上，

BCDA30°．

（1）试判断直线CD与O的位置关系，并说明理由；

（2）若O的半径长为1，求由弧BC、线段CD和BD所围成的阴影部分面积（结果保留π和根号）．

O A B C

（第21题）

D

13．(10分)已知，如图在矩形ABCD中，点0在对角线AC上，以 OA长为半径的圆0与AD、AC分别交于点E、F。∠ACB=∠DCE．

(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； (2)若tan∠ACB=

3

2，BC=2，求⊙O的半径． 214． 已知：如图，以△ABC的边AB为直径的O交边AC于点D，且过点D的切线DE平分边

BC．

（1）BC与

O是否相切请说明理由；

（2）当△ABC满足什么条件时，以点O，B，E，D为顶点的四边形是平行四边形并说明理由．

C

D A E

B

O （第16

15.如图，以BC为直径的⊙O交△CFB的边CF于点A，BM平分∠ABC交AC于点M，AD⊥BC于点D，AD交BM于点N，ME⊥BC于点E，AB=AF·AC，cos∠ABD=3，AD=12．

52

⑴求证：△ANM≌△ENM； ⑵求证：FB是⊙O的切线；

⑶证明四边形AMEN是菱形，并求该菱形的面积S．

16.(10分) 如图9，已知，在△ABC中，∠ABC=900，BC为⊙O的直径， AC与⊙O交于点D,点E为

AB的中点，PF⊥BC交BC于点G,交AC于点F.

（1）求证：ED是⊙O的切线. （2）如果CF =1,CP =2，sinA =

4，求⊙O的直径BC. 5

4

参：

1、（1）证明：∵∠BED=∠BAD，∠C=∠BED

∴∠BAD=∠C ····························· 1分 ∵OC⊥AD于点F

o

∴∠BAD+∠AOC=90 ··························· 2分

o

∴∠C+∠AOC=90

o

∴∠OAC=90 ∴OA⊥AC

∴AC是⊙O的切线. ·························· 4分 （2）∵OC⊥AD于点F，∴AF=

1AD=8 ··················· 5分 2在Rt△OAF中，OF=OA2AF2=6 ··················· 6分 ∵∠AOF=∠AOC，∠OAF=∠C ∴△OAF∽△OCA ···························· 7分 ∴

OAOF OCOAOA210050即 OC= ························ 8分 OF63在Rt△OAC中，AC=OCOA2240． ················ 10分 3 1分

2．证明：（证法一）连接OE，DE． ∵CD是⊙O的直径，

AEDCED90．

∵G是AD的中点，

2分

1ADDG． 212． ∵OEOD，34． EG4分

6分

8分 10分 12分

1分 2分 4分 6分 5

1324．即OEGODG90． GE是⊙O的切线．

（证法二）连接OE，OG． ∵AGGD，COOD， OG∥AC．

12，34． ∵OC=OE． ∴∠2=∠4． ∴∠1=∠3．

又OEOD，OGOG，

△OEG≌△ODG． OEGODG90． GE是⊙O的切线．

3、（1）解法一：∵∠A＝30，∴∠COB＝60．

………………2分

8分 10分 12分

又OC＝OB，

∴△OCB是等边三角形．

解法二：∵AB是⊙Ｏ的直径，∴∠ACB＝90． 又∵∠A＝30， ∴∠ABC＝60．

又OC＝OB， ∴△OCB是等边三角形． （2）证明：由（1）知：BC＝OB，∠OCB＝∠OBC＝60．

又∵BD＝OB，∴BC＝BD．

∴∠BCD＝∠BDC＝

………………4分

………………2分 ………………4分 ………………6分

1∠OBC＝30． 2∴∠OCD＝∠OCB＋∠BCD＝90，

故DC是⊙Ｏ的切线．

………………8分

4、（1）证明：连接OE，------------------------------1分

C∵AB=AC且D是BC中点， ∴AD⊥BC． ∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE．------------------------------3分 ∵OA=OE， ∴∠OAE=∠OEA． ∴∠OEA=∠DAE． ∴OE∥AD． ∴OE⊥BC．

∴BC是⊙O的切线．---------------------------6分 （2）∵AB=AC，∠BAC=120°，

∴∠B=∠C=30°．----------------------------7分 ∴∠EOB =60°．------------------------------8分 ∴∠EAO =∠EAG =30°．-------------------9分 ∴∠EFG =30°．------------------------------10分 5、（1）证明：连结OC. ………………1分 ∵ ACCD，ACD120，

