高一物理必修2学案全套

5.1曲线运动

一、曲线运动的位移和速度

1．曲线运动的位移

(1)坐标系的选择：选择平面直角坐标系．

(2)位移的描述：在平面直角坐标系中，物体的位移可用它在坐标轴方向的分位移来表示，而分位移可用该点的坐标表示．

如图1所示，曲线OA是某质点的运动轨迹． 当质点运动到A点时，它相对抛出点的位移是OA， 两个分位移为xA、yA.

图1

2．曲线运动的速度

(1)速度的方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向． (2)运动性质：由于质点的速度方向时刻发生变化，因此曲线运动一定是变速运动．

(3)速度的描述：可用相互垂直的两个方向的分速度表示．如图2，两个分速度vx、vy与速度v的关系是：vx＝vcos θ，vy＝vsin_θ.

图2

例1 下列说法中正确的是( )

A．物体保持速率不变沿曲线运动，其加速度为0 B．曲线运动一定是变速运动 C．变速运动一定是曲线运动

D．物体沿曲线运动一定有加速度，且加速度一定变化

1．曲线运动是变速运动，速度方向一定变，但速度大小不一定变．

2．曲线运动是变速运动，一定有加速度，但加速度不一定变(如将物体沿水平方向抛出，其加速度不变)即可以是匀变速曲线运动，也可以是变加速曲线运动．

二、运动描述的实例 运动的合成与分解

1．运动描述的实例——蜡块运动的研究

(1)蜡块的位置：如所示，蜡块沿玻璃管匀速上升的速度设为vy，玻璃管向右匀速移动的速度设为vx，从蜡块开始运动的时刻计时，在某时刻t，蜡块的位置P可以用它的x、y两个坐标表示x＝vx_t，y＝vy_t. vy

2(2)蜡块的速度：大小v＝v2x＋vy，方向满足tan θ＝. vxvy

(3)蜡块运动的轨迹：y＝x，是一条过原点的直线．

vx2．运动的合成与分解 (1)合运动与分运动

①如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动．

1

②运动的合成与分解：已知分运动求合运动，叫运动的合成；已知合运动求分运动，叫运动的分解． ③运动的合成与分解：实质是对运动的位移、速度和加速度的合成和分解，遵循平行四边形定则(或三角形定则)．

(2)合运动与分运动的关系

①等效性：各分运动的共同效果与合运动的效果相同； ②等时性：各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同； ③性：各分运动之间互不相干，彼此，互不影响．

例2 2016年1月，国际救援组织为被基地组织控制的伊拉克难民投放物资，直升机空投物资时，可以停留在空中不动．设投出的物资离开飞机后由于降落伞的作用在空中能匀速下落，无风时落地速度为5 m/s.若飞机停留在离地面100 m高处空投物资，由于水平风的作用，使降落伞和物资获得1 m/s的水平向北的速度，求：

(1)物资在空中运动的时间； (2)物资在落地时速度的大小；

(3)物资在下落过程中水平方向移动的距离．

三、物体做曲线运动的条件

1．物体做曲线运动的条件

(1)动力学条件：合力方向与物体的速度方向不在同一直线上． (2)运动学条件：加速度方向与速度方向不在同一直线上．

2.无力不拐弯，拐弯必有力．曲线运动的轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间，而且向合力的方向弯曲，3．曲线运动的分类及受力特点 (1)匀变速曲线运动：物体受恒力作用． (2)变加速曲线运动：物体受变力作用． 4．物体的受力与运动性质

例3 一物体在xOy直角坐标平面内运动的轨迹如图所示，其中初速度方向沿虚线方向，下列判断正确的是( ) A．物体可能受沿x轴正方向的恒力作用

即合力指向轨迹的凹(填“凸”或“凹”)侧．(如图所示，为水平抛出的物体的受力和速度方向)

2

B．物体可能受沿y轴负方向的恒力作用 C．物体可能受沿虚线方向的恒力作用 D．物体不可能受恒力作用

(1)曲线运动的轨迹在合力和速度方向之间且向着力的方向弯曲．

(2)若物体在恒力作用下做曲线运动，物体的运动轨迹越来越接近力的方向，但不会与力的方向相同． (3)合外力方向与速度方向成锐角时，物体做加速曲线运动；成钝角时，物体做减速曲线运动．

例4 关于曲线运动，下列说法正确的是( )

A．物体在恒力作用下不可能做曲线运动 B．物体在变力作用下一定做曲线运动 C．做曲线运动的物体，其速度大小一定变化 D．加速度(不为0)不变的运动可能是曲线运动

物体做曲线运动时，关于受力(加速度)的“一定”与“不一定”：

(1)“一定”：物体受到的合外力(加速度)一定不为零，物体所受合外力(加速度)的方向与其速度方向一定不在同一条直线上．

(2)“不一定”：物体受到的合外力(加速度)不一定变化，即物体受到的合外力可以是恒力，也可以是变力．

课堂训练

1．(对曲线运动的理解)(多选)关于曲线运动的速度，下列说法正确的是( ) A．速度的大小与方向都在时刻变化

B．速度的大小不断发生变化，速度的方向不一定发生变化 C．速度的方向不断发生变化，速度的大小不一定发生变化 D．质点在某一点的速度方向是在曲线的这一点的切线方向

2．(对曲线运动条件的理解)(多选)质点在三个恒力F1、F2、F3的共同作用下保持平衡状态，若突然撤去F1，保持其他力不变，则质点( )

A．一定做匀变速运动 B．一定做直线运动 C．一定做非匀变速运动 D．可能做曲线运动

3．(对曲线运动的条件的理解)(多选)如图所示，一个质点沿轨道ABCD运动，图中画出了质点在各处的速度v和质点所受合力F的方向，其中可能正确的是( ) A．A位置 B．B位置 C．C位置 D．D位置

5.2曲线运动习题课

题组一 对曲线运动的理解

1．(多选)关于做曲线运动物体的速度和加速度，下列说法中正确的是( ) A．速度方向不断改变，加速度方向不断改变 B．速度方向不断改变，加速度一定不为零

3

C．加速度越大，速度的大小改变得越快 D．加速度越大，速度改变得越快

2．在弯道上高速行驶的赛车后轮突然脱离赛车，关于脱离了赛车的后轮的运动情况，以下说法正确的是( )

A．仍然沿着汽车行驶的弯道运动 B．沿着与弯道垂直的方向飞出

C．沿着脱离时轮子前进的方向做直线运动，离开弯道 D．上述情况都有可能

3．(多选)电动自行车绕图所示的400米标准跑道运动，车上的车速表指针一直指在36 km/h处不动．则下列说法中正确的是( ) A．电动车的速度一直保持不变

B．电动车沿弯道BCD运动过程中，车一直具有加速度 C．电动车绕跑道一周需40秒钟，此40秒内的平均速度等于零 D．电动车在弯道上运动时合外力不可能为0

题组二 对曲线运动条件的理解

4．(多选)水平桌面上，让一个小铁球沿桌面匀速运动，在它的运动轨迹旁边放置一磁铁，在磁铁吸引力的作用下，小铁球此后的运动轨迹发生变化，如图2所示，关于小铁球运动情况，下列说法正确的是( ) A．小铁球的速度方向始终指向磁铁

B．小铁球的速度方向沿它运动轨迹的切线方向 C．磁铁对小铁球的吸引力沿运动轨迹的切线方向

D．磁铁对小铁球的吸引力与小铁球的速度方向不在同一直线上 5．物体做曲线运动的条件是( )

A．受到的合外力必须是恒力 B．受到的合外力必须是变力

C．物体所受的合力方向一定是变化的 D．合外力方向与速度方向不在同一条直线上

6．若已知物体运动的初速度v0的方向及它受到的恒定的合力F的方向，如图所示．则可能的轨迹是( )

7．一个物体由静止开始自由下落一小段时间后突然受一恒定的水平风力影响，但落地前一小段时间风突然停止，则其运动轨迹可能为图中的( )

8．一物体以速度v运动，到达位置A开始受到向前但偏右的

但偏左，最终到达D，以下四图表示物体全程的运动轨迹，正确的是( )

合力(观

察者沿物体的运动方向看，下同)，到达B时，合力改成与前进方向相同，到达C时，合力又突然改成向前

4

9．(多选)在光滑水平面上有一质量为2 kg的物体，受几个共点力作用做匀速直线运动．现突然将与速度反方向的2 N的力水平旋转90°，则关于物体运动情况的叙述正确的是( ) A．物体做速度大小不变的曲线运动

B．物体做加速度为2 m/s2的匀变速曲线运动 C．物体做速度越来越大的曲线运动

D．物体做非匀变速曲线运动，其速度越来越大

题组三 运动的合成和分解

10．(多选)关于运动的合成，下列说法中正确的是( ) A．合运动的速度一定比每一个分运动的速度大 B．合运动的时间一定比每一个分运动的时间长 C．分运动的时间一定与它们合运动的时间相等 D．合运动的速度可以比每个分运动的速度小

11．跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，当运动员从直升机由静止跳下后，在下落过程中不免会受到水平风力的影响，下列说法中正确的是( )

A．风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作 B．风力越大，运动员着地速度越大，有可能对运动员造成伤害 C．运动员下落时间与风力有关 D．运动员着地速度与风力无关

12．一物体在光滑水平面上运动，它在x方向和y方向上的两个分运动的速度—时间图象分别如图3甲、乙所示．

甲 乙 (1)判断物体的运动性质； (2)计算物体的初速度大小；

(3)计算物体在前3 s内和前6 s内的位移大小．

5.3运动的合成与分解

一、合运动与分运动的关系 合运动的性质

5

等效性

1．合运动与分运动的关系等时性

性

在解决此类问题时，要深刻理解“等效性”；利用“等时性”把两个分运动与合运动联系起来；坚信两个分运动的“性”，放心大胆地在两个方向上分别研究． 2．合运动性质的判断

分析两个直线运动的合运动的性质时，应先根据平行四边形定则，求出合运动的合初速度v0和合加速度a，然后进行判断：

(1)判断是否做匀变速运动：若a恒定，物体做匀变速运动；若a变化，物体做变加速运动．

(2)判断轨迹曲直：若a与v0共线，则做直线运动；若a与v0不共线，则做曲线运动．

例1 质量m＝2 kg的物体在光滑水平面上运动，其分速度vx和vy随时间变化的图线如图1(a)、(b)所示，求：

(1)物体所受的合力； (2)物体的初速度； (3)t＝8 s时物体的速度； (4)t＝4 s内物体的位移．

图1

例2 如图2所示，竖直放置的两端封闭的玻璃管中注满清水，内有一个红蜡块能在水中以速度v匀速上浮．红蜡块从玻璃管的下端匀速上浮的同时，使玻璃管由静止水平匀加速向右运动，则蜡块的轨迹可能是( ) A．直线P C．曲线R

互成角度的两个直线运动的合运动的性质：

(1)两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动．

(2)一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动合成时，由于其加速度与合速度不在同一条直线上，故合运动是匀变速曲线运动．

(3)两个都是从静止开始的匀加速直线运动的合运动一定是匀加速直线运动．

(4)两个匀加速直线运动的合运动，可能是直线运动，也可能是曲线运动，但一定是匀变速运动．

二、小船渡河问题 1．小船参与的两个分运动

(1)船相对水的运动(即船在静水中的运动)，它的方向与船头的指向相同． (2)船随水漂流的运动，它的方向与河岸平行．

B．曲线Q D．无法确定

6

2．两类最值问题 (1)渡河时间最短问题：

由于水流速度始终沿河道方向， 不能提供指向河对岸的分速度．因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直v船dd

于河岸航行即可．由图可知，t短＝，此时船渡河的位移x＝，位移方向满足tan θ＝.

sin θv船v水(2)渡河位移最短问题： 情况一： v水＜v船

d

最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝，船头与上游河岸

v船 sin θ夹角θ满足v船cos θ＝v水，如图所示． 情况二： v水＞v船

如图5所示，以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径作圆，当合速度 的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短． v船v水d

由图可知sin α＝，最短航程为x＝＝d.此时船头指向应与上游河岸成

sin αv船v水v船

θ′角，且cos θ′＝.

v水

例3 小船在200 m宽的河中横渡，水流速度是2 m/s，小船在静水中的航速是4 m/s.求： (1)要使小船渡河耗时最少，应如何航行？ (2)要使小船航程最短，应如何航行？

对小船渡河问题，要注意以下三点：

(1)研究小船渡河时间时→常对某一分运动进行研究求解，一般用垂直河岸的分运动求解． (2)分析小船速度时→可画出小船的速度分解图进行分析．

(3)研究小船渡河位移时→要对小船的合运动进行分析，必要时画出位移合成图．

例4 如图6所示，一艘小船要从O点渡过一条两岸平行、宽度为d＝100 m的河流，已知河水流速为v1＝4 m/s，小船在静水中的速度为v2＝2 m/s，B点距正对岸的A点x0＝173 m．下面关于该船渡河的判断，其中正确的是( )

A．小船过河的最短航程为100 m B．小船过河的最短时间为25 s

C．小船可以在对岸A、B两点间任意一点靠岸 D．小船过河的最短航程为200 m

三、“绳联物体”的速度分解问题

“绳联物体”指物体拉绳(杆)或绳(杆)拉物体的问题(下面为了方便，统一说“绳”)： (1)物体的实际速度一定是合速度，分解时两个分速度方向应取沿绳方向和垂直绳方向． (2)由于绳不可伸长，一根绳两端物体沿绳方向的速度分量相等．

例5 如图7所示，汽车甲以速度v1拉汽车乙前进，乙的速度为v2，甲、乙都在水平面上运动，拉汽车

7

乙的绳子与水平方向夹角为α，求v1∶v2.

图7

课堂训练

1．(合运动与分运动的关系)(多选)一质量为2 kg的质点在如图甲所示的xOy平面内运动，在x方向的速度时间图象和y方向的位移时间(y－t)图象分别如图乙、丙所示，由此可知( ) A．t＝0时，质点的速度大小为12 m/s B．质点做加速度恒定的曲线运动 C．前2 s，质点所受的合力大小为10 N D．t＝1 s时，质点的速度大小为7 m/s

2．(合运动性质的判断)(多选)一物体在xOy平面内从坐标原点开始运动，沿x轴和y轴方向运动的速度随时间t变化的图象分别如图(甲)、(乙)所示，则物体0～t0时间内( ) A．做匀变速运动 B．做非匀变速运动

C．运动的轨迹可能如图(丙)所示

D．运动的轨迹可能如图(丁)所示

3．(绳联物体的速度分解问题)如图所示，某人用绳通过定滑轮拉小船，设人匀速拉绳的速度为v0，绳某时刻与水平方向夹角为α，则船的运动性质及此时刻小船水平速度vx为( ) v0

A．船做变加速运动，vx＝

cos αB．船做变加速运动，vx＝v0cos α C．船做匀速直线运动，vx＝

v0

cos α

D．船做匀速直线运动，vx＝v0cos α

4．(小船渡河问题)小船在200 m宽的河中横渡，水流速度为3 m/s，船在静水中的航速是5 m/s，求： (1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？

(2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？(sin 37°＝0.6)

5.4运动的合成与分解习题课

题组一 合运动与分运动的关系 合运动的性质判定 1．关于合运动、分运动的说法，正确的是( )

A．合运动的位移为分运动位移的矢量和 B．合运动的位移一定比其中的一个分位移大 C．合运动的速度一定比其中的一个分速度大 D．合运动的时间一定比分运动的时间长

8

2．(多选)关于运动的合成，下列说法中正确的是( ) A．两个直线运动的合运动，一定是直线运动 B．两个直线运动的合运动，可能是曲线运动

C．两个互成角度的匀速直线运动的合运动，一定是匀速直线运动 D．两个互成角度的匀加速直线运动的合运动，一定是匀加速直线运动

3．有一个质量为2 kg的质点在xOy平面内运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象如图甲、乙所示，下列说法正确的是( ) A．质点所受的合外力大小为3 N B．质点的初速度大小为3 m/s C．质点做匀变速直线运动

D．质点初速度的方向与合外力方向垂直

4．(多选)两个互相垂直的匀变速直线运动，初速度分别为v1和v2，加速度分别为a1和a2，则它们的合运动轨迹( )

A．如果v1＝v2＝0，那么轨迹一定是直线 B．如果v1≠0，v2≠0，那么轨迹一定是曲线 a1v1

C．如果a1＝a2，那么轨迹一定是直线 D．如果＝，那么轨迹一定是直线

a2v2

5. (多选)如图2所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A，小车下装有吊着物体B的吊钩，在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向做匀速直线运动的同时，吊钩将物体B向上吊起，A、B之间的距离以d＝H－2t2(SI)(SI表示国际单位制，式中H为吊臂离地面的高度)规律变化，则物体做( ) A．速度大小不变的曲线运动 B．速度大小增加的曲线运动

C．加速度大小、方向均不变的曲线运动 D．加速度大小、方向均变化的曲线运动

6．如图3甲所示的直角三角板紧贴在固定的刻度尺上方，现使三角板沿刻度尺水平向右匀速运动的同时，一支铅笔从三角板直角边的最下端，由静止开始沿此边向上做匀加速直线运动，下列关于铅笔尖的运动及其留下的痕迹的判断中，正确的有( )

A．笔尖留下的痕迹可以是一条如图乙所示的抛物线 B．笔尖留下的痕迹可以是一条倾斜的直线

C．在运动过程中，笔尖运动的速度方向始终保持不变 D．在运动过程中，笔尖运动的加速度方向始终保持不变

题组二 绳联物体的速度分解问题

7.如图所示，物体A和B的质量均为m，且分别与跨过定滑轮的轻绳连接(不计绳与滑轮、滑轮与轴之间的摩擦)在用水平变力F拉物体B沿水平方向向右做匀速直线运动的过程中，则( ) A．物体A也做匀速直线运动 B．绳子拉力始终等于物体A所受重力 C．绳子对A物体的拉力逐渐增大 D．绳子对A物体的拉力逐渐减小

甲 乙

9

8．如图5所示，重物M沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车沿斜面升高．当滑轮右侧的绳与竖直方向成θ角，且重物下滑的速率为v时，小车的速度为( ) A．vsin θ C．vcosθ

vB. cos θvD. sinθ

题组三 小船渡河问题

9．(多选)下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图中v的箭头所示，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线．则其中可能正确的是( )

10．(多选)河水的流速随离一侧河岸的距离的变化关系如图6甲所示，船在静水中的速度与时间的关系如图乙所示，若要以最短时间渡河，则( ) A．船渡河的最短时间是60 s

B．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直 C．船在河水中航行的轨迹是一条直线 D．船在河水中的最大速度是5 m/s

11．已知某船在静水中的速率为v1＝4 m/s，现让船渡过某条河，假设这条河的两岸是理想的平行线，河宽为d＝100 m，河水的流动速度为v2＝3 m/s，方向与河岸平行．试分析：

(1)欲使船以最短时间渡过河去，船的航向怎样？最短时间是多少？到达对岸的位置怎样？船发生的位移是多大？

(2)欲使船渡河过程中的航行距离最短，船的航向又应怎样？渡河所用时间是多少？

题组四 综合应用

12．在一光滑的水平面上建立xOy平面坐标系，一质点在水平面上从坐标原点开始运动，沿x方向和y方向的x－t图象和vy－t图象如图7甲、乙所示，求： (1)运动后4 s内质点的最大速度的值； (2)4 s末质点离坐标原点的距离．

10

甲 乙

图7

13．如图8所示，在光滑水平面上有坐标系xOy，质量为1 kg的质点开始时静止在xOy平面上的原点O处，某一时刻起受到沿x轴正方向的恒力F1的作用，F1的大小为2 N，若力F1作用一段时间t0后撤去，撤去力F1后5 s末质点恰好通过该平面上的A点，A点的坐标为x＝11 m，y＝15 m.

(1)为使质点按题设条件通过A点，在撤去力F1的同时对质点施加一个沿y轴正方向的恒力F2，此后F2一直作用在质点上，力F2应为多大？ (2)力F1作用时间t0为多长？

(3)在图中画出质点运动轨迹示意图，在坐标系中标出必要的坐标．

图8

5.5平抛运动

一、抛体运动

1．定义：以一定的速度将物体抛出，物体只受重力作用的运动． 2．平抛运动：初速度沿水平方向的抛体运动．

11

3．平抛运动的特点：(1)初速度沿水平方向．(2)只受重力作用． 4．平抛运动的性质，加速度为g的匀变速曲线运动． 例1 关于平抛运动，下列说法中正确的是( )

A．平抛运动是一种变加速运动 B．做平抛运动的物体加速度随时间逐渐增大 C．做平抛运动的物体每秒内速度增量相等 D．做平抛运动的物体每秒内位移增量相等

平抛运动是曲线运动，但加速度不变，是匀变速曲线运动．

二、平抛运动的研究方法及规律

1．研究方法：采用运动分解的方法，将平抛运动分解为竖直方向的自由落体运动和水平方向的匀速直线运动．

1

2．平抛运动的时间：由y＝gt2得t＝

23．平抛运动的速度：

(1)水平方向：vx＝v0 竖直方向：vy＝gt

2222

大小：v＝v2x＋vy＝v0＋gt

vygt(2)合速度

方向：tan θ＝＝θ是v与水平方向的夹角vv0x

2y

，可知平抛运动时间只与下落高度有关，与初速度无关． g

(3)速度变化：任意两个相等的时间间隔内速度的变化相同，Δv＝gΔt，方向竖直向下，如图所示． 4．平抛运动的位移：

1

(1)水平方向：x＝v0t. 竖直方向：y＝gt2.

2

22

大小：s＝x＋y

(2)合位移 y

方向：tan α＝α是位移s与水平方向的夹角x

1g

5．平抛运动的轨迹：由x＝v0t，y＝gt2得y＝2x2，为抛物线方程，其运动轨迹为抛物线．

22v06．平抛运动的两个推论

(1)平抛运动某一时刻速度与水平方向夹角为θ，位移与水平方向夹角为α，则tan θ＝2tan α. vygtygt

证明：因为tan θ＝＝，tan α＝＝，所以tan θ＝2tan α.

v0v0x2v0

(2)做平抛运动的物体在任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点． 证明：如图3所示，P点速度的反向延长线交OB于A点．则OB＝v0t，AB＝

1

可见AB＝OB.

2

PB12v01

＝gt·＝vt. tan θ2gt20

12

图3

例2 如图所示，x轴在水平地面上，y轴沿竖直方向．图中画出了从y轴上沿x轴正向抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹，其中b和c是从同一点抛出的．不计空气阻力，则( ) A．a的飞行时间比b的长 C．a的水平速度比b的小

解答平抛运动问题时应把握以下两点： (1)运动时间由竖直高度决定；

(2)水平位移由运动时间和平抛的初速度共同决定．

例3 有一物体在离水平地面高h处以初速度v0水平抛出，落地时的速度为v，竖直分速度为vy，水平射程为l，不计空气阻力，则物体在空中飞行的时间为( ) l

A. B.v0

三、平抛运动与斜面的结合问题

在解答平抛运动与斜面的结合问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要充分运用斜面倾角，找出位移或速度与斜面倾角的关系，从而使问题得到顺利解决．常见的模型如下：

方法 内容 水平：vx＝v0 分解速度 竖直：vy＝gt 2合速度：v＝v2x＋vy B．b和c的飞行时间相同 D．b的初速度比c的大

v2－v2h0 C. 2gg

2h

D.

vy

斜面 总结 分解速度，构建速度三角形 水平：x＝v0t 分解位移 1竖直：y＝gt2 2合位移：s＝x2＋y2

例4 如图6所示，AB为斜面，倾角为30°，小球从A点以初速度v0水平抛出，恰好落在B点，求： (1)AB间的距离；

(2)物体在空中飞行的时间．

分解位移，构建位移三角形 13

四、一般的抛体运动

1．定义：初速度沿斜向上或斜向下方向的抛体运动．

2．性质：斜抛运动可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛或竖直下抛运动的合运动． 3．斜上抛运动在两个分方向的运动规律： 水平方向：vx＝v0cos_θ，x＝v0tcos_θ

1竖直方向：vy＝v0sin_θ－gt，y＝v0tsin θ－gt2.

2

4．可利用逆向思维方法，把斜上抛运动到最高点问题转换为平抛运动问题．

例5 如图所示，在水平地面上的A点与地面成θ角以速度v1射出一弹丸，恰好以v2的速度垂直穿入竖直壁上的小孔B，下面说法正确的是(不计空气阻力)( )

①在B点以跟v2大小相等的速度，跟v2方向相反射出弹丸，它必定落在地面上的A点 ②在B点以跟v1大小相等的速度，跟v2方向相反射出弹丸，它必定落在地面上的A点 ③在B点以跟v1大小相等的速度，跟v2方向相反射出弹丸，它必定落在地面上的A点的左侧 ④在B点以跟v1大小相等的速度，跟v2方向相反射出弹丸，它必定落在地面上的A点的右侧 A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

课堂训练

1．(平抛运动的特点)如图8所示，在光滑的水平面上有一小球A以初速度v0运动，同时刻在它的正上方有一小球B以初速度v0水平抛出，并落于C点，忽略空气阻力，则( ) A．小球A先到达C点 B．小球B先到达C点 C．两球同时到达C点 D．无法确定

2．(平抛运动规律的应用)在平坦的垒球运动场上，击球手挥动球棒将垒球水平击出，垒球飞行一段时间后落地．若不计空气阻力，则( )

A．垒球落地时瞬时速度的大小仅由初速度决定

B．垒球落地时瞬时速度的方向仅由击球点离地面的高度决定

14

C．垒球在空中运动的水平位移仅由初速度决定

D．垒球在空中运动的时间仅由击球点离地面的高度决定

3．(平抛运动规律的应用)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图9所示．水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h.发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h.不计空气的作用，重力加速度大小为g.若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是( )

图9

L1A.2L1B.4L1C.2L1D.4

4．(平抛运动与斜面的结合问题)如图10，小球以15 m/s的水平初速度向一倾角为37°的斜面抛出，飞行一4

段时间后，恰好垂直撞在斜面上．取g＝10 m/s2，tan 53°＝，求：

3(1)小球在空中的飞行时间； (2)抛出点距落点的高度．

g

＜v＜L16hg

＜v＜ hg1＜v＜ 6h2g1＜v＜ h2

g

6h

2

4L21＋L2g

6h2

4L21＋L2g

6h2

4L21＋L2g

6h

图10

5.6平抛运动习题课

题组一 对平抛(抛体)运动的理解

1.如图所示，某同学让带有水的伞绕伞柄旋转，可以看到伞面上的水滴沿伞边水平飞出．若不考虑空气阻力，水滴飞出后在空中的运动是( )

15

A．匀速直线运动 B．平抛运动 C．自由落体运动 D．圆周运动

2.如图所示，滑板运动员以速度v0从离地高度为h的平台末端水平飞出，落在水平地面上．忽略空气阻力，运动员和滑板可视为质点，下列表述正确的是( ) A．v0越大，运动员在空中运动时间越长 B．v0越大，运动员落地瞬间速度越大 C．运动员落地瞬间速度方向与高度h无关 D．运动员落地位置与v0大小无关

3．从离地面h高处投出A、B、C三个小球，A球自由下落，B球以速度v水平抛出，C球以速度2v水平抛出，它们落地时间tA、tB、tC的关系是( ) A．tA4．人站在平台上平抛一小球，球离手的速度为v1，落地时速度为v2，不计空气阻力，下图中能表示出速度矢量的演变过程的是( )

B．tA>tB>tC D．tA＝tB＝tC

题组二 平抛运动规律的应用

5．在抗震救灾中，一架飞机水平匀速飞行．从飞机上每隔1 s释放1包物品，先后共释放4包(都未落地)，若不计空气阻力，从地面上观察4包物品( )

A．在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是等间距的 B．在空中任何时刻总是排成抛物线，它们的落地点是不等间距的

C．在空中任何时刻总在飞机正下方，排成竖直的直线，它们的落地点是等间距的 D．在空中任何时刻总在飞机正下方，排成竖直的直线，它们的落地点是不等间距的

6．在同一点O抛出的三个物体，做平抛运动的轨迹如图所示，则三个物体做平抛运动的初速度vA、vB、vC的关系和三个物体做平抛运动的时间tA、tB、tC的关系分别是( ) A．vA>vB>vC，tA>tB>tC B．vA＝vB＝vC，tA＝tB＝tC C．vAtB>tC D．vA>vB>vC，tA7．如图所示，从同一条竖直线上两个不同点P、Q分别向右平抛两个小球，( )

A．一定是P先抛出的，并且v1＝v2 B．一定是P先抛出的，并且v1＜v2

平抛P、

Q的初速度分别为v1、v2，结果它们同时落到水平面上的M点处(不考虑空气阻力)．下列说法中正确的是

16

C．一定是Q先抛出的，并且v1＝v2 D．一定是Q先抛出的，并且v1＞v2

8． (多选)如图所示，在网球的网前截击练习中，若练习者在球网正上方距地面H处，将球以速度v沿垂直球网的方向击出，球刚好落在底线上，已知底线到网的距离为L，重力加速度取g，将球的运动视作平抛运动，下列表述正确的是( ) A．球的速度v等于L

g 2H

2H g

B．球从击出至落地所用时间为

C．球从击球点至落地点的位移等于L

D．球从击球点至落地点的位移与球的质量有关

9．(多选)以速度v0水平抛出一球，某时刻其竖直分位移与水平分位移相等，则下列判断中正确的是( ) A．竖直分速度等于水平分速度 B．此时球的速度大小为5v0 2v022v20

C．运动的时间为 D．运动的位移是

gg

题组三 与斜面结合的平抛运动问题

10. (多选)如图所示，在斜面顶端先后水平抛出同一小球，第一次小球落到斜面中点，第二次小球落到斜面底端，从抛出到落至斜面上(忽略空气阻力)( ) A．两次小球运动时间之比t1∶t2＝1∶2 B．两次小球运动时间之比t1∶t2＝1∶2 C．两次小球抛出时初速度之比v01∶v02＝1∶2 D．两次小球抛出时初速度之比v01∶v02＝1∶2

11.一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图7中虚线所示．小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为( ) A．tan θ

B．2tan θ

11C. D. tan θ2tan θ

12.如图8所示，从倾角为θ的斜面上某点先后将同一小球以不同的初速度水平抛出，小球均落在斜面上，当抛出的速度为v1时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α1；当抛出速度为v2时，小球到达斜面时速度方向与斜面的夹角为α2，则( )

A．当v1>v2时，α1>α2 C．无论v1、v2关系如何，均有α1＝α2 B．当v1>v2时，α1<α2 D．α1、α2的关系与斜面倾角θ有关 题组四 综合应用

13．物体做平抛运动，在它落地前的1 s内它的速度与水平方向夹角由30°变取g＝10 m/s2.求： (1)平抛运动的初速度v0； (2)平抛运动的时间； (3)平抛时的高度．

成60°，

17

14．如图9所示，一小球从平台上水平抛出，恰好落在平台前一倾角为α＝53°的斜面顶端并刚好沿斜面下滑，已知平台到斜面顶端的高度为h＝0.8 m，取g＝10 m/s2.求： (1)小球水平抛出的初速度v0；

(2)斜面顶端与平台边缘的水平距离x.(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)

图9

15.跳台滑雪是勇敢者的运动，运动员在专用滑雪板上，不带雪杖在助滑路上获得高速后水平飞出，在空中飞行一段距离后着陆，这项运动极为壮观．设一位运动员由a点沿水平方向滑出，到山坡b点着陆，如图10所示．测得a、b间距离L＝40 m，山坡倾角θ＝30°，山坡可以看成一个斜面．试计算：(不计空气阻力，g取10 m/s2)

(1)运动员滑出后他在空中从a到b飞行的时间； (2)运动员在a点滑出的速度大小．

.

