基于PKN模型的压裂裂缝延展参数计算及分析

张美玲;张天宇;樊家屹

【摘 要】油田现场水力压裂前期设计常采用直观快捷的PKN模型,该模型假设裂缝空间分布为一均匀的椭球体.基于PKN模型理式,将研究区实际压裂参数作为输入,建立压裂缝长的迭代计算方法,并针对两口现场井的典型均质层和非均质层,实现压裂缝长的预测计算.通过构建岩层渗透率非均质参数,利用微地震实测压裂缝长数据,研究储层非均质性对裂缝两翼缝长的影响关系,指出岩层的非均质系数越大,裂缝两翼延展的不对称性越强.研究发现,由岩层非均质参数可以估算实际压裂缝长与预测裂缝长之间的最大偏差,该结果可以很好地修正实际压裂前期设计中PKN模型的预测结果,有效地提升压裂施工工艺的成功率. 【期刊名称】《科学技术与工程》 【年(卷),期】2019(019)005 【总页数】8页(P116-123)

【关键词】影响分析;渗透率;非均质性;PKN模型;水力压裂缝;微地震资料 【作 者】张美玲;张天宇;樊家屹

【作者单位】东北石油大学地球科学学院,大庆163318;东北石油大学地球科学学院,大庆163318;东北石油大学地球科学学院,大庆163318 【正文语种】中 文 【中图分类】TE343

目前水力压裂施工优化设计采用的较成熟的裂缝扩展软件模型有二维的PKN模型、KGD模型，需要输入水平应力、渗透率等相关参数，两个模型都假设待压裂地层为各向同性均质厚层，其中PKN模型产生的裂缝形状为椭球型，KGD模型假设产生的裂缝形状为长方体型[1]。这两种模型具有现场操作实施简便，模拟结果清晰简单而在实际中得到广泛应用[2]。两种模型计算过程中都需要泊松比等岩石力学参数，这些参数可依据测井资料在区域特点优化的基础上计算给出[3]。实际压裂过程中，岩层的非均质特性会破坏压裂缝空间延展的规则性[4，5]。Warpinskin等[4]对实际岩石样本进行实验，指出岩层地质上的非连续性影响了水力压裂的传播方向；刘钦节等[5]采用数值模拟技术考察发现砂泥交互非均质地层的水力压裂缝形态呈现不规则展布。

岩层渗透率是描述储层非均质特征的重要参数，而获得它的广泛且经济的手段是建立测井资料计算方法，依据区域岩心分析资料可合理建立岩层渗透率计算公式[6]。岩层渗透率的分布状况与水力压裂裂缝的空间延展有着密切的关系[7—10]。Chorney等[7]从岩石物理实验角度验证了岩层的非均质特征导致水力压裂裂缝的不规则展布。He等[8]从数值模拟角度研究了裂缝性岩石基于应力变量的渗透率预测算法，指出地下岩层岩石物理性质与渗透率有着很好的对应关系。李友全等[9]研究了致密油藏的渗透率模数与压裂裂缝半长的影响关系。Carl等[10]考察研究了微地震数据与测井、岩心、储层物性等信息的关系，指出储层地质特征，如渗透率非均质分布，在很大程度上影响了水力压裂微裂缝的延展。

在实施水力压裂油层时，迅速升高的井筒压力会破坏井周岩石并形成裂缝，并伴随一系列微震波向四周传播，在邻近井中(或地表)合理布设检波器可以更好地接收微波信号[11]。对接收到的微震波信号进行处理，可推测出裂缝分布的方向、位置等，据此综合评价水力压裂等生产施工在地下产生裂缝的展布状态[12]。实际上，微震

