第1课时 集合的概念与运算
1．集合的含义与表示
(1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．
(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．
2．集合间的基本关系
(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． (2)在具体环境中，了解全集与空集的含义． 3．集合的基本运算
(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．
(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．
(3)能使用韦恩(Venn)图表达集合间的关系与运算．
[对应学生用书P1]
【梳理自测】
一、集合与元素
b
1．已知a∈R，b∈R，若a，，1＝{a2，a＋b，0}，则a＝________，
a
b＝________．
b解析：由已知得＝0及a≠0，所以b＝0，于是a2＝1，即a＝1
a或a＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，因此a＝－1.
答案：－1 0
◆此题主要考查集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． 2．(2014·潍坊仿真)已知集合M＝{x|x2－3≤0}，则下列关系式正确的是( )
A．0∈M B．0∉M C．0⊆M D．3∈M
解析：选A.M＝{x|x2－3≤0}＝{x|－3≤x≤3}， ∴0∈M.
◆此题主要考查元素与集合的关系：属于或不属于，用符号表示为∈或∉．
3．已知集合A＝{－1，0，4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0，x∈N}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是( )
A．{4} B．{4，－1} C．{4，5} D．{－1，0}
解析：选B.B＝{0，1，2，3}，阴影为(∁UB)∩A＝{－1，4}． ◆此题主要考查集合的表示方法及意义：集合的表示方法主要有列举法，描述法，Venn图法．
4．常用数集：自然数集N；正整数集N*(或N＋)；整数集Z；有理数集Q；实数集R.
5．集合的分类：按集合中元素个数划分，集合可以分为有限集、无限集、空集．
二、集合间的关系
(2012·高考湖北卷)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选D.A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4}，故满足C的集合为{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．
◆此题考查了集合间的基本关系，如下表： 表示 关系 相等 子集 文字语言 集合A与集合B中的所有元素都相同 符号语言 A＝B A⊆B或B⊇A AB或B A中任意一个元素均为B中的元素 A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素 空集是任何集合A的子集，是任何非空集合B的真子集 真子集 A ∅⊆A，∅B(B≠∅) 空集
三、集合的基本运算
已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|－1＜x＜2}，U＝R，则A∩B＝________，A∪B＝________，∁UA＝________，∁U(A∩B)＝________．
解析：A∩B＝{x|1＜x＜2}，A∪B＝{x|x＞－1}，∁UA＝{x|x≤1}，∁U(A∩B)＝{x|x≤1或x≥2}．
答案：{x|1＜x＜2} {x|x＞－1} {x|x≤1} {x|x≤1或x≥2}
◆此题考查了集合的运算，如下表：
符号表示 图形表示 意义 并集 交集 补集 若全集为U，则集合A的补集为∁UA A∪B A∩B {x|x∈A，或 {x|x∈A，且 {x|x∈U，且x∉A} x∈B} x∈B} 【指点迷津】 1．一个性质
要注意A⊆B、A∩B＝A、A∪B＝B、∁UA⊇∁UB、A∩(∁UB)＝∅这五个关系式的等价性．
2．两种方法
Venn图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方
法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心．
如：全集U＝R，A＝{x|a≤x≤a＋1}，B＝{x|x＜－1}，若A∩(∁
UB)＝∅，则a的范围为a＜－2.
3．三个防范
①认清元素的意义，数集与点集混淆、函数的定义域与值域混淆、
图形集与点集混淆等，如{x|y＝－x2＋2x－3}与{y|y＝
－x2＋2x－3}以及{(x，y)|y＝－x2＋2x－3}分别表示函数y＝－x2＋2x－3的定义域、值域以及函数图象上的点集；
②注意防范：集合的基本运算中端点值的取舍导致增解或漏解，
1求解集合的补集时由于错误否定条件导致错解，如已知A＝x＞0，
x1
误把集合A的补集写为x≤0导致漏解；
x
③空集是任何集合的子集，注意对空集的讨论，防止漏解；注意集合中元素的互异性，防止增解，如关系“B⊆A”中，B可以为∅.
