高中数学破题致胜微方法(直线与双曲线的位置关系)：9.直线和双曲线相交求弦中点的坐标

 今天我们研究直线和双曲线相交求弦中点的坐标。一种方法是将直线方程与双曲线方程联立消去y (或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出x1x2， (或y1y2)的值代入计算即得中点的坐标；另一种方法是点差法，将弦端点坐标代入双曲线方程相减计算得中点的坐标关系式。两种方法都不需要求出直线与双曲线的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的。 先看例题： 例：已知双曲线xy2,直线y点的坐标。 解：将直线y223(x2)交双曲线于A，B两点，若AMMB，求M3(x2)和双曲线x2y22联立并化简得x26x70, 设A(x1,y1),B(x2,y2) x1x26,x1x23, 2yy2xx13(122)3 22AB中点M坐标为(3,3) 归纳整理，求弦中点坐标的一般方法： 方法一： 直线方程与双曲线方程联立，得到一元二次方程； 由根与系数关系，得两根和，进而求中点坐标。 方法二（点差法）： x2y2AB（不过坐标原点）是双曲线221(a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为ABaby1y2y0b2的中点，则2。 x1x2x0a简证如下：令Ax1,y1,Bx2,y2 x12y1221,(1)2ab 22x2y21,(2)a2b21－2得121222(xx)(y1y2)0 1222ab(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0 a2b2y1y2y0b2得：2 x1x2x0a 再看上面例题的另一种解法，加深印象。 y21上存在两点A，B关于直线yx8对称，求线段AB中点的坐标。例：已知双曲线x 32解：设A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点M(x0,y0), 2y12x11(1)3 2x2y21(2)231得(x1x2)(x1-x2)(y1y2)(y1-y2) 3y1y2y1y23 x1x2x1x2y03kAB1即y03x0 x0kABy3x0由0，解得：x02,y06 y0x08AB中点M坐标为(2,-6) 总结： x2y21.在双曲线221(a＞0，b＞0) 中，kAB表示双曲线以A(x1，y1)，B(x2，y2)为端点的ab 弦AB的斜率，令M(x0，y0)为弦AB的中点，M与双曲线中心O连线的斜率为kOM，则有kOMkAB b22。 a2.也可以利用韦达定理求直线和双曲线相交弦的中点的坐标。 练习： x2y21其相交于A,B两点,求AB中点的坐标。 1.直线y=x－1与双曲线25x2y21，左、右顶点A1、A2，点P（6,6）2.已知双曲线C：，动直线l经过△A1PA2的重912心G与双曲线C交于不同两点M、N，Q为线段MN的中点。当直线l的斜率为何值时，QA2PA20。 答案： 1. 解：方法一 方法二A(x1，y1)，B(x2，y2)，令M(x0，y0)为弦AB的中点， 根据kOMkABb2y52，kAB0 x02akAB525y0x01由x0，y0233 yx10025AB中点M坐标为(，) 33 2. 43kx2212kk1x12k22k40又设Mx1,y1,Nx2,y2,Qx0,y0x0kPA2 x1x26kk18k1;ykx22.002223k43k4y081k 2,kQA22.x033k6k12161k13k26k12QA2PA20,kPA2kQA21,整理得3k210k40 解得k513 3243k0又 2485k8k160解得46446423k,且k 5535133 故k