信号的拾取、处理也是相当复杂的，微地震检测信号处理后，可提供裂缝两翼延展长度、裂缝影响高度等参数[7]。

水力压裂施工是一项复杂的工程，前期设计都是建立在比较理想的理论模型基础上，依据实际压裂数据，对理论设计结果进行修正和补充，不失为一种可行的措施[13，14]。

1 基于PKN裂缝模型的裂缝缝长计算

研究区压裂裂缝设计采用的FracproPT软件，压裂模型选为PKN模型。PKN预测模型计算过程简单且计算结果能够对现场实际施工起到直观快捷的指导作用[15]。该模型假设地层较厚且各向同性，裂缝剖面的几何形状为以井为心的对称椭圆形，裂缝的几何尺寸表征为压裂裂缝高度hg，m；两翼的延展长度为2x，x为单翼延展长度，m。理想的压裂施工情况下，hg参数的设计与待压裂储层厚度、待压裂层及其上下围泥岩应力差、围泥岩厚度及品质、施工规模等参数有关，张太春[16]定义压裂段高度为有效厚度上下各扩2.5 m。一般情况下，hg数据取为待压裂改造储层上下各扩0.5～1.0 m。这样，压裂缝的单翼延展半长x的预期设计就可采用迭代收敛方法计算得到，具体计算步骤如下。

(1)假设井筒处最大缝宽为wwb,初始值取为0.002 5 m；误差参数rms取为10-5。 (2)计算裂缝的平均宽度w： (1)

(3)计算压裂液在裂缝中的黏度μe： (2)

式(2)中：k′为压裂液稠度系数，由实验室在地层温度与施工条件下针对压裂液进行测定给出的系数，取研究区经验值1.47 N·sn′/m2(n′为压裂液流动系数，无因

次)，本文取为1；qi为压裂施工中垂直裂缝单翼的排量，m3·min-1，该量的确定与压裂段及其上下泥围岩的最小水平应力、泥质含量等因素有关[14，17]。 (4)计算Nordgren时间常数B和无因次时间tD： (3) (4)

式中：C为压裂液综合滤失系数，取研究区经验数据，C=0.42×10-3 m·min-1/2；hn(m)为待压裂层段的有效厚度，表示扣除泥钙夹层后并具有油气经济开采价值的储层厚度，hn≤hg，可由自然伽马和电阻率测井曲线得到；υ为岩石泊松比，无因次，由纵横波时差测井值计算；G为岩石的剪切模量，GPa，由横波测井时差及密度测井值计算给出。υ和G计算公式如下： (5) (6)

式中：β为单位换算因子，9.29×107；Δtc为纵波时差测井值，μs/ft(1 ft=0.304 8 m)；Δts为横波测井时差值，μs/ft；ρb为岩石密度，可由密度测井值测得，g/cm3。

(5)计算无因次缝宽wD： (7)

(6)计算Nordgren宽度常数e：

(8)

(7)计算井筒处的最大缝宽 (9)

(8)若则令进行步骤(2)；否则进行(9)。

(9)计算Nordgren常数a、无因次裂缝半长LD以及裂缝延展单翼长： (10)

因此，已知某一压裂层段的岩石泊松比υ、岩石剪切模量G、待压裂层段的有效厚度hn、裂缝预测高度hg以及压裂施工中垂直裂缝单翼排量qi等相关参数，按照收敛条件迭代运算，就可以计算出压裂段裂缝的单翼延展长度x。 2 渗透率参数计算及非均质表征

依据研究区岩心分析资料，可以建立由井资料计算岩层渗透率的公式[18]。由研究区地层渗透率与孔隙度岩心分析资料，发现两者正相关，而渗透率与泥质含量负相关(图1)。因此采用多元回归技术建立渗透率与孔隙度和泥质含量的计算公式，相关系数达到0.875，计算渗透率与岩心渗透率的平均相对误差为75.4%。公式如下： (11)

式(11)中，k为渗透率，10-3μm2；φ为孔隙度，小数；可由补偿密度测井资料计算；计算绝对误差0.014 7；Vsh为泥质含量，小数，可由自然伽马测井资料计算,计算绝对误差0.0 7。

φ=-0.614 9ρ2(h)+2.450 1ρ(h)-2.173 4 (12)

(13)

式中，grmax为区域纯泥岩自然伽马，API；grmin为区域纯砂岩自然伽马，API；gr为岩层自然伽马，API；GCUR为区域经验系数，取3.7。

图1 地层孔隙度φ、泥质含量Vsh与地层渗透率k的关系Fig.1 Relationship between formation porosity φ、 and shale content Vsh and permeability k 变异系数为标准差与均值的比值，反映了集合内各样点相对于其平均值的变化程度，各样点间的差异越大，计算的变异系数值越大。变异系数适合衡量测量尺度相差很大的两组或多组集合体的均质程度[19]。从图1可以看到，区域渗透率值的分布范围为0.14×10-3～2 431.3×10-3 μm2,跨度相差17 366倍。因此采用变异系数更能反映出沉积单元内储层渗透率的非均质性。从变异系数角度来定义渗透率非均质系数ξ：