图10

5.7实验：研究平抛运动

一、实验原理

18

1．利用追踪法逐点描出小球运动的轨迹．

2．建立坐标系，如果轨迹上各点的y坐标与x坐标间的关系具有y＝ax2的形式(a是一个常量)，则轨迹是一条抛物线．

1

3．测出轨迹上某点的坐标x、t，根据x＝v0t，y＝gt2得初速度v0＝x2二、实验器材(以斜面小槽法为例)

斜槽(带小球)、木板及竖直固定支架、白纸、图钉、重垂线、三角板、铅笔、刻度尺． 三、实验步骤(以斜面小槽法为例)

1．按图1甲所示安装实验装置，使斜槽末端水平．

g. 2y

图1

图2

2．以水平槽末端端口上小球球心位置为坐标原点O，过O点画出竖直的y轴和水平的x轴．

3．使小球从斜槽上同一位置由静止滚下，把笔尖放在小球可能经过的位置上，如果小球运动中碰到笔尖，就用铅笔在该位置画上一点．用同样方法，在小球运动路线上描下若干点．

4．将白纸从木板上取下，从O点开始连接画出的若干点描出一条平滑的曲线，如图乙所示． 四、数据处理

1．判断平抛运动的轨迹是不是抛物线

(1)原理：若平抛运动的轨迹是抛物线，则当以抛出点为坐标原点建立直角坐标系后，轨迹上各点的坐标具有y＝ax2的关系，且同一轨迹上a是一个特定的值． (2)验证方法 方法一：代入法

用刻度尺测量几个点的x、y坐标，分别代入y＝ax2中求出常数a，看计算得到的a值在误差范围内是否为一常数． 方法二：图象法

建立y－x2坐标系，根据所测量的各个点的x、y坐标值分别计算出对应y值的x2值，在y－x2坐标系中描点，连接各点看是否在一条直线上，并求出该直线的斜率即为a值． 2．计算平抛运动的初速度 (1)平抛轨迹完整(即含有抛出点)

1

在轨迹上任取一点，测出该点离原点的水平位移x及竖直位移y，因x＝v0t，y＝gt2，故v0＝x

2相等，由平抛运动的规律可知，A、B间与B、C间所用时间相等，设为t，则Δh＝hBC－hAB＝gt2 所以t＝

hBC－hABx

，所以初速度v0＝＝xgt

g

. hBC－hAB

g. 2y

(2)平抛轨迹残缺(即无抛出点)如图2所示，在轨迹上任取三点A、B、C，使A、B间及B、C间的水平距离

五、注意事项

1．斜槽安装：实验中必须调整斜槽末端切线水平，将小球放在斜槽末端水平部分，若能使小球静止，斜槽末端的切线就水平了．

2．方木板固定：方木板必须处于竖直平面内，要用重垂线检查坐标纸竖线是否竖直．

19

3．小球释放：

(1)小球每次必须从斜槽上同一位置滚下．

(2)小球开始滚下的位置高度要适中，以使小球平抛运动的轨迹由坐标纸的左上角一直到达右下角为宜． 4．坐标原点：坐标原点不是槽口的端点，而是小球出槽口时球心在木板上的投影点． 5．初速度的计算：在轨迹上选取离坐标原点O较远的一些点来计算初速度．

例1 (1)在做“研究平抛物体的运动”实验时，除了木板、小球、斜槽、铅笔、图钉之外，下列器材中还需要的是( )

A．游标卡尺 B．秒表 C．坐标纸 D．天平 E．弹簧秤 F．重垂线 (2)实验中，下列说法正确的是( )

A．应使小球每次从斜槽上相同的位置由静止滑下 B．斜槽轨道必须光滑 C．斜槽轨道末端可以不水平

D．要使描出的轨迹更好地反映真实运动，记录的点应适当多一些

E．为了比较准确地描出小球运动的轨迹，应该用一条曲线把所有的点连接起来

例2 在“研究平抛物体的运动”的实验中：

(1)为使小球水平抛出，必须调整斜槽，使其末端的切线成水平方向，检查方法是 _____________________________________________________________________.

(2)小球抛出点的位置必须及时记录在白纸上，然后从这一点画水平线和竖直线作为x轴和y轴，竖直线是用________来确定的．

(3)某同学建立的直角坐标系如图所示，设他在安装实验装置和其他操作时准确无误，只有一处失误，即是___________________________________________________________________.

(4)该同学在轨迹上任取一点M，测得坐标(x，y)，则初速度的测量值为________，测量值比真实值要________(选填“偏大”“偏小”或“不变”)．

例3 图4甲是“研究平抛运动”的实验装置图．

图4

(1)实验前应对实验装置反复调节，直到斜槽末端切线________．每次让小球从同一位置由静止释放，是为了每次平抛________．

(2)图乙是正确实验取得的数据，其中O为抛出点，则此小球做平抛运动的初速度为______m/s(g取9.8 m/s2)． (3)在另一次实验中将白纸换成方格纸，每小格的边长L＝5 cm，通过实验，记录了小球在运动途中的三个位置，如图丙所示，则该小球做平抛运动的初速度为________ m/s；B点的竖直分速度为________m/s.(g取10 m/s2)

5.8实验：研究平抛运动习题课

1．(多选)在“研究平抛运动”的实验中，为了求平抛物体的初速度，需直接测的数据有( )

20

A．小球开始滚下的高度 B．小球在空中飞行的时间 C．运动轨迹上某点P的水平坐标 D．运动轨迹上某点P的竖直坐标

2．(多选)下列哪些因素会使“研究平抛运动”的实验误差增大( ) A．小球与斜槽之间有摩擦 B．安装斜槽时其末端不水平

C．建立坐标系时，以斜槽末端端口位置为坐标原点

D．根据曲线计算平抛运动的初速度时，在曲线上取作计算的点离原点较远

3.某物理实验小组利用如图1所示装置测量小球做平抛运动的初速度．在地面上沿抛出的速度方向水平放置一把刻度尺，让悬挂在抛出点处的重锤的投影落在刻度尺的零刻度线上，则利用小球在刻度尺上的落点位置，就可以直观地得到小球做平抛运动的初速度．下列各图表示四位同学在刻度尺旁边分别制作出的速度标尺(图中P点为重锤的投影位置)，其中可能正确的是( )

图1

4．某同学在做平抛运动实验时得到了如图所示的运动轨迹，a、b、c三点的位置在运动轨迹上已标出．则

(1)小球平抛的初速度为________m/s.(g取10 m/s2)

(2)小球抛出点的位置坐标为x＝________ cm，y＝________cm.

5．在研究平抛运动的实验中，某同学只在竖直板面上记下了通过抛出点的重垂线y的方向，但忘了记下平抛的初位置，在坐标纸上描出了一段曲线的轨迹，如图3所示．现在曲线上取A、B两点，量出它们到y轴的距离，AA′＝x1，BB′＝x2，AB的竖直距离为h，重力加速度为g，用这些量可以求得小球平抛时的初速度为________．

图3

6．如图4所示，用底部带孔的玻璃试管和弹簧可以组装一个简易“多功能实验器”，实验器，一方面能测弹簧的劲度系数，另一方面可测量小球做平抛运动的初速度．

利用该

21

图4

然后由公式________________求出k的平均值．

(1)用该装置测量弹簧劲度系数k时需要读出几次操作时的________________和___________，

(2)使用该装置测量小球的初速度时，需要多次将弹簧的右端压到________(选填“同一”或“不同”)位置．然后分别测出小球几次飞出后的________________和________________，再由公式________________求出初速度的平均值．

7．某同学利用如图5甲所示装置做“研究平抛运动”的实验，根据实验结果在坐标纸上描出了小球水平抛出后的运动轨迹，但不慎将画有轨迹图线的坐标纸丢失了一部分，剩余部分如图乙所示．图乙中水平方向与竖直方向每小格的长度均代表0.10 m，P1、P2和P3是轨迹图线上的3个点，P1和P2、P2和P3之间的水平距离相等．完成下列填空：(重力加速度取10 m/s2)

图5

(1)设P1、P2和P3的横坐标分别为x1、x2和x3，纵坐标分别为y1、y2和y3.从图乙中可读出|y1－y2|＝______m，|y1－y3|＝________m，|x1－x2|＝________m．(结果在小数点后均保留两位有效数字)

(2)若已知抛出后小球在水平方向上做匀速运动．利用(1)中读取的数据，求出小球从P1运动到P2所用的时间为________s，小球抛出后的水平速度为________m/s.(结果均保留两位有效数字)

8．在研究平抛运动的实验中，用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格的边长L＝1.25 cm，若小球在平抛运动途中的几个位置如图6中a、b、c、d所示，则：

(1)求小球平抛运动的初速度的计算式(用L、g表示)，其值是多少？(g取9.8 m/s2)

(2)a点是平抛小球抛出点的位置吗？如果不是，那么抛出点的位置怎样确定？(计算结果保留三位有效数字)

图6

22

5.9圆周运动

一、描述圆周运动的物理量及其关系

1．线速度

Δs

(1)定义：物体做圆周运动通过的弧长与所用时间的比值． (2)大小：v＝，单位：m/s.

Δt

(3)方向：沿圆周上该点的切线方向． (4)物理意义：描述物体沿圆周运动的快慢． 2．角速度

(1)定义：连接物体与圆心的半径转过的角度与所用时间的比值． Δθ

(2)大小：ω＝，单位：弧度每秒，符号rad/s.

Δt(3)物理意义：描述物体绕圆心转动快慢的物理量． 3．周期和转速

(1)周期：做圆周运动的物体转过一周所用的时间，用符号T表示，单位为秒(s)．

(2)转速：做圆周运动的物体单位时间内转过的圈数．用n表示，单位为转每秒(r/s)，或转每分(r/min)． n r/s＝60n r/min. 4．各个物理量间的关系

2πr2π

(1)v、T的关系：v＝； (2)ω、T的关系：ω＝；

TT(3)v、ω的关系：v＝ωr； (4)ω、n的关系：ω＝2πn.

例1 关于做匀速圆周运动的物体的线速度、角速度、周期的关系，下面说法中正确的是( ) A．线速度大的角速度一定大 B．线速度大的周期一定小 C．角速度大的半径一定小 D．角速度大的周期一定小

例2 甲、乙两物体都做匀速圆周运动，其转动半径之比为1∶2，在相等的时间里甲转过60°，乙转过45°，则它们的角速度之比为________，线速度之比为________，周期之比为________．

二、对匀速圆周运动的理解

1．匀速圆周运动：物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等的运动． 2. 匀速圆周运动中的“匀速”，是指“匀速率”的意思，匀速圆周运动是变速运动．

例3 关于匀速圆周运动，下列说法正确的是( ) A．匀速圆周运动是变速运动 B．匀速圆周运动的速率不变 C．任意相等时间内通过的位移相等 D．任意相等时间内通过的路程相等

23

三、常见传动装置及其特点

1．同轴转动【轮上各点的角速度相等】

vAr

如图2所示，A点和B点在同轴的一个圆盘上，圆盘转动时：ωA＝ωB，＝，并且转动方向相同．

vBR

2．皮带传动：【轮子边缘各点线速度大小相等】

图2 图3 图4

如图3所示，A点和B点分别是两个轮子边缘上的点，两个轮子用皮带连起来，并且皮带不打滑，则当轮ωAr

子转动时：vA＝vB，＝，并且转动方向相同．

ωBR3.齿轮传动

ωAr2

如图4所示，A点和B点分别是两个齿轮边缘上的点，两个齿轮啮合，则当齿轮转动时，vA＝vB，＝，

ωBr1两点转动方向相反．

12

例4 如图5所示为皮带传动装置，皮带轮为O、O′，RB＝RA，RC＝RA，当皮带轮匀速转动时，皮带

23与皮带轮之间不打滑，求A、B、C三点的角速度之比、线速度之比、周期之比．

图5

课堂训练

1．(对匀速圆周运动的理解)(多选)关于匀速圆周运动，下列说法正确的是( ) A．匀速圆周运动是匀速运动 B．匀速圆周运动是变速运动

C．匀速圆周运动是线速度不变的运动 D．匀速圆周运动是线速度大小不变的运动

2．(圆周运动各物理量间的关系)甲、乙两物体分别做匀速圆周运动，如果它们转动的半径之比为1∶5，线速度之比为3∶2，则下列说法正确的是( )

A．甲、乙两物体的角速度之比是2∶15 B．甲、乙两物体的角速度之比是10∶3 C．甲、乙两物体的周期之比是2∶15 D．甲、乙两物体的周期之比是10∶3

3．(传动问题)如图是自行车传动机构的示意图，其中Ⅰ为半径为r1的大齿轮，Ⅱ是半径为r2的小齿轮，Ⅲ是半径为r3的后轮，假设脚踏板的转速为n r/s，则自行车前进的速度为( ) πnr1r3A.

r22πnr1r3C.

r2

πnr2r3B.

r1

2πnr2r3D.

r1

24

5.10圆周运动习题课

题组一 对匀速圆周运动的理解

1．(多选)做匀速圆周运动的物体，下列不变的物理量是( ) A．速度 B．速率 C．角速度 D．周期

2．(多选)质点做匀速圆周运动，则( ) A．在任何相等的时间里，质点的位移都相等 B．在任何相等的时间里，质点通过的路程都相等 C．在任何相等的时间里，质点运动的平均速度都相同

D．在任何相等的时间里，连接质点和圆心的半径转过的角度都相等

3．(多选)一般的转动机械上都标有“转速××× r/min”，该数值是转动机械正常工作时的转速，不同的转动机械上标有的转速一般是不同的．下列有关转速的说法正确的是( ) A．转速越大，说明该转动机械正常工作时转动的线速度一定越大 B．转速越大，说明该转动机械正常工作时转动的角速度一定越大 C．转速越大，说明该转动机械正常工作时转动的周期一定越大 D．转速越大，说明该转动机械正常工作时转动的周期一定越小

4．一个电子钟的秒针角速度为( )

ππ

A．π rad/s B．2π rad/s C． rad/s D． rad/s

3060

5．(多选)假设“神舟”十号实施变轨后做匀速圆周运动，共运行了n周，起始时刻为t1，结束时刻为t2，运行速率为v，半径为r.则计算其运行周期可用( )

t2－t1t1－t22πv2πr

A．T＝ B．T＝ C．T＝v D．T＝

nnr

6．两个小球固定在一根长为L的杆的两端，绕杆上的O点做圆周运动，如图1所示，当小球1的速度为v1时，小球2的速度为v2，则转轴O到小球2的距离为( )

v1Lv2Lv1＋v2Lv1＋v2LA. B. C. D.

v1v2v1＋v2v1＋v2

7．(多选)甲、乙两个做匀速圆周运动的质点，它们的角速度之比为3∶1，线速度之比为2∶3，那么下列说法中正确的是( )

A．它们的半径之比为2∶9 B．它们的半径之比为1∶2 C．它们的周期之比为2∶3 D．它们的周期之比为1∶3

题组三 传动问题

8．(多选)如图2所示为常见的自行车传动示意图．A轮与脚蹬相连，B轮与车轴相连，C为车轮．当人蹬车匀速运动时，以下说法中正确的是( )

A．A轮与B轮的角速度相同

B．A轮边缘与B轮边缘的线速度相同 C．B轮边缘与C轮边缘的线速度相同 D．B轮与C轮的角速度相同

9. (多选)如图3所示，静止在地球上的物体都要随地球一起转动，a是位于赤道上的一点，b是位于北纬30°上的一点，则下列说法正确的是( )

25

A．a、b两点的运动周期相同 B．它们的角速度是不同的 C．a、b两点的线速度大小相同

D．a、b两点线速度大小之比为2∶3

10．(多选)如图4所示为某一皮带传动装置．主动轮的半径为r1，从动轮的半径为r2.已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑．下列说法正确的是( ) A．从动轮做顺时针转动 B．从动轮做逆时针转动

r1r2

C．从动轮的转速为n D．从动轮的转速为n

r2r1

题组四 综合应用

11．如图5所示的传动装置中，B、C两轮固定在一起绕同一轴转动，A、B两轮用皮带传动，三个轮的半径关系是rA＝rC＝2rB.若皮带不打滑，求A、B、C三轮边缘上a、b、c三点的角速度之比和线速度之比．

图5

12．如图所示，钻床的电动轴上的塔轮1、2、3和钻轴上的塔轮4、5、6的直径分别是d1＝d6＝160 mm，d2＝d5＝180 mm，d3＝d4＝200 mm，电动机的转速n＝900 r/min.求： (1)皮带在2、5两轮时，钻轴的转速是多少？ (2)皮带在1、4两轮时，钻轴的转速是多少？ (3)皮带在3、6两轮时，钻轴的转速是多少？

13．如图所示，小球A在光滑的半径为R的圆形槽内做匀速圆周运动，当它运动到图中a点时，在圆形槽中心O点正上方h处，有一小球B沿Oa方向以某一初速度水平抛出，结果恰好在a点与A球相碰，求： (1)B球抛出时的水平初速度； (2)A球运动的线速度最小值．

5.11向心加速度

一、感受圆周运动的向心加速度

26

1．两个匀速圆周运动的实例分析

实例 地球绕太阳做(近似的) 匀速圆周运动 受力分析 加速度分析 2.对向心加速度的理解 (1)物理意义：描述做圆周运动的物体速度方向改变快慢的物理量．

地球受太阳的引力，方向指向太阳中心，即地球轨迹的圆心 光滑桌面上的小球由于细线的牵引，做匀速圆周运动 小球受重力、支持力、拉力三个力，合力总是指向圆心 由牛顿第二定律知，加速度方向与其合外力方向相同，指向圆心 (2)方向：总是指向圆心，即向心加速度的方向与速度方向垂直，时刻在变化，因此匀速圆周运动是变加速(填“匀变速”或“变加速”)曲线运动．

例1 关于向心加速度，以下说法正确的是( ) A．向心加速度的方向始终与速度方向垂直

B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小 C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心

D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心

二、向心加速度

1．定义：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心． v2

2．大小：(1)an＝；(2)an＝ω2r.

r

3．方向：沿半径方向指向圆心，与线速度方向垂直．

例2 一小球被细绳拴着，在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，向心加速度为an，那么( ) A．小球运动的角速度ω＝

an

B．小球在时间t内通过的路程s＝tanR R

R

D．小球在时间t内可能发生的最大位移为2R an

C．小球做匀速圆周运动的周期T＝

的一个分支，由图可知( ) A．P物体运动的线速度大小不变 B．P物体运动的角速度不变 C．Q物体运动的角速度不变

例3 如图为P、Q两物体做匀速圆周运动的向心加速度an的大小随半径r变化的图象，其中P为双曲线

D．Q物体运动的线速度大小不变

例4 如图所示，O1为皮带传动的主动轮的轴心，轮半径为r1，O2为从动轮的轴心，轮半径为r2，r3为固定在从动轮上的小轮半径．已知r2＝2r1，r3＝1.5r1，A、B、C分别是三个轮边缘上的点，则质点A、B、C的向心加速度之比是(假设皮带不打滑)( )

27

A．1∶2∶3 C．8∶4∶3

B．2∶4∶3 D．3∶6∶2

v2

(1)皮带传动问题，两轮边缘线速度相等，常选择公式an＝.

r(2)同轴转动问题，各点角速度相等，常选择公式an＝ω2r.

课堂训练

1．(对向心加速度的理解)(多选)下列说法正确的是( )

A．匀速圆周运动的速度大小保持不变，所以做匀速圆周运动的物体没有加速度 B．做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻在改变，所以必有加速度 C．做匀速圆周运动的物体，加速度的大小保持不变，所以是匀变速(曲线)运动

D．匀速圆周运动的加速度大小虽然不变，但方向始终指向圆心，加速度的方向发生了变化，所以匀速圆周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动

2．(对向心加速度及其公式的理解)做匀速圆周运动的两物体甲和乙，它们的向心加速度分别为a1和a2，且a1＞a2，下列判断正确的是( ) A．甲的线速度大于乙的线速度 B．甲的角速度比乙的角速度小 C．甲的轨道半径比乙的轨道半径小 D．甲的速度方向比乙的速度方向变化快

3．(向心加速度公式的有关计算)a、b两辆玩具车在各自的圆轨道上做匀速圆周运动，在相同的时间内，它们通过的路程之比为3∶4，转动的角度之比为2∶3，则它们的向心加速度大小之比为( ) A．2∶1 B．1∶2 C．9∶16 D．4∶9

4．(向心加速度公式的有关计算)如图3所示，两轮用皮带传动，皮带不打滑．图中有A、B、C三点，这三点所在处的半径rA>rB＝rC，则这三点的向心加速度aA、aB、aC的大小关系是( )

图3

A．aA＝aB＝aC C．aCB．aC>aA>aB D．aC＝aB>aA

5.12向心加速度习题课

题组一 对向心加速度及其公式的理解

1．下列关于匀速圆周运动的性质说法正确的是( )

28

A．匀速运动 B．匀加速运动 C．加速度不变的曲线运动 D．变加速曲线运动

2．关于匀速圆周运动，下列说法正确的是( )

v2

A．由an＝可知，an与r成反比 B．由an＝ω2r可知，an与r成正比

rC．由v＝ωr可知，ω与r成反比 D．由ω＝2πn可知，ω与n成正比

3．做匀速圆周运动的物体，它的加速度大小必定与( ) A．线速度的平方成正比 B．角速度的平方成正比

C．运动半径成正比 D．线速度和角速度的乘积成正比

4.如图所示，质量为m的木块从半径为R的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么( ) A．加速度为零 B．加速度恒定

C．加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心 D．加速度大小不变，方向时刻指向圆心

题组二 向心加速度公式的有关计算

5．(多选)一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周期为2 s，则下列说法正确的是( ) A．角速度为0.5 rad/s

B．转速为0.5 r/s

4

C．轨迹半径为 m D．加速度大小为4π m/s2

π

6. (多选)如图所示，一小物块以大小为an＝4 m/s2的向心加速度做匀速圆周运动，半径R＝1 m，则下列说法正确的是( )

A．小物块运动的角速度为2 rad/s B．小物块做圆周运动的周期为π s

ππ

C．小物块在t＝ s内通过的位移大小为 m

420

D．小物块在π s内通过的路程为零

7．A、B两小球都在水平面上做匀速圆周运动，A球的轨道半径是B球轨道半径的2倍，A的转速为30 r/min，B的转速为15 r/min，则两球的向心加速度之比为( )

A．1∶1 B．2∶1 C．4∶1 D．8∶1

8．(多选)如图所示，一个球绕中心轴线OO′以角速度ω做匀速圆周运动，则( ) A．a、b两点的线速度相同 B．a、b两点的角速度相同

C．若θ＝30°，则a、b两点的线速度之比va∶vb＝2∶3

D．若θ＝30°，则a、b两点的向心加速度之比aa∶ab＝3∶2

9．(多选)如图所示，皮带传动装置中，右边两轮连在一起共轴转动，图中三轮半径分别为r1＝3r，r2＝2r，r3＝4r；A、B、C三点为三个轮边缘上的点，皮带不打滑．向心加速度分别为a1、a2、a3，则下列比例关系正确的是( )

a13a12

A.＝ B.＝ a22a23

29

a22a21C.＝ D.＝ a31a32

10．如图5所示，两轮压紧，通过摩擦传动(不打滑)，已知大轮半径是小轮半径的2倍，E为大轮半径的中点，C、D分别是大轮和小轮边缘的一点，则E、C、D三点向心加速度大小关系正确的是( ) A．anC＝anD＝2anE anD

C．anC＝＝2anE

2

题组三 综合应用

B．anC＝2anD＝2anE anD

D．anC＝＝anE

2

1

11．如图6所示，质量为m的小球用长为L的悬绳固定于O点，在O点的正下方L处有一颗钉子，把悬

3绳拉直与竖直方向成一定角度，由静止释放小球，则小球从右向左摆的过程中，悬绳碰到钉子前后小球的向心加速度之比为多少？

图6

12．如图7所示，压路机大轮的半径R是小轮半径r的2倍，压路机匀速行驶时，大轮边缘上A点的向心R

加速度为0.12 m/s2，那么小轮边缘上B点的向心加速度为多大？大轮上距轴心的距离为的C点的向心加

3速度为多大？

图7

13.如图8所示，甲、乙两物体自同一水平线上同时开始运动，甲沿顺时针方向做匀速圆周运动，圆半径为R；乙做自由落体运动，当乙下落至A点时，甲恰好第一次运动到最高点B，求甲物体做匀速圆周运动的向心加速度的大小．(已知重力加速度为g)

图8

5.13向心力

一、向心力

30

1．定义：做匀速圆周运动的物体产生向心加速度的原因是它受到了指向圆心的合力．这个力叫做向心力． 2．方向：始终沿着半径指向圆心． v2

3．表达式：(1)Fn＝man＝m＝mω2r.

r

4．来源：向心力是根据力的作用效果来命名的，凡是产生向心加速度的力，不管属于哪种性质，都是向心力.

实例 用细线拴住的小球在竖直面内转动至最高点时 用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动 物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止 向心力 绳子的拉力和重力的合力提供向心力，F向＝F＋G 线的拉力提供向心力，F向＝FT 转盘对物体的静摩擦力提供向心力，F向＝Ff 小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动 重力和细线的拉力的合力提供向心力，F向＝F合 木块随圆桶绕轴线做圆周运动 圆桶侧壁对木块的弹力提供向心力，F向＝FN

思考如图1所示，汽车正在匀速率转弯．汽车的向心力是由什么力提供的？

示意图 图1

例1 如图2所示，一圆盘可绕过圆盘的中心O且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一小木块A，它随圆盘一起运动——做匀速圆周运动，则关于木块A的受力，下列说法中正确的是( ) A．木块A受重力、支持力和向心力

B．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相反 C．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向指向圆心

D．木块A受重力、支持力和静摩擦力，摩擦力的方向与木块运动方向相同

1．向心力是效果力，受力分析时不考虑向心力，向心力可以是某一种性质力，也可以是几个性质力的合力或某一性质力的分力． 2．向心力的方向始终指向圆心．

31

二、圆周运动中的动力学问题

解决圆周运动的一般步骤：

(1)明确研究对象：如果涉及两个或两个以上的物体时，首先得明确研究对象，这是研究问题的关键． (2)运动情况分析：确定圆周运动的轨道平面和圆心位置，分析物体做圆周运动的半径r和涉及的物理量v、ω或T.

(3)受力分析：对物体进行受力分析，找出沿着轨道半径方向的力(包括某些力在该方向上的分力)，它或它们的合力充当向心力．

v24π2

2

(4)列方程求解：根据牛顿第二定律，即Fn＝man＝m＝mrω＝mωv＝m2r列方程并求解．

rT

例2 如图3所示，质量为1 kg的小球用细绳悬挂于O点，将小球拉离竖直位置释放后，到达最低点时的速度为2 m/s，已知球心到悬点的距离为1 m，重力加速度g＝10 m/s2，求小球在最低点时对绳的拉力的大小．

图3

三、圆锥摆模型

模型及特点：如图所示，让细线带动小球在水平面内做匀速圆周运动． 重力和拉力(或支持力)的合力提供向心力，F合＝mgtan_θ.设摆线长为l，

v2

则圆半径r＝lsin_θ. 根据牛顿第二定律得： mgtan_θ＝m r

例3 有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图5所示．长为L的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r的水平转盘边缘．转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转动轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ.不计钢绳的重力，求： (1)转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系； (2)此时钢绳的拉力多大？

图5

四、变速圆周运动和一般的曲线运动

1．变速圆周运动：合力不指向圆心，合力F可以分解为互相垂直的两个分力．

(1)跟圆周相切的分力Ft，产生切向加速度，切向加速度与物体的速度方向共线，它改变速度的大小．

32

(2)指向圆心的分力Fn，产生向心加速度，与速度方向垂直，改变速度的方向．

2．一般的曲线运动的处理方法：可以把曲线分割成许多很短的小段，每一小段可看做一小段圆弧，研究质点在这一小段的运动时，可以采用圆周运动的处理方法进行处理．

课堂训练

1．(对向心力的理解)关于向心力的说法中正确的是( )

A．物体由于做圆周运动还受到一个向心力 B．向心力可以是任何性质的力

C．做匀速圆周运动的物体其向心力是恒力 D．做圆周运动的物体所受各力的合力一定全部提供向心力

2. (向心力的来源)(多选)如图所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是( ) A．绳的拉力

B．重力和绳拉力的合力

C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力 D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力

3．(圆周运动中的动力学问题)(多选)如图9所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l.木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )

A．b一定比a先开始滑动 B. a、b所受的摩擦力始终相等 C．ω＝ D．当ω＝

4．(圆锥摆模型)(多选)一个内壁光滑的圆锥筒的轴线是竖直的，圆锥固定，有质量相同的两个小球A和B贴着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，A的运动半径较大，则( ) A．A球的角速度必小于B球的角速度 B．A球的线速度必小于B球的线速度 C．A球运动的周期必大于B球运动的周期 D．A球对筒壁的压力必大于B球对筒壁的压力

kg

是b开始滑动的临界角速度 2l

kg

时，a所受摩擦力的大小为kmg 3l

5.14向心力习题课

题组一 向心力及其来源

1．(多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列判断正确的是( ) A．合力的大小不变，方向一定指向圆心 B．合力的大小不变，方向也不变

C．合力产生的效果既改变速度的方向，又改变速度的大小

33

D．合力产生的效果只改变速度的方向，不改变速度的大小

2.如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上紧靠着一个物体，物体随筒一起转动，物体所需的向心力由下面哪个力来提供( ) A．重力

B．弹力

C．静摩擦力 D．滑动摩擦力

3．在水平冰面上，狗拉着雪橇做匀速圆周运动，O点为圆心．能正确地表示雪橇受到的牵引力F及摩擦力Ff的图是( )

4．如图所示，一只老鹰在水平面内盘旋做匀速圆周运动，则关于老鹰受力的说法正确的是( ) A．老鹰受重力、空气对它的作用力和向心力的作用 B．老鹰受重力和空气对它的作用力 C．老鹰受重力和向心力的作用

D．老鹰受空气对它的作用力和向心力的作用

5．如图所示，圆盘上叠放着两个物块A和B，当圆盘和物块绕竖直轴匀速转动时，物块与圆盘始终保持相对静止，则( )

A．物块A不受摩擦力作用 B．物块B受5个力作用

C．当转速增大时，A受摩擦力增大，B受摩擦力减小 D．A对B的摩擦力方向沿半径指向转轴

题组二 圆周运动中的动力学问题

6．游客乘坐过山车，在圆弧轨道最低点处获得的向心加速度达20 m/s2，g取10 m/s2，那么此位置的座椅对游客的作用力相当于游客重力的( ) A．1倍 B．2倍 C．3倍 D．4倍

7．如图所示，将完全相同的两小球A、B，用长L＝0.8 m的细绳悬于以v＝4 m/s向左匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触．由于某种原因，小车突然停止，此时悬线中张力之比FA∶FB为(g＝10 m/s2)( ) A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4

34

8.如图所示，在光滑杆上穿着两个小球m1、m2，有m1＝2m2，用细线把两球连起来，当盘架匀速转动时，两小球刚好能与杆保持无相对滑动，此时两小球到转轴的距离r1与r2之比为( ) A．1∶1 B．1∶2 C．2∶1

D．1∶2

9. (多选)如图所示，A、B两个小球质量相等，用一根轻绳相连，另有一根轻绳的两端分别连接O点和B点，让两个小球绕O点在光滑水平桌面上以相同的角速度做匀速圆周运动，若OB绳上的拉力为F1，AB绳上的拉力为F2，OB＝AB，则( )

A．A球所受向心力为F1，B球所受向心力为F2 B．A球所受向心力为F2，B球所受向心力为F1 C．A球所受向心力为F2，B球所受向心力为F1－F2

D．F1∶F2＝3∶2

10．如图7所示，两段长均为L的轻质线共同系住一个质量为m的小球，另一端分别固定在等高的A、B两点，A、B两点间距离也为L，今使小球在竖直平面内做圆周运动，当小球到达最高点时速度为v，两段线中张力恰好均为零，若小球到达最高点时速率为2v，则此时每段线中张力大小为( ) A.3mg B．2mg C．3mg

D．4mg

11．质量为m的直升机以恒定速率v在空中水平盘旋，其做匀速圆周运动的半径为R，重力加速度为g，则此时空气对直升机的作用力大小为( )

v2v4v4

22

A．m B．mg C．mg＋2 D．mg－2

RRR

12．如图所示，在水平转台上放一个质量M＝2 kg的木块，它与转台间最大静摩擦力Ffmax＝6 N，绳的一端系在木块上，穿过转台的中心孔O(孔光滑，忽略小滑轮的影响)，另一端悬挂一个质量m＝1 kg的物体，当转台以角速度ω＝5 rad/s匀速转动时，木块相对转台静止，则木块到O点的距离r为多少？(g取10 m/s2，木块、物体均视为质点)

13．如图9所示，已知绳长为L＝20 cm，水平杆长为 L′＝0.1 m，小球质量m＝0.3 kg，整个装置可绕竖直轴转动．(g取10 m/s2)问：(结果保留三位有效数字)

(1)要使绳子与竖直方向成45°角，试求该装置必须以多大的角速度转动才行？ (2)此时绳子的张力多大？

35

图9

14．如图10所示，水平转盘上放有质量为 m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求： (1)绳子对物体的拉力为零时的最大角速度； (2)当角速度为

3μg

时，绳子对物体拉力的大小． 2r

图10

5.15生活中的圆周运动

一、铁路的弯道

1．火车在弯道上的运动特点：火车在弯道上运动时实际上是在水平面内做圆周运动，由于其质量巨大，需FN36

FL要很大的向心力．

2．向心力的来源及转弯速度

(1)铁路的弯道通常是外高内低，火车依据规定的行驶速度行驶， 转弯时向心力几乎完全由重力G和支持力FN的合力提供．

v0 2

(2)转弯速度：如图所示，mgtan_θ＝m，解得v0＝gRtan θ(规定速度)．

R

2v 0

(3)火车转弯时，火车轮缘不受挤压力时，mgtan θ＝m，故v0＝gRtan θ.其中R为弯道半径，θ为轨道所

R在平面与水平面的夹角．故规定行驶速度由R及θ决定．

(4)当v＝gRtan θ时，火车转弯所需向心力仅由重力和支持力的合力提供，此时火车对内、外轨均无挤压作用，这是设计的限速状态．

①当火车转弯速度过大，即v＞gRtan θ时，火车会对外轨有侧压力． ②当火车转弯速度过小，即v＜gRtan θ时，火车会对内轨有侧压力．

例1 有一列重为100 t的火车，以72 km/h的速率匀速通过一个内外轨一样高的弯道，轨道半径为400 m．(g取10 m/s2)

(1)试计算铁轨受到的侧压力大小；

(2)若要使火车以此速率通过弯道，且使铁轨受到的侧压力为零，试计算路基倾斜角度θ的正切值．

二、拱形桥

1．分析汽车过桥这类问题时应把握以下两点： (1)汽车在拱桥上的运动是竖直面内的圆周运动．

(2)向心力来源(最高点和最低点)：重力和桥面的支持力的合力提供向心力． 2．汽车过凸形桥(如图2甲)：

v2v2

汽车在凸形桥最高点时，加速度向下，合力向下，此时满足mg－FN＝m，FN＝mg－m，车对桥面的压

RR力小于汽车的重力，汽车处于失重状态．

37

图2

3．汽车过凹形桥(如图2乙)：

v2v2

汽车在凹形桥最低点时，加速度向上，合力向上，此时满足FN－mg＝m，FN＝mg＋m，车对桥面压力

RR大于汽车重力，汽车处于超重状态．

注意：凸形桥对汽车只能施加向上的支持力，故在桥的最高点，当汽车受到的支持力FN＝0时， v2

向心力mg＝m，此时汽车的临界最大速度v临＝gR.(达到临界速度时，从最高点将做平抛运动)

R

例2 如图3所示，质量m＝2.0×104 kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为20 m．如果桥面受到的压力不得超过3.0×105 N，则： (1)汽车允许的最大速度是多少？

(2)若以(1)中所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？(g取10 m/s2)

图3

三、竖直面内的绳、杆模型问题

1．轻绳模型(最高点，如图所示)：

(1)绳(外轨道)施力特点： 只能施加向下的拉力(或压力) v2

(2)动力学方程：FT＋mg＝m

r

v2

临界条件：FT＝0，此时mg＝m，则v＝gr

r①v＝gr时，拉力或压力为零． ②v>gr时，物体受向下的拉力或压力．

③v既能施加向下的拉(压)力，也能施加向上的支持力． (2)动力学方程：

38

v2

当v>gr时，FN＋mg＝m，杆对球有向下的拉力，且随v增大而增大；

rv2

当v＝gr时，mg＝m，杆对球无作用力；

r

v2

当vr(3)杆类的临界速度为v临＝0.