[对应学生用书P2]
考向一 集合的基本概念
(1)(2013·高考山东卷)已知集合A＝{0，1，2}，则集合
B＝{x－y|x∈A, y∈A }中元素的个数是( )
A．1 B．3
C．5 D．9
(2)已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，且1∈A，则2 015a的值为________．
【审题视点】 (1)弄清B的元素是怎么构成的． (2)讨论A中哪个元素可以为1.
【典例精讲】 (1)①当x＝0时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为0，－1，－2；
②当x＝1时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为1，0，－1； ③当x＝2时，y＝0，1，2，此时x－y的值分别为2，1，0. 综上可知，x－y的值可能为－2，－1，0，1，2，共5个，故选C.
(2)当a＋2＝1，即a＝－1时，
(a＋1)2＝0，a2＋3a＋3＝1与a＋2相同， ∴不符合题意．
当(a＋1)2＝1，即a＝0或a＝－2时， ①a＝0符合要求．
②a＝－2时，a2＋3a＋3＝1与(a＋1)2相同，不符合题意． 当a2＋3a＋3＝1，即a＝－2或a＝－1.
①当a＝－2时，a2＋3a＋3＝(a＋1)2＝1，不符合题意． ②当a＝－1时，a2＋3a＋3＝a＋2＝1，不符合题意． 综上所述，a＝0. 【答案】 (1)C (2)1
【类题通法】 1.研究一个集合，首先要看集合中的代表元素，然后再看元素的限制条件，当集合用描述法表示时，注意弄清其元素表示的意义是什么．
集合 {x|f(x)＝0} 方程f(x)＝0的解集 {x|f(x)＞0} 不等式{x|y＝{y|y＝{(x，y)|y＝f(x)} 函数y＝f(x)} 函数y＝f(x)} 函数y＝集合的意义 f(x) ＞0的解集 f(x) 的定义域 f(x) 的值域 f(x) 图象上的点集 2.对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合是否满足互异性．
1．(2014·山东高考信息卷)已知集合A＝{x|x2－2x＋a＞0}，且1∉A，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．[1，＋∞) C．[0，＋∞) D．(－∞，1)
解析：选A.因为1∉A，故当x＝1时，有x2－2x＋a≤0，即12－2×1＋a≤0，解得a≤1.考向二 集合间的基本关系及应用 (2014·江西省高三联考)若集合P＝{x|3＜x≤22}，非空
集合Q＝{x|2a＋1≤x＜3a－5}，则能使Q⊆(P∩Q)成立的所有实数a的取值范围为( )
A．(1，9) B．[1，9] C．[6，9) D．(6，9]
【审题视点】 首先分析P与Q的关系，构造集合端点符合的不等式．
【典例精讲】 依题意，P∩Q＝Q，Q⊆P，于是
2a＋1＜3a－5
，解得6＜a≤9，即实数a的取值范围是(6，9]，2a＋1＞3
3a－5≤22选D.
【答案】 D
【类题通法】 (1)通过集合之间的关系，求参数的取值范围，最终是要通过比较区间端点的大小来实现，因此确定两个集合内的元素，成为解决该类问题的关键．由于元素的属性中含有参数，所以分类讨论成为必然，分类讨论时要注意不重不漏．
(2)对于集合的包含关系，B⊆A时，别忘记B＝∅的情况．对于端点的虚实可单独验证．
2．(2014·惠州市高三调研)已知集合A＝{－1，1}，B＝{x|ax＋1＝0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为( )
A．{－1} B．{1}
C．{－1，1} D．{－1，0，1}
解析：选D.由题意知集合B的元素为1或－1或者B为空集，故
a＝0或1或－1.故选D.