6

DGAOEFB∴ AD30. ………………2分 ∵ OAOC,

∴ 2A30. ………………3分

∴ OCDACD290. …………………………………………………4分 ∴ CD是⊙O的切线. ……………………………………………………………5分 （2）解:∵∠A=30， ∴ 12A60. ……………………………6分

o

∴ S扇形OBC60222. …………………………………………………7分

3603CDtan60, ∴ CD23. …………………………8分 OC11∴ SRtOCDOCCD22323. …………………………9分

222∴ 图中阴影部分的面积为23. ………………………………………10分

3在Rt△OCD中, ∵

6、解：（1）在Rt△ACB中，∵AC=3cm，BC=4cm，∠ACB=90°，∴AB=5cm． ……1分 连结CD，∵BC为直径，∴∠ADC =∠BDC =90°． ∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴Rt△ADC ∽Rt△ACB． A D E AC29ACAD． …………………………4分 ∴，∴ADB AB5ABACC O （2）当点E是AC的中点时，ED与⊙O相切． ………………5分

证明：连结OD，∵DE是Rt△ADC的中线． ∴ED=EC，∴∠EDC=∠ECD．

∵OC=OD，∴∠ODC =∠OCD． …………………7分

∴∠EDO=∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD =∠ACB =90°．

∴ED与⊙O相切． …………………………9

7、(1)证明：如图，连结OD，则 ODOB． ∴ CBAODB．

∵ AC=BC, ∴ CBAA． ∴ ODBA． ∵ OD∥AC，∴ ODECFE．

∵ DFAC于F，∴

CFE90．

∴ODE90．∴ ODEF．

∴ EF是⊙O的切线． ------------------------------------------------------------3分 ( 2 ) 连结BG，∵BC是直径, ∴∠BGC=90=∠CFE．

7

∴ BG∥EF．∴ GBCE．

设 CGx，则 AGACCG6x．

在Rt△BGA中,BGABAG8(6x)． 在Rt△BGC中, BGBCCG6x． ∴ 8(6x)6x．解得 x在Rt△BGC中,sinGBC∴ sin∠E2222222222222222．即 CG． 33GC1 ． BC91． --------------------------------------------- 911AB168． 22

……2分

--------------------------------5分

8、解：(1) ∵ 直线l与半径OC垂直，∴ HB∵ cosOBHOHBC(第20题)

HB4， OB5

……2分

Al55HB=×8= 10． 44(2) 在Rt△OBH中， ∴ OB=

OH=OB2BH2102826． ……2分

……2分

∴ CH1064．

所以将直线l向下平移到与⊙O相切的位置时，平移的距离是4cm． 9．（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°． …………………………………………………… 1分 ∵四边形OBCD是菱形，

2FDC于点G ∴ODDEODtanEOD2tan6023(1)解：(法一)：过点O作OG⊥NDE1∴∠OGD=90°

ENBO∵四边形ABCD是矩形, AG∴∠C =90° DAM由翻折得

o∠N=∠C = 90°= ∠OGD …………1分 ∴OG∥BN CFB∵∠NBD=30°

∴∠GOD=30° …………3分

OG在Rt△OGD中，cos30°= ,OD=3 OD33(cm)∴OG= …………5分 2(法二)：过点O作OG⊥ND于点G

则DG=NG …………1分 ∵OB=OD

∴OG是△BDN的中位线

1 ∴OG= BN 2∵四边形ABCD是矩形, ∠C=90°

8

∴BD是⊙O直径 ∵OD=3

∴BD=6 …………3分

BN在Rt△BND中，cos30°= BD3 33 ∴6BN=233∴OG= …………5分 (cm)2(2)相切.证明：连接OA交BN与H. ∵∠DBN=30°,

由翻折得∠DBC=∠DBN=30°.

E∵∠ABC=90°, N∴∠ABO=60°. …………1分 ∵OA=OB, DAMH∴△ABO是等边三角形 . …………3分

o∴∠AOB=60°.

∴∠BHO=90°. CFB 又∵EF∥BN , ∴∠FAH=90°. ∴ＯA⊥EF.