例3 长度为0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做圆周运动，A端连着一个质量m＝2 kg的小球．求在下述的两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向(g取10 m/s2)： (1)杆做匀速圆周运动的转速为2.0 r/s. (2)杆做匀速圆周运动的转速为0.5 r/s.

(1)在最高点时，杆对球的弹力和球的重力的合力充当向心力．

(2)杆对球可能提供支持力，也可能提供拉力，由球的加速度决定．

针对训练 一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一起在竖直平面内做圆周运动，如图6所示，水的质量m＝0.5 kg，水的重心到转轴的距离l＝50 cm.(g取10 m/s2) (1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；

(2)若在最高点水桶的速率v＝3 m/s，求水对桶底的压力．

图6

绳的施力特点：只能施加拉力，不能施加支持力，故绳拉物体在最高点的临界条件FT＝0，此时小球有最小速度v＝gr.

四、航天器中的失重现象 离心运动

1．航天器在近地轨道的运动

v2

(1)对于航天器，重力充当向心力，满足的关系为mg＝m，航天器的速度v＝gR.

R

39

mv2

(2)对于航天员，由重力和座椅的支持力提供向心力，满足的关系为mg－FN＝.

R当v＝gR时，座舱对宇航员的支持力FN＝0，宇航员处于完全失重状态． 2．对失重现象的认识

航天器内的任何物体都处于完全失重状态，但并不是物体不受重力．正因为受到重力作用才使航天器连同其中的宇航员环绕地球转动． 3．离心运动

(1)定义：物体沿切线飞出或做逐渐远离圆心的运动．

(2)实质：离心运动的实质是物体惯性的表现．做圆周运动的物体，总有沿着圆周切线飞出去的趋势，之所以没有飞出去，是因为受到向心力的作用．从某种意义上说，向心力的作用是不断地把物体从圆周运动的切线方向拉到圆周上来．一旦作为向心力的合外力突然消失或不足以提供所需向心力，物体就会发生离心运动．

(3)离心运动、近心运动的判断：物体做圆周运动、离心运动还是近心运动，由实际提供的向心力Fn与所需v2

向心力(m或mrω2)的大小关系决定．如图所示．

r

①若②若③若

Fn＝mrω2(或Fn＞mrω2(或Fn＜mrω2(或

v2

m)，即“提供”满足“需要”，物体做圆周运动． r

v2

m)，即“提供”大于“需要”，物体做半径变小(填“大”或“小”)的近心运动． r

v2

m)，即“提供”不足，物体做半径变大(填“大”或“小”)的离心运动． r

④若Fn＝0，物体做离心运动，并沿切线方向飞出．

例4 下列有关洗衣机脱水筒的脱水原理说法正确的是( ) A．水滴受离心力作用，而沿背离圆心的方向甩出 B．水滴受到向心力，由于惯性沿切线方向甩出

C．水滴受到的离心力大于它受到的向心力，从而沿切线方向甩出 D．水滴与衣服间的附着力小于它所需的向心力，于是沿切线方向甩出

(1)在离心现象中并不存在离心力，是外力不足以提供物体做圆周运动所需的向心力而引起的，是惯性的一种表现形式．

(2)做离心运动的物体，并不是沿半径方向向外远离圆心．

(3)物体的质量越大，速度越大(或角速度越大)，半径越小时，圆周运动所需要的向心力越大，物体就越容易发生离心现象．

课堂训练 1. (交通工具的转弯问题)赛车在倾斜的轨道上转弯如图所示，弯道的倾角为θ，半径为r，则赛车完全不靠摩擦力转弯的速率是(设转弯半径水平)( ) A.grsin θ

B.grcos θ

C.grtan θ D.grcot θ

2．(汽车过桥问题)城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥．如图10所示，桥面是半径为R的圆弧形

40

的立交桥AB横跨在水平路面上，一辆质量为m的小汽车，在A端冲上该立交桥，小汽车到达桥顶时的速度大小为v1，若小汽车在上桥过程中保持速率不变，则( ) A．小汽车通过桥顶时处于失重状态 B．小汽车通过桥顶时处于超重状态

v21

C．小汽车在上桥过程中受到桥面的支持力大小为FN＝mg－m

R

D．小汽车到达桥顶时的速度必须大于gR

3．(离心运动问题)如图11所示是摩托车比赛转弯时的情形，转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动．关于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是( ) A．摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用 B．摩托车所受外力的合力小于所需的向心力 C．摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去

D．摩托车将沿其半径方向沿直线滑去

4．(竖直面内的圆周运动)(多选)如图所示，半径为L的圆管轨道(圆管内径远小于轨道半径)竖直放置，管内壁光滑，管内有一个小球(小球直径略小于管内径)可沿管转动，设小球经过最高点P时的速度为v，则( ) A．v的最小值为gL

B．v若增大，球所需的向心力也增大

C．当v由gL逐渐减小时，轨道对球的弹力也减小

D．当v由gL逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大

5．在杂技节目“水流星”的表演中，碗的质量m1＝0.1 kg，内部盛水质量m2＝0.4 kg，拉碗的绳子长l＝0.5 m，使碗在竖直平面内做圆周运动，如果碗通过最高点的速度v1＝9 m/s，通过最低点的速度v2＝10 m/s，求碗在最高点时绳的拉力大小及水对碗的压力大小．

6．长L＝0.5 m的轻杆，其一端连接着一个零件A，A的质量m＝2 kg.现让A在竖直平面内绕O点做匀速圆周运动，如图7所示．在A通过最高点时，求下列两种情况下A对杆的作用力的大小：(g＝10 m/s2) (1)A的速率为1 m/s； (2)A的速率为4 m/s.

5.16生活中的圆周运动习题课

题组一 交通工具的转弯问题

1．关于铁路转弯处内轨和外轨间的高度关系，下列说法中正确的是( ) A．内轨和外轨一样高，以防列车倾倒

B．因为列车在转弯处有向内倾倒的可能，故一般使内轨高于外轨，以防列车倾倒 C．外轨比内轨略高，这样可以使列车顺利转弯，减少车轮与铁轨间的挤压 D．以上说法都不对

41

2．(多选)公路急转弯处通常是交通事故多发地带．如图1，某公路急转弯处是一圆弧，当汽车行驶的速率为v0时，汽车恰好没有向公路内外两侧滑动的趋势．则在该弯道处，( ) A．路面外侧高内侧低

B．车速只要低于v0，车辆便会向内侧滑动

C．车速虽然高于v0，但只要不超出某一最高限度，车辆便不会向外侧滑动

D．当路面结冰时，与未结冰时相比，v0的值变小

3．在高速公路的拐弯处，路面建造得外高内低，即当车向右拐弯时，司机左侧的路面比右侧的要高一些，路面与水平面间的夹角为θ，设拐弯路段是半径为R的圆弧，要使车速为v时车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零，θ应等于( ) v2

A．sin θ＝

Rg

v2

B．tan θ＝

Rg

2v2Rg

C．sin 2θ＝ D．tan θ＝2

Rgv

题组二 航天器中的失重现象及离心运动

4．(多选)2013年6月11日至26日，“神舟十号”飞船完成了太空之行，期间还成功进行了人类历史上第二次太空授课，女航天员王亚平做了大量失重状态下的精美物理实验．关于失重状态，下列说法正确的是( )

A．航天员仍受重力的作用 B．航天员受力平衡 C．航天员所受重力等于所需的向心力 D．航天员不受重力的作用

5．如图2洗衣机的甩干筒在转动时有一衣物附在筒壁上，则此时( ) A．衣物受到重力、筒壁的弹力、摩擦力和向心力 B．衣物随筒壁做圆周运动的向心力是摩擦力 C．筒壁的弹力随筒的转速的增大而减小

D．水与衣物间的附着力小于水做圆周运动所需的向心力，水从筒壁小孔甩出

6．在世界一级方程式锦标赛中，赛车在水平路面上转弯时，常常在弯道上冲出跑道，其原因是( ) A．是由于赛车行驶到弯道时，运动员未能及时转动方向盘造成的 B．是由于赛车行驶到弯道时，没有及时加速造成的 C．是由于赛车行驶到弯道时，没有及时减速造成的 D．是由于在弯道处汽车受到的摩擦力比在直道上小造成的

题组三 竖直面内的圆周运动问题

7．长为L的细绳，一端系一质量为m的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度v0，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点．则下列说法中正确的是( ) v20

A．小球过最高点时速度为零 B．小球开始运动时绳对小球的拉力为m

LC．小球过最高点时绳对小球的拉力为mg D．小球过最高点时速度大小为gL

8.图3所示为模拟过山车的实验装置，小球从左侧的最高点释放后能够通过竖直圆轨道而到达右侧．若竖直圆轨道的半径为R，要使小球能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道的最高点时的角速度最小为

42

( )

A．gR B．2gR C．

g

D．R

R g

9.一辆满载的卡车在起伏的公路上匀速行驶，如图4所示，由于轮胎过热，容易爆胎．爆胎可能性最大的地段是( ) A．A处 C．C处

10．杂技演员表演“水流星”，在长为1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5 kg的盛水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动，如图5所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列说法正确的是(g＝10 m/s2)( )

A．“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出

B．“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零 C．“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用 D．“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N

11. (多选)如图6所示，小球m在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，下列说法正确的是( ) A．小球通过最高点时的最小速度是Rg B．小球通过最高点时的最小速度为零

C．小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力 D．小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力

12．一辆质量为800 kg的汽车在圆弧半径为50 m的拱桥上行驶．(g取10 m/s2) (1)若汽车到达桥顶时速度为v1＝5 m/s，汽车对桥面的压力是多大？ (2)汽车以多大速度经过桥顶时，恰好对桥面没有压力？

(3)汽车对桥面的压力过小是不安全的，因此汽车过桥时的速度不能过大．对于同样的车速，拱桥圆弧的半径大些比较安全，还是小些比较安全？

(4)如果拱桥的半径增大到与地球半径一样大，汽车要在桥面上腾空，速度至少为多大？(已知地球半径为6 400 km)

B．B处 D．D处

5.17曲线运动知识总结 5.18曲线运动章末检测

(时间：90分钟 满分：100分)

一、单项选择题(本题共6小题，每小题4分，共24分) 1．关于平抛运动和圆周运动，下列说法正确的是( )

A．平抛运动是匀变速曲线运动 B．匀速圆周运动是速度不变的运动

C．圆周运动是匀变速曲线运动 D．做平抛运动的物体落地时的速度一定是竖直向下的

43

2．关于互成角度(不为0°和180°)的一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动，下列说法正确的是( )

A．一定是直线运动 B．一定是曲线运动 C．可能是直线，也可能是曲线运动 D．以上答案都不对

3．某变速箱中有甲、乙、丙三个齿轮，如图所示，其半径分别为r1、r2、r3，若甲轮的角速度为ω，则丙轮的角速度为( ) ωr1A. r3ωr3C. r2

ωr3B. r1ωr1D. r2

4．如图所示，质量为m的物块从半径为R的半球形碗边向碗底滑动，滑到最低点时的速度为v，若物块滑到最低点时受到的摩擦力是Ff，则物块与碗的动摩擦因数为( ) FfFfA. B. mgv2

mg＋m

RFf

C.

v2

mg－m

R

FfD.2

vmR

5．如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅A、B质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上．不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是( ) A．A的速度比B的大

B．A与B的向心加速度大小相等

C．悬挂A、B的缆绳与竖直方向的夹角相等 D．悬挂A的缆绳所受的拉力比悬挂B的小

6．如图所示，在倾角θ＝37°的斜面底端的正上方H处，平抛一个物体，该物体落到斜面上的速度方向正好与斜面垂直，则物体抛出时的初速度为( ) A. C.

二、多项选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分)

7．如图所示，物体A和B质量均为m，分别与轻绳连接跨过定滑轮(不计绳与滑轮之间的摩擦)，当用水平变力F拉物体B沿水平方向向右做匀速直线运动时，下列判断正确的是( ) A．物体A做匀加速直线运动

B．绳子拉力始终大于物体A所受的重力 C．物体A的速度小于物体B的速度 D．物体A的速度大于物体B的速度

8.如图所示，长0.5 m的轻质细杆，一端固定有一个质量为3 kg的小球，另一端由电动机带动，使杆绕O

9gH

173gH

4

B. D．4

gH 4gH 3

44

点在竖直平面内做匀速圆周运动，小球的速率为2 m/s.取g＝10 m/s2，下列说法正确的是( ) A．小球通过最高点时，对杆的拉力大小是24 N B．小球通过最高点时，对杆的压力大小是6 N C．小球通过最低点时，对杆的拉力大小是24 N D．小球通过最低点时，对杆的拉力大小是 N

9.有一种杂技表演叫“飞车走壁”，由杂技演员驾驶摩托车沿圆台形表演台的侧壁高速行驶，做匀速圆周运动．如图所示，图中虚线表示摩托车的行驶轨迹，轨迹离地面的高度为h，下列说法中正确的是( ) A．h越高，摩托车对侧壁的压力将越大 B．h越高，摩托车做圆周运动的线速度将越大 C．h越高，摩托车做圆周运动的周期将越大 D．h越高，摩托车做圆周运动的向心力将越大

10．如图所示为足球球门，球门宽为L.一个球员在球门中心正前方距离球门s处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角(图中P点)．球员顶球点的高度为h，足球做平抛运动(足球可看成质点，忽略空气阻力)，则( )

A．足球位移的大小x＝ B．足球初速度的大小v0＝ C．足球末速度的大小v＝

L22＋s 4

gL22＋s 2h4

gL22

＋s＋4gh 2h4

2s

D．足球初速度的方向与球门线夹角的正切值tan θ＝

L

三、填空题(本题共2小题，共12分)

11．(4分)航天器绕地球做匀速圆周运动时处于完全失重状态，物体对支持面几乎没有压力，所以在这种环境中已经无法用天平称量物体的质量．假设某同学在这种环境中设计了如图所示的装置(图中O为光滑小孔)来间接测量物体的质量：给待测物体一个初速度，使它在桌面上做匀速圆周运动．设航天器中具有基本测量工具．

(1)实验时需要测量的物理量是__________________． (2)待测物体质量的表达式为m＝________________.

12．(8分)未来在一个未知星球上用如图10甲所示装置研究平抛运动的规律．悬O正下方P点处有水平放置的炽热电热丝，当悬线摆至电热丝处时能轻易被烧小球由于惯性向前飞出做平抛运动．现对小球采用频闪数码照相机连续拍摄．在

点断，有

坐标纸的背景屏前，拍下了小球在做平抛运动过程中的多张照片，经合成后，照片如图乙所示．a、b、c、d为连续四次拍下的小球位置，已知照相机连续拍照的时间间隔是0.10 s，照片大小如图中坐标所示，又知该照片的长度与实际背景屏的长度之比为1∶4，则：

45

图10

(1)由以上信息，可知a点________(选填“是”或“不是”)小球的抛出点． (2)由以上及图信息，可以推算出该星球表面的重力加速度为________m/s2. (3)由以上及图信息可以算出小球平抛的初速度是________m/s. (4)由以上及图信息可以算出小球在b点时的速度是________m/s.

四、计算题(本题共4小题，共40分)

13．(8分)如图11所示是马戏团中上演飞车节目，在竖直平面内有半径为R的圆轨道．表演者骑着摩托车在圆轨道内做圆周运动．已知人和摩托车的总质量为m，人以v1＝2gR的速度过轨道最高点B，并以v2＝3v1的速度过最低点A.求在A、B两点摩托车对轨道的压力大小相差多少？

图11

14．(10分)如图12所示，小球在外力作用下，由静止开始从A点出发做匀加速直线运动，到B点时撤去外力．然后，小球冲上竖直平面内半径为R的光滑半圆环，恰能维持在圆环上做圆周运动通过最高点C，到达最高点C后抛出，最后落回到原来的出发点A处．试求： (1)小球运动到C点时的速度； (2)A、B之间的距离．

图12

15．(10分)如图13所示，水平转盘上放有质量为m的物体(可视为质点)，连接物体和转轴的绳子长为r，物体与转盘间的最大静摩擦力是其压力的μ倍，转盘的角速度由零逐渐增大，求：当角速度分别为 3μg时，绳子对物体拉力的大小． 2r

μg和 2r

46

图13

1

16．(12分)如图14所示，轨道ABCD的AB段为一半径R＝0.2 m的光滑圆形轨道，BC段为高为h＝5 m

4的竖直轨道，CD段为水平轨道．一质量为0.2 kg的小球从A点由静止开始下滑，到达B点时速度的大小为2 m/s，离开B点做平抛运动(g＝10 m/s2)，求：

(1)小球离开B点后，在CD轨道上的落地点到C点的水平距离； (2)小球到达B点时对圆形轨道的压力大小；

(3)如果在BCD轨道上放置一个倾角θ＝45°的斜面(如图中虚线所示)，那么小球离开B点后能否落到斜面上？如果能，求它第一次落在斜面上的位置距离B点有多远．如果不能，请说明理由．

图14

47

第六章 万有引力与航天

6.1行星的运动

一、两种对立的学说

1．地心说：地球是宇宙的中心，而且是静止不动的，太阳、月亮以及其他行星都绕地球运动．代表人物是托勒密．

2．日心说：太阳是宇宙的中心，而且是静止不动的，地球以及其他行星都绕太阳运动．代表人物是哥白尼． 德国天文学家开普勒发现如果假设行星的运动是匀速圆周运动，计算所得的数据和丹麦天文学家第谷的观测数据不符．

例1 下列说法正确的是( )

A．地球是宇宙的中心，太阳、月亮及其他行星都绕地球运动 B．太阳是宇宙的中心，所有天体都绕太阳运动 C．太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动

D．“地心说”和哥白尼提出的“日心说”现在看来都是不完全正确的

二、开普勒行星运动定律

1．开普勒第一定律(轨道定律)：

(1)内容：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．如图1所示． (2)理解：开普勒第一定律说明不同行星绕太阳运动时的椭圆轨道虽然不同，但有一个共同的焦点．

图1

2．开普勒第二定律(面积定律)：

图2

(1)内容：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积．如图2所示． (2)理解：行星靠近太阳的过程中都是向心运动，速度增大，在近日点速度最大；行星远离太阳的过程中都是离心运动，速度减小，在远日点速度最小． 3．开普勒第三定律(周期定律)：

(1)内容：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等．

a3

(2)理解：开普勒第三定律的表达式为2＝k，其中a是椭圆轨道的半长轴，T是行星公转的周期，k是一个

T常量，与行星无关但与中心天体的质量有关．(填“有关”或“无关”)

4．说明：开普勒三定律是根据行星运动的观察结果而总结归纳出来的规律，都是经验规律．

例2 关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是( )

A．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动

B．行星绕太阳运动时，太阳位于行星轨道的中心处

C．行星在椭圆轨道上绕太阳运动的过程中，其速度与行星和太阳之间的距离有关，距离小时速度小，距离大时速度大

D．离太阳越近的行星运动周期越短

48

针对训练 (多选)关于太阳系中各行星的运动，下列说法正确的是( ) A．太阳系中的各行星有一个共同的轨道焦点 B．行星的运动方向总是与它和太阳的连线垂直 C．行星在近日点的速率大于远日点的速率

D．离太阳“最远”的行星，绕太阳运动的公转周期最长

三、开普勒三定律的应用及行星运动的一般处理方法

1．开普勒三定律的应用：

(1)适用范围：开普勒三定律也适用于做匀速圆周运动的天体．

(2)用途：知道了行星到太阳的距离，就可以由开普勒第三定律计算或比较行星绕太阳运行的周期．反之，知道了行星的周期，也可以计算或比较其到太阳的距离．

a3

(3)k值：表达式2＝k中的常数k，只与中心天体的质量有关，如研究行星绕太阳运动时，k只与太阳的质量

T有关，研究卫星绕地球运动时，k只与地球的质量有关． 2．行星运动的一般处理方法：

(1)行星的运动中学阶段按匀速圆周运动处理，太阳处在圆心．

r3

(2)所有行星轨道半径的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，表达式为2＝k.

T

例3 如图所示，某行星沿椭圆轨道运行，远日点A离太阳的距离为a，近日点B离太阳的距离为b，行星经过A点时的速率为va，则经过B点时的速率为( ) b

A．vb＝va

aa

C．vb＝va

b

开普勒第二定律揭示的是同一行星在距离太阳不同距离时的运动快慢的规律． (1)定性分析：行星靠近太阳时，速率增大；远离太阳时，速率减小． (2)定量计算：在近日点、远日点行星的速率与行星到太阳的距离成反比．

例4 太阳系行星绕太阳运行的轨迹可粗略地视为圆，下表是各星球的半径和轨道半径.

行星名称 星球半径/×106 m 轨道半径/×1011m A．80年 C．165年

水星 2.44 0.579 金星 6.05 1.08 地球 6.37 1.50 火星 3.39 2.28 木星 69.8 7.78 土星 58.2 14.3 天王星 23.7 28.7 海王星 22.4 45.0 B．vb＝D．vb＝

bv aaav ba

从表中所列数据可以估算出海王星的公转周期最接近( ) B．120年 D．200年

49

应用开普勒第三定律的步骤：

(1)判断两个行星的中心天体是否相同，只有对同一个中心天体开普勒第三定律才成立． (2)明确题中给出的周期关系或半径关系．

33r r 12

(3)根据开普勒第三定律2＝2＝k列式求解.

T1 T2

课堂训练

1．(对开普勒三定律的理解)关于开普勒对于行星运动规律的认识，下列说法正确的是( ) A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆 B．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆

C．所有行星的轨道半长轴的二次方跟公转周期的三次方的比值都相同 D．所有行星的公转周期与行星的轨道半径成正比

a3

2．(对开普勒第三定律的理解)(多选)关于开普勒行星运动的公式2＝k，以下理解正确的是( )

TA．k是一个与行星无关的量 B．T表示行星运动的自转周期 C．T表示行星运动的公转周期

D．若地球绕太阳运转轨道的半长轴为a地，周期为T地；月球绕地球运转轨道的半长轴为a月，周期为T月，a地 3a月 3则2＝2 T T 地月

3．(开普勒三定律的应用)如图4所示是行星m绕恒星M运动情况的示意图，下列说法正确的是( )

图4

A．速度最大点是B点 C．m从A到B做减速运动

4．(开普勒三定律的应用)有两颗行星环绕某恒星转动，它们的运动周期之比为27∶1，则它们的轨道半径之比为( ) A．1∶27 C．27∶1

B．速度最小点是C点 D．m从B到A做减速运动

B．9∶1 D．1∶9

50

6.2行星的运动习题课

题组一 对两种学说的认识 1．下列说法中正确的是( )

A．地球是宇宙的中心，太阳、月亮和其他行星都绕地球运动 B．太阳是静止不动的，地球和其他行星绕太阳运动 C．地球是绕太阳运动的一颗行星

D．日心说和地心说都正确反映了天体运动规律

2．关于日心说被人们所接受的原因是( )

A．以地球为中心来研究天体的运动有很多无法解决的问题

B．以太阳为中心，许多问题都可以解决，行星运动的描述也变得简单了 C．地球是围绕太阳转的

D．太阳总是从东面升起，从西面落下

3．提出行星运动规律的天文学家为( )

A．第谷 B．哥白尼 C．牛顿 D．开普勒

题组二 对开普勒三定律的理解 4．(多选)下列说法中正确的是( )

A．太阳系中的行星有一个共同的轨道焦点

B．太阳系中的行星的轨道有的是圆形，并不都是椭圆 C．行星的运动方向总是沿着轨道的切线方向 D．行星的运动方向总是与它和太阳的连线垂直

5．(多选)关于开普勒第二定律，正确的理解是( ) A．行星绕太阳运动时，一定是匀变速曲线运动 B．行星绕太阳运动时，一定是变加速曲线运动

C．行星绕太阳运动时，由于角速度相等，故在近日点处的线速度小于它在远日点处的线速度

D．行星绕太阳运动时，由于它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，故它在近日点的线速度大于它在远日点的线速度

6．(多选)关于行星的运动，下列说法正确的是( ) A．行星轨道的半长轴越长，自转周期就越大 B．行星轨道的半长轴越长，公转周期就越大 C．水星轨道的半长轴最短，公转周期最小

D．海王星离太阳“最远”，绕太阳运行的公转周期最大

7．行星绕恒星运动时，其运行周期T的平方与运行轨道半径r的三次方的比值取决于( ) A．行星质量 B．恒星质量

C．与行星和恒星的质量均无关 D．与恒星的质量及行星的速率有关 题组三 开普勒三定律的应用

51

8．某行星绕太阳运行的椭圆轨道如图1所示，F1和F2是椭圆轨道的两个焦点，行星在A点的速率比在B点的大，则太阳是位于( )

图1

A．F2 B．A C．F1 D．B

1

9．某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球运转半径的，设月球绕地球运动的

9周期为27天，则此卫星的运转周期大约是( ) 11

A．天 B．天 C．1天 D．9天

93

10．若太阳系行星公转轨道可近似看做圆轨道，地球与太阳之间平均距离约为1.5亿千米，结合下表可知，火星与太阳之间的平均距离约为( )

公转周期(年) A．1.2亿千米 C．4.6亿千米

11．如图2所示，飞船沿半径为R的圆周绕地球运动的周期为T，地球半径为R0，若飞船要返回地面，可在轨道上某点A处将速率降到适当的数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆与地球表面在B点相切，求飞船由A点到B点所需要的时间．

水星 0.241 金星 0.615 地球 1.0 火星 1.88 木星 11.86 土星 29.5 B．2.3亿千米 D．6.9亿千米

图2

12．月球环绕地球运动的轨道半径约为地球半径的60倍，运行周期约为27天．应用开普勒定律计算：在赤道平面内离地多高时，人造地球卫星随地球一起转动，就像停留在天空中不动一样？(结果保留三位有效数字，取R地＝6 400 km)

52

6.3太阳与行星间的引力 6.4万有引力定律

一、太阳与行星间的引力

1．模型：行星以太阳为圆心做匀速圆周运动，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力． 2．推导：

v2

1行星做圆周运动需要的向心力F＝m

r

2πrT

2周期T可以观测，则线速度v＝r3

3开普勒第三定律2＝k

T

m⇒F∝r 

2

3．行星对太阳的引力：根据牛顿第三定律，行星对太阳的引力F′的大小也存在与上述关系类似的结果，M

即F′∝2.

r

mMMmMm

4．太阳与行星间的引力：由于F∝2、F′∝2，且F＝F′，则有F∝2，写成等式F＝G2，式中G为

rrrr比例系数．

m

例1 根据开普勒关于行星运动的规律和圆周运动的知识知：太阳对行星的引力F∝2，行星对太阳的引

rM

力F′∝2，其中M、m、r分别为太阳、行星质量和太阳与行星间的距离，下列说法正确的是( )

rMm

A．由F′∝2和F∝2，F∶F′＝m∶M B．F和F′大小相等，是作用力与反作用力

rr

C．F和F′大小相等，是同一个力 D．太阳对行星的引力提供行星绕太阳做圆周运动的向心力

二、万有引力定律

1．月—地检验

(1)猜想：维持月球绕地球运动的力与使物体下落的力是同一种力，遵从“平方反比”的规律．

1

(2)推理：物体在月球轨道上运动时的加速度大约是它在地面附近下落时的加速度(自由落体加速度)的2. 604π2

(3)根据观察得到月球绕地球运转周期T及半径r，月球做圆周运动的向心加速度可由an＝2r算出．

T(4)结论：计算结果与我们的预期符合得很好．这表明：地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律． 2．万有引力定律

(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比． m1m2－

(2)表达式：F＝G2，G为引力常量：由卡文迪许测得G＝6.67×1011 N·m2/kg2.

r

53

(3)适用条件

①公式适用于质点间的相互作用．当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点． ②质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离．

m1m2

例2 对于万有引力定律的表达式F＝G2，下列说法中正确的是( )

rA．公式中G为引力常量，与两个物体的质量无关 B．引力常量G由牛顿测出

C．当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大

D．m1与m2受到的引力大小总是相等的，而与m1、m2是否相等无关

例3 如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M，半径为R.下列说法正确的是( ) GMm

A．地球对一颗卫星的引力大小为

r－R2GMm

B．一颗卫星对地球的引力大小为2

rGm2

C．两颗卫星之间的引力大小为2

3r

3GMm

D．三颗卫星对地球引力的合力大小为2

r

例4 有一质量为M、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，现R

在从M中挖去一半径为的球体，如图3所示，求剩下部分对m的万有引力F为多大．

2

图3

三、万有引力和重力的关系

1．万有引力和重力的关系：如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，物体受到地球的吸

Mm

引力为F，方向指向地心O，由万有引力公式得F＝G2.引力F可分解为两个分力，其中一个分力为物体

r随地球自转做圆周运动的向心力Fn，另一个分力就是物体的重力mg. 2．重力与纬度的关系：地面上物体的重力随纬度的升高而变大．

MmMm

(1)赤道上：重力和向心力在一条直线上G2＝mrω2＋mg，所以mg＝G2－mrω2.

RRMm

(2)地球两极处：向心力为零，所以mg＝F＝G2.