图2 #24-2井自然伽马、渗透率、泊松比、剪切模量曲线及其方波曲线Fig.2 Natural gamma, permeability, Poisson’s ratio, shear modulus curve and square wave curve of # 24-2 well (14)

层内渗透率标准差δ(k)计算公式如下： (15)

渗透率平均值计算考虑层厚度的影响作用： (16)

式中，ki为单元内第i小层的渗透率值，10-3 μm2；hi为第i小层厚度，m；n为单元内的小层个数。依据式(14)～式(16)，一个单元内各小层的渗透率幅度差距

越大，计算的ξ越大。

3 实际井压裂裂缝缝长计算及分析

以卫星油田2口实际压裂井为例，说明PKN模型中压裂层参数选取对裂缝缝长预测的影响。图2、图3分别给出了两口井的相关曲线。其中，渗透率(k)曲线由式(11)、剪切模量(G)由式(6)、泊松比(υ)由式(5)计算得到，其中分层方波曲线由文献[19]中的方法确定。

图2给出了#24-2井压裂段PI2(1 387.2～1 390.2 m)自然伽马测井(GR)、渗透率(k)、剪切模量(G)、泊松比(υ)计算及方波曲线。其中有效厚度(1 387.2～1 390.6 m)段内，GR曲线变化较平缓，最小峰值处(1 390.1 m)与谷值处(1 388.7 m)的GR分别为67.7、77.8 API。按照分层标准[20]，段内渗透率曲线划分为3个小层(1 387.2～1 388.2 m、1 388.2～1 3.4 m、1 3.4～1 390.6 m)，按照式(14)～式(16)取n=3，k1、k2、k3分别为446.9、261.4、311.9×10-3 μm2；h1、h2、h3分别为1.0、1.2、1.2 m；计算的渗透率非均质系数ξ较低，仅为0.235，说明岩层均质性条件较好。

图3 #33-17井自然伽马、渗透率、泊松比、剪切模量曲线及其方波曲线Fig.3 Natural gamma, permeability, Poisson’s ratio, shear modulus curve and square wave curve of #33-17 well

图3给出了#33-17井压裂井段(1 211.2～1 225.4 m)自然伽马测井(GR)及其方波曲线、渗透率(K)计算及方波曲线、剪切模量(G)计算及方波曲线、泊松比(υ)计算及方波曲线。

含有有效厚度的岩层PI1段(1 212.2～1 224.5 m)，GR曲线幅值变化大，最小峰值处(1 224.0 m)与最大值处(1 217.2 m)的GR分别为79.6、139.4 API。按照分层标准，有效层段内渗透率曲线划分为7个小层(1 212.2～1 213.0 m、1 213.0～1 213.9 m、1 213.9～1 214.8 m、1 214.8～1 217.9 m、1 217.9～1

218.8 m、1 218.8～1 224.5 m、1 222.5～1 224.5 m)，按照式(14)～式(16)，取n=7，ki(i=1,2，…,7)分别为3.6、0.933、168.7、0.604、8.44、0.856、712.4×10-3 μm2；hi(i=1,2，…,7)分别为0.8、0.9、0.9、3.1、0.9、3.7、2 m；计算的渗透率非均质系数ξ高，达到1.5，说明岩层均质性较差。

依据PKN模型迭代计算步骤，分别针对#24-2井PI2压裂段、#33-17井PI1压裂段进行计算，输入参数及计算结果分别见表1。

依据PKN模型迭代计算，#24-2井PI2压裂段裂缝预测单翼长度x为51.0 m。利用微地震检测数据处理出该压裂段裂缝的两翼长度分别为65.0(长翼)、60.0 m(短翼)。可以看出两翼长度并不相等，但相差不多，仅为5 m；长翼、短翼相较于x，绝对误差仅为14、9 m。说明PKN模型计算方法可以提供较好的裂缝缝长预测值。

依据PKN模型迭代计算，#33-17井PI1压裂段的裂缝单翼预测长度x为35.8 m；利用微地震检测数据处理出该压裂段裂缝的两翼长度分别为101.0(长翼)、57.0 m(短翼)。