∴EF与⊙O相切. …………5分 11．解：（1）直线FC与⊙O相切．……1分 理由如下：

F 连接OC．

C ∵OAOC， ∴12……2分

3 2 由翻折得，13，FAEC90．

1 A G ∴23． ∴OC∥AF． O E B ∴OCGF90．

D ∴直线FC与⊙O相切．……4分

（第20OCOC1（2）在Rt△OCG中，cosCOG，

OG2OB2∴COG60．……6分

3在Rt△OCE中，CEOCsin6023．……8分

2∵直径AB垂直于弦CD，

∴CD2CE23．……9分 12．解：（1）直线CD与O相切． 理由如下：

在O中，COB2CAB230°60°．

又∵OBOC，∴△OBC是正三角形，∴OCB60°．

A 又∵BCD30°，∴OCD60°30°90°， ∴OCCD．

又∵OC是半径，∴直线CD与O相切．

（2）由（1）得△COD是Rt△，COB60°．

O B C

D

∵OC1，∴CD3．

13∴S△CODOC·CD．

229

（第

12题）

又∵S扇形OCB1π， 63133ππ． 266∴S阴影S△CODS扇形OCB13．解：(1)直线CE与⊙O相切．……………………………………………………………2分

证明如下：

∵四边形ABCD为矩形 ∴BC∥AD，∠ACB=∠DAC 又∵∠ACB=∠DCE ∴∠DAC=∠DCE

连接0E，则∠DAC=∠AEO=∠DCE…………………………………………4分 ∵∠DCE+∠DEC=90° ∴∠AEO+∠DEC=90° ∴∠DEC=90°

∴CE与⊙O相切．………………………………………………………………6分 (2)∵tan∠ACB=

AB2，BC=2 BC2 ∴AB=BCtan∠ACB=2，AC=6 又∵∠ACB=∠DCE ∵tan∠DCE=2 2 ∴DE=DCtan∠DCE=l……………………………………………………………8分 方法一：在Rt△CDE中 CE=CD2DE23

连接OE，令⊙O的半径为r，则在Rt△COE中，

CO2OE2CE2

22即(6r)r3

解得：r6…………………………………………………………10分 414、（1）BC与

O相切 理由：连结OD，BD， DE切O于D，AB为直径，

∠EDO∠ADB90， 又DE平分CB， DE12分 BCBE， ··········

210

∠EDB∠EBD．又∠ODB∠OBD，∠ODB∠EDB90； ∠OBD∠DBE90，即∠ABC90． BC与

4分 O相切． ······················

（2）当△ABC为等腰直角三角形∠ABC90

时，四边形OBED是平行四边形．

△ABC是等腰直角三角形∠ABC90，

ABBC． ························· 6分

BD⊥AC于D，D为AC中点．

1BCBE，OD∥BC． 2 四边形OBED是平行四边形． ················· 8分

OD15、.⑴证明：∵BC是⊙O的直径 ∴∠BAC=90

又∵EM⊥BC，BM平分∠ABC， ∴AM=ME，∠AMN=EMN 又∵MN=MN， ∴△ANM≌△ENM

⑵∵AB=AF·AC ∴ABAF

ACAB又∵∠BAC=∠FAB=90 ∴△ABF∽△ACB ∴∠ABF=∠C

又∵∠FBC=∠ABC+∠FBA=90 ∴FB是⊙O的切线

⑶由⑴得AN=EN，AM=EM，∠AMN=EMN， 又∵AN∥ME，∴∠ANM=∠EMN， ∴∠AMN=∠ANM，∴AN=AM，

∴AM=ME=EN=AN ∴四边形AMEN是菱形 ∵cos∠ABD=3，∠ADB=90

5oo

o

2o

∴

BDAB35

设BD=3x，则AB=5x，，由勾股定理AD5x2－3x211

4x

而AD=12，∴x=3 ∴BD=9，AB=15

∵MB平分∠AME，∴BE=AB=15 ∴DE=BE-BD=6

∵ND∥ME，∴∠BND=∠BME，又∵∠NBD=∠MBE ∴△BND∽△BME，则NDBD

MEBE设ME=x，则ND=12-x，12x9，解得x=15

x152∴S=ME·DE=15×6=45

216、解：⑴ 连接OD …………………………………………1分 ∵BC为直径 ∴△BDC为直角三角形。 又∵∠OBD=∠ODB

Rt△ADB中E为AB中点 ∴∠ABD=∠EDB …………………………2分 ∵∠OBD+∠ABD=90 ∴∠ODB+∠EDB=90

∴ED是⊙O的切线。 …………………………………………5分 (2)∵PF⊥BC

∴∠FPC=∠PDC 又∠PCF公用

∴△PCF∽△DCP ………………………………………………………7分

00 ∴PC2=CF·CD 又∵CF=1, CP=2， ∴CD=4 …………………………………………8分 可知 sin∠DBC = sinA =∴

4 5DC444=即= 得直径BC= 5 ………………………………………10分 BC5BC512