R

Mm

(3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg＜G2(填“＞”“＝”或“＜”)，重力的方向

R偏离地心．

3．重力与高度的关系：由于地球的自转角速度很小，一般情况下认为在地面附近：mg＝G

Mm

，若距离地R2

Mm

面的高度为h，则mg＝G，所以距地面越高，重力加速度越小，则物体所受的重力也越小．

R＋h2

例5 设地球表面重力加速度为g0，物体在距离地心4R(R是地球的半径)处，由于地球的作用而产生的加g

速度为g，则为( )

g0

111

A．1 B． C． D． 9416

课堂训练

1. (对万有引力定律的理解)如图5所示，操场两边放着半径分别为r1、r2，质量分别为m1、m2的篮球和足球，二者的间距为r.则两球间的万有引力大小为( )

图5

m1m2m1m2m1m2

A．G2 B．G2 C．G

rr1r1＋r22

2．(万有引力定律的应用)两个质量相等的均匀球体，两球心间距离为r，它们之间的万有引力为F，若它们的质量都加倍，两球心之间的距离也加倍，它们之间的吸引力为( ) 1

A．4F B．F C.F

4

3．(万有引力和重力的关系)地球可近似看成球形，由于地球表面上物体都随地球自转，所以有( ) A．物体在赤道处受的地球引力等于两极处，而重力小于两极处 B．赤道处的角速度比南纬30°大

C．地球上物体的向心加速度都指向地心，且赤道上物体的向心加速度比两极处大 D．地面上的物体随地球自转时提供向心力的是重力

4．(万有引力定律的应用)如图6所示，一个质量为M的匀质实心球，半径为R，如果从球的正中心挖去一个直径为R的球，放在相距为d的地方，求两球之间的万有引力是多大．

1

D.F 2

m1m2

D．G r1＋r＋r22

图6

55

6.5太阳与行星间的引力—万有引力习题课

题组一 对万有引力定律的理解

m1m2

1．关于万有引力定律F＝G2，下列说法中正确的是( )

r

A．牛顿是在开普勒揭示的行星运动规律的基础上，发现了万有引力定律，因此万有引力定律仅适用于天体之间

B．卡文迪许首先用实验比较准确地测定了引力常量G的数值

C．两物体各自受到对方的引力的大小不一定相等，质量大的物体受到的引力也大 D．万有引力定律对质量大的物体适用，对质量小的物体不适用

2．万有引力定律首次揭示了自然界中物体间一种相互作用的基本规律，以下说法正确的是( ) A．物体的重力不是地球对物体的万有引力引起的 B．人造地球卫星离地球越远，受到地球的万有引力越大 C．人造地球卫星绕地球运动的向心力由地球对它的万有引力提供 D．宇宙飞船内的宇航员处于失重状态是由于没有受到万有引力的作用

3．设想把物体放到地球中心，则此物体与地球间的万有引力为( ) A．零 B．无穷大 C．某一有限值

题组二 万有引力定律的应用

4．两个相距为r的小物体，它们之间的万有引力为F.保持质量不变，将它们间的距离增大到3r，那么它们之间万有引力的大小将变为( ) FF

A．F B．3F C． D．

39

5．地球质量大约是月球质量的81倍，一飞行器位于地球与月球之间，当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，飞行器距月球球心的距离与月球球心距地球球心之间的距离之比为( ) A．1∶9 B．9∶1 C．1∶10 D．10∶1

6．如图1所示，一个质量均匀分布的半径为R的球体对球外质点P的万有引力为F.如果在球体挖去半R

径为r的一部分球体，且r＝，则原球体剩余部分对质点P的万有引力变为( )

2

D．无法确定

图1

FF7FFA. B. C. D. 2884

56

题组三 万有引力和重力

7．(多选)关于重力和万有引力的关系，下列说法正确的是( ) A．地面附近物体所受到的重力就是万有引力 B．重力是由于地面附近的物体受到地球吸引而产生的 C．在不太精确的计算中，可以近似认为重力等于万有引力

D．严格说来重力并不等于万有引力，除两极处物体的重力等于万有引力外，在地球其他各处的重力都略小于万有引力

8．据报道，最近在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，其质量约为地球质量的6.4倍，一个在地球表面重量为600 N的人在这个行星表面的重量将变为960 N．由此可推知，该行星的半径与地球半径之比为( ) A．0.5 B．2 C．3.2 D．4

9．设地球自转周期为T，质量为M，引力常量为G.假设地球可视为质量均匀分布的球体，半径为R.同一物体在南极和赤道水平面上静止时所受到的支持力之比为( )

GMT2－4π2R3GMT2＋4π2R3GMT2GMT2

A. B. C. D. GMT2GMT2GMT2－4π2R3GMT2＋4π2R3

10．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．(取地球表面重力加速度g＝10 m/s2，空气阻力不计)

(1)求该星球表面附近的重力加速度g′的大小；

R星1M星

(2)已知该星球的半径与地球半径之比为＝，求该星球的质量与地球质量之比. R地4M地

1

11．火星半径约为地球半径的一半，火星质量约为地球质量的.一位宇航员连同宇航服在地球上的质量为

950 kg.求：(取地球表面的重力加速度g＝10 m/s2) (1)在火星上宇航员所受的重力为多少？

(2)宇航员在地球上可跳1.5 m高，他以相同初速度在火星上可跳多高？

57

6.6万有引力理论的成就

一、天体质量和密度的计算

1．利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.

MmgR2MM3g由于G2＝mg，故天体质量M＝，天体密度ρ＝＝＝. RGV434πGR

πR32．通过观察卫星或行星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r. Mm4π24π2r3

(1)由万有引力等于向心力，即G2＝m2r，得出中心天体质量M＝2；

rTGTMM3πr3

(2)若已知天体的半径R，则天体的平均密度ρ＝＝＝；

V43GT2R3

πR3

(3)若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估测出中心天体的密度．

例1 有消息称，英国曼彻斯特大学的天文学家，已经在银河系里发现一颗由曾经的庞大恒星转变而成的体积较小的行星，这颗行星完全由钻石构成．若已知万有引力常量，还需知道哪些信息可以计算该行星的质量( )

A．该行星表面的重力加速度及绕行星运行的卫星的轨道半径 B．该行星的自转周期与星体的半径

C．围绕该行星做圆周运动的卫星公转周期及运行半径 D．围绕该行星做圆周运动的卫星公转周期及公转线速度

例2 “嫦娥三号”的环月轨道可近似看成是圆轨道，观察“嫦娥三号”在环月轨道上的运动，发现每经过时间t通过的弧长为l，该弧长对应的圆心角为θ(弧度)，如图1所示．已知引力常量为G，由此可推导出月球的质量为( )

3π

，GT2

图1

l3

A.2 Gθtl

C.2 Gθt

l3θB.2 Gtl2D.2 Gθt

例3 地球表面的平均重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，可估算地球的平均密度为( ) 3g3gA. B. 4πRG4πR2GggC. D.2 RGRG

58

二、发现未知天体 天体运动的分析与计算

1．发现未知天体 (1)海王星的发现：

英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道.1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星．

(2)海王星的发现和哈雷彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位，也成为科学史上的美谈． 2．天体运动的分析与计算

(1)基本思路：一般行星或卫星的运动可看做匀速圆周运动，所需向心力由中心天体对它的万有引力提供． (2)常用关系：

v2Mm4π2

2①G2＝man＝m＝mωr＝m2r

rrT

Mm

②mg＝G2(物体在天体表面时受到的万有引力等于物体重力)，整理可得：gR2＝GM，该公式通常被称为

R黄金代换式．

(3)四个重要结论：设质量为m的天体绕另一质量为M的中心天体做半径为r的匀速圆周运动． v2Mm

①由G2＝m得v＝

rrMm

②由G2＝mω2r得ω＝

r

GM

，r越大，v越小． r

GM

，r越大，ω越小． r3

r3

，r越大，T越大． GM

2π2Mm

③由G2＝mTr得T＝2πr

MmGM

④由G2＝man得an＝2，r越大，an越小．

rr以上结论可总结为“一定四定，越远越慢”．

例4 如图所示，a、b、c是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b质量相等，且小于c的质量，则( ) A．b所需向心力最小

B．b、c的周期相同且大于a的周期

C．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度 D．b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度

例5 地球的两颗人造卫星质量之比m1∶m2＝1∶2，轨道半径之比r1∶r2＝1∶2.求： (1)线速度大小之比； (2)角速度之比； (3)运行周期之比； (4)向心力大小之比．

59

课堂训练

1．(天体的质量和密度的计算)一艘宇宙飞船绕一个不知名的行星表面飞行，要测定该行星的密度，仅仅需要( )

A．测定飞船的运行周期 B．测定飞船的环绕半径 C．测定行星的体积 D．测定飞船的运行速度

2．(天体的质量和密度的计算)假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若它贴近该天体的表面做匀速圆周运动的运行周期为T1，已知引力常量为G，则该天体的密度为________．若这颗卫星距该天体表面的高度为h，测得在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又可表示为________．

3．(天体运动的分析与计算)(多选)我国自主研制的“嫦娥三号”，携带“玉兔”月球车在西昌卫星中心发射升空，落月点有一个富有诗意的名字“广寒宫”，落月前的一段时间内，“嫦娥三号”绕月球表面做匀速圆周运动．若已知月球质量为M，月球半径为R，引力常量为G，对于绕月球运动的“嫦娥三号”，以下说法正确的是( ) A．线速度大小为 B．线速度大小为 C．周期为 T＝D．周期为 T＝

4．(天体运动的分析与计算)(多选)火星直径约为地球的一半，质量约为地球的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球公转半径的1.5倍．根据以上数据，以下说法中正确的是( ) A．火星表面重力加速度的数值比地球表面的小 B．火星公转的周期比地球的长 C．火星公转的线速度比地球的大 D．火星公转的向心加速度比地球的大

GM

R3GM R4π2R

GM4π2R3 GM

6.7万有引力理论的成就习题课

题组一 天体的质量和密度的计算

60

1．已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期T，仅利用这三个数据，可以估算出的物理量有( ) A．月球的质量

B．地球的质量

C．地球的半径 D．地球的密度

2．(多选)一卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为r，卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为T，已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则地球的质量可表示为( )

4π2r34π2R3gR2gr2A.2 B. C. D. GTGT2GG

3．若地球绕太阳公转周期及公转轨道半径分别为T和R，月球绕地球公转周期和公转轨道半径分别为t和r，则太阳质量与地球质量之比为( )

R3t2R3T2R3t2R2T3A.32 B.32 C.23 D.23 rTrtrTrt

4．一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v.假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为( )

mv2mv4Nv2Nv4A. B. C. D. GNGNGmGm

5．已知万有引力常量G，那么在下列给出的情景中，能根据测量的数据求出月球密度的是( ) A．在月球表面使一个小球做自由落体运动，测出下落的高度H和时间t

B．发射是一颗贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的飞船，测出飞船运行的周期T C．观察月球绕地球的圆周运动，测出月球的直径D和月球绕地球运行的周期T D．发射一颗绕月球做圆周运动的卫星，测出卫星离月球表面的高度H和卫星的周期T

题组二 天体运动的分析与计算

6．(多选)把太阳系各行星的运动近似看成匀速圆周运动，则离太阳越远的行星( ) A．周期越小

B．线速度越小

C．角速度越小 D．加速度越小 7．据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行的圆形工作轨道距月球表面分别约为200 km和100 km，运行速率分别为v1和v2.那么，v1和v2的比值为(月球半径取1 700 km)( ) 19

A. B. 18

19

C.18

1818 D. 1919

MA

8．两颗行星A和B各有一颗卫星a和b，卫星轨道接近各自行星的表面，如果两行星的质量之比为＝p，

MBRATa

两行星半径之比为＝q，则两个卫星的周期之比为( )

RBTbA.pq B．qp C．p

p

D．qq

q p

9.如图1所示，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2R(R为地球半径)．下列说法中正确的是( )

61

A．a、b的线速度大小之比是 2∶1 B．a、b的周期之比是1∶2 2 C．a、b的角速度大小之比是3 6∶4

D．a、b的向心加速度大小之比是9∶2

10.(多选)我国曾发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥一号”．设想“嫦娥一号”贴近月球表面做匀速圆周运动，其周期为T.“嫦娥一号”在月球上着陆后，自动机器人用测力计测得质量为m的仪器重力为P.已知引力常量为G，由以上数据可以求出的量有( ) A．月球的半径 B．月球的质量

C．月球表面的重力加速度

D．月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度

题组三 综合应用

11．两个行星质量分别为m1和m2，绕太阳运行的轨道半径分别是r1和r2，求： (1)它们与太阳间的万有引力之比； (2)它们的公转周期之比．

12．我国在酒泉卫星发射中心用“长征二号丁”运载火箭，将“高分一号”卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道．这是我国重大科技专项高分辨率对地观测系统的首发星．设“高分一号”轨道的离地高度为h，地球半径为R，地面重力加速度为g，求“高分一号”在时间t内，绕地球运转多少圈？

13．我国航天技术飞速发展，设想数年后宇航员登上了某星球表面．宇航员从距该星球表面高度为h处，沿水平方向以初速度v抛出一小球，测得小球做平抛运动的水平距离为L，已知该星球的半径为R，引力常量为G.求：

(1)该星球表面的重力加速度； (2)该星球的平均密度．

6.8 宇宙航行

一、宇宙速度

62

1．牛顿的设想

如图所示，在高山上水平抛出一物体，当物体的初速度足够大时，它将会围绕 地球旋转而不再落回地球表面，成为一颗绕地球转动的人造地球卫星．

2．宇宙速度的意义

(1)第一宇宙速度(环绕速度)：v1＝7.9 km/s，物体在地面附近环绕地球做匀速圆周运动时具有的速度． (2)第二宇宙速度(脱离速度)：v2＝11.2 km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度． (3)第三宇宙速度(逃逸速度)：v3＝16.7 km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度．

3．对第一宇宙速度的理解和推导

(1)认识：第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度．

(2)推导：对于近地人造卫星，轨道半径r近似等于地球半径R＝6 400 km，卫星在轨道处所受的万有引力近似等于卫星在地面上所受的重力，取g＝9.8 m/s2，则

(3)理解：第一宇宙速度是人造卫星的最大环绕速度，也是最小发射速度．

4．发射速度与发射轨道

(1)当11.2 km/s＞v发≥7.9 km/s时，卫星绕地球运动，其轨道是圆或椭圆，地球位于一个焦点上，且发射速度越大，椭圆的半长轴越大．

(2)当16.7 km/s＞v发≥11.2 km/s时，卫星绕太阳旋转，成为太阳系一颗“小行星”． (3)当v发≥16.7 km/s时，卫星脱离太阳的引力束缚跑到太阳系以外的空间中去．

例1 我国发射了一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥一号”．设该卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面．已11

知月球的质量约为地球质量的，月球的半径约为地球半径的，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s，则

814该探月卫星绕月运行的最大速率约为( ) A．0.4 km/s C．11 km/s

例2 某人在一星球上以速率v竖直上抛一物体，经时间t后，物体以速率v落回手中．已知该星球的半径为R，求该星球上的第一宇宙速度．

二、人造卫星运动问题的处理思路及规律

63

B．1.8 km/s D．36 km/s

1．轨道及特点

(1)轨道：赤道轨道、极地轨道及其他轨道．如图所示． (2)特点：所有的轨道圆心都在地心． 2．处理思路及规律

将人造卫星视为绕地球(或其他天体)做匀速圆周运动，所需向心力等于 地球(或其他天体)对卫星的万有引力，即： v22π2Mm

G2＝m＝mω2r＝mTr＝man rr所以v＝ω＝T＝2πan＝

例3 a、b、c、d是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星．其中a、c的轨道相交于P，b、d在同一个圆轨道上，b、c轨道在同一平面上．某时刻四颗卫星的运行方向及位置如图所示，下列说法中正确的是( )

A．a、c的加速度大小相等，且大于b的加速度 B．b、c的角速度大小相等，且小于a的角速度 C．a、c的线速度大小相等，且小于d的线速度 D．a、c存在P点相撞的危险

三、地球同步卫星

1．同步卫星：指相对于地面静止的卫星，又叫通讯卫星． 2．六个“一定”：

(1)运行方向一定：同步卫星的运行方向与地球的自转方向一致； (2)周期一定：运转周期与地球自转周期相同，T＝24_h； (3)角速度一定：等于地球自转角速度；

(4)轨道平面一定：所有地球同步卫星的轨道平面均在赤道平面内； (5)高度一定：所有同步卫星离地面高度相同，均为36 000 km；

(6)速率一定：所有同步卫星的环绕速率相同．

例4 关于我国发射的“亚洲一号”地球同步通讯卫星的说法，正确的是( ) A．若其质量加倍，则轨道半径也要加倍 B．它在北京上空运行，故可用于我国的电视广播 C．它以第一宇宙速度运行

D．它运行的角速度与地球自转角速度相同

GM

，r越大，v越小， r

GM

，r越大，ω越小， r3

r3

，r越大，T越大， GM

GM

，r越大，an越小． r2

课堂训练

1．(对三个宇宙速度的理解)(多选)下列关于三个宇宙速度的说法中正确的是( )

A．第一宇宙速度v1＝7.9 km/s，第二宇宙速度v2＝11.2 km/s，则人造卫星绕地球在圆轨道上运行时的速度大于等于v1，小于v2

B．美国发射的“凤凰号”火星探测卫星，其发射速度大于第三宇宙速度

C．第二宇宙速度是在地面附近使物体可以挣脱地球引力束缚，成为绕太阳运行的人造行星的最小发射速度 D．第一宇宙速度7.9 km/s是人造地球卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度

2．(人造卫星运动的规律)(多选)设地球的半径为R，质量为m的卫星在距地面高为2R处做匀速圆周运动，地面的重力加速度为g，则( ) A．卫星的线速度为 gR3 B．卫星的角速度为

g8R

C．卫星做圆周运动所需的向心力为1

9mg

D．卫星的周期为2π

3Rg

3．(地球同步卫星)由于通讯和广播等方面的需要，许多国家发射了地球同步轨道卫星，这些卫星的( A. 质量可以不同 B. 轨道半径可以不同 C. 轨道平面可以不同 D. 速率可以不同

4．已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，不考虑地球自转的影响． (1)推导第一宇宙速度的表达式；

(2)若卫星绕地球做匀速圆周运动，运动轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T.

6.9 宇宙航行习题课

题组一 对三个宇宙速度的理解 1．(多选)下列说法正确的是( )

65

) A．第一宇宙速度是从地面上发射人造地球卫星的最小发射速度 B．第一宇宙速度是在地球表面附近环绕地球运转的卫星的最大速度 C．第一宇宙速度是同步卫星的环绕速度

D．卫星从地面发射时发射速度越大，则卫星距离地面的高度就越大，其环绕速度则可能大于第一宇宙速度

2．(多选)已知地球半径为R，质量为M，自转角速度为ω，地面重力加速度为g，万有引力常量为G，地球同步卫星的运行速度为v，则第一宇宙速度的值可表示为( ) A.Rg C.

GM R

B.

v3

ωR

D．ωR

3．星球上的物体脱离该星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度，星球的第二宇宙速度v2与第一宇宙1

速度v1的关系是v2＝2v1.已知某星球的半径为r，它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的.不计

6其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为( ) A.

gr 3

B.

gr 6

grC. 3

题组二 人造卫星运动的规律

D.gr

4．我国发射的“天宫一号”和“神舟八号”在对接前，“天宫一号”的运行轨道高度为350 km，“神舟八号”的运行轨道高度为343 km.它们的运行轨道均视为圆周，则( )

A．“天宫一号”比“神舟八号”速度大 B．“天宫一号”比“神舟八号”周期长

C．“天宫一号”比“神舟八号”角速度大 D．“天宫一号”比“神舟八号”加速度大 5．设行星A和行星B是两个均匀球体，A与B的质量之比MA∶MB＝2∶1，A与B的半径之比RA∶RB＝1∶2，行星A的卫星a沿圆形轨道运行的周期为Ta，行星B的卫星b沿圆形轨道运行的周期为Tb，两卫星的圆形轨道都非常接近各自的行星表面，则它们的运行周期之比Ta∶Tb( ) A．1∶4

B．1∶2

C．2∶1 D．4∶1

6．(多选)在圆轨道上质量为m的人造地球卫星，它到地面的距离等于地球的半径R，地球表面的重力加速度为g，则( )

A．卫星运动的线速度为2Rg B．卫星运动的周期为4π11

C．卫星的向心加速度为g D．卫星的角速度为 22

题组三 地球同步卫星

7．(多选)下列关于地球同步卫星的说法正确的是( )

A．它的周期与地球自转同步，但高度和速度可以选择，高度增大，速度减小 B．它的周期、高度、速度都是一定的

C．我们国家发射的同步通讯卫星定点在北京上空

2R gg 2R

66

D．我国发射的同步通讯卫星也定点在赤道上空

8．地球上相距很远的两位观察者，都发现自己的正上方有一颗人造卫星，相对自己静止不动，则这两位观察者的位置以及两颗人造卫星到地球中心的距离可能是( ) A．一人在南极，一人在北极，两卫星到地球中心的距离一定相等

B．一人在南极，一人在北极，两卫星到地球中心的距离可以不等，但应成整数倍 C．两人都在赤道上，两卫星到地球中心的距离一定相等

D．两人都在赤道上，两卫星到地球中心的距离可以不等，但应成整数倍

9．研究表明，地球自转在逐渐改变，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这种趋势会持续下去，且地球的质量、半径都不变，若干年后( )

A．近地卫星(以地球半径为轨道半径)的运行速度比现在大 B．近地卫星(以地球半径为轨道半径)的向心加速度比现在小 C．同步卫星的运行速度比现在小

D．同步卫星的向心加速度与现在相同

10．(多选)已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G.有关同步卫星，下列表述正确的是( ) 3GMT2A．卫星距地面的高度为

4π2B．卫星的运行速度小于第一宇宙速度 Mm

C．卫星运行时受到的向心力大小为G2 R

D．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度

题组四 综合应用

11．宇航员在月球上做自由落体实验，将某物体由距月球表面高h处释放，经时间t后落到月球表面(设月球半径为R)．据上述信息推断，飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为( ) 2Rh2RhRhRhA. B. C. D. ttt2t

6.10经典力学的局限性

一、从低速到高速

1．低速与高速的概念：

(1)低速：远小于光速的速度为低速，通常所见物体的运动，如行驶的汽车、发射的导弹、人造地球卫星及宇宙飞船等物体的运动皆为低速运动．

67

(2)高速：有些微观粒子在一定条件下其速度可以与光速相接近，这样的速度称为高速． 2．速度对质量的影响：

(1)在经典力学中，物体的质量不随速度而变． (2)爱因斯坦的狭义相对论指出，m＝

m0v21－2

c

，其中m0为物体静止时的质量，m是物体速度为v时的质量，

c是真空中的光速．

3．速度对物理规律的影响：对于低速运动问题，一般用经典力学规律来处理．对于高速运动问题，经典力学已不再适用，需要用狭义相对论知识来处理． 4．位移、时间与参考系的关系：

经典力学认为位移和时间的测量与参考系无(填“有”或“无”)关，相对论认为，同一过程的位移和时间的测量与参考系有(填“有”或“无”)关，在不同的参考系中测量结果不同．

例1 一个原来静止的电子，经电场加速后速度为v＝6×106 m/s.问电子的质量增大了还是减小了？改变了百分之几？

针对训练 如果真空中的光速为c＝3.0×108 m/s，当一个物体的运动速度为v1＝2.4×108 m/s时，质量为3 kg，当它的速度为1.8×108 m/s时，质量为多少？

二、从宏观到微观 从弱引力到强引力

1．微观世界：电子、质子、中子等微观粒子的运动规律在很多情况下不能用经典力学来说明，而量子力学能够正确地描述微观粒子的运动规律．

2．经典力学的适用范围：只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界． 3．经典力学与相对论、量子理论的比较 (1)区别

狭义相对论 量子力学 广义相对论 (2)联系： ①当物体的运动速度远小于光速时，相对论物理学与经典物理学的结论没有区别．

②当另一个重要常数即“普朗克常量”可以忽略不计时，量子力学和经典力学的结论没有区别． ③相对论和量子力学并没有否定经典力学，经典力学是二者在一定条件下的特殊情形．

例2 以下说法正确的是( )

A．经典力学理论普遍适用，大到天体，小到微观粒子均适用

经典力学适用于低速运动的物体；狭义相对论阐述物体在以接受光速运动时所遵循的规律 经典力学适用于宏观世界；量子力学能够正确描述微观粒子的运动规律 经典力学在弱引力的情况下与实验结果符合得很好；爱因斯坦的广义相对论能够解释强引力情况下的作用规律 68

B．经典力学理论具有一定的局限性

C．在经典力学中，物体的质量不随运动状态改变而改变

D．相对论和量子力学否定了经典力学理论

例3 关于经典力学、狭义相对论和量子力学，下列说法中正确的是( ) A．狭义相对论和经典力学是相互对立、互不相容的两种理论 B．经典力学包含于相对论之中，经典力学是相对论的特例

C．经典力学只适用于宏观物体的运动，量子力学只适用于微观粒子的运动 D．不论是宏观物体，还是微观粒子，经典力学和量子力学都是适用的

理解相对论和量子力学的两点注意：

(1)相对论和量子力学不是科学家的主观臆想，是经过实验证实的，相对论和量子力学所描述的现象是高速世界、微观世界确定存在的事实．

(2)理解相对论和量子力学需要增强对高速世界、微观世界的感性认识，跳出已有的对低速、宏观领域的固有思维和认识.

课堂训练

1．(对经典力学的认识)下列说法中正确的是( )

A．牛顿运动定律就是经典力学 B．经典力学的基础是牛顿运动定律 C．牛顿运动定律可以解决自然界中所有的问题 D．经典力学可以解决自然界中所有的问题

2．(对经典力学的认识)牛顿运动定律不适用于下列哪些情况( )

A．研究原子中电子的运动 B．研究“神舟”七号飞船的高速发射 C．研究地球绕太阳的运动 D．研究飞机从北京飞往纽约的航线

3．(对质量和速度关系的认识)日常生活中，我们并没发现物体的质量随物体运动的速度变化而变化，其原因是( )

A．运动中物体无法称量质量 B．物体的速度远小于光速，质量变化极小 C．物体的质量太大 D．物体的质量不随速度的变化而变化

4(对质量和速度关系的认识)在粒子对撞机中，有一个电子经过高电压加速，速度达到0.5c，则此时电子的质量变为静止时的________倍．(结果保留三位小数)

6.11经典力学的局限性习题课

题组一 对经典力学的认识

1．(多选)关于经典力学的伟大成就，下列论述正确的是( ) A．经典力学第一次实现了对自然界认识的理论大综合 B．经典力学第一次预言了宇宙中黑洞的存在 C．经典力学第一次向人们展示了时间的相对性

D．人们借助于经典力学中的研究方法，建立了完整的经典物理学体系

69

2．(多选)关于经典力学的局限性，下列说法正确的是( ) A．经典力学没有局限性

B．经典力学的应用受到物体运动速度的，当物体运动的速度接近于真空中的光速时，经典力学就不适用了

C．经典力学不适用于微观领域中物质结构和能量不连续的现象 D．经典力学的时间和空间分离的观点不对

3．经典力学不能适用于下列哪些运动( )

A．火箭的发射 B．宇宙飞船绕地球的运动 C．“勇气号”宇宙探测器的运动 D．以99%倍光速运行的电子束

4．(多选)继哥白尼提出“日心说”、开普勒提出行星运动三定律后，牛顿站在前人的肩膀上，创立了经典力学，揭示了包括行星在内的宏观物体的运动规律；爱因斯坦既批判了牛顿力学的不足，又进一步发展了牛顿的经典力学，创立了相对论，这说明( )

A．世界无限扩大，人不可能认识世界，只能认识世界的一部分 B．人的意识具有能动性，能够正确地反映客观世界 C．人对世界的每一个正确认识都有局限性，需要发展和深化 D．每一个认识都可能被后人推翻，人不可能获得正确的认识

5．(多选)下列说法正确的是( )

A．经典力学中物体的质量是不变的 B．经典力学中的时间和空间是于物体及其运动的 C．万有引力定律适用于强作用力 D．物体的速度可以是任意值

6．通过一个加速装置对电子施加一很大的恒力，使电子从静止开始加速，则对这个加速过程，下列描述正确的是( )

A．根据牛顿第二定律，电子将不断做匀加速直线运动 B．电子先做匀加速直线运动，后以光速做匀速直线运动

C．电子开始近似于匀加速直线运动，后来质量增大，牛顿运动定律不再适用 D．电子是微观粒子，整个加速过程根本就不能用牛顿运动定律解释

题组二 对经典力学与相对论、量子力学关系的认识

7．(多选)物理学的发展丰富了人类对物质世界的认识，推动了科学技术的创新和，促进了物质生产的繁荣与人类文明的进步．下列表述正确的是( ) A．牛顿发现了万有引力定律 B．牛顿通过实验证实了万有引力定律 C．相对论的创立表明经典力学已不再适用

D．爱因斯坦建立了狭义相对论，把物理学推广到高速领域

8．(多选)关于经典力学和狭义相对论，下列说法中正确的是( )

A．经典力学只适用于低速运动，不适用于高速运动(速度接近于真空中的光速) B．狭义相对论只适用于高速运动(速度接近于真空中的光速)，不适用于低速运动

70

C．经典力学既适用于低速运动，也适用于高速运动(速度接近于真空中的光速) D．狭义相对论既适用于高速运动(速度接近于真空中的光速)，也适用于低速运动

9．下列说法中正确的是( )

A．经典力学适用于任何情况下的任何物体 B．狭义相对论否定了经典力学 C．量子力学能够描述微观粒子运动的规律性 D．万有引力定律也适用于强相互作用力

10．(多选)爱因斯坦的引力理论成就表现在( )

A．预言和发现了冥王星和海王星 B．水星近日点旋进存在每百年43″的附加值 C．光线在经过大质量星体附近时会发生偏转现象 D．天体间的引力与半径的平方成反比

题组三 对质量和速度关系的认识 11．(多选)对于公式m＝

，下列说法中正确的是( ) 2v1－cm0

A．公式中的m0是物体以速度v运动时的质量

B．当物体运动速度v>0时，物体的质量m>m0，即物体的质量改变了，故经典力学不适用

C．当物体以较小的速度运动时，质量变化十分微小，经典力学理论仍然适用，只有当物体以接近光速运动时，质量变化才明显，故经典力学仅适用于低速运动，而不适用于高速运动

D．通常由于物体的速度太小，质量的变化不能引起我们的感觉，在分析地球上物体的运动时，不必考虑质量变化

4

12．电子的静止质量为me，加速后的电子相对实验室的速度是c(c为光速)，在实验室中观察到的电子的质

5量是多大？

6.12天体运动综合

一、解决天体运动问题的模型及思路

1．一种模型

一种天体围绕中心天体(视为静止)做匀速圆周运动． 2．两条思路

Mm

(1)在中心天体表面或附近时，万有引力近似等于(填“等于”、“大于”或“小于”)重力，即G2＝mg(g

R

表示天体表面的重力加速度)．

v2Mm4π2

2(2)天体运动的向心力来源于中心天体的万有引力，即：G2＝m＝mrω＝m2r＝ma.

rrT

例1 如图1所示，A是地球的同步卫星，另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h.已知地球半径为R，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g，O为地球中心． (1)求卫星B的运行周期；

71

(2)如卫星B绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A、B两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上)，则至少经过多长时间，他们再一次相距最近？

图1

二、“赤道上的物体”与“同步卫星”、“近地卫星”的比较

1．相同点

(1)都以地心为圆心做匀速圆周运动．

(2)同步卫星与赤道上的物体具有相同的周期和角速度． 2．不同点

(1)同步卫星、近地卫星均由万有引力提供向心力；而赤道上的物体是万有引力的一个分力提供向心力． GMGM

(2)三者的向心加速度各不相同．近地卫星的向心加速度a＝2，同步卫星的向心加速度可用a＝2或a＝

Rrrω2求解，而赤道上物体的向心加速度只可用a＝Rω2求解． (3)三者的线速度大小也各不相同．近地卫星v＝ 体v＝R·ω.

例2 如图所示，a为地面上的待发射卫星，b为近地圆轨道卫星，c为地球同步卫星．三颗卫星质量相同．三颗卫星的线速度分别为va、vb、vc，角速度分别为ωa、ωb、ωc，周期分别为Ta、Tb、Tc，向心力分别为Fa、Fb、Fc，则( )

A．ωa＝ωc<ωb B．Fa＝FcTb

三、人造卫星、飞船的发射和变轨问题

v2Mm

1．当卫星绕天体做匀速圆周运动时，万有引力提供向心力，满足G2＝m.

rr2．当卫星由于某种原因速度改变时，万有引力不再等于向心力，卫星将做变轨运动．

Mmv2

(1)当卫星的速度突然增加时，G2rr

Mmv2

(2)当卫星的速度突然减小时，G2>m，即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，卫星的发

rr射和回收就是利用这一原理．

3．卫星到达椭圆轨道与圆轨道的公切点时，卫星受到的万有引力相同，所以加速度相同． 4．飞船对接问题：

(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接如图3甲所示，低轨道飞船通过合理地加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接．

GM

＝gR，同步卫星v＝ R

GM

＝rω，而赤道上的物r

72

图3

(2)同一轨道飞船与空间站对接

如图乙所示，后面的飞船先减(填“加”或“减”)速降低高度，再加(填“加”或“减”)速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度．

例3 如图4所示，发射同步卫星的一般程序是：先让卫星进入一个近地的圆轨道，然后在P点变轨，进入椭圆形转移轨道(该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P，远地点为同步圆轨道上的Q)，到达远地点Q时再次变轨，进入同步轨道．设卫星在近地圆轨道上运行的速率为v1，在椭圆形转移轨道的近地点P点的速率为v2，沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率为v3，在同步轨道上的速率为v4，三个轨道上运动的周期分别为T1、T2、T3, 则下列说法正确的是( ) A．在P点变轨时需要加速，Q点变轨时要减速 B．在P点变轨时需要减速，Q点变轨时要加速 C．T1＜T2＜T3 D．v2＞v1＞v4＞v3

四、双星问题

两个离得比较近的天体，在彼此间的引力作用下绕两者连线上的某一点做圆周运动，这样的两颗星组成的系统称为双星．如图所示．

1．双星特点 ：两星具有相同的角速度和周期．

m1m2

2．处理方法 ：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力．即 G2＝m1ω2r1＝m2ω2r2.

L3．双星的两个结论

r1m2

(1)运动半径：与质量成反比，即＝

r2m14π2L3

(2)质量之和：m1＋m2＝

GT2

例4 两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一

点O为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图7所示．已知双星的质量分别为m1和m2，它们之间的距离为L，求双星的运行轨道半径r1和r2及运行周期T.