裂缝长翼、短翼的实际长度与预测长度的偏差分别达到65.2、21.2 m。说明针对非均匀地层的压裂裂缝预测，采用PKN模型预测偏差很大。#24-2井PI2、#33-17井PI1两段计算的渗透率非均质系数ξ分别为0.235、1.5，而实际压裂裂缝长短翼缝长差分别为5、34 m，可以看出，岩层渗透率的非均质性越大，压裂裂缝两翼的对称性越差。令实际裂缝长短两翼的缝长差为l。利用l{5，34}、ξ{0.235、1.5}两组数据，可以简单地建立l与ξ之间的线性关系： l=17.52ξ+0.882 2 (17)

针对厚的岩性不均匀的待压裂层，采用多段压裂方式，可以获得较好的压裂效果[21]。为了进一步考察非均质地层PKN模型预测结果，将#33-17井PI1压裂段

依据有效厚度划分为3段，即1 212.2～1 214.8 m、1 217.9～1 218.8 m、1 222.5～1 224.5 m。针对每一段采用PKN迭代计算，计算结果见表2。其中，1 211.2～1 216.4 m、1 220.6～1 225.4 m段的单翼预测长度70.3、63.8 m，与实际监测的裂缝短翼(57 m)长度相差不多，但与长翼长度(101 m)相差较大。而1 216.4～1 220.6 m段的裂缝单翼预测长度分别达到103.7 m，与实际监测裂缝长翼相差较小。

令lmax=max(llong，lshort)，llong表示实际压裂缝的长翼与预测单翼长度之差的绝对值，lshort表示实际压裂缝短翼与预测单翼长度之差的绝对值。利用式(14)～式(16)分别计算表2中3个压裂段渗透率非均质参数ξ,依次为1.656、1.605、0.996，这3段的lmax分别为30.7、46.7、37.2 m；同时#24-2井PI2压裂段ξ及lmax分别为0.235、14 m；#33-17井PI1压裂段的ξ及lmax分别为1.5、65.2 m。图4给出了ξ及lmax的交会关系，可以看到两者正相关，相关系数达到0.782。进一步说明岩层非均质性越差，预测的裂缝长度与实际裂缝长度偏差越大，最大偏差计算公式如下：

表1 基于PKN裂缝模型计算的输入参数、裂缝单翼预测长度Table 1 Input parameters and predicted length of fracture single wing based on PKN fracture model序号井号待压裂井段/mqi/(m3·min-1)hg/mhn/mυG/GPax/m1#24-21 386.2～1 391.42.85.23.20.2598.2851.02#33-171 211.2～1 225.42.814.24.60.2876.235.8

表2 基于PKN裂缝模型计算的#33-17井分段输入参数、裂缝单翼预测长度Table 2 Input parameters and predicted length of fracture single Wing of #33-17 well based on PKN fracture model序号井号待压裂井段/mqi/(m3·min-1)hg/mhn/mυG/GPax/m11 211.2～1

216.42.85.21.70.3114.4870.32#33-171 216.4～1

220.62.84.20.90.3225.07103.731 220.6～1 225.42.84.82.00.2677.8163.8 lmax=13.05e0.760 5ξ (18)

由此说明，实际压裂过程中，由于储层的非均质性，裂缝实际延展并不规则，很难按照椭圆形态进行。

图4 压裂段渗透率非均质参数ξ与lmax关系Fig.4 Relation ship between heterogeneous permeability parameters of fractured section ξ and lmax 4 应用实例

位于研究区的井#32-15井是一口近期压裂施工的井，压裂段为1 229.3～1 236.6 m，自然伽马测井(GR)渗透率(k)、剪切模量(G)、泊松比(υ)计算及其方波曲线见图5。

压裂段内GR曲线幅值变化较大。按照分层标准，有效层段内渗透率曲线划分为7个小层(1 229.3～1 229.6 m、1 229.6～1 230.1 m、1 230.1～1 230.6 m、1 230.6～1 232.1 m、1 232.1～1 232.8 m、1 232.8～1 234.9 m、1 234.9～1 236.6 m)，按照式(14)～式(16)式，取n=7，ki(i=1,2，…,7)分别为8.62、3.81、5.87、0.906、24.56、0.91、312.7×10-3 μm2；hi(i=1,2，…,7)分别为0.4、0.4、0.4、1.4、0.5、2.0、1.6 m；计算的渗透率非均质系数ξ较高，达到1.23，说明岩层均质性较差。