考向三 集合的基本运算
(1)(2014·德州二模)已知全集U＝R，集合A＝
y＝x
1
，B＝{x|y＝loga(x＋2)}，则集合(∁UA)∩B＝( ) x＋1
A．(－2，－1) B．(－2，－1] C．(－∞，－2) D．(－1，＋∞)
(2)(2012·高考重庆卷)设平面点集
A＝
1
（x，y）（y－x）y－≥0，B＝{(x，y)|(x－1)2＋(y－1)2≤1}，
x
则A∩B所表示的平面图形的面积为( )
33
A.π B.π 454πC.π D. 72
【审题视点】 (1)分别求两个函数的定义域，A与B，再求∁UA. (2)A、B分别是区域的点集，利用数形结合求面积．
【典例精讲】 (1)A＝{x|x＋1＞0}＝{x|x＞－1}，B＝{x|x＋2＞0}＝{x|x＞－2}．
∴∁UA＝{x|x≤－1}，(∁UA)∩B＝{x|－2＜x≤－1}． (2)借助图形，数形结合求解．
由题意知A∩B所表示的平面图形为图中阴影部分，曲线y＝与
1
x直线y＝x将圆(x－1)2＋(y－1)2＝1分成C，D，E，F四部分．∵圆1
(x－1)2＋(y－1)2＝1与y＝的图象都关于直线y＝x对称，从而SCxπ
＝SF，SD＝SE，而SC＋SD＋SE＋SF＝π，∴S阴影＝SC＋SE＝.
2
【答案】 (1)B (2)D 【类题通法】 集合的运算
(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．
(2)对集合化简．有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决．
(3)解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分．当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算；当集合是用不等式形式表示时，可运用数轴求解；当集合是点集时，可利用数形结合求解．
3．(1)(2014·“江南十校”高三联考)已知集合A＝{x|x2－
x≤0}，函数f(x)＝2－x(x∈A)的值域为B，则(∁RA)∩B＝( )
A．(1，2] B．[1，2] C．[0，1] D．(1，＋∞)
解析：选A.由题意知，集合A＝{x|0≤x≤1}， ∴B＝{y|1≤y≤2}，∁RA＝{x|x＜0或x＞1}， ∴(∁RA)∩B＝(1，2]．
(2)(2014·广东西北九校高三联考)设函数f(x)＝lg(1－x2)，集合A＝{x|y＝f(x)}，B＝{y|y＝f(x)}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．[－1，0] B．(－1，0)
C．(－∞，－1)∪[0，1) D．(－∞，－1]∪(0，1)
解析：选D.因为A＝{x|y＝f(x)}＝{x|1－x2＞0}＝{x|－1＜x＜1}，则Z＝1－x2∈(0，1]，
所以B＝{y|y＝f(x)}＝{y|y≤0}，A∪B＝(－∞，1)，A∩B＝(－1，0]，故图中阴影部分表示的集合为(－∞，－1]∪(0，1)，选D.
考向四 与集合有关的新定义
(2013·高考广东卷)设整数n≥4，集合X＝{1，2，3，„，
n}．令集合S＝{(x，y，z)|x，y，z∈X，且三条件x＜y＜z，y＜z＜x，z＜x＜y恰有一个成立}．若(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，则下列选项正确的是( )
A．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∉S B．(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S C．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∈S D．(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S
【审题视点】 明确集合S表示的含义，对S中的各种情况进行组合，综合分析．也可以对x，y，z，w赋值，利用特殊值排除不符合的选项．
【典例精讲】 方法一：因为(x，y，z)∈S，则x，y，z的大小关系有3种情况，同理，(z，w，x)∈S，则z，w，x的大小关系也有3种情况，如图所示，由图可知，x，y，w，z的大小关系有4种可能，均符合(y，z，w)∈S，(x，y，w)∈S.故选B.
方法二：(特殊值法)因为(x，y，z)和(z，w，x)都在S中，不妨令x＝2，y＝3，z＝4，w＝1，则(y，z，w)＝(3，4，1)∈S，(x，y，
w)＝(2，3，1)∈S，故(y，z，w)∉S，(x，y，w)∉S的说法均错误，
可以排除选项A、C、D，故选B.