图7

课堂训练

1．(天体运动规律的理解及应用)如图所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星做匀速圆周运动．下列说法正确的是( )

73

A．甲的向心加速度比乙的小 B．甲的运行周期比乙的小

C．甲的角速度比乙的大

D．甲的线速度比乙的大

2．(“赤道上的物体”与“同步卫星”以及“近地卫星”的区别)四颗地球卫星a、b、c、d的排列位置如图9所示，其中a是静止在地球赤道上还未发射的卫星，b是近地轨道卫星，c是地球同步卫星，d是高空探测卫星，四颗卫星相比较( )

A．a的向心加速度最大 B．相同时间内b转过的弧长最长 C．c相对于b静止

D．d的运动周期可能是23 h

3.(卫星、飞船的发射和变轨问题)如图10所示，假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞船在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ运动，到达轨道的A点变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动．则( )

A．飞船在轨道Ⅰ上运行时通过A点的加速度大于在轨道Ⅱ上运行时通过A点的加速度 B．飞船在A点处点火时，速度增加

1

C．飞船在轨道Ⅰ上的运行速度为g0R

4

D．飞船在轨道Ⅲ绕月球运行一周所需的时间为2π

4．(双星问题)现代观测表明，由于引力作用，恒星有“聚集”的特点，众多的恒星组成了不同层次的恒星系统，最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星，事实上，冥王星也是和另一星体构成双星，如图所示，这两颗行星m1、m2各以一定速率绕它们连线上某一中心O匀速转动，这样才不至于因万有引力作用而吸引在一起，现测出双星间的距离始终为L，且它们做匀速圆周运动的半径r1与r2之比为3∶2，则( ) A．它们的角速度大小之比为2∶3 B．它们的线速度大小之比为3∶2

C．它们的质量之比为3∶2 D．它们的周期之比为2∶3

R g0

6.13天体运动习题课

题组一 天体运动规律的理解及应用

1.如图所示，拉格朗日点L1位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动．据此，科学家设想在拉格朗日点L1建立空间站，使其与月球同周期绕地球运动．以a1、a2分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a3表示地球同步卫星向心加速度的大小．以下判断正确的是( )

A．a2>a3>a1 B．a2>a1>a3 C．a3>a1>a2 D．a3>a2>a1

R5m5

2．(多选)土星的卫星众多，其中土卫五和土卫六的半径之比为，质量之比为，围绕土星做圆周运动的

R6m6

74

r5

半径之比为，下列判断正确的是( )

r6

r53m6r62A．土卫五和土卫六的公转周期之比为B．土星对土卫五和土卫六的万有引力之比为 r6 m5r5r62m5R62C．土卫五和土卫六的公转速度之比为D．土卫五和土卫六表面的重力加速度之比为 r5m6R5

3．某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆．每过N年，该行星会运行到日地连线的延长线上，如图所示．该行星与地球的公转半径之比为( )

222N12NN1N)3 B．()3)3 D．()3A．(C．(NN1 NN1

21

题组二 “赤道上的物体”与“同步卫星”以及“近地卫星”的区别 A．都是万有引力等于向心力

B．赤道上的物体和同步卫星的周期、线速度、角速度都相等 C．赤道上的物体和近地卫星的轨道半径相同但线速度、周期不同

4．(多选)关于近地卫星、同步卫星、赤道上的物体，以下说法正确的是( )

D．同步卫星的周期大于近地卫星的周期

5．设地球半径为R，a为静止在地球赤道上的一个物体，b为一颗近地绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球的一颗同步卫星，其轨道半径为r.下列说法中正确的是( ) A．a与c的线速度大小之比为C．b与c的周期之比为

r

B．a与c的线速度大小之比为R

R r

R r

rR D．b与c的周期之比Rr

6．(多选)我国发射的“北斗系列”卫星中同步卫星到地心距离为r，运行速率为v1，向心加速度为a1；在地球赤道上的观测站的向心加速度为a2，近地卫星做圆周运动的速率为v2，向心加速度为a3，地球的半径为R，则下列比值正确的是( )

a1ra2R3a1ra1R2A.＝ B.＝3 C.＝ D.＝2 a2Ra3ra3Ra2r

题组三 卫星、飞船的发射和变轨问题

7. (多选)未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站．如图所示，关闭动力的航天飞机在月球引力作用下向月球靠近，并将与空间站在B处对接，已知空间站绕月轨道半径为r，周期为T，万有引力常量为G，下列说法中正确的是( ) A．图中航天飞机正加速飞向B处

B．航天飞机在B处由椭圆轨道进入空间站轨道必须点火减速 C．根据题中条件可以算出月球质量

D．根据题中条件可以算出空间站受到月球引力的大小

8. (多选)如图所示，在北京飞控中心工作人员的精密控制下，嫦娥三号开始实施近月制动，进入100公里环月轨道Ⅰ，之后嫦娥三号探测器将再次变轨，从100公里的环月圆轨道Ⅰ，降低到近月点(B点)15公里、远月点(A点)100公里的椭圆轨道Ⅱ，为下一步月面软着陆做准备．关于嫦娥三号卫星，下列说法正确的是( )

75

A．卫星在轨道Ⅱ上A点的加速度小于在B点的加速度

B．卫星沿轨道Ⅰ运动的过程中，卫星中的科考仪器处于失重状态 C．卫星从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，在A点应加速

D．卫星在轨道Ⅱ经过A点时的速度小于在轨道Ⅱ经过B点时的速度

9.如图5所示，我国发射“神舟十号”飞船时，先将飞船发送到一个椭圆轨道上，其近地点M距地面200 km，远地点N距地面340 km.进入该轨道正常运行时，通过M、N点时的速率分别是v1和v2.当某次飞船通过N点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340 km的圆形轨道，开始绕地球做匀速圆周运动，这时飞船的速率为v3.比较飞船在M、N、P三点正常运行时(不包括点火加速阶段)的速率大小和加速度大小，下列结论正确的是( ) A．v1>v3>v2，a1>a3>a2 B．v1>v2>v3，a1>a2＝a3

C．v1>v2＝v3，a1>a2>a3

D．v1>v3>v2，a1>a2＝a3

题组四 双星及三星问题

10．宇宙中有两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下绕连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星球之间的距离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2，则下列说法正确的是( ) A．m1、m2做圆周运动的线速度之比是3∶2 B．m1、m2做圆周运动的角速度之比是3∶2

22

C．m1做圆周运动的半径为L D．m2做圆周运动的半径为L

55

11.宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用，已观测到稳定的三星系统存在形式之一是：如图6所示，三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕星在同一半径为R的圆形轨道上运行，设每个星体的质量均为M，则( ) A．环绕星运动的线速度为

GM

B．环绕星运动的角速度为R

5GM

4R

R3

GM

C．环绕星运动的周期为T＝4π

R3

D．环绕星运动的周期为T＝2π5GM

6.14万有引力与航天知识总结

v2Mm4π2

2

天体运动的向心力来源于中心天体的万有引力，即：G2＝m＝mrω＝m2r＝ma.

rrT

6.15万有引力与航天章末检测

1．在物理学理论建立的过程中，有许多伟大的科学家做出了贡献．关于科学家和他们的贡献，下列说法正确的是( )

A．开普勒进行了“月—地检验”，得出天上和地下的物体都遵从万有引力定律的结论 B．哥白尼提出“日心说”，发现了太阳系中行星沿椭圆轨道运动的规律 C．第谷通过对天体运动的长期观察，发现了行星运动三定律

76

D．牛顿发现了万有引力定律

2．若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶7.已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R，由此可知，该行星的半径约为( )

17

A.R B.R 22C．2R D.

3．火星有两颗卫星，分别是火卫一和火卫二，它们的轨道近似为圆．已知火卫一的周期为7小时39分，火卫二的周期为30小时18分，则两颗卫星相比( )

A．火卫一距火星表面较近 B．火卫二的角速度较大 C．火卫一的运动速度较小 D．火卫二的向心加速度较大

4．过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕．“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动1

半径的，该中心恒星与太阳的质量比约为( )

201

A. B．1 10

C．5 D．10

5．“太空涂鸦”技术就是使低轨运行的攻击卫星在接近高轨侦查卫星时，准确计算轨道向其发射“漆雾”弹，并在临近侦查卫星时，压爆弹囊，让“漆雾”散开并喷向侦查卫星，喷散后强力吸附在侦查卫星的侦察镜头、太阳能板、电子侦察传感器等关键设备上，使之暂时失效．下列说法正确的是( ) A．攻击卫星在轨运行速率大于7.9 km/s B．攻击卫星进攻前的速度比侦查卫星的速度小

C．攻击卫星完成“太空涂鸦”后应减速才能返回低轨道上 D．若攻击卫星周期已知，结合万有引力常量就可计算出地球质量

6. “嫦娥”一号探月卫星沿地月转移轨道到达月球，在距月球表面200 km的P点进行第一次“刹车制动”后被月球捕获，进入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，如图1所示．之后，卫星在P点经过几次“刹车制动”，最终在距月球表面200 km的圆形轨道Ⅲ上绕月球做匀速圆周运动．用T1、T2、T3分别表示卫星在椭圆轨道Ⅰ、Ⅱ和圆形轨道Ⅲ的周期，用a1、a2、a3分别表示卫星沿三个轨道运动到P点的加速度，则下面说法正确的是( )

7

R 2

77

图1

A．T1>T2>T3 B．T1a2>a3 D．a17．一些星球由于某种原因而发生收缩，假设该星球的直径缩小到原来的四分之一，若收缩时质量不变，则与收缩前相比( )

A．同一物体在星球表面受到的重力增大到原来的4倍 B．同一物体在星球表面受到的重力增大到原来的16倍 C．星球的第一宇宙速度增大到原来的4倍 D．星球的第一宇宙速度增大到原来的2倍

8．“嫦娥二号”探月卫星在月球上方100 km的圆形轨道上运行．已知月球半径、月球表面重力加速度、万有引力常量G.根据以上信息可求出( )

A．卫星所在处的加速度 B．月球的平均密度 C．卫星线速度大小 D．卫星所需向心力

9．我国发射的“嫦娥三号”登月探测器靠近月球后，先在月球表面附近的近似圆轨道上绕月运行；然后经过一系列过程，在离月面4 m高处做一次悬停(可认为是相对于月球静止)；最后关闭发动机，探测器自由下落．已知探测器的质量约为1.3×103 kg，地球质量约为月球的81倍，地球半径约为月球的3.7倍，地球表面的重力加速度大小约为9.8 m/s2，则此探测器( ) A．在着陆前的瞬间，速度大小约为8.9 m/s B．悬停时受到的反冲作用力约为2×103 N

C．从离开近月圆轨道到着陆这段时间内，机械能守恒

D．在近月圆轨道上运行的线速度小于人造卫星在近地圆轨道上运行的线速度

10.有一宇宙飞船到了某行星附近(该行星没有自转运动)，以速度v接近行星表面匀速环绕，测出运动的周期为T，已知引力常量为G，则可得( )

vT3π

A．该行星的半径为 B．该行星的平均密度为2 2πGT4π2v2

C．无法求出该行星的质量 D．该行星表面的重力加速度为2

T

11．我国的北斗导航卫星系统包含多颗地球同步卫星．北斗导航卫星系统建成以后，有助于减少我国对GPS导航系统的依赖，GPS由运行周期为12小时的卫星群组成，设北斗导航系统的同步卫星和GPS导航卫星的轨道半径分别为R1和R2，向心加速度分别为a1和a2，则R1∶R2＝________，a1∶a2＝________.(可用根式表示)

78

11

12．火星半径是地球半径的，火星质量是地球质量的，忽略火星的自转，如果地球上质量为60 kg的人

210到火星上去，则此人在火星表面的质量是________kg，所受的重力是________N；在火星表面由于火星的引力产生的加速度是________m/s2；在地球表面上可举起60 kg杠铃的人，到火星上用同样的力，可以举起质量________ kg的物体．(g取9.8 m/s2)

13．(8分)宇航员在某星球表面以初速度v0竖直向上抛出一个物体，物体上升的最大高度为h.已知该星球的半径为R，且物体只受该星球的引力作用．求： (1)该星球表面的重力加速度；

(2)从这个星球上发射卫星的第一宇宙速度．

14．(10分)天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星．双星系统在银河系中很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量．已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量．(引力常量为G)

15．(10分)某航天飞机在地球赤道上空飞行，轨道的半径为r，飞行方向与地球的自转方向相同．设地球的自转角速度为ω0，地球半径为R，地球表面重力加速度为g，在某时刻航天飞机通过赤道上某建筑物的上方，求它下次通过该建筑物上方所需的时间．

16．(12分)某行星的自转周期为T＝6 h，用弹簧测力计在该行星的“赤道”和“两极”处测同一物体的重力，弹簧测力计在赤道上的读数比在两极上的读数小10%(行星视为球体)． (1)求行星的平均密度；

(2)设想该行星自转角速度加快到某一值时，在“赤道”上的物体会“飘”起来，求此时的自转周期．

第七章 机械能守恒定律

7.1追寻守恒量——能量

7.2 功

一、追寻守恒量——能量

79

1．伽利略斜面实验探究

让静止的小球沿一个斜面滚下，小球将滚上另一个对接斜面，没有摩擦时，hA＝hB，如图1所示．小球运动中守恒的量是能量．

图1

2．能量概念

(1)动能：物体由于运动而具有的能量．

(2)势能：相互作用的物体凭借其位置而具有的能量．

(3)能的转化：在伽利略的理想斜面实验中，小球的势能和动能可相互转化．

例1 在下列事例中，哪些属于动能和势能相互转化而动能和势能的总和是保持不变的( ) A．游乐园中的海盗船，如果没有摩擦和空气阻力，船在摇摆过程中的运动

B．在不计空气阻力的情况下，将一个小球竖直上抛，小球从抛出点到落回抛出点的运动过程 C．物体以一定的速度沿粗糙的固定斜面上滑而达到一定的高度 D．自行车从斜坡顶端由静止滑下

二、功

1．概念

一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，这个力就对物体做了功． 2．做功的两个因素

(1)力；(2)物体在力的方向上发生的位移． 3．公式 W＝Flcos_α.

(1)α是力与位移方向之间的夹角，l为物体对地的位移． (2)该公式只适用于恒力做功． (3)功是标(填“标”或“矢”)量．

(4)功是一个过程(填“状态”或“过程”)量，描述了力的作用效果在空间上的累积，总与一个具体过程相联系． 4．单位

国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J. 5．几个力的总功的求法

(1)先由W＝Flcos α计算各个力对物体所做的功W1、W2、W3、…然后求所有力做功的代数和， 即W合＝W1＋W2＋W3＋…

(2)先由力的合成或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W合＝F合lcos_α计算总功，此时α为F合的方向与l的方向间的夹角．

例2 下列关于做功的说法正确的是( ) A．凡是受力作用的物体，一定有力对物体做功 B．凡是发生了位移的物体，一定有力对物体做功

C．只要物体受力的同时又有位移发生，则一定有力对物体做功

D．只要物体受力，又在力的方向上发生了位移，则一定有力对物体做功

80

例3 如图2所示，质量为m＝2 kg的物体静止在水平地面上，受到与水平地面夹角为θ＝37°、大小F＝10 N的拉力作用，物体移动了l＝2 m，物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.3，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2.求：

(1)拉力F所做的功W1； (2)摩擦力Ff所做的功W2； (3)重力G所做的功W3； (4)弹力FN所做的功W4； (5)合力F合所做的功W.

图2

三、正功和负功

1．由W＝Flcos α可知：

π

(1)当α＝时，W＝0，力对物体不做功，力既不是阻力也不是动力．

2

π

(2)当0≤α<时，W>0，力对物体做正功，做功的力是动(填“动”或“阻”)力．

2π

(3)当<α≤π时，W<0，力对物体做负功，做功的力是阻(填“动”或“阻”)力．

22．功的正负判定：

(1)根据力和位移的夹角判断．例如(如图3所示)，物体a由固定斜面顶端静止滑下，受到的重力G对物体a做正功，因为重力G与位移l之间的夹角小于90°.

图3 图4

(2)根据运动物体的速度方向和受力方向的夹角判断．例如，人造地球卫星在椭圆轨道上运行，由如图4所示的a点运动到b点的过程，万有引力做负功，因为万有引力的方向和速度方向的夹角大于90°.

3．一个力对物体做负功，往往说成物体克服这个力做功．

例4 一人乘电梯从1楼到20楼，在此过程中经历了先加速，后匀速，再减速的运动过程，则电梯对人的支持力的做功情况是( )

A．加速时做正功，匀速时不做功，减速时做负功 B．加速时做正功，匀速和减速时做负功

C．加速和匀速时做正功，减速时做负功 D．始终做正功

例5 如图5所示，物体在力的作用下在水平面上发生一段位移l，试分别计算这四种情况下力F对物体所做的功．设在这四种情况下力F和位移l的大小都相同：F＝10 N，l＝1 m，角θ的大小如图所示，分别说明每种情况下力F做功的正负，并求出功．

81

图5

课堂练习

1．(对功的理解)(多选)下列四幅图片所描述的情景中，人对物体做功的是( )

2．(正功、负功的判断)如图6所示，在皮带传送装置中，皮带把物体P匀速传送至高处，在此过程中，下述说法正确的是( )

图6

A．摩擦力对物体做正功 B．支持力对物体做正功 C．重力对物体做正功 D．合外力对物体做正功

3．(功的计算)用水平恒力F作用于质量为m的物体，使之在光滑的水平面上沿力的方向移动距离l，恒力F做功为W1；再用该恒力作用在质量为2m的物体上，使之在粗糙的水平面上移动同样的距离l，恒力F做功为W2，则两次恒力做功的关系是( )

A．W1>W2 B．W14．(功的计算)如图7所示，利用斜面从货车上卸货，每包货物的质量m＝20 kg，斜面倾角α＝37°，斜面的长度l＝0.5 m，货物与斜面间的动摩擦因数μ＝0.2，求货物从斜面顶端滑到底端的过程中受到的各个力所做的功以及合外力做的功．(取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)

图7

7.3能量、功习题课

题组一 对功的理解及正、负功的判断 1．(多选)下列说法正确的是( ) A．－10 J的功大于＋5 J的功

82

B．功是标量，正、负表示外力对物体做功还是物体克服外力做功 C．一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动

D．功是矢量，正、负表示方向 2．(多选)质量为m的物体，静止在倾角为θ的斜面上，斜面沿水平方向向右匀速移动了距离l，如图1所示．物体相对斜面静止，则下列说法正确的是( )

图1

A．重力对物体m做正功 B．合力对物体m做功为零

C．摩擦力对物体m做负功 D．支持力对物体m做正功

3.有一根轻绳拴了一个物体，如图所示，若整体以加速度a向下做减速运动时，作用在物体上的各力做功的情况是( )

A．重力做正功，拉力做负功，合外力做负功 B．重力做正功，拉力做负功，合外力做正功 C．重力做正功，拉力做正功，合外力做正功

D．重力做负功，拉力做负功，合外力做正功

4．在加速运动的车厢中，一个人用力向前推车厢，如图所示，人相对车厢未移动，则下列说法中不正确的是( )

A．人对车不做功 B．人对车做负功 C．推力对车做正功

题组二 功的计算

D．车对人做正功

5．如图，坐在雪橇上的人与雪橇的总质量为m，在与水平面成θ角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向右移动了一段距离l.已知雪橇与地面间的动摩擦因数为μ，则雪橇受到的( ) A．支持力做功为mgl B．重力做功为mgl

C．拉力做功为Flcos θ

D．滑动摩擦力做功为－μmgl 6．如图所示，一小孩和一大人都以水平的力匀速推动相同的木箱在相同的路面走同样的位移(推箱的速度大小如图中所注)，比较此过程中两人分别对木箱做功的多少，则( ) A．大人做的功多 B．小孩做的功多

C．大人和小孩做的功一样多 D．条件不足，无法判断

7．如图所示，两个物体与水平地面间的动摩擦因数相等，它们的质量也相等．在甲图用力F1拉物体，在乙图用力F2推物体，夹角均为α，两个物体都做匀速直线运动，通过相同的位移．设F1和F2对物体所做的功分别为W1和W2，物体克服摩擦力做的功分别为W3和W4，下列判断正确的是( ) A．F1＝F2 B．W1＝W2

83

C．W3＝W4

D．W1－W3＝W2－W4

8．两个相互垂直的力F1和F2作用在同一物体上，使物体运动，如图7所示，物体通过一段位移时，力F1对物体做功4 J，力F2对物体做功3 J，则F1与F2的合力对物体做的功为( )

图7

A．7 J B．2 J C．5 J D．3.5 J

9. (多选)如图所示，用恒定的拉力F拉置于光滑水平面上的质量为m的物体，由静止开始运动时间t，拉力F斜向上与水平面夹角为θ＝60°.如果要使拉力做的功变为原来的4倍，在其他条件不变的情况下，可以将( )

A．拉力变为2F B．时间变为2t

m

C．物体质量变为

2

D．拉力大小不变，但方向改为与水平面平行

10．如图9所示，质量为m的物体A静止在倾角为θ的斜面体B上，斜面体B的质量为M.现对该斜面体施加一个水平向左的推力F，使物体随斜面体一起沿水平方向向左匀速运动，当移动的距离为l时，斜面体B对物体A所做的功为( )

图9

A．Fl B．mglsin θcos θ C．mglsin θ D．0

11.如图11所示，一质量m＝4.0 kg的物体，由高h＝2.0 m、倾角θ＝53°的固定斜面的顶端滑到底端．物体与斜面间的动摩擦因数μ＝0.2，求物体所受各个力做的功及合外力做的功．(g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)

图11

7.4功率

一、功率

1．功率的概念

84

W

(1)定义：功W与完成这些功所用时间t的比值叫做功率． (2)定义式：P＝. t(3)单位：瓦特，简称瓦，符号是W. (4)标矢性：功率是标量． (5)物理意义：是表示做功快慢的物理量． 2．额定功率与实际功率

(1)额定功率：发动机正常工作时输出的最大功率．实际功率：发动机实际工作时的输出功率． (2)为了保证机械的安全，工作时尽量使P实≤P额．

例1 关于功率，下列说法中正确的是( )

A．做功的时间越长，功率一定越小 B．做功越多，功率一定越大

C．功率是表示力做功快慢的物理量 D．额定功率大的机车发动机工作时实际功率一定大

二、功率与速度

1．功率与速度的关系

(1)当F与v同向时，P＝Fv. (2)当F与v的夹角为α时，P＝Fvcos_α. 2．P、F、v三量的制约关系

(1)P一定时，F与v成反比，如汽车上坡时减小速度来增大牵引力． (2)v一定时，F与P成正比，如汽车速度不变时，加大油门可以增大牵引力． (3)F一定时，P与v成正比，如汽车匀加速行驶时，速度增大，功率也增大． 3．平均功率和瞬时功率的计算

W

(1)平均功率：时间t内功率的平均值，计算公式：P＝和P＝Fv.

t

(2)瞬时功率：某一时刻功率的瞬时值，能精确地描述做功的快慢，计算公式：P＝Fv，其中v为瞬时速度；当F与v夹角为α时，P＝Fvcos α.

例2 质量m＝3 kg的物体，在水平力F＝6 N的作用下，在光滑水平面上从静止开始运动，运动时间t＝3 s，求：

(1)力F在t＝3 s内对物体所做功的平均功率； (2)在3 s末力F对物体做功的瞬时功率．

W

1．公式P＝及P＝Fv的比较：

tW

(1)P＝是定义式，适用于任何情况下功率的计算，一般用于求解某段时间内的平均功率．

t

(2)P＝Fv通常用来计算某一时刻或某一位置时的瞬时功率，v是瞬时速度；若代入某段时间内的平均速度，

85

则计算的是该段时间内的平均功率． 2．求解功率时应该注意的问题：

(1)要明确所求功率是某物体各力的功率，还是合力的功率． (2)要明确所求功率是平均功率还是瞬时功率．

针对训练 一台起重机将静止在地面上质量m＝1×103 kg的货物匀加速竖直吊起，在2 s末货物的速度v＝4 m/s.(取g＝10 m/s2，不计额外功)求： (1)起重机在这2 s内的平均功率； (2)起重机在2 s 末的瞬时功率．

三、机车启动的两种方式

1．恒定功率启动 (1)过程分析

F－F阻P

v↑⇒F＝v↓⇒a＝↓⇒a＝0，速度最大且匀速．

m(2)vt图象如图2所示

图2 图3 2．恒定加速度启动 (1)过程分析

F－F阻

↑a＝不变⇒F不变 v⇒P＝Fv↑直到P额＝Fv1 m

P额F－F阻

⇒P额一定，v↑⇒F＝v↓，a＝↓⇒a＝0，速度最大且匀速．

m(2)vt图象如图3所示． 3．机车启动过程的分析步骤

(1)分析物理过程，明确是哪种启动方式．

(2)抓住两个基本公式：①功率公式P＝Fv；②牛顿第二定律，即F－F阻＝ma.

例3 在水平路面上运动的汽车的额定功率为100 kW，质量为10 t，设阻力恒定，且为车重的0.1倍，求：(g取10 m/s2)

(1)汽车在运动过程中所能达到的最大速度；

(2)若汽车以0.5 m/s2的加速度从静止开始做匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间？ (3)若汽车以不变的额定功率从静止启动后，当汽车的加速度为2 m/s2时，速度多大？

86

课堂训练

1．(对功率的理解)关于功率，下列说法正确的是( )

W

A．由P＝可知，只要知道W和t的值就可以计算出任意时刻的功率

tB．由P＝Fv可知，汽车的功率一定与它的速度成正比 C．由P＝Fv可知，牵引力一定与速度成反比 D．当汽车P一定时，牵引力一定与速度成反比

2．(功率的计算)(多选)质量为3 kg的物体，从高45 m处自由落下(g取10 m/s2)，那么在下落的过程中( ) A．前2 s内重力做功的功率为300 W B．前2 s内重力做功的功率为675 W C．第2 s末重力做功的功率为600 W D．第2 s末重力做功的功率为900 W

3．(功率的计算)如图4是小孩滑滑梯的情景，假设滑梯是固定光滑斜面，倾角为30°，小孩质量为m，由静止开始沿滑梯下滑，滑行距离为s时，重力的瞬时功率为( )

图4

11

A．mggs B.mggs C．mg2gs D.mg6gs

22

4．(机车启动问题)汽车发动机的额定功率P＝60 kW，若其总质量为m＝5 t，在水平路面上行驶时，所受阻力恒为F＝5.0×103 N，则：

(1)汽车保持恒定功率启动时：①求汽车所能达到的最大速度vmax.②当汽车加速度为2 m/s2时，速度是多大？ ③当汽车速度是6 m/s时，加速度是多大？

(2)若汽车以a＝0.5 m/s2的加速度由静止开始做匀加速运动，这一过程能维持多长时间？

7.5功率习题课

题组一 对功率的理解

1．下列关于功率的说法中正确的是( ) W

A．由P＝知，力做的功越多，功率越大

tB．由P＝Fv知，物体运动得越快，功率越大 C．由W＝Pt知，功率越大，力做的功越多

87

D．由P＝Fvcos α知，某一时刻，即使力和速度都很大，但功率不一定大

2．(多选)关于功率公式P＝Fv，下列说法正确的是( ) A．当F是恒力，v是平均速度时，对应的P是平均功率 B．当v是瞬时速度时，对应的P是瞬时功率

C．只适用于物体做匀速直线运动的情况 D．只适用于F与v同方向的情况

3．汽车上坡的时候，司机必须换挡，其目的是( )

A．减小速度，得到较小的牵引力 B．增大速度，得到较小的牵引力 C．减小速度，得到较大的牵引力 D．增大速度，得到较大的牵引力

题组二 功率的计算

4．某人用同一水平力F先后两次拉同一物体，第一次使此物体从静止开始在光滑水平面上前进l距离，第二次使此物体从静止开始在粗糙水平面上前进l距离．若先后两次拉力做的功分别为W1和W2，拉力做功的平均功率分别为P1和P2，则( )

A．W1＝W2，P1＝P2 B．W1＝W2，P1＞P2 C．W1＞W2，P1＞P2 D．W1＞W2，P1＝P2 5．质量为5 000 kg的汽车，在水平路面上由静止开始做加速度为2 m/s2的匀加速直线运动，所受阻力是1 000 N，汽车在启动后第1 s末牵引力的瞬时功率为( )

A．2 kW B．11 kW C．20 kW D．22 kW

6．一个质量为m的小球做自由落体运动，那么，在前t秒内重力对它做功的平均功率P及在t秒末重力做功的瞬时功率P分别为(t秒末小球未着地)( ) 1

A.P＝mg2t2，P＝mg2t2 B.P＝mg2t2，P＝mg2t2

2

1

C.P＝mg2t，P＝mg2t D.P＝mg2t，P＝2mg2t

2

7.一辆小车在水平面上做匀速直线运动，从某时刻起，小车所受牵引力和阻力随时间变化的规律如图1所示，则作用在小车上的牵引力F的功率随时间变化的规律是下图中的( )

图1

8．某车以相同的功率在两种不同的水平路面上行驶，受到的阻力分别为车重的k1和k2倍，最大速率分别为v1和v2，则( )

k1k2

A．v2＝k1v1 B．v2＝v1 C．v2＝v1 D．v2＝k2v1

k2k1

题组三 对机车启动问题的理解及应用

9．汽车由静止开始运动，若要使汽车在开始运动后一小段时间内保持匀加速直线运动，则( ) A．不断增大牵引力和牵引力的功率 B．不断减小牵引力和牵引力的功率 C．保持牵引力不变，不断增大牵引力功率 D．不能判断牵引力功率怎样变化

88

10．一辆汽车以功率P1在平直公路上匀速行驶，驾驶员突然减小油门，使汽车的功率减小为P2并继续行驶．若整个过程中阻力恒定不变，此后汽车发动机的牵引力将( ) A．保持不变 B．不断减小

C．突然减小，再增大，后保持不变 D．突然增大，再减小，后保持不变

11.一汽车在平直公路上行驶．从某时刻开始计时，发动机的功率P随时间t的变化如图2所示．假定汽车所受阻力的大小Ff恒定不变．下列描述该汽车的速度v随时间t变化的图线中，可能正确的是( )

图2

题组四 综合应用

12．从空中以10 m/s的初速度水平抛出一质量为1 kg的物体，物体在空中运动了3 s后落地，不计空气阻力，g取10 m/s2，求3 s内物体所受重力做功的平均功率和落地时重力做功的瞬时功率．

13．质量为2 000 kg、额定功率为80 kW的汽车，在平直公路上行驶中的最大速度为20 m/s.若汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度大小为2 m/s2，运动中的阻力不变．求： (1)汽车所受阻力的大小； (2)3 s末汽车的瞬时功率； (3)汽车做匀加速运动的时间；

(4)汽车在匀加速运动中牵引力所做的功．

7.6重力势能

一、重力做功的特点

1．做功表达式：WG＝mgh＝mgh1－mgh2，式中h指初位置与末位置的高度差；h1、h2分别指初位置、末位置的高度．

2．做功的正负：物体下降时重力做正功；物体被举高时重力做负功．

3．做功的特点：物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关．

例1 某游客领着孩子游泰山时，孩子不小心将手中的皮球滑落，球从A点滚到了山脚下的B点，高度标记如图所示，则下列说法正确的是( )

A．从A到B的曲线轨迹长度不知道，无法求出此过程中重力做的功 B．从A到B过程中阻力大小不知道，无法求出此过程中重力做的功 C．从A到B重力做功mg(H＋h) D．从A到B重力做功mgH

二、重力势能

1．定义：物体由于被举高而具有的能量叫做重力势能． 2．大小：Ep＝mgh；单位：焦耳，符号：J. 3．重力势能的三性：

(1)相对性：Ep＝mgh中的h是物体重心相对参考平面的高度．参考平面选择不同，则物体的高度h不同，重力势能的大小也就不同，所以确定某点的重力势能首先选择参考平面．

(2)系统性：重力是地球与物体相互吸引产生的，所以重力势能是物体和地球组成的系统共有，平时所说的“物体”的重力势能只是一种简化说法．

(3)标矢性：重力势能是标量，只有大小，没有方向，但有正负．重力势能正负的含义：正值表示物体处于参考平面上方，负值表示处于参考平面的下方．

例2 下列关于重力势能的说法正确的是( )

A．物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定 B．物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大 C．一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能增加了

D．在地面上的物体具有的重力势能一定等于零

例3 如图3所示，桌面距地面的高度为0.8 m，一物体质量为2 kg，放在桌面上方0.4 m的支架上，g取10 m/s2，求：

(1)以桌面为零势能参考平面，计算物体具有的重力势能，并计算物体由支架下落到地面过程中重力势能减少多少？

(2)以地面为零势能参考平面，计算物体具有的重力势能，并计算物体由支架下落到地面过程中重力势能减少多少？

(3)以上计算结果说明什么？

图3

三、重力做功与重力势能变化的关系

1．重力做功是重力势能变化的原因，且重力做了多少功，重力势能就改变多少，即WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp. (1)当物体从高处向低处运动时，重力做正功，重力势能减少． (2)当物体从低处向高处运动时，重力做负功，重力势能增加．

2．重力做的功与重力势能的变化量均与参考平面的选择无(填“有”或“无”)关．

3．重力势能的变化只取决于物体重力做功的情况，与物体除重力外是否还受其他力作用以及其他力是否做功等因素均无关．

90

例4 质量是100 g的球从1.8 m的高处落到水平板上，又弹回到1.25 m的高度，在整个过程中重力对球所做的功为多少？球的重力势能变化了多少？(g＝10 m/s2)

针对训练 大型拱桥的拱高为h，弧长为L，如图4所示，质量为m的汽车在以不变的速率v由A点运动到B点的过程中，以下说法正确的是( )

图4

A．由A到B的过程中，汽车的重力势能始终不变，重力始终不做功

B．汽车的重力势能先减小后增加，总的变化量为0，重力先做负功，后做正功，总功为零 C．汽车的重力势能先增大后减小，总的变化量为0，重力先做正功，后做负功，总功为零 D．汽车的重力势能先增大后减小，总的变化量为0，重力先做负功，后做正功，总功为零

课堂训练

1．(重力做功的特点)如图5所示，某物块分别沿三条不同的轨道由离地面高h的A点滑到同一水平面上，轨道1、2是光滑的，轨道3是粗糙的，则( )

图5

A．沿轨道1滑下重力做的功多 B．沿轨道2滑下重力做的功多 C．沿轨道3滑下重力做的功多 D．沿三条轨道滑下重力做的功一样多

2．(重力势能及其变化)质量为20 kg的薄铁板平放在二楼的地面上，二楼地面与楼外地面的高度差为5 m．已知g＝10 m/s2，则这块铁板相对二楼地面的重力势能为________J，相对楼外地面的重力势能为______J；将铁板提高1 m，若以二楼地面为参考平面，则铁板的重力势能变化了________J；若以楼外地面为参考平面，则铁板的重力势能变化了______J.