依据PKN模型迭代计算，输入参数{qi,hn,hg,υ,G}取为{2.8，8.3，2.9，0.28，8.69}，计算得到#32-15井PI4压裂段的裂缝单翼预测长为44.18 m。利用式(17)计算得到东西两翼裂缝长度之差l=22.44 m；利用式(18)计算lmax=33.25 m。说明若将PI4段整段压裂，裂缝的不规则程度较大，压裂效果受到影响。 将PI4划分为两段(1 228.8～1 233.9 m、1 233.9～1 237.1 m)，分别计算两段

的ξ，依次为0.656、0.305，依据式(17)计算两段的l，分别为12.37、6.22 m；依据式(18)计算两段的lmax，分别为21.49、16.45 m。分段压裂的及相对整段压裂降低较多，建议采用分段压裂。

依据前文中PNK模型，输入参数{qi,hn,hg,υ,G}分别取为{2.8，5.1，1.3，0.30，8.02}；{2.8，3.2，1.6，0.26，9.31}，裂缝单翼预测长分别为81.3、80.87 m。李剑辉等[22]研究了压裂单缝与携砂液流动规律，指出椭圆或者楔形形态的裂缝，裂缝尺寸减小，裂缝中铺砂浓度的变化更合理。鉴于井密度(100 m井间距)，可以适当减小缝长。Patel等[23]数值模拟结果表明，施加压力与裂缝规模密切相关；于是，将排量降低至2.2 m3·min-1，其他参数不变，计算的裂缝单翼预测长分别为66.34、67.92 m。

图5 #32-15井自然伽马、渗透率、泊松比、剪切模量曲线及其方波曲线Fig.5 Natural gamma, permeability, Poisson’s ratio, shear modulus curve and square wave curve of #32-15 well

依据计算结果，建议采用低排量多段多裂缝压裂方式实施压裂。实际施工按照“排量2.2 m3·min-1，两段1 229.3～1 233.9 m、1 233.9～1 236.6 m”多裂缝压裂方式。采用微地震检测方式给出实际压裂裂缝的两翼长度分别为.8、66.3 m，两者差距为11.5 m，与预测翼长的最大差值为23.48。计算结果与预测结果吻合较好。该井压裂前日产液1.3 t/d，日产油1.0 t/d；压裂施工后，日产液6.4 t/d，日产油2.7 t/d，增油效果明显。同时低排量的选取，降低了施工成本。 5 结论

(1)油田开发过程中具有大量的常规测井资料，应用这些资料可以合理计算出岩层纵向上的渗透率，进而给出岩层关于存储物性的非均质变化。依据微地震检测得到的水力压裂裂缝空间延展参数，考察岩层渗透率非均质参数对实际压裂裂缝的空间展布影响，发现储层的非均质性越强，影响越大。由于数据量较少，给出了较简单

的相关关系式，随着实测数据的增加，可以进行逐步修正。

(2)实际压裂施工是一个相当复杂且涉及面很广泛的工程，压裂施工设计所预设的模型都趋于理想化，例如PKN模型忽略了压裂工艺、施工用液量、总砂量及岩层非均质性等参数。因此，在理想模型基础上，依据一个局部区块的微地震检测数据建立岩层非均质参数与压裂裂缝不规则参数的定量关系，有利于促进压裂设计软件的适用性开发。

(3)实际压裂裂缝的延展空间分布决定了油藏增产效果的精细评价。受限于目前微地震处理及压裂设计软件所能提供的参数，从压裂裂缝两翼延展长度与预测长度存在偏差来研究储层非均质性对裂缝延展空间的影响，已得到有意义的成果。因此，随着表征实际压裂裂缝延展空间的不规则程度参数的增加，研究储层非均质性对裂缝延展空间的影响，必将成为油田增储上产评价技术中的一项重要内容。

(4)将区域内微地震测量、储层渗透率参数综合应用，来完善压裂模型的预测结果，一方面并不影响压裂施工设计的快捷实现，另一方面区域信息的引入，可有效保障设计结果的实用性。 参考文献

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