【答案】 B
【类题通法】 解决创新集合新运算问题常分为三步： (1)对新定义进行信息提取，确定化归的方向； (2)对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法；
(3)对定义中提出的知识进行转换，有效地输出．其中对定义信息的提取和转化与化归是解题的关键，也是解题的难点．
4．(2013·高考福建卷)设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足：
(1)T＝{f(x)|x∈S}；(2)对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有
f(x1)＜f(x2)，那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集
合：
①A＝N，B＝N*；
②A＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|－8≤x≤10}； ③A＝{x|0＜x＜1}，B＝R.
其中，“保序同构”的集合对的序号是________．(写出所有“保序同构”的集合对的序号)
解析：举例说明有符合条件的函数即可．
97
①取f(x)＝x＋1，符合题意．②取f(x)＝x－，符合题意．③
22
1
取f(x)＝tan πx－，符合题意．
2
答案：①②③
[对应学生用书P3]
集合中元素特征认识不明致误
(2012·高考课标全国卷)已知集合A＝{1，2，3，4，5}，
B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为( )
A．3 B．6 C．8 D．10
【正解】 ∵B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1，2，3，4，5}，∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1，2；x＝4，y＝1，2，3；x＝5，
y＝1，2，3，4.∴B＝{(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，
(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)}，∴B中所含元素的个数为10.
【答案】 D
【易错点】 本题属于创新型的概念理解题，准确地理解集合B是解决本题的关键，该题解题过程易出错的原因有两个，一是误以为集合B中的元素(x，y)不是有序数对，而是无序的两个数值；二是对于集合B的元素的性质中的“x∈A，y∈A，x－y∈A”，只关注“x∈A，
y∈A”，而忽视“x－y∈A”的限制条件导致错解．
【警示】 判断集合中元素的性质时要注意两个方面：一是要注意集合中代表元素的字母符号，区分x、y、(x，y)；二是准确把握元素所具有的性质特征，如集合{x|y＝f(x)}表示函数y＝f(x)的定义域，{y|y＝f(x)}表示函数y＝f(x)的值域，{(x，y)|y＝f(x)}表示函数y＝f(x)图象上的点．
遗忘空集致误
若集合P＝{x|x2＋x－6＝0}，S＝{x|ax＋1＝0}，且S⊆P，
则由a的可取值组成的集合为________．
【正解】 (1)P＝{－3，2}．当a＝0时，S＝∅，满足S⊆P； 当a≠0时，方程ax＋1＝0的解集为x＝－，
1
a11
为满足S⊆P可使－＝－3或－＝2，
aa11即a＝或a＝－.
32
11
故所求集合为0，，－.
3211
【答案】 0，，－
32
【易错点】 在解答本题时，存在两个典型错误．一是忽略对空1
集的讨论，如S＝∅时，a＝0；二是易忽略对字母的讨论．如－可以
a为－3或2.
【警示】 (1)从集合的关系看，S⊆P，则S＝∅或S≠∅，勿遗忘
S＝∅的情况．
(2)对含字母的问题，注意分类讨论．
1．(2013·高考全国新课标卷)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－5 解析：选B.先求解集合A，再进行集合之间的运算． ∵A＝{x|x>2或x<0}，B＝{x|－5 M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为( ) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：选B.依据题目条件直接计算． 由题意可知，集合M＝{5，6，7，8}，共4个元素． 3．(2013·高考陕西卷)设全集为R，函数f(x)＝1－x2的定义域为M，则∁RM为( ) A．[－1，1] B．(－1，1) C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析：选D.由1－x2≥0，知－1≤x≤1， ∴M＝[－1，1]，∴∁RM＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 4．(2013·高考福建卷)已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选A.利用命题的真假判断充要条件． ∵A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，A⊆B，∴a∈B且a≠1， ∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件． 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容