13．(重力势能及其变化)质量为m的均匀链条长为L，开始放在光滑的水平桌面上时，有的长度悬在桌边缘，

4如图6所示，松手后，链条滑离桌面(未着地)，问：从开始到链条刚好滑离桌面过程中重力势能变化了多少？

图6

91

4．(重力做功与重力势能变化的关系)在离地80 m处无初速度释放一小球，小球质量为m＝200 g，不计空气阻力，g取10 m/s2，取最高点所在水平面为零势能参考平面．求： (1)在第2 s末小球的重力势能；

(2)3 s内重力所做的功及重力势能的变化．

7.7重力势能习题课

题组一 重力做功的理解与计算

1．将一个物体由A移至B，重力做功( )

A．与运动过程中是否存在阻力有关 B．与物体沿直线或曲线运动有关

C．与物体是做加速、减速或匀速运动有关 D．只与物体初、末位置高度差有关

2.如图1所示，质量为m的小球从高为h处的斜面上的A点滚下经过水平面BC后，再滚上另一斜面，当它

h

到达的D点时，速度为零，在这个过程中，重力做功为( )

4

92

图1

mgh3mghA. B. C．mgh D．0

44

3．质量为50 kg、高为1.8 m的跳高运动员，背越式跳过2 m高的横杆而平落在高50 cm的垫子上，整个过程中重力对人做的功大约为( )

A．1 000 J B．750 J C．650 J D．200 J

4．(多选)在高处的某一点将两个重力相同的小球以相同速率v0分别竖直上抛和竖直下抛，下列结论正确的是(不计空气阻力)( )

A．从抛出到刚着地，重力对两球所做的功相等 B．从抛出到刚着地，重力对两球所做的功都是正功 C．从抛出到刚着地，重力对两球做功的平均功率相等 D．两球刚着地时，重力的瞬时功率相等

题组二 对重力势能的理解 5．下面说法中正确的是( )

A．地面上的物体重力势能一定为零 B．质量大的物体重力势能一定大

C．不同的物体离地面最高的物体其重力势能最大 D．离地面有一定高度的物体其重力势能可能为零

6．(多选)如图2所示，一小球贴着光滑曲面自由滑下，依次经过A、B、C三点．以下表述正确的是( )

图2

A．若以地面为参考平面，小球在B点的重力势能比C点大

B．若以A点所在的水平面为参考平面，小球在B点的重力势能比C点小 C．若以B点所在的水平面为参考平面，小球在C点的重力势能大于零

D．无论以何处水平面为参考平面，小球在B点的重力势能均比C点大

7.如图3所示，在离地面高为H处，将质量为m的小球以初速度v0竖直上抛，取抛出位置所在水平面为参考平面，则小球在最高点和落地处重力势能分别为( )

图3

v0 12121212

A．mg2g＋H，0 B.mv 0，－mgH C.mv 0，mgH D.mv 0，mgH＋mv 22220

2

93

题组三 重力做功与重力势能变化的关系

8．如图4所示，静止的物体沿不同的光滑轨道由同一位置滑到水平桌面上，轨道高度为H，桌面距地面高为h，物体质量为m，重力加速度为g，则以下说法正确的是( )

图4

A．物体沿竖直轨道下滑到桌面上，重力势能减少最少 B．物体沿曲线轨道下滑到桌面上，重力势能减少最多 C．以桌面为参考平面，物体重力势能减少mgH

D．以地面为参考平面，物体重力势能减少mg(H＋h)

9．(多选)物体在某一运动过程中，重力对它做了40 J的负功，下列说法中正确的是( ) A．物体的高度一定升高了 B．物体的重力势能一定减少了40 J

C．物体重力势能的改变量不一定等于40 J D．物体克服重力做了40 J的功 10．升降机中有一质量为m的物体，当升降机以加速度a匀加速上升高度h时，物体增加的重力势能为( ) A．mgh B．mgh＋mah C．mah D．mgh－mah

11．盘在地面上的一根不均匀的金属链重30 N，长1 m，从甲端缓慢提至乙端恰好离地时需克服重力做功10 J．如果改从乙端缓慢提至甲端恰好离地要克服重力做多少功？重力势能变化了多少？(取g＝10 m/s2)

12．如图5所示，质量为m的小球，用一长为l的细线悬于O点，将悬线拉直成水平状态，并给小球一个向下的速度让小球向下运动，O点正下方D处有一钉子，小球运动到B处时会以D为圆心做圆周运动，并2

经过C点，若已知OD＝l，则小球由A点运动到C点的过程中，重力势能减少了多少？重力做功为多少？

3

图5

7.8探究弹性势能的表达式

一、弹性势能

1．定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能． 2．弹性势能的产生原因：

(1)物体发生了弹性形变． (2)物体各部分之间有弹力的作用．

3．弹簧的弹性势能：弹簧的长度为原长时，弹性势能为0.弹簧被压缩或被拉伸时，就具有了弹性势能． 4．弹簧弹性势能大小的影响因素：

94

(1)弹簧的劲度系数． (2)弹簧的形变量．

例1 关于弹性势能，下列说法中正确的是( )

A．只有弹簧发生弹性形变时才具有弹性势能，其他物体发生弹性形变时是不会有弹性势能的 B．弹簧伸长时有弹性势能，压缩时没有弹性势能

C．在弹性限度范围内，同一个弹簧形变量越大，弹性势能就越大

D．火车车厢底下的弹簧比自行车车座底下的弹簧硬，则将它们压缩相同的长度时，火车车厢底下的弹簧具有的弹性势能小

针对训练 关于弹簧的弹性势能，下列说法中正确的是( ) A．当弹簧变长时，它的弹性势能一定增大 B．当弹簧变短时，它的弹性势能一定变小

C．在拉伸长度相同时，k越大的弹簧，它的弹性势能越大 D．弹簧在拉伸时的弹性势能一定大于压缩时的弹性势能

二、探究弹性势能的表达式

1．猜想：

(1)弹性势能与弹簧被拉伸(或压缩)的长度有关，同一个弹簧，拉伸(或压缩)长度越大，弹簧的弹性势能也越大．

(2)弹性势能与弹簧的劲度系数有关，在拉伸(或压缩)长度l相同时，劲度系数k越大，弹性势能越大． 2．探究思想：弹力做功与弹性势能变化的关系同重力做功与重力势能的变化关系相似：

3．两种方法计算弹簧弹力的功：

(1)微元法：把整个过程划分为很多小段，整个过程做的总功等于各段做功的代数和：

W总＝F1Δl1＋F2Δl2＋…＋FnΔln. (2)图象法：如图所示，作出弹力F与弹簧伸长量x关系的F－x的图象，则克服弹力做的功等于F－x图象与x轴所围面积．由此可求得劲度系数为k的弹簧从其自然长度伸长x长度时， 1

弹力做的功W＝－kx2.

2

1

4．弹性势能表达式：根据W＝－ΔEp得W＝Ep0－Ep＝0－Ep，所以Ep＝kx2.

2

例2 如图所示，一个物体以速度v0冲向与竖直墙壁相连的轻质弹簧，墙壁和物体间的弹簧被物体压缩，在此过程中，以下说法正确的是( ) A．物体对弹簧做的功与弹簧的压缩量成正比 B．物体向墙壁运动相同的位移，弹力做的功不相等 C．弹簧的弹力做正功，弹性势能增加

D．弹簧的弹力做负功，弹性势能增加

例3 一根弹簧的弹力F与伸长量x的关系图象如图所示，那么弹簧由伸长量8 cm到伸长量4 cm的过程中，弹力做的功和弹性势能的变化量为( )

95

A．3.6 J，－3.6 J B．－3.6 J，3.6 J C．1.8 J，－1.8 J D．－1.8 J，1.8 J

弹性势能的变化只与弹力做功有关，弹力做负功，弹性势能增大，反之则减小．弹性势能的变化量总等于弹力做功的负值．

课堂训练

1． (多选)弹簧的弹性势能与下列哪些因素有关( )

A．弹簧的长度 B．弹簧的劲度系数 C．弹簧的形变量 D．弹簧的原长

2．如图所示，处于自然长度的轻质弹簧一端与墙接触，另一端与置于光滑地面上的物体接触，现在物体上施加一水平推力F，使物体缓慢压缩弹簧，当推力F做功100 J时，弹簧的弹力做功______J，以弹簧处于自然长度时的弹性势能为零，则弹簧的弹性势能为____J.

3．如图所示的几个运动过程中，物体的弹性势能增加的是( )

A．如图甲，撑杆跳高的运动员上升过程中，杆的弹性势能 B．如图乙，人拉长弹簧过程中，弹簧的弹性势能

C．如图丙，模型飞机用橡皮筋发射出去的过程中，橡皮筋的弹性势能

D．如图丁，小球被弹簧向上弹起的过程中，弹簧的弹性势能

3．如图所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端连一弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在力F作用下物体处于静止状态，当撤去F后，物体将向右运动，在物体向右运动的过程中下列说法正确的是( ) A．弹簧对物体做正功，弹簧的弹性势能逐渐减少 B．弹簧对物体做负功，弹簧的弹性势能逐渐增加

C．弹簧先对物体做正功，后对物体做负功，弹簧的弹性势能先减少再增加 D．弹簧先对物体做负功，后对物体做正功，弹簧的弹性势能先增加再减少

7.9探究弹性势能的表达式习题课

题组一 对弹性势能的理解

1．(多选)如图所示，弹簧的一端固定在墙上，另一端在水平力F作用下缓慢拉伸了x.关于拉力F、弹性势能Ep随伸长量x的变化图线，其中正确的是( )

96

2.小明玩蹦蹦杆，在小明将蹦蹦杆中的弹簧向下压缩的过程中，小明的重力势能、弹簧的弹性势能的变化是( )

A．重力势能减少，弹性势能增大 B．重力势能增大，弹性势能减少

C．重力势能减少，弹性势能减少 D．重力势能不变，弹性势能增大 3．一竖直弹簧下端固定于水平地面上，小球从弹簧的正上方高为h的地方自由下落到弹簧上端，如图所示，经几次反弹以后小球最终在弹簧上静止于某一点A处，则( ) A．h越大，弹簧在A点的压缩量越大 B．弹簧在A点的压缩量与h无关

C．h越大，最终小球静止在A点时弹簧的弹性势能越大

D．小球第一次到达A点时弹簧的弹性势能比最终小球静止在A点时弹簧的弹性势能大

4.如图所示，质量相等的两木块中间连有一弹簧，今用力F缓慢向上提A，直到B恰好离开地面．开始时物体A静止在弹簧上面．设开始时弹簧的弹性势能为Ep1，B刚要离开地面时，弹簧的弹性势能为Ep2，则关于Ep1、Ep2大小关系及弹性势能变化ΔEp说法中正确的是( ) A．Ep1＝Ep2 B．Ep1＞Ep2 C．ΔEp＞0

D．ΔEp＜0

5．某同学在桌面上用一个小钢球和一个弹簧来探究弹簧的弹性势能．弹簧一端固定(如图所示)，另一端用钢球压缩弹簧后释放，钢球被弹出后落地．当他发现弹簧压缩得越多，钢球被弹出得越远，由此能得出的结论应是( )

A．弹性势能与形变量有关，形变量越大，弹性势能越大 B．弹性势能与形变量有关，形变量越大，弹性势能越小 C．弹性势能与劲度系数有关，劲度系数越大，弹性势能越大 D．弹性势能与劲度系数有关，劲度系数越大，弹性势能越小

题组二 弹力做功与弹性势能变化的关系

6．(多选)在一次“蹦极”运动中，人由高空落下到降至最低点的整个过程中，下列说法中正确的是( ) A．重力对人做正功 B．人的重力势能减少了 C．橡皮绳对人做负功 D．橡皮绳的弹性势能减少了

7．如图所示，轻弹簧下端系一重物，O点为其平衡位置(即重力和弹簧弹力大小相等的位置)，今用手向下拉重物，第一次把它直接拉到A点，弹力做功为W1，第二次把它拉到B点后再让其回到A点，弹力做功为W2，已知OA＝AB，弹簧始终在弹性限度内，则这两次弹力做功的关系为( ) A．W197

D．W1＝W2

8．(多选)如图所示，一轻弹簧一端固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点B的过程中( ) A．重力做正功，重力势能减小 B．重力做正功，重力势能增加 C．弹力做正功，弹性势能减少 D．弹力做负功，弹性势能增加

9．如图8所示，质量不计的弹簧一端固定在地面上，弹簧竖直放置，将一小球从距弹簧自由端高度分别为h1、h2的地方先后由静止释放，h1>h2，小球触到弹簧后向下运动压缩弹簧，从开始释放小球到获得最大速度的过程中，小球重力势能的减少量ΔE1、ΔE2的关系及弹簧弹性势能的增加量ΔEp1、ΔEp2的关系中，正确的一组是( )

A．ΔE1＝ΔE2，ΔEp1＝ΔEp2 B．ΔE1>ΔE2，ΔEp1＝ΔEp2 C．ΔE1＝ΔE2，ΔEp1>ΔEp2 D．ΔE1>ΔE2，ΔEp1>ΔEp2

题组三 综合应用

10．弹簧原长l0＝15 cm，受拉力作用后弹簧逐渐伸长，当弹簧伸长到l1＝20 cm时，作用在弹簧上的力为400 N.

(1)弹簧的劲度系数k为多少？ (2)在该过程中弹力做了多少功？ (3)弹簧的弹性势能变化了多少？

11．在水平地面上放一个竖直轻弹簧，弹簧上端与一个质量为2.0 kg的木块相连，系统处于平衡状态．若在木块上再加一个竖直向下的力F，使木块缓慢向下移动0.10 m，力F做功2.5 J，此时木块再次处于平衡状态，力F的大小为50 N，如图9所示．求在木块下移0.10 m的过程中弹性势能的增加量．(g取10 m/s2)

7.10探究功与速度变化的关系

一、借助变力做功探究功与速度变化的关系

1．实验原理

使小车在橡皮筋的作用下弹出，如图所示．

98

改变橡皮筋的条数并使小车从同样的位置被弹出；测出小车被弹出后的速度，寻找牵引力对小车做的功与小车速度的关系．

2．实验步骤

(1)按图1所示组装好实验仪器

(2)平衡摩擦力：将安装有打点计时器的长木板的一端垫起，纸带穿过打点计时器并接在小车后面，不挂橡皮筋，接通电源，轻推小车，直至打点计时器在纸带上打出间隔均匀的点．

(3)第一次先用一条橡皮筋做实验，把橡皮筋拉伸一定长度，理顺纸带，接通电源，放开小车．

(4)换用2条、3条、4条…同样的橡皮筋做实验，并使橡皮筋拉伸的长度和第一次相同，用打点计时器和纸带记录小车的运动情况．

3．数据处理

(1)求小车的最终速度：如图2所示，测出纸带上点迹均匀的两点如A1、A3间的距离x，

则小车的速度为v＝

x. 2T

图2

(2)计算小车做的功分别为W、2W、3W…时对应的v、v2、v3、v…的数值，填入表格.

vn W v v2 v3 v W 2W 3W 4W 5W (3)逐一与W的一组数值对照，判断W与v、v2、v3、v…的可能关系或尝试分别画出W与v、W与v2、W与v3、W与v间关系的图象，找出哪一组的图象是直线，从而确定功与速度变化的正确关系．

4．误差分析

(1)误差的主要来源是橡皮筋的长度、粗细不一，使橡皮筋拉力做的功与橡皮筋的条数不成正比． (2)误差的另一主要来源是摩擦力平衡得不合适．

(3)利用纸带确定物体的速度时，点间距测量不准也会带来误差． (4)作图描点不准带来误差．

5．注意事项

(1)为了使橡皮筋的拉力等于小车受到的合外力，首先平衡摩擦力．

(2)测小车速度时，纸带上的点迹应选均匀部分的，也就是选小车做匀速运动时打的点迹． (3)每次释放小车时，都要确保让它从同一位置由静止开始运动．

(4)所选橡皮筋的规格应一样，力对小车做的功以一条橡皮筋做的功为单位即可，不必计算出具体数值．

例1 某实验小组采用如图3所示的装置探究功与速度变化的关系，小车在橡皮筋的作用下弹出后，沿

99

木板滑行．打点计时器的工作频率为50 Hz. (1)实验中木板略微倾斜，这样做________； A．是为了使释放小车后，小车能匀加速下滑 B．是为了增大小车下滑的加速度

C．可使得橡皮筋做的功等于合力对小车做的功 D．可使得橡皮筋松弛后小车做匀速运动

(2)实验中先后用同样的橡皮筋1条、2条、3条…合并起来挂在小车的前端进行多次实验，每次都要把小车拉到同一位置再释放．把第1次只挂1条橡皮筋时橡皮筋对小车做的功记为W1，第二次挂2条橡皮筋时橡皮筋对小车做的功为2W1…橡皮筋对小车做功后而使小车获得的速度可由打点计时器打出的纸带测出．根据第四次的纸带(如图4所示)求得小车获得的速度为________m/s.

图4

(3)若根据多次测量数据画出的Wv图象如图所示，根据图线形状，可知对W与v的关系符合实际的是图________．

针对训练 为了探究对物体做功与物体速度变化的关系，现提供如图5所示的器材，让小车在橡皮筋的作用下弹出后，沿长木板滑行，请思考探究思路并回答下列问题(打点计时器交流电频率为50 Hz)．

(1)为了消除摩擦力的影响应采取的措施是： _______________________________________ _______________________________________________________________________________.

(2)当我们分别用同样的橡皮筋1条、2条、3条……并用来进行第1次、第2次、第3次……实验时，每次实验中橡皮筋拉伸的长度都应保持一致，我们把第1次实验时橡皮筋对小车做的功记为W.

(3)由于橡皮筋对小车做功而使小车获得的速度可以由打点计时器和纸带测出，如图6所示是其中四次实验打出的部分纸带．

100

图6

(4)试根据(2)、(3)中的信息，填写下表.

次数 橡皮筋对小车做功 小车速度v/(m·s1) v2/(m2·s2) －－1 W 2 3 4 从表中数据可得出结论：__________________________________________________________.

(1)平衡摩擦力时，小车不挂橡皮筋，但要挂纸带，轻推小车而不是让小车自由滑下，利用纸带上打出的点是否均匀来判断是否平衡好了摩擦力．

(2)要计算每次橡皮筋做功结束时小车的速度，即利用纸带上的点迹均匀部分来计算速度．

二、借助恒力做功探究功与速度变化的关系

1．实验原理

由重物通过滑轮牵引小车，如图所示．

改变重物的质量或者改变小车运动的距离，也就改变了牵引力做的功，从而探究牵引力做的功与小车获得的速度间的关系．

2．测量前的准备：平衡摩擦力

将木板一端垫高，让小车从木板上匀速滑动，从而平衡摩擦力． 3．实验必须满足的条件：钩码质量m远小于小车质量M

在钩码质量m远小于小车质量M的条件下，钩码的重力大小才近似等于小车所受合力． 4．有关测量和计算

(1)小车受到的合外力F：大小近似等于所挂钩码的重力mg，故用天平测出钩码的质量m可求F≈mg. (2)通过纸带测小车的位移l.

(3)求出合力对小车做的功W＝Fl＝mgl

xn＋xn＋1

(4)通过纸带求出对应位移l时小车获得的速度v＝.

2T

5．结论：研究W与v的关系，发现合力对小车做的功W与小车速度的平方成正比，即满足W∝v2.

例2 某实验小组的同学采用如图8所示的装置(实验中，小车碰到制动装置时，钩码尚未到达地面)用打

101

点计时器得到一条纸带后，通过分析小车位移与速度变化的关系来研究合力对小车所做的功与速度变化的关系．图9是实验中得到的一条纸带，点O为纸带上的起始点，A、B、C是纸带上的三个连续的计数点，相邻两个计数点间均有4个点未画出，用刻度尺测得A、B、C到O的距离如图所示．已知所用交变电源的频率为50 Hz，则：

(1)开始实验前首先应________．

(2)打B点时，小车的瞬时速度vB＝________m/s.(结果保留两位有效数字)

(3)若m＝100 g，M＝3 kg，则从A至C的过程中，实验中要计算的合力对小车做的功W＝________J(结果保留两位有效数字)．

(4)实验中，该小组的同学画出小车位移l与速度v的关系图象如图所示．根据该图线形状，某同学对W与v的关系作出的猜想，肯定不正确的是________．(填写选项字母代号)

A．W∝v2

1

C．W∝v

B．W∝v D．W∝v3

课堂训练

1． (多选)在做“探究功与速度变化的关系”的实验时，下列说法正确的是( ) A．通过改变橡皮筋的条数改变拉力做功的数值 B．通过改变橡皮筋的长度改变拉力做功的数值 C．橡皮筋的弹力做功可以用公式W＝Fl计算

D．长木板水平放置时，橡皮筋的弹力不等于小车受到的合力

2．某学习小组做“探究功与速度变化的关系”的实验如图11甲所示，图中小车是在一条橡皮筋作用下弹出的，沿木板滑行，这时，橡皮筋对小车做的功记为W.当用2条、3条…完全相同的橡皮筋并在一起进行第2次、第3次…实验时(每次实验中橡皮筋伸长的长度都保持一致)，每次实验中小车获得的速度根据打点计时器所打在纸带上的点进行计算．

(1)除了图中已有的实验器材外，还需要导线、开关、刻度尺和________(选填“交流”或“直流”)电源． (2)为平衡小车运动过程中受到的阻力，应该采用下面所述方法中的________(填入选项前的字母代号)．

102

A．逐步调节木板的倾斜程度，让小车能够自由下滑

B．逐步调节木板的倾斜程度，让小车在橡皮筋作用下开始运动

C．逐步调节木板的倾斜程度，给小车一初速度，让拖着纸带的小车匀速下滑 D．逐步调节木板的倾斜程度，让拖着纸带的小车自由下滑

(3)图乙是该实验小组在实验过程中打出的一条纸带，已知打点计时器连接的电源的频率为50 Hz，则橡皮筋恢复原长时小车的速度为__________m/s(结果保留3位有效数字)．

3．(借助恒力做功探究功与速度变化的关系)(多选)关于“探究恒力做功与速度变化的关系”的实验，下列说法中正确的是( )

A．应调节定滑轮的高度使细绳与木板平行 B．应调节定滑轮的高度使细绳保持水平

C．平衡摩擦力时，若纸带上打出的点越来越密，就应调大斜面倾角 D．平衡摩擦力时，若纸带上打出的点越来越疏，就应调大斜面倾角

4．(借助恒力做功探究功与速度变化的关系)在“探究恒力做功与物体的速度变化的关系”的实验中备有下列器材：A.打点计时器；B.天平；C.秒表；D.低压交流电源；E.电池；F.纸带；G.细线、砝码、小车、砝码盘；H.薄木板．

(1)其中多余的器材是________；缺少的器材是________________． (2)测量时间的工具是________；测量质量的工具是________________．

(3)如图12所示是打点计时器打出的小车(质量为m)在恒力F作用下做匀加速直线运动的纸带，测量数据已用字母表示在图中，打点计时器的打点周期为T.请分析，利用这些数据能否完成“探究恒力做功与物体的速度变化的关系”实验？若不能，请说明理由；若能，请写出做法．

图12

7.11探究功与速度变化的关系习题课

题组一 借助变力做功探究功与速度变化的关系

1．小明和小帆利用如图1所示的装置探究功与速度变化的关系，对于橡皮筋和小车连接的问题，小明和小

103

帆各有一种接法，你认为正确的是________(填“甲”或者“乙”)．

2．(多选)在探究功与速度变化的关系的实验中，某同学在一次实验中得到了一条如图2所示的纸带，这条纸带上的点两端较密，中间稀疏，出现这种情况的原因可能是( )

图2

A．电源的频率不稳定 B．木板的倾斜程度太大

C．没有使木板倾斜或木板倾斜的程度太小 D．小车受到的阻力较大

3．在“探究功与速度变化的关系”的实验中，甲、乙两位同学的实验操作均正确．甲同学根据实验数据作出了功和速度的关系图线，即Wv图，如图3甲所示，并由此图线得出“功与速度的平方一定成正比”的结论．乙同学根据实验数据作出了功与速度平方的关系图线，即Wv2图，如图乙，并由此也得出“功与速度的平方一定成正比”的结论．关于甲、乙两位同学的分析，你的评价是( ) A．甲的分析不正确，乙的分析正确 B．甲的分析正确，乙的分析不正确 C．甲和乙的分析都正确

D．甲和乙的分析都不正确

4．“探究弹力做功与速度变化的关系”的实验装置如图4所示，当小车在两条橡皮筋作用下弹出时，橡皮筋对小车做的功记为W0.当用4条、6条、…完全相同的橡皮筋并在一起进行第2次、第3次、第4次…实验时，橡皮筋对小车做的功记为2W0、3W0、4W0…每次实验中由静止弹出的小车获得的最大速度均可由打点计时器所打的纸带测出．

(1)该实验________(填“需要”或“不需要”)平衡摩擦力． (2)(多选)关于该实验，下列说法正确的是( ) A．打点计时器可以用直流电源供电，电压为4～6 V B．实验中使用的若干根橡皮筋的原长可以不相等 C．每次实验中应使小车从同一位置由静止弹出

323D．利用每次测出的小车最大速度vm和橡皮筋做的功W，依次作出W－vm、W－v2m、W－vm、W－vm、W

－vm…的图象，得出合力做功与物体速度变化的关系

(3)如图5给出了某次在正确操作情况下打出的纸带，从中截取了测量物体最大速度所用的一段纸带，测得O点到A、B、C、D、E各点的距离分别为OA＝5.65 cm，OB＝7.12 cm，OC＝8.78 cm，OD＝10.40 cm，OE＝11.91 cm.已知相邻两点时间间隔为0.02 s，则小车获得的最大速度vm＝________m/s.

5．用如图6所示的装置系．实验时，先适当垫高

探究功与物体速度变化的关木板，然后由静止释放小车，

小车在橡皮筋弹力的作用下被弹出，沿木板滑行．小车滑行过程中带动通过打点计时器的纸带，记录运动情况．观察发现纸带前面部分点迹疏密不匀，后面部分点迹比较均匀，回答下列问题：

104

图6

(1)适当垫高木板是为了________________________________________________________；

(2)通过纸带求小车速度时，应使用纸带的__________(填“全部”、“前面部分”或“后面部分”)； (3)若实验做了n次，所用橡皮筋分别为1根、2根…n根，通过纸带求出小车的速度分别为v1、v2…vn，用W表示橡皮筋对小车所做的功，作出的W--v2图线是一条过坐标原点的直线，这说明W与v2的关系是______________．

6．某同学利用图7甲所示装置探究力对物体做的功与物体速度变化的关系，得到了下表的数据：

实验次数 橡皮筋条数 (注：每条橡皮筋拉长的长度都一样) (1)由表可得出定性结论：

________________________________________________________________________.

(2)设一条橡皮筋拉长到固定长度所做功为W0，大致画出橡皮筋所做的功W与小车速度v的图象．(画在图乙中)

(3)根据以上的Wv图象对W与v的关系作出初步判断：_________________________________________ (4)根据数据完成下表的空白部分：

实验次数 橡皮筋做功 v2/(m2·s2) W与v的关系

7．某同学为探究“合力做功与物体速度变化的关系”，设计了如下实验，他的操作步骤是： ①按图摆好实验装置，其中小车质量M＝0.20 kg，钩码总质量m＝0.05 kg. ②释放小车，然后接通打点计时器的电源(电源频率为f＝50 Hz)，打出一条纸带．

－1 1 －2 3 1.23 3 4 1.42 4 5 1.58 5 7 1.71 小车速度v/(m·s1) 0.71 1 W0 2 3 4 5

(1)他在多次重复实验得到的纸带中取出自认为满意的一条，如上图所示．把打下的第一点记作0，然后依次取若干个计数点，相邻计数点间还有4个点未画出，用厘米刻度尺测得各计数点到0点距离分别为d1＝0.004 m，d2＝0.055 m，d3＝0.167 m，d4＝0.256 m，d5＝0.360 m，d6＝0.480 m…，他把钩码重力(当地重力加速度g＝9.8 m/s2)作为小车所受合力算出打下0点到打下第5点合力做功W＝________J(结果保留三位有效数字)，打下第5点时小车的速度v5＝________m/s.

(2)(多选)此次实验探究的结果，他没能得到“合力对物体做的功与物体速度的关系为W∝v2”的结论，且误差很大．通过反思，他认为产生误差的原因如下，其中正确的是________． A．钩码质量太大，使得合力对物体做功的测量值比真实值偏大太多

105

B．没有平衡摩擦力，使得合力对物体做功的测量值比真实值偏大太多 C．释放小车和接通电源的次序有误，使得动能增量的测量值比真实值偏小 D．没有使用最小刻度为毫米的刻度尺测距离也是产生此误差的重要原因

8．为了探究“合力做功与速度变化的关系”某学习小组在实验室组装了如图10所示的装置，备有下列器材：打点计时器所用的学生电源、导线、复写纸、天平、细沙．他们称量滑块的质量为M、沙和小桶的总质量为m.当滑块连接上纸带，让细线跨过滑轮并悬挂空的小桶时，滑块处于静止状态．请回答下列问题：

(1)要完成本实验，还缺少的实验器材是________________．

(2)实验时为保证滑块受到的合力与沙和小桶的总重力大小基本相等，沙和小桶的总质量应满足的实验条件是________________________________________，实验时为保证细线拉力等于滑块所受的合外力，首先要做的步骤是________________．

(3)在满足(2)问的条件下，让小桶带动滑块加速运动，如图所示为打点计时器所打的纸带的一部分，图中A、B、C、D、E是按时间先后顺序确定的计数点，相邻计数点间的时间间隔为T，相邻计数点间的距离标注在图上，当地重力加速度为g，则在B、D两点间对滑块进行研究，合力对滑块做的功为________，vB＝________，vD＝______(用题中所给的表示数据的字母表示)．

9．在“探究做功与速度变化的关系”实验中，常用的两种实验方案如图12所示：甲通过重物提供牵引力，小车在牵引力作用下运动，用打点计时器测量小车的速度，定量计算牵引力所做的功，进而探究牵引力所做功与小车速度的关系；乙通过在不同条数橡皮筋的作用下将小车弹出，用打点计时器测量小车的速度，进而探究橡皮筋对小车所做功与其速度的关系．

(1)(多选)针对这两种实验方案，以下说法正确的是________． A．甲可以只打一条纸带研究，而乙必须打足够多条纸带才能研究 B．甲中需要平衡小车运动中受到的阻力，而乙中不需要平衡阻力

C．甲中小车质量必须远大于所挂重物的质量，而乙中小车质量没有特别的要求

D．乙方案中，换用2根同样的橡皮筋在同一位置释放，橡皮筋所做的功与一根橡皮筋拉至伸长量为原来的2倍橡皮筋所做的功是一样的

(2)某同学在实验中打出的一条纸带如图13所示，0、1、2…7为纸带上连续打出的点，打点计时器的电源频率为50 Hz.根据这条纸带，可以判断他在实验中采用的方案是________(选填“甲”或“乙”)，实验中小车失去外力后的速度为________m/s.

7.12动能和动能定理

一、动能

106

1

1．定义：物体由于运动而具有的能量． 2．表达式：Ek＝mv2. 3．单位：焦耳． 24．动能的“三性”：

(1)相对性：选取不同的参考系，物体的速度不同，动能也不同，一般以地面为参考系． (2)标量性：动能是标量，没有方向．

(3)状态量：动能是表征物体运动状态的物理量，与物体的运动状态(或某一时刻)的速度相对应． 思考 (1)做匀速圆周运动的物体的动能怎样变化？ (2)动能不变的物体是否一定处于平衡状态？

例1 关于动能的理解，下列说法正确的是( ) A．凡是运动的物体都具有动能

B．重力势能可以为负值，动能也可以为负值

C．一定质量的物体，动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化 D．动能不变的物体，一定处于平衡状态

动能与速度的三种关系：

1

(1)数值关系：Ek＝mv2，速度v越大，动能Ek越大．

2

(2)瞬时关系：动能和速度均为状态量，二者具有瞬时对应关系．

(3)变化关系：动能是标量，速度是矢量．当动能发生变化时，物体的速度(大小)一定发生了变化，当速度发生变化时，可能仅是速度方向的变化，物体的动能可能不变．

二、动能定理

1．推导(如图)：

2．内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化． 1212

3．公式：W＝mv －mv .

2221

4．适用范围：即适用于恒力做功也适用于变力做功；既适用于直线运动也适用于曲线运动． 5．对动能定理的理解：

(1)力对物体做功是引起物体动能变化的原因，合力做功的过程实质上是其他形式的能与动能相互转化的过程，转化了多少由合力做的功来度量．

(2)合力对物体做正功，即W＞0，ΔEk＞0，表明物体的动能增大；合力对物体做负功，即W＜0，ΔEk＜0，表明物体的动能减小；如果合力对物体不做功，则动能不变． (3)动能定理的计算式为标量式，v为相对地面的速度．

思考 在同一高度以相同的速率将手中的小球以上抛、下抛、平抛三种不同方式抛出，落地时速度、动能是否相同？

例2 下列关于运动物体的合外力做功和动能、速度变化的关系，正确的是( )

107

A．物体做变速运动，合外力一定不为零，动能一定变化 B．若合外力对物体做功为零，则合外力一定为零 C．物体的合外力做功，它的速度大小一定发生变化 D．物体的动能不变，所受的合外力必定为零

三、动能定理的应用

1．动力学问题两种解法的比较

适用条件 应用方法 运算方法 相同点 牛顿运动定律和运动学公式结合法 只能研究在恒力作用下物体做直线运动的情况 要考虑运动过程的每一个细节 矢量运算 动能定理 对于物体在恒力或变力作用下，物体做直线运动或曲线运动均适用 只考虑各力的做功情况及初、末状态的动能，不关注细节 代数运算 确定研究对象，对物体进行受力分析和运动过程分析 应用动能定理解题不涉及加速度、时间，不涉及矢量运算，运算简单，不易出错．

2．应用动能定理解题的步骤

(1)选取研究对象，明确并分析运动过程，这个过程可以是单一过程，也可以是全过程． (2)对研究对象进行受力分析．(注意哪些力做功或不做功)

(3)写出该过程中合外力做的功，或分别写出各个力做的功(注意功的正负)．如果研究过程中物体受力情况有变化，要分别写出该力在各个阶段做的功． (4)写出物体的初、末动能．

(5)按照动能定理列式求解．(注意动能增量是末动能减初动能)

例3 如图2所示，物体沿曲面从A点无初速度滑下，滑至曲面的最低点B时，下滑的高度为5 m，速度为6 m/s，若物体的质量为 1 kg.则下滑过程中物体克服阻力所做功为(g取10 m/s2)( ) A．50 J B．18 J C．32 J D．0 J

例4 如图3所示，物体在离斜面底端5 m处由静止开始下滑，然后滑上由小圆弧与斜面连接的水平面，若物体与斜面及水平面的动摩擦因数均为0.4，斜面倾角为37°.求物体能在水平面上滑行的距离． (sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)

108

课堂训练

1．(对动能的理解)下面有关动能的说法正确的是( ) A．物体只有做匀速运动时，动能才不变

B．物体做平抛运动时，水平方向速度不变，物体的动能也不变 C．物体做自由落体运动时，重力做功，物体的动能增加

D．物体的动能变化时，速度不一定变化，速度变化时，动能一定变化

2. (对动能定理的理解)有一质量为m的木块，从半径为r的圆弧曲面上的a点滑向b点，如图4所示．如果由于摩擦使木块的运动速率保持不变，则以下叙述正确的是( ) A．木块所受的合外力为零

B．因木块所受的力都不对其做功，所以合外力做的功为零 C．重力和摩擦力的合力做的功为零 D．重力和摩擦力的合力为零

1

3．(动能定理的应用)(多选)质量为m的物体，从静止开始以a＝g的加速度竖直向下运动h米，下列说法

2中正确的是( )

1

A．物体的动能增加了mgh

21

B．物体的动能减少了mgh

21

C．物体的势能减少了mgh

2D．物体的势能减少了mgh

7.13动能和动能定理习题课

题组一 对动能及动能定理的理解 1．(多选)质量一定的物体( )

109

A．速度发生变化时其动能一定变化 B．速度发生变化时其动能不一定变化 C．速度不变时其动能一定不变 D．动能不变时其速度一定不变

2．关于动能定理，下列说法中正确的是( )

A．在某过程中，外力做的总功等于各个力单独做功的绝对值之和 B．只要有力对物体做功，物体的动能就一定改变 C．动能定理只适用于直线运动，不适用于曲线运动

D．动能定理既适用于恒力做功的情况，又适用于变力做功的情况

3．(多选)一物体做变速运动时，下列说法正确的有( )

A．合外力一定对物体做功，使物体动能改变 B．物体所受合外力一定不为零 C．合外力一定对物体做功，但物体动能可能不变 D．物体加速度一定不为零

题组二 动能定理的应用

4．(多选)甲、乙两个质量相同的物体，用大小相等的力F分别拉它们在水平面上从静止开始运动相同的距离s.如图1所示，甲在光滑面上，乙在粗糙面上，则下列关于力F对甲、乙两物体做的功和甲、乙两物体获得的动能的说法中正确的是( ) A．力F对甲物体做功多

B．力F对甲、乙两个物体做的功一样多 C．甲物体获得的动能比乙大

D．甲、乙两个物体获得的动能相同 5．一质量为m的滑块，以速度v在光滑水平面上向左滑行，从某一时刻起，在滑块上作用一向右的水平力，经过一段时间后，滑块的速度变为－2v(方向与原来相反)，在整段时间内，水平力所做的功为( ) 3

A.mv2 2

3B．－mv2

2

55C.mv2 D．－mv2 22

6．某人把质量为0.1 kg的一块小石头，从距地面为5 m的高处以60°角斜向上抛出，抛出时的初速度大小为10 m/s，则当石头着地时，其速度大小约为(g取10 m/s2，不计空气阻力)( ) A．14 m/s

B．12 m/s

C．28 m/s D．20 m/s

7．物体在合外力作用下做直线运动的vt图象如图2所示，下列表述正确的是( ) A．在0～1 s内，合外力做正功 B．在0～2 s内，合外力总是做负功 C．在1～2 s内，合外力不做功

D．在0～3 s内，合外力总是做正功 8．(多选)某人用手将1 kg的物体由静止向上提起1 m，取10 m/s2)，则下列说法正确的是( )

A．手对物体做功12 J B．合力做功2 J

C．合力做功12 J D．物体克服重力做功10 J

这时物体的速度为2 m/s(g

110

9．甲、乙两辆汽车的质量之比m1∶m2＝2∶1，它们刹车时的初动能相同，若它们与水平地面之间的动摩擦因数相同，则它们滑行的距离之比s1∶s2等于( ) A．1∶1 C．1∶4

10．人骑自行车下坡，坡长l＝500 m，坡高h＝8 m，人和车总质量为100 kg，下坡时初速度为4 m/s，人不踏车的情况下，到达坡底时车速为10 m/s，g取10 m/s2，则下坡过程中阻力所做的功为( ) A．－4 000 J C．－5 000 J

题组三 综合应用

11．将质量为m的物体，以初速度v0竖直向上抛出．已知抛出过程中阻力大小恒为重力的0.2倍．求： (1)物体上升的最大高度； (2)物体落回抛出点时的速度大小．

12．一列火车由机车牵引沿水平轨道行驶，经过时间t，其速度由0增大到v.已知列车总质量为M，机车功率P保持不变，列车所受阻力Ff为恒力．求这段时间内列车通过的路程．

13．如图3所示，质量为m的物体从高为h、倾角为θ的光滑斜面顶端由静止开始沿斜面下滑，最后停在水平面上，已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，求： (1)物体滑至斜面底端时的速度；

(2)物体在水平面上滑行的距离．(不计斜面与平面交接处的动能损失)

B．－3 800 J D．－4 200 J B．1∶2 D．4∶1

7.14机械能守恒定律

一、动能与势能的相互转化 机械能守恒定律

111

1．动能与势能的相互转化 (1)动能与重力势能间的转化：

只有重力做功时，若重力做正功，则重力势能转化为动能；若重力做负功，则动能转化为重力势能． (2)动能与弹性势能间的转化：

只有弹力做功时，若弹力做正功，则弹性势能转化为动能；若弹力做负功，则动能转化为弹性势能．

2．机械能

(1)定义：动能和势能(包括重力势能和弹性势能)的统称，表达式为E＝Ek＋Ep. (2)机械能是状态量，是标量，没有方向但有正负之分．

3．机械能守恒定律

(1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变． (2)守恒定律表达式： Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1，即E2＝E1

4．机械能守恒条件的理解

(1)从能量特点看，系统内部只发生动能和势能的相互转化，无其他形式能量(如内能)之间转化，系统机械能守恒．

(2)从做功角度来看，只有重力做功或系统弹力做功，系统机械能守恒，具体表现为： ①物体只受重力或系统内弹力作用； ②除重力和系统内弹力外，其他力不做功；

③除重力和系统内弹力外，其他力做功的代数和为零．

例1 下列关于机械能是否守恒的叙述，正确的是( ) A．做匀速直线运动的物体机械能一定守恒 B．做变速运动的物体机械能可能守恒 C．外力对物体做功为零时，机械能一定守恒

D．若只有重力对物体做功，物体的机械能也可能不守恒

机械能守恒的判断方法：

(1)做功条件分析：只有重力和系统内弹力做功，其他力不做功．

(2)能量转化分析法：系统内只有动能、重力势能及弹性势能间相互转化，即系统内只有物体间的机械能相互转移，则机械能守恒．

(3)定义判断法，如物体沿竖直方向或沿斜面匀速运动时，动能不变，势能变化，机械能不守恒．

针对训练1 (多选)如图1所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是( )

112

A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A机械能守恒 B．乙图中，物块B沿粗糙斜面下滑时机械能守恒

C．丙图中，不计任何阻力时，A加速下落，B加速上升过程中，A、B系统机械能守恒 D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆周运动时，小球的机械能守恒

二、机械能守恒定律的应用

1．机械能守恒定律的不同表达式

从不同状态看 从转化角度看 表达式 Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末 Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp 物理意义 初状态的机械能等于末状态的机械能 过程中动能的增加量等于势能的减少量 系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能 从转移角度看 EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB 2.应用机械能守恒定律的解题步骤 (1)选取研究对象(物体或系统)．

(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在运动过程中的受力情况，弄清各力的做功情况，判断机械能是否守恒．

(3)选取恰当的参考平面，确定研究对象在初、末状态的机械能． (4)选取机械能守恒的某种表达式，列方程求解．

例2 某游乐场过山车模型简化为如图2所示，光滑的过山车轨道位于竖直平面内，该轨道由一段斜轨道和与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R，可视为质点的过山车从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动．

(1)若要求过山车能通过圆形轨道最高点，则过山车初始位置相对于圆形轨道底部的高度至少要多少？ (2)考虑到游客的安全，要求全过程游客受到的支持力不超过自身重力的7倍，过山车初始位置相对于圆形轨道底部的高度h不得超过多少？

针对训练2 如图3所示，质量m＝2 kg的小球用长L＝1.05 m的轻质细绳悬挂在距水平地面高H＝6.05 m

113

的O点．现将细绳拉直至水平状态，自A点无初速度释放小球，运动至悬点O的正下方B点时细绳恰好断裂，接着小球做平抛运动，落至水平地面上C点．不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2.求： (1)细绳能承受的最大拉力的大小； (2)细绳断裂后小球在空中运动所用的时间； (3)小球落地瞬间速度的大小．

课堂练习

1．(机械能守恒的判断)(多选)如图5所示，弹簧固定在地面上，一小球从它的正上方A处自由下落，到达B处开始与弹簧接触，到达C处速度为0，不计空气阻力，则在小球从B到C的过程中( ) A．弹簧的弹性势能不断增大 B．弹簧的弹性势能不断减小

C．小球和弹簧组成的系统机械能不断减小 D．小球和弹簧组成的系统机械能保持不变

2．(机械能守恒的判断)(多选)如图6所示，下列几种情况，系统的机械能守恒的是( )

A．图甲中一颗弹丸在光滑的碗内做复杂的曲线运动 B．图乙中运动员在蹦床上越跳越高

C．图丙中小车上放一木块，小车的左侧由弹簧与墙壁相连．小车在左右振动时，木块相对于小车无滑动(车轮与地面摩擦不计)

D．图丙中如果小车振动时，木块相对小车有滑动

3.(机械能守恒的判断)质量为1 kg的物体从离地面1.5 m高处以速度10 m/s抛出，不计空气阻力，若以地面为零势能面，物体的机械能是________J，落地时的机械能是________J；若以抛出点为零势能面，物体的机械能是________J，落地时的机械能是________J．(g取10 m/s2)

4．(机械能守恒定律的应用)如图7所示，小球质量为m，大小不计，右边圆轨道半径为R，小球从h＝3R处沿斜面滑下后，又沿圆轨道滑到最高点P处，不计任何摩擦．求： (1)小球通过P点的速度大小；

(2)小球通过圆轨道最低点时对轨道的压力．

114

7.15机械能守恒定律习题课

题组一 对机械能守恒定律的理解 1．下列说法正确的是( )

A．机械能守恒时，物体一定不受阻力 B．机械能守恒时，物体一定只受重力和弹力作用 C．物体做匀速运动时，机械能必守恒 D．物体所受的外力不等于零，其机械能也可以守恒

2．下列四个选项的图中，木块均在固定的斜面上运动，其中选项A、B、C中斜面是光滑的，选项D中的斜面是粗糙的，选项A、B中的F为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，选项A、B、D中的木块向下运动，选项C中的木块向上运动．在这四个图所示的运动过程中机械能守恒的是( )

3. (多选)如图1所示，一轻弹簧固定于O点，另一端系一重物，将重物从与悬点O在同一水平面且弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让它自由摆下，不计空气阻力，在重物由A点摆向最低点的过程中( ) A．重物的机械能减少 B．系统的机械能不变 C．系统的机械能增加 D．系统的机械能减少

4．(多选)在下列几个实例中，机械能守恒的是( ) A．在平衡力作用下运动的物体

B．在光滑水平面上被细线拴住做匀速圆周运动的小球

1

C．如图2甲所示物体沿固定光滑圆弧面下滑

4D．如图乙所示，在光滑水平面上压缩弹簧过程中的小球

题组二 机械能守恒定律的应用

5．一个质量为m的滑块，以初速度v0沿光滑斜面向上滑行，当滑块从斜面底端滑到高为h的地方时，以斜面底端为参考平面，滑块的机械能是( ) 12A.mv0 B．mgh 2

12 C.mv0 ＋mgh 2为零势能面)( )

h

A．此时物体所处的高度为 B．此时物体的速度为gh

2C．这段下落的时间为

7．两物体质量之比为1∶3，它们距离地面高度之比也为1∶3，让它们自由下落，它们落地时的动能之比

h

D．此时机械能可能小于mgh g

12D.mv0 －mgh 2

6．(多选)一物体从高为h处自由下落，不计空气阻力，落至某一位置时其动能与重力势能恰好相等(取地面

115

为( ) A．1∶3 C．1∶9

B．3∶1 D．9∶1

8．以相同大小的初速度v0将物体从同一水平面分别竖直上抛、斜上抛、沿光滑斜面(足够长)上滑，如图3所示，三种情况达到的最大高度分别为h1、h2和h3，不计空气阻力(斜上抛物体在最高点的速度方向水平)，则( ) A．h1＝h2>h3 C．h1＝h39．(多选)图4是滑道压力测试的示意图，光滑圆弧轨道与光滑斜面相切，滑道底部B处安装一个压力传感器，其示数N表示该处所受压力的大小．某滑块从斜面上不同高度h处由静止下滑，通过B时，下列表述正确的有( ) A．N小于滑块重力 C．N越大表明h越大

B．N大于滑块重力 D．N越大表明h越小 B．h1＝h2

h2

10．(多选)由光滑细管组成的轨道如图5所示，其中AB段和BC段是半径为R的四分之一圆弧，轨道固定在竖直平面内．质量为m的小球，从距离水平地面高为H的管口D处静止释放，最后能够从A端水平抛出落到地面上．下列说法正确的是( )

A．小球能从细管A端水平抛出的条件是H＞2R B．小球能从细管A端水平抛出的最小高度Hmin＝5R 2

C．小球落到地面时相对于A点的水平位移值为2RH－4R2 D．小球落到地面时相对于A点的水平位移值为22RH－4R2

题组三 综合应用

11．在某娱乐节目中，选手需要借助悬挂在高处的绳飞越到水面的浮台上，小明和小阳观看后对此进行了讨论．如图6所示，他们将选手简化为质量m＝60 kg的质点，选手抓住绳由静止开始摆动，此时绳与竖直方向夹角α＝53°，绳的悬挂点O距水面的高度为H＝3 m．不考虑空气阻力和绳的质量，浮台露出水面的高度不计，水足够深．取重力加速度g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6.求选手摆到最低点时对绳拉力的大小F.

12.如图7所示，轻弹簧一端与墙相连处于自然状态，质量为4 kg的木块沿光滑的水平面以5 m/s的速度运

116

动并开始挤压弹簧，求： (1)弹簧的最大弹性势能；

(2)木块被弹回速度增大到3 m/s时弹簧的弹性势能．

13．如图8所示，质量为m的物体，以某一初速度从A点向下沿光滑的轨道运动，不计空气阻力，若物体通过轨道最低点B时的速度为3gR，求： (1)物体在A点时的速度大小； (2)物体离开C点后还能上升多高．

117

7.16实验：验证机械能守恒定律

一、实验原理

让物体自由下落，忽略阻力情况下物体的机械能守恒，有两种方案验证物体的机械能守恒：

1

方案一 以物体自由下落的位置O为起始点，测出物体下落高度h时的速度大小v.若mv2＝mgh成立，则

2

可验证物体的机械能守恒．

1212

方案二 测出物体下落高度h过程的初、末时刻的速度v1、v2，若关系式mv2 －mv1 ＝mgh成立，则物体

22

的机械能守恒． 二、实验器材

铁架台(带铁夹)、电磁打点计时器、重物(带夹子)、纸带、复写纸、导线、毫米刻度尺、低压交流电源(4～6 V)．

三、实验步骤

1．安装置：按图1将检查、调整好的打点计时器竖直固定在铁架台上，接好电路． 2．打纸带：将纸带的一端用夹子固定在重物上，另一端穿过打点计时器的限位孔，用手提着纸带使重物静止在靠近打点计时器的地方．先接通电源，后松开纸带，让重物带着纸带自由下落．更换纸带重复做3～5次实验．

3．选纸带：选取点迹较为清晰且有两点间的距离约为2 mm的纸带，把纸带上打出的两点间的距离为2 mm的第一个点作为起始点，记作0，在距离0点较远处再依次选出计数点1、2、3…

4．测距离：用刻度尺测出0点到1、2、3…的距离，即为对应下落的高度h1、h2、h3… 四、数据处理

hn＋1－hn－1

1．计算各点对应的瞬时速度：根据公式vn＝，计算出1、2、3、4、…n点的瞬时速度v1、v2、v3、

2Tv4、…vn.

2．机械能守恒验证：

(1)方法一：利用起始点和第n点

1212

从起始点到第n个计数点，重力势能减少量为mghn，动能增加量为mvn ，计算ghn和vn ，如果在实验误

2212

差允许的范围内ghn＝v ，则机械能守恒定律得到验证．

2n(2)方法二：任取两点A、B

12121212

从A点到B点，重力势能减少量为mghA－mghB，动能增加量为mv －v ，如果B－mv A，计算ghAB和v 222B2A1212在实验误差允许的范围内ghAB＝vB －vA ，则机械能守恒定律得到验证．

22(3)方法三：图象法

11

计算各计数点v2，以v2为纵轴，以各计数点到第一个点的距离h为横轴，根据实验数

221

据绘出v2h图线．若在实验误差允许的范围内图象是一条过原点且斜率为g的直线，如

2图2所示，则验证了机械能守恒定律． 五、误差分析

118

(1)在进行长度测量时，测量及读数不准造成误差．

(2)重物下落时要克服阻力做功，部分机械能转化成内能，下落高度越大，机械能损失越多，所以实验数据出现了重力势能减少量大于动能增加量的现象．

(3)由于交流电的周期不稳定，造成打点时间间隔变化而产生误差． 六、注意事项

1．应尽可能控制实验满足机械能守恒的条件，这就要求尽量减小各种阻力的影响，采取的措施有： (1)安装打点计时器时，必须使两个限位孔的中线严格竖直，以减小摩擦阻力． (2)应选用质量和密度较大的重物，增大重力可使阻力的影响减小．

2．实验中，提纸带的手要保持不动，且保证纸带竖直．接通电源后，等打点计时器工作稳定再松开纸带． 123．纸带选取时以第一个点为起始点时，要验证的是mv ＝mghn，必须保证纸带上的第一个点为重物静止释

2n11

放时打的点，所以前两个点的间距约为h＝gt2＝×10×(0.02)2 m＝2 mm.

224．实验中的验证方法均不需要测量重物的质量m.

5．计算速度时不能用v＝gt或v＝2gh，否则就犯了用机械能守恒定律去验证机械能守恒的错误．

例1 在“验证机械能守恒定律”的实验中：

(1)从下列器材中选出实验所必须的，其编号为________． A．打点计时器(包括纸带) B．重物 C．天平 D．毫米刻度尺 E．秒表 F．运动小车

(2)打点计时器的安装放置要求为__________________；开始打点计时的时候，应先__________________，然后__________________．

(3)实验中产生系统误差的原因主要是______________，使重物获得的动能往往________．为减小误差，悬挂在纸带下的重物应选择________________________．

v2v2

(4)如果以为纵轴，以h为横轴，根据实验数据绘出的－h图线是___________，该线的斜率等于

22________________．

例2 某次“验证机械能守恒定律”的实验中，用6 V、50 Hz的打点计时器打出的一条无漏点的纸带，如图3所示，O点为重锤下落的起点，选取的计数点为A、B、C、D，各计数点到O点的长度已在图上标出，单位为毫米，重力加速度g取9.8 m/s2，重锤质量为1 kg.

(1)打点计时器打出B点时，重锤下落的速度vB＝________m/s，垂锤的动能EkB＝________J.

(2)从开始下落算起，打点计时器打B点时，重锤的重力势能减小量为________J.

(3)根据纸带提供的数据，在实验误差允许的范围内，重锤从静止开始到打出B点的过程中，得到的结论是 ______________________________________．

例3 利用气垫导轨验证机械能守恒定律，实验装置示意图如图4所示．

119

图4

(1)实验步骤：

①将气垫导轨放在水平桌面上，桌面高度不低于1 m，将导轨调至水平． ②用游标卡尺测出挡光条的宽度l＝9.30 mm.

③由导轨标尺读出两光电门中心间的距离s＝________cm.

④将滑块移至光电门1左侧某处，待砝码静止不动时，释放滑块，要求砝码落地前挡光条已通过光电门2. ⑤从数字计时器(图中未画出)上分别读出挡光条通过光电门1和光电门2所用的时间Δt1和Δt2. ⑥用天平称出滑块和挡光条的总质量M，再称出托盘和砝码的总质量m. (2)用表示直接测量量的字母写出下列物理量的表达式．

①滑块通过光电门1和光电门2时，瞬时速度分别为v1＝________和v2＝________.

②当滑块通过光电门1和光电门2时，系统(包括滑块、挡光条、托盘和砝码)的总动能分别为Ek1＝________和Ek2＝________.

③在滑块从光电门1运动到光电门2的过程中，系统势能的减少量ΔEp＝________(重力加速度为g)． (3)如果ΔEp＝________，则可认为验证了机械能守恒定律．

课堂练习

1．在“验证机械能守恒定律”的实验中，下列说法或做法正确的是( )

A．必须用秒表测重物下落的时间 B．选用质量小的重物可减小实验误差

C．实验时必须先用天平测出重物的质量 D．实验中不得用公式v＝2gh求下落高度h时的速度

2．某同学用如图5甲所示的装置验证机械能守恒定律：

(1)安装打点计时器时，纸带的两个限位孔必须处在同一________线上． (2)接通电源，让打点计时器正常工作后，松开________．

(3)将纸带上打出的第一个点记为0，并在离0点较远的任意点依次选取几个连续的点，分别记为1,2,3….量出各点与0点的距离h, 算出各点对应的速度，分别记为v1至v6，数据如下表：

代表符号 数值(m/s) v1 2.80 v2 2.99 v3 3.29 v4 3.39 v5 3.59 v6 3.78 表中有一数据有较大误差，代表符号为________． (4)修正数据后，该同学计算出各点对应速度的平方值，并作出v2－h图象，如图乙所示，若得出的直线斜率为k，则可测出重力加速度g＝________.与真实值相比，测出的g值________(选填“偏小”或“偏大”)．

120

7.17实验：验证机械能守恒定律习题课

1.用如图所示装置验证机械能守恒定律，由于电火花计时器两限位孔不在同一竖直线上，使纸带通过时受到较大的阻力，这样实验造成的结果是( ) A．重力势能的减少量明显大于动能的增加量 B．重力势能的减少量明显小于动能的增加量 C．重力势能的减少量等于动能的增加量 D．以上几种情况都有可能

2．(多选)如图是用自由落体法验证机械能守恒定律时得到的一条纸带．有关尺寸在图中已注明．我们选中n点来验证机械能守恒定律．下面列举一些计算n点速度的方法，其中正确的是( ) A．n点是第n个点，则vn＝gnT B．n点是第n个点，则vn＝g(n－1)T xn＋xn＋1

C．vn＝

2Thn＋1－hn－1

D．vn＝

2T

3．现利用如图所示装置验证机械能守恒定律．图中AB是固定的光滑斜面，斜面的倾角为30°，1和2是固定在斜面上适当位置的两个光电门，与它们连接的光电计时器都没有画出．让滑块从斜面的顶端滑下，光电门1、2各自连接的光电计时器显示的挡光时间分别为5.00×102 s、2.00×102 s．已知滑块质量为2.00 kg，滑块沿斜面方向的长度为5.00 cm，光电门1和2之间的距离为0. m，g取9.80 m/s2，取滑块经过光电门时的速度为其平均速度．

(1)滑块经过光电门1时的速度v1＝________m/s，通过光电门2时的速度v2＝________m/s. (2)滑块通过光电门1、2之间的动能增加量为________J，重力势能的减少量为________J.

4．在“用自由落体法验证机械能守恒定律”的实验中，打点计时器所接交流电频率为50 Hz，当地重力加速度g＝9.8 m/s2.实验选用重锤质量为m(kg)，O是打下的第1点，从所打纸带中选择一条合适的纸带，此纸带第1、2点间的距离接近________(结果取一位有效数字)．纸带上连续的点A、B、C、D至第1点O的距离如图4所示，则重锤从O运动到C，重力势能减少________．重锤经过C时的速度为________m/s.其动能增加________．

－

－

图4

5．在“验证机械能守恒定律”的实验中，图5(甲)是打点计时器打出的一条纸带，选取其中连续的计时点标为A、B、C……G、H、I，对BH段进行研究．

(1)已知打点计时器电源频率为50 Hz，则纸带上打相邻两点的时间间隔为________．

(2)用刻度尺测量的距离如图(乙)，读出A、C两点间距为________cm，B点对应的速度vB＝________m/s(保留三位有效数字)．

12

(3)若H点对应的速度为vH，重物下落的高度为hBH，当地重力加速度为g，为完成实验，要比较vB 与______

2

的大小(用字母表示)．

6．利用图6装置做“验证机械

121

能守恒定律”的实验．

(1)(多选)除打点计时器(含纸带、复写纸)、交流电源、铁架台、导线及开关外，在下面的器材中，必须使用的还有________．(选填器材前的字母)

A．大小合适的铁质重锤 B．体积较大的木质重锤 C．刻度尺 D．游标卡尺 E．秒表

(2)图7是实验中得到的一条纸带．在纸带上选取三个连续打出的点A、B、C，测得它们到起始点O的距离分别为hA、hB、hC.

重锤质量用m表示，已知当地重力加速度为g，打点计时器打点的周期为T.从打下O点到打下B点的过程中，重锤重力势能的减少量|ΔEp|＝________，动能的增加量ΔEk＝________. (3)(多选)在实验过程中，下列实验操作和数据处理正确的是________． A．释放重锤前，使纸带保持竖直

B．做实验时，先接通打点计时器的电源，再释放重锤

C．为测量打点计时器打下某点时重锤的速度v，可测量该点到O点的距离h，再根据公式v＝2gh计算，其中g应取当地的重力加速度

D．用刻度尺测量某点到O点的距离h，用公式mgh计算重力势能减少量，其中g应取当地重力加速度 (4)某同学在纸带上选取计数点后，测量它们到起始点O的距离h，并计算出打相应计数点时重锤的速度v，通过描绘v2h图象去研究机械能是否守恒．若实验中重锤所受阻力不可忽略，且阻力大小保持不变，从理论上分析，合理的v2h图象是下列图中的________．

7．为了验证机械能守恒定律，金金设计了如图8甲所示的实验装置，并提供了如下的实验器材： A．小车 B．钩码 C．一端带滑轮的木板 D．细线 E．电火花计时器 F．纸带

G．毫米刻度尺 H．低压交流电源 I．220 V的交流电源

(1)根据上述实验装置和提供的实验器材，你认为实验中不需要的器材是________(填写器材序号)，还应补充的器材是________．

(2)实验中得到了一条纸带如图乙所示，选择点迹清晰且便于测量的连续7个点(标号0～6)，测出0到1、2、3、4、5、6点的距离分别为d1、d2、d3、d4、d5、d6，打点周期为T.则打点2时小车的速度v2＝________；若测得小车质量为M、钩码质量为m，打点1和点5时小车的速度分

别用v1、v5表示，已知重力加速度为g，则验证点1与点5间系统的机械能守恒的关系式可表示为________． v2v2

(3)在实验数据处理时，如果以为纵轴，以d为横轴，根据实验数据绘出d图象，其图线的斜率表示的物

22理量的表达式为________________．

122

7.18能量守恒定律与能源

一、能量守恒定律与能源

1．能量守恒定律

(1)内容：能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为另一种形式，或者从一个物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变．

(2)意义：①确认了永动机的不可能性；②发现了各种自然现象之间能量的相互联系与转化． (3)表达式：①E初＝E末，初状态各种能量的总和等于末状态各种能量的总和． ②ΔE增＝ΔE减，能量的增加量等于能量的减少量． (4)应用步骤：

①明确研究对象及研究过程．

②明确该过程中，哪些形式的能量在变化．

③确定参与转化的能量中，哪些能量增加，哪些能量减少．

④列出增加的能量和减少的能量之间的守恒式(或初、末状态能量相等的守恒式)． 2．能量耗散与能源危机

(1)能量耗散：燃料燃烧时一旦把自己的热量释放出去，就不会再次自动聚集起来供人类重新利用． (2)能源危机的含义：在能源的利用过程中，即在能量的转化过程中，能量在数量上虽未减少，但在可利用的品质上降低了，从便于利用的变成不便于利用的了．

例1 下列说法正确的是( )

A．随着科技的发展，永动机是可以制成的

B．太阳照射到地球上的光能转化成其他能量，但照射到宇宙空间的能量都消失了 C．“既要马儿跑，又让马儿不吃草”违背了能量守恒定律，因而是不可能的

D．有种“全自动”手表，不用上发条，也不用任何形式的电源，却能一直走动，说明能量可以凭空产生

例2 某地平均风速为5 m/s，已知空气密度是1.2 kg/m3，有一风车，它的风叶转动时可形成半径为12 m的圆面．如果这个风车能将圆面内10%的气流动能转变为电能，则该风车带动的发电机功率是多大？

二、摩擦生热及产生内能的有关计算

1．系统内一对静摩擦力即使对物体做功，但由于相对位移为零而没有内能产生，只有物体间机械能的转移． 2．作用于系统的滑动摩擦力和物体间相对滑动的距离的乘积，在数值上等于滑动过程产生的内能．即Q＝F滑x相对，其中F滑必须是滑动摩擦力，x相对必须是两个接触面的相对滑动距离(或相对路程)．

123

例3 如图3所示，质量为m的物体(可视为质点)以某一速度从A点冲上倾角为30°的固定斜面，其运动3

的加速度大小为g，此物体在斜面上上升的最大高度为h，则在这个过程中物体( )

431

A．重力势能增加了mgh B．克服摩擦力做功mgh

4431

C．动能损失了mgh D．机械能损失了mgh

22

例4 电动机带动水平传送带以速度v匀速传动，一质量为m的小木块由静止轻放在传送带上，若小木块与传送带之间的动摩擦因数为μ，如图2所示．传送带足够长，当小木块与传送带相对静止时，求： (1)小木块的位移； (2)传送带转过的路程； (3)小木块获得的动能； (4)摩擦过程中产生的内能；

(5)因传送小木块电动机多消耗的电能．

三、对功能关系的理解及应用

1.功能关系概述：

(1)不同形式的能量之间的转化是通过做功实现的，做功的过程就是能量之间转化的过程． (2)功是能量转化的量度．做了多少功，就有多少能量发生转化． 2．力学中常见的功与能的关系：

功 重力做功 弹力做功 合外力做功 除重力、系统内弹力以外的其他力做功 两物体间滑动摩擦力对系统做功 能量转化 重力势能的改变 弹性势能的改变 动能的改变 机械能的改变 内能的改变 关系式 WG＝－ΔEp WF＝－ΔEp W合＝ΔEk W＝ΔE机 Ff·x相对＝Q

要认清每种形式能的变化与相应力做功相关：重力势能的变化只与重力做功有关；弹性势能的变化与弹簧类弹力做功有关；动能的变化与合力做功有关；机械能的改变量与除重力(及系统内弹力)之外的力做功有关．

124

例5 如图4所示，质量为M、长度为L的木板静止在光滑的水平面上，质量为m的小物体(可视为质点)放在木板上最左端，现用一水平恒力F作用在小物体上，使物体从静止开始做匀加速直线运动．已知物体和木板之间的摩擦力为Ff.当物体滑到木板的最右端时，木板运动的距离为x，则在此过程中( ) A．物体到达木板最右端时具有的动能为(F－Ff)(L＋x) B．物体到达木板最右端时，木板具有的动能为Ffx C．物体克服摩擦力所做的功为FfL D．物体和木板系统产生的内能为Ffx

总结： (1)公式W＝F·l·cos θ中l均指物体对地位移．

(2)两物体间滑动摩擦产生的内能Q＝Ff·x相对，x相对指两接触面间的相对位移(或相对路程)．

课堂练习

1．(对能量守恒定律的理解及应用)(多选)从光滑斜面上滚下的物体，最后停止在粗糙的水平面上，说明( ) A．在斜面上滚动时，只有动能和势能的相互转化 B．在斜面上滚动时，有部分势能转化为内能 C．在水平面上滚动时，总能量正在消失

D．在水平面上滚动时，机械能转化为内能，总能量守恒

2．(摩擦生热及产生内能的有关计算)两块完全相同的木块A、B，其中A固定在水平桌面上，B放在光滑水平桌面上．两颗同样的子弹以相同的水平速度射入两木块，穿透后子弹的速度分别为vA、vB，在子弹穿透木块过程中因克服摩擦力产生的热分别为QA、QB，设木块对子弹的摩擦力大小一定，则( ) A．vA＞vB，QA＞QB C．vA＝vB，QA＜QB

B．vA＜vB，QA＝QB D．vA＞vB，QA＝QB

3．(对功能关系的理解及应用)(多选)升降机底板上放一质量为100 kg的物体，物体随升降机由静止开始竖直向上移动 5 m时速度达到4 m/s，则此过程中(g取10 m/s2)( ) A．升降机对物体做功5 800 J B．合外力对物体做功5 800 J C．物体的重力势能增加5 000 J D．物体的机械能增加800 J

4．(能量守恒定律的应用)如图5所示，皮带的速度是3 m/s，两圆心距离s＝4.5 m，现将m＝1 kg的小物体轻放在左轮正上方的皮带上，物体与皮带间的动摩擦因数μ＝0.15，皮带不打滑，电动机带动皮带将物体从左轮运送到右轮正上方时，求：(g＝10 m/s2) (1)小物体获得的动能Ek； (2)这一过程摩擦产生的热量Q； (3)这一过程电动机消耗的电能E.

125

7.19能量守恒定律与能源习题课

题组一 对能量守恒定律的理解及应用

1．下列关于能量守恒定律的认识不正确的是( ) A．某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加 B．某个物体的能量减少，必然有其他物体的能量增加

C．不需要任何外界的动力而持续对外做功的机器——永动机不可能制成 D．石子从空中落下，最后停止在地面上，说明机械能消失了

2．自由摆动的秋千摆动的幅度越来越小，下列说法中正确的是( ) A．机械能守恒 B．能量正在消失

C．只有动能和重力势能的相互转化 D．减少的机械能转化为内能，但总能量守恒

3．有人设想在夏天用电冰箱来降低房间的温度．他的办法是：关好房间的门窗然后打开冰箱的所有门让冰箱运转，且不考虑房间内外热量的传递，则开机后，室内的温度将( ) A．逐渐升高 B．保持不变

C．开机时降低，停机时又升高 D．开机时升高，停机时降低

4.如图1所示，一小孩从公园中粗糙的滑梯上自由加速滑下，其能量的变化情况是( ) A．重力势能减小，动能不变，机械能减小，总能量减小 B．重力势能减小，动能增加，机械能减小，总能量不变 C．重力势能减小，动能增加，机械能增加，总能量增加 D．重力势能减小，动能增加，机械能守恒，总能量不变

5．物体只在重力和一个不为零的向上的拉力作用下，分别做匀速上升、加速上升和减速上升三种运动．在这三种情况下，物体机械能的变化情况是( )

A．匀速上升机械能不变，加速上升机械能增加，减速上升机械能减小 B．匀速上升和加速上升机械能增加，减速上升机械能减小

C．由于该拉力与重力大小的关系不明确，所以不能确定物体机械能的变化情况 D．三种情况中，物体的机械能均增加

6. (多选)如图2所示，在粗糙的桌面上有一个质量为M的物块，通过轻绳跨过定滑轮与质量为m的小球相连，不计轻绳与滑轮间的摩擦，在小球下落的过程中，下列说法正确的是( )

A．小球的机械能守恒

B．物块与小球组成的系统机械能守恒

C．若小球匀速下降，小球减少的重力势能等于物块M与桌面间摩擦产生的热量 D．若小球加速下降，小球减少的机械能大于物块M与桌面间摩擦产生的热量

题组二 对功能关系的理解及应用

126

7.在奥运比赛项目中，高台跳水是我国运动员的强项．如图3所示，质量为m的跳水运动员进入水中后受到水的阻力而做减速运动，设水对她的阻力大小恒为F，那么在她减速下降高度为h的过程中，下列说法正确的是(g为当地的重力加速度)( ) A．她的动能减少了Fh B．她的重力势能增加了mgh C．她的机械能减少了(F－mg)h

D．她的机械能减少了Fh

8.如图4所示，轻质弹簧长为L，竖直固定在地面上，质量为m的小球，在离地面高度为H处，由静止开始下落，正好落在弹簧上，使弹簧的最大压缩量为x，在下落过程中，小球受到的空气阻力为F阻，则弹簧在最短时具有的弹性势能为( ) A．(mg－F阻)(H－L＋x) B．mg(H－L＋x)－F阻(H－L) C．mgH－F阻(H－L)

D．mg(L－x)＋F阻(H－L＋x)

9. (多选)如图5所示，在抗洪救灾中，一架直升机通过绳索用恒力F竖直向上拉起一个漂在水面上的木箱，使其由水面开始加速上升到某一高度，若考虑空气阻力而不考虑空气浮力，则在此过程中，以下说法正确的有( )

A．力F所做的功减去克服阻力所做的功等于木箱重力势能的增量 B．木箱克服重力所做的功等于木箱重力势能的增量

C．力F、重力、阻力三者的合力所做的功等于木箱动能的增量

D．力F和阻力的合力所做的功等于木箱机械能的增量

10．(多选)如图6所示，楔形木块abc固定在水平面上，粗糙斜面ab和光滑斜面bc与水平面的夹角相同，顶角b处安装一定滑轮．质量分别为M、m(M＞m)的滑块，通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜面平行．两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动．若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中( )

A．两滑块组成系统的机械能守恒 B．重力对M做的功等于M动能的增加 C．轻绳对m做的功等于m机械能的增加

D．两滑块组成系统的机械能损失等于M克服摩擦力做的功

题组三 摩擦生热及产生内能的有关计算

11.如图7所示，木块静止在光滑水平桌面上，一子弹水平射入木块的深度为d时，子弹与木块相对静止，在子弹入射的过程中，木块沿桌面移动的距离为L，木块对子弹的平均阻力为Ff，那么在这一过程中不正确的是( )

A．木块的机械能增量为FfL B．子弹的机械能减少量为Ff(L＋d) C．系统的机械能减少量为Ffd

D．系统的机械能减少量为Ff(L＋d)

12．一质量m＝0.6 kg的物体以v0＝20 m/s的初速度从倾角α＝30°的斜坡底端沿斜坡向上运动．当物体向

127

上滑到某一位置时，其动能减少了ΔEk＝18 J，机械能减少了ΔE＝3 J．不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，求：

(1)物体向上运动时加速度的大小； (2)物体返回斜坡底端时的动能．

13．如图8所示，传送带保持v＝4 m/s的速度水平匀速运动，将质量为1 kg的物块无初速度地放在A端，若物块与皮带间动摩擦因数为0.2，A、B两端相距6 m，则物块从A到B 的过程中，皮带摩擦力对物块所做的功为多少？产生的摩擦热又是多少？(g取10 m/s2)

128

7.20功、功率专题

一、功的计算

1．公式W＝Flcos_α，其中F为恒(填“恒”或“变”)力，l是物体相对地面的位移，功的计算的流程图如下：

2．变力做功的计算

(1)将变力做功转化为恒力做功．

当力的大小不变，而方向始终与运动方向相同或相反时，这类力的功等于力和路程的乘积． (2)当变力做功的功率P一定时，如机车恒定功率启动，可用W＝Pt求功．

(3)图象法：对于大小随位移变化，方向与位移在一条直线上的力，作出变力F随位移x变化的图象(或根据已给图象)，图线与x坐标轴所围成的“面积”即力F所做的功．

例1 将一质量为m的小球从地面竖直向上抛出，小球上升h后又落回地面，在整个过程中受到的空气阻力大小始终为Ff，则关于这个过程中重力与空气阻力所做的功，下列说法正确的是( ) A．重力做的功为2mgh，空气阻力做的功为－2Ffh B．重力做的功为0，空气阻力做的功也为0 C．重力做的功为0，空气阻力做的功为－2Ffh

D．重力做的功为2mgh，空气阻力做的功为0

例2 一个劲度系数为k的轻弹簧，它的弹力大小与其伸长量的关系如图1所示．弹簧一端固定在墙壁上，在另一端沿弹簧的轴线施一水平力将弹簧拉长，求在弹簧由原长开始到伸长量为x1过程中拉力所做的功．如果继续拉弹簧，在弹簧的伸长量由x1增大到x2的过程中，拉力又做了多少功？

二、作用力、反作用力的功及摩擦力功的特点

1．作用力、反作用力做功的特点：作用力和反作用力虽然等大反向，但由于它们分别作用在两个物体上，产生的位移效果无必然联系，故作用力和反作用力的功不一定一正一负，大小也不一定相等．(填“一定”或“不一定”) 2．摩擦力的功

(1)不论是静摩擦力，还是滑动摩擦力都既可以是动力也可以是阻力，也可能与位移方向垂直，所以不论是静摩擦力，还是滑动摩擦力既可以对物体做正功，也可以对物体做负功，还可以不对物体做功．

(2)一对相互作用的静摩擦力等大反向且物体之间相对静止，即两个物体的对地位移相同，所以两个相互作用的静摩擦力做功的总和为零(填“为零”或“不为零”)．

(3)一对相互作用的滑动摩擦力等大反向但物体之间相对滑动，即两个物体的对地位移不相同，所以两个相互作用的滑动摩擦力做功的总和不为零．(填“为零”或“不为零”)

129

例3 质量为M的木板放在光滑水平面上，如图2所示．一个质量为m的滑块以某一速度沿木板表面从A点滑至B点，在木板上前进了l，同时木板前进了x，若滑块与木板间的动摩擦因数为μ，求摩擦力对滑块、对木板所做的功各为多少？滑动摩擦力对滑块、木板做的总功是多少？

W

三、功率的两个公式P＝和P＝Fv的区别

t

W

1．P＝一般用来计算平均功率，而P＝Fv一般计算瞬时功率，此时v为瞬时速度；但当v为平均速度时，

t也可计算平均功率． 2．应用公式P＝Fv时需注意

(1)F与v方向在同一直线上时：P＝Fv.

(2)F与v方向有一夹角α时：P＝Fvcos_α.

例4 质量为m的物体静止在光滑水平面上，从t＝0时刻开始受到水平力的作用．力的大小F与时间t的关系如图3所示，力的方向保持不变，则( ) 5F0 2t0

A．3t0时刻的瞬时功率为 m15F0 2t0

B．3t0时刻的瞬时功率为 m

223F 0t0

C．在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为

4m225F 0t0

D．在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为

6m

四、机车启动问题

1．机车的输出功率：P＝Fv，其中F为机车的牵引力，v为机车的瞬时速度．

PP

2．无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝＝. FminF阻PP

3．机车以恒定加速度启动，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不最大，v＝130

例5 一列火车总质量m＝500 t，机车发动机的额定功率P＝6×105 W，在轨道上行驶时，轨道对火车的阻力Ff是车重的0.01 倍，g取10 m/s2，求： (1)火车在水平轨道上行驶的最大速度；

(2)在水平轨道上，发动机以额定功率P工作，当行驶速度为v1＝1 m/s和v2＝10 m/s时，火车的瞬时加速度a1、a2各是多少；

(3)在水平轨道上以36 km/h速度匀速行驶时，发动机的实际功率P′；

(4)若火车从静止开始，保持0.5 m/s2的加速度做匀加速运动，这一过程维持的最长时间．

课堂训练

1．(作用力、反作用力的功及摩擦力的功)(多选)如图所示，B物体在拉力F的作用下向左运动，在运动的过程中，A、B之间有相互作用的力，则对力做功的情况，下列说法正确的是( ) B．AB间弹力对A、B都不做功 C．摩擦力对B做负功，对A不做功

D．AB间弹力对A不做功，对B做正功

2．(功的计算)(多选)如图5所示，摆球质量为m，悬线的长为L，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球运动过程中空气阻力F阻的大小不变，则对于摆球由A到B的过程中，下列说法正确的是( ) A．重力做功为mgL B．绳的拉力做功为0

C．空气阻力(F阻)做功为－mgL

1

D．空气阻力(F阻)做功为－F阻πL

2

W

3．(P＝和P＝Fv的应用)质量为2 kg的物体以10 m/s的初速度水平抛出，经过2 s落地．取g＝10 m/s2.

t关于重力做功的功率，下列说法正确的是( )

A．下落过程中重力的平均功率是400 W B．下落过程中重力的平均功率是100 W C．落地前的瞬间重力的瞬时功率是400 W D．落地前的瞬间重力的瞬时功率是200 W

4．(机车启动问题)如图6所示为一正在施工的塔式起重机．在起重机将质量m＝5×103 kg的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上做匀加速直线运动，加速度a＝0.2 m/s2，当起重机输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率直到重物做vm＝1.02 m/s的匀速运动．取g＝10 m/s2，不计额外功．求： (1)起重机允许输出的最大功率；

(2)重物做匀加速运动所经历的时间和起重机在第2 s末的输出功率．

131

7.21功、功率专题训练

题组一 作用力、反作用力的功及摩擦力的功的特点

1．关于作用力与反作用力做功的关系，下列说法中正确的是( ) A．当作用力做正功时，反作用力一定做负功 B．当作用力不做功时，反作用力也不做功

C．作用力与反作用力所做的功一定是大小相等、正负相反的 D．作用力做正功时，反作用力也可以做正功

2．关于摩擦力做功，下列说法中正确的是( ) A．滑动摩擦力阻碍物体的相对运动，一定做负功

B．静摩擦力起着阻碍物体的相对运动趋势的作用，一定不做功 C．静摩擦力和滑动摩擦力一定都做负功

D．滑动摩擦力可以对物体做正功

3．一个物体在粗糙的水平面上运动，先使物体向右滑动距离s，再使物体向左滑动s，正好回到起点，来回所受摩擦力大小都为Ff，则整个过程中摩擦力做功为( ) A．0 B．－2Ffs C．－Ffs D．无法确定

题组二 功的计算及判断

4．(多选)如图1所示，重物P放在粗糙的水平板OM上，当水平板绕O端缓慢抬高，在重物P开始滑动之前，下列说法中正确的是( ) A．P受到的支持力不做功 B．P受到的支持力做正功 C．P受到的摩擦力不做功

D．P受到的摩擦力做负功

5．起重机的吊钩下挂着质量为m的物体，如果物体以加速度a匀加速上升了高度h，不计空气阻力，则吊钩对物体做的功等于( ) A．mgh

B．m(g＋a)h

C．m(a－g)h D．m(g－a)h

6. (多选)质量为2 kg的物体置于水平面上，在运动方向上受到水平拉力F的作用，沿水平方向做匀变速直线运动，2 s后撤去F，其运动的速度图象如图2所示，g取10 m/s2，则下列说法中正确的是( ) A．拉力F对物体做功150 J B．拉力F对物体做功500 J C．物体克服摩擦力做功100 J

D．物体克服摩擦力做功175 J

7．如图3所示，同一物体分别沿斜面AD和BD自顶点由静止开始下滑，该物体与斜面间的动摩擦因数相同．在滑行过程中克服摩擦力做的功分别为WA和WB，则( ) A．WA>WB C．WAB．WA＝WB D．无法确定

132

8．设飞机飞行中所受阻力与速率的平方成正比，如果飞机以速度v匀速飞行，其发动机功率为P，则当发动机功率为8P时，飞机飞行的速度为( ) A．v B．2v C．4v D．8v

9．从距地面相同高度处，水平抛出两个质量相同的小球A和B，抛出A球的初速度为v0，抛出B球的初速度为2v0，若两球运动到落地的过程中重力的平均功率分别为PA和PB，落地时重力的瞬时功率分别为PA和PB，则( ) A.PA10．如图4所示，质量为m的小球以初速度v0水平抛出，恰好垂直打在倾角为θ的斜面上，不计空气阻力，则球落在斜面上时重力的瞬时功率为( ) A．mgv0tan θ mgv0B. tan θmgv0C. sin θD．mgv0cos θ

11．(多选)一汽车质量为3×103 kg，它的发动机额定功率为60 kW，它以额定功率匀速行驶时速度为120 km/h，若汽车行驶时受到的阻力和汽车的重力成正比，下列说法中正确的是( ) A．汽车行驶时受到的阻力大小为1.8×103 N

B．汽车以 km/h的速度匀速行驶时消耗的功率为30 kW

C．汽车消耗功率为45 kW时，若其加速度为0.4 m/s2，则它行驶的速度为15 m/s D．若汽车保持额定功率不变从静止状态启动，汽车启动后加速度将会越来越小

题组四 综合应用

12．如图5所示，一质量为m的物体，沿倾角为θ的光滑固定斜面由静止下滑，当它在竖直方向下落了h

B.PA＝PB；PA133

高度时，求重力的瞬时功率和整个过程中重力的平均功率．

13．某探究性学习小组对一辆自制遥控车的性能进行研究．他们让这辆小车在水平地面上由静止开始运动，并将小车运动的全过程记录下来，通过数据处理得到如图6所示的v－t图象，已知小车在0～t1时间内做匀加速直线运动，t1～10 s时间内小车牵引力的功率保持不变，7 s末到达最大速度，在10 s末停止遥控让小车自由滑行，小车质量m＝1 kg，整个过程中小车受到的阻力Ff大小不变．求： (1)小车所受阻力Ff的大小； (2)在t1～10 s内小车牵引力的功率P； (3)求出t1的值及小车在0～t1时间内的位移．

134

7.22动能定理的应用专题

一、应用动能定理求变力做的功

1．动能定理不仅适用于求恒力做功，也适用于求变力做功，同时因为不涉及变力作用的过程分析，应用非常方便．

2．利用动能定理求变力的功是最常用的方法，当物体受到一个变力和几个恒力作用时，可以用动能定理间接求变力做的功，即W变＋W其他＝ΔEk.

例1 质量为m的物体以初速度v0沿水平面向左开始运动，起始点A与一轻弹簧O端相距s，如图所示，已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧相碰后，弹簧的最大压缩量为x，则从开始碰撞到弹簧被压缩至最短，物体克服弹簧弹力所做的功为( ) 1212A.mv －μmgx 0－μmg(s＋x) B.mv 220C．μmgs D．μmg(s＋x)

二、应用动能定理分析多过程问题

1．应用动能定理解决多过程问题时，要根据问题选取合适的过程，可以分过程，也可以全过程一起研究．虽然我们列式时忽略了中间复杂过程，但不能忽略对每个过程的分析．

2．在运动过程中，物体受到的某个力可能是变化的或分阶段存在的，要注意这种力做功的表达方式． 例2 如图所示，右端连有一个光滑弧形槽的水平桌面AB长L＝1.5 m，一个质量为m＝0.5 kg的木块在F＝1.5 N的水平拉力作用下，从桌面上的A端由静止开始向右运动，木块到达B端时撤去拉力F，木块与水平桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，取g＝10 m/s2.求： (1)木块沿弧形槽上升的最大高度(木块未离开弧形槽)； (2)木块沿弧形槽滑回B端后，在水平桌面上滑动的最大距离．

三、动能定理在平抛、圆周运动中的应用

1．与平抛运动相结合时，要注意应用运动的合成与分解的方法，如分解位移或分解速度． 2．与竖直平面内的圆周运动相结合时，应特别注意隐藏的临界条件．

(1)有支撑效果的竖直平面内的圆周运动杆模型，物体能过最高点的临界条件为vmin＝0. (2)没有支撑效果的竖直平面内的圆周运动绳模型，物体能过最高点的临界条件为vmin＝rg.

135

例3 如图所示，ab是水平轨道，bc是位于竖直平面内的半圆形光滑轨道，半径R＝0.225 m，在b点与水平面相切，滑块从水平轨道上距离b点1.2 m的a点以初速度v0＝6 m/s向右运动，经过水平轨道和半圆轨道后从最高点c飞出，最后刚好落回轨道上的a点，重力加速度g取10 m/s2，求： (1)滑块从c点飞出时速度的大小； (2)水平轨道与滑块间的动摩擦因数．

例4 如图所示，质量为m的小球用长为L的轻质细线悬于O点，与O点处于同一水平线上的P点处有L

一根光滑的细钉，已知OP＝，在A点给小球一个水平向左的初速度v0，发现小球恰能到达跟P点在同一

2竖直线上的最高点B.求： (1)小球到达B点时的速率；

(2)若不计空气阻力，则初速度v0为多少？

(3)若初速度变为v0′＝3gL，其他条件均不变，则小球从A到B的过程中克服空气阻力做了多少功？

课堂练习

1．(应用动能定理求变力做的功)如图，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高；质量为m的质点自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的正压力为2mg，重力加速度大小为g.质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为( ) 1

A.mgR 41

C.mgR 2

1

B.mgR 3π

D.mgR 4

136

2. (应用动能定理分析多过程问题)如图所示，质量m＝1 kg的木块静止在高h＝1.2 m的平台上，木块与平台间的动摩擦因数μ＝0.2，用水平推力F＝20 N，使木块产生位移l1＝3 m时撤去，木块又滑行l2＝1 m后飞出平台，求木块落地时速度的大小．(g取10 m/s2)

R

3．(动能定理在圆周运动中的应用)如图所示，由细管道组成的竖直轨道，其圆形部分半径分别是R和，质

2mg

量为m的小球通过这段轨道时，在A点时刚好对管壁无压力，在B点时对管内侧壁压力为.求小球由A

2点运动到B点的过程中摩擦力对小球做的功．

3

4.(动能定理在平抛、圆周运动中的应用)如图所示，竖直平面内的圆弧形光滑管道半径略大于小球半径，

4管道中心线到圆心的距离为R，A端与圆心O等高，AD为水平面，B点在O的正下方，小球自A点正上方由静止释放，自由下落至A点时进入管道，从上端口飞出后落在C点，当小球到达B点时，管壁对小球的弹力大小是小球重力大小的9倍．求： (1)释放点距A点的竖直高度； (2)落点C与A点的水平距离．

137

7.23动能定理的应用专题训练

题组一 应用动能定理求变力做的功

1

1．如图1所示，AB为圆弧轨道，BC为水平直轨道，圆弧的半径为R，BC的长度也是R，一质量为m的

4物体与两个轨道间的动摩擦因数都为μ，当它由轨道顶端A从静止开始下落，恰好运动到C处停止，那么物体在AB段克服摩擦力所做的功为( ) 1

A.μmgR 2

1

B.mgR 2

C．－mgR D．(1－μ)mgR

2．如图2所示，光滑斜面的顶端固定一弹簧，一小球向右滑行，并冲上固定在地面上的斜面．设小球在斜面最低点A的速度为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，则从A到C的过程中弹簧弹力做功是( ) 1

A．mgh－mv2

2C．－mgh

1

B.mv2－mgh 2

1

mgh＋mv2 D．－2

3．(多选)质量为m的汽车在平直公路上行驶，发动机的功率P和汽车受到的阻力Ff均恒定不变，在时间t内，汽车的速度由v0增加到最大速度vm，汽车前进的距离为s，则此段时间内发动机所做的功W可表示为( )

A．W＝Pt B．W＝Ffs

121212

C．W＝mvm －mv0 ＋Ffs D．W＝mvm ＋Ffs

222

4．如图3所示，小球以初速度v0从A点沿粗糙的轨道运动到高为h的B点后自动返回，其返回途中仍经过A点，则经过A点的速度大小为( ) A.v20－4gh

B.4gh－v20

C.v2D.2gh－v20－2gh 0

5.如图4所示，假设在某次比赛中他从10 m高处的跳台跳下，设水的平均阻力约为其体重的3倍，在粗略估算中，把运动员当作质点处理，为了保证运动员的人身安全，池水深度至少为(不计空气阻力)( ) A．5 m B．3 m C．7 m

D．1 m

题组二 应用动能定理分析多过程问题

6．(多选)在平直公路上，汽车由静止开始做匀加速直线运动，当速度达到vmax后，立即关闭发动机直至静止，v－t图象如图5所示，设汽车的牵引力为F，受到的摩擦力为Ff，全程中牵引力做功为W1，克服摩擦力做功为W2，则( ) A．F∶Ff＝1∶3 C．F∶Ff＝4∶1

B．W1∶W2＝1∶1 D．W1∶W2＝1∶3

138

7．如图6所示，斜面倾角为θ，滑块质量为m，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，从距挡板为s0的位置以v0的速度沿斜面向上滑行．设重力沿斜面的分力大于滑动摩擦力，且每次与P碰撞前后的速度大小保持不变，挡板与斜面垂直，斜面足够长，滑块可视为质点．求滑块从开始运动到最后停止滑行的总路程s.

题组三 动能定理在平抛、圆周运动中的应用

8．如图7所示，一个质量为m＝0.6 kg的小球以某一初速度v0＝2 m/s从P点水平抛出，从粗糙圆弧ABC的A点沿切线方向进入(不计空气阻力，进入圆弧时无机械能损失)且恰好沿圆弧通过最高点C，已知圆弧的圆心为O，半径R＝0.3 m，θ＝60°，g＝10 m/s2.试求： (1)小球到达A点的速度vA的大小； (2)P点与A点的竖直高度H；

(3)小球从圆弧A点运动到最高点C的过程中克服摩擦力所做的功W.

9．如图8所示，AB段为粗糙水平轨道，BC段是固定于竖直平面内的光滑半圆形导轨，半径为R.一质量为m的滑块静止在A点，在水平恒力F作用下从A点向右运动，当运动至B点时，撤去恒力F，滑块沿半圆形轨道向上运动恰能通过最高点C，已知滑块与水平轨道间的滑动摩擦力Ff＝(1)滑块与水平轨道间的动摩擦因数μ； (2)滑块运动至C点的速度大小vC； (3)水平轨道AB的长度L.

mgmg

，水平恒力F＝，求： 42

139

10．如图9所示，光滑水平面AB与一半圆形轨道在B点相连，轨道位于竖直面内，其半径为R，一个质量为m的物块静止在水平面上，现向左推物块使其压紧弹簧，然后放手，物块在弹力作用下获得一速度，当它经B点进入半圆形轨道瞬间，对轨道的压力为其重力的7倍，之后向上运动恰能完成半圆周运动到达C点，重力加速度为g.求： (1)弹簧弹力对物块做的功；

(2)物块从B到C克服阻力所做的功；

(3)物块离开C点后，再落回到水平面上时的动能．

11．如图10所示，在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆轨道，外圆ABCD光滑，内圆的上半部分B′C′D′粗糙，下半部分B′A′D′光滑．一质量为m＝0.2 kg的小球从外轨道的最低点A处以初速度v0向右运动，小球的直径略小于两圆的间距，小球运动的轨道半径R＝0.2 m，取g＝10 m/s2. (1)若要使小球始终紧贴着外圆做完整的圆周运动，初速度v0至少为多少？

(2)若v0＝3 m/s，经过一段时间后小球到达最高点，内轨道对小球的支持力FC＝2 N，则小球在这段时间内克服摩擦力做的功是多少？

(3)若v0＝3.1 m/s，经过足够长的时间后，小球经过最低点A时速度vA为多少？

140

7.24机械能守恒定律的应用专题

一、机械能是否守恒的判断

1．利用机械能的定义判断：分析动能和势能的代数和即机械能是否变化． 2．用做功判断：若物体或系统只有重力或弹簧弹力做功，则机械能守恒．

3．用能量转化来判断：若系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则系统机械能守恒．如有滑动摩擦力做功时，机械能转化为内能，机械能必不守恒． 4．分析不同研究对象机械能是否守恒问题中的处理思路

(1)对于单个物体(与地球组成系统)来说，只需要从机械能的定义分析即可．

(2)对多个物体组成的系统，除考虑外力是否只有重力做功外，还要考虑系统内是否只有弹力做功． (3)系统的机械能是否守恒的判断，从能量转化的角度分析比较简单，即系统内的机械能有没有转化为其他形式的能．如子弹打击放在光滑水平面上的木块时，因有摩擦热产生，子弹和木块组成的系统机械能将有损失．

例1 如图1所示，细绳跨过定滑轮悬挂两物体M和m，且M>m，不计摩擦，系统由静止开始运动的过程中( )

A．M、m各自的机械能分别守恒 B．M减少的机械能等于m增加的机械能 C．M减少的重力势能等于m增加的重力势能

D．M和m组成的系统机械能守恒

二、多物体组成的系统机械能守恒问题

1．多个物体组成的系统，就单个物体而言，机械能一般不守恒，但就系统而言机械能往往是守恒的． 2．关联物体注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系． 3．机械能守恒定律表达式的选取技巧

①当研究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp来求解．

(2)当研究对象为两个物体组成的系统时：①若两个物体的重力势能都在减小(或增加)，动能都在增加(或减小)，可优先考虑应用表达式ΔEk＝－ΔEp来求解．

②若A物体的机械能增加，B物体的机械能减少，可优先考虑用表达式ΔEA＝－ΔEB来求解．

例2 轻杆AB长2L，A端连在固定轴上，B端固定一个质量为2m的小球，中点C固定一个质量为m的小球．AB杆可以绕A端在竖直平面内自由转动．现将杆置于水平位置，如图2所示，然后由静止释放，不计各处摩擦力与空气阻力，则下列说法正确的是( ) A．AB杆转到竖直位置时，角速度为

10g 9L

4

B．AB杆转到竖直位置的过程中，B端小球的机械能的增量为mgL

9C．AB杆转动过程中杆CB对B球做正功，对C球做负功 D．AB杆转动过程中，C球机械能守恒

141

例3 如图3所示，A物体用板托着，位于离地h＝1.0 m处，轻质细绳通过光滑定滑轮与A、B相连，绳子处于绷直状态，已知A物体质量M＝1.5 kg，B物体质量m＝1.0 kg，现将板抽走，A将拉动B上升，设A与地面碰后不反弹，B上升过程中不会碰到定滑轮，问： (1)A落地前瞬间的速度大小为多少？

(2)B物体在上升过程中离地的最大高度为多大？

三、机械能守恒定律和动能定理的应用比较

规律 内容 表达式 应用范围 研究对象 关注角度

例4 如图4所示，某人以v0＝4 m/s的速度斜向上(与水平方向成25°角)抛出一个小球，小球落地时速度11

为v＝8 m/s，不计空气阻力，求小球抛出时的高度h.甲、乙两位同学看了本题的参考解法“mgh＝mv2－

22mv20”后争论了起来．甲说此解法依据的是动能定理，乙说此解法依据的是机械能守恒定律，你对甲、乙两位同学的争论持什么观点，请简单分析，并求出抛出时的高度h.(g取10 m/s2)

142

机械能守恒定律 E1＝E2 ΔEk＝－ΔEp ΔEA＝－ΔEB 只有重力或弹力做功时 系统 动能定理 W＝ΔEk 无条件 单个物体 动能的变化及合外力做功情况 守恒的条件和初、末状态机械能的形式及大小 总结：对单个物体(包括地球为系统)只受重力作用时，动能定理和机械能守恒定律表达式并没有区别；对两个物体组成的系统应用机械能守恒定律较方便；对有摩擦力或其他力做功的情况下要用动能定理列方程．

例5 为了研究过山车的原理，某兴趣小组提出了下列设想：取一个与水平方向夹角为37°、长为L＝2.0 m的粗糙倾斜轨道AB，通过水平轨道BC与半径为R＝0.2 m的竖直圆轨道相连，出口为水平轨道DE，整个轨道除AB段以外都是光滑的．其中AB与BC轨道以微小圆弧相接，如图5所示．一个质量m＝1 kg的小物块以初速度v0＝5.0 m/s从A点沿倾斜轨道滑下，小物块到达C点时速度vC＝4.0 m/s.取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.

(1)求小物块到达C点时对圆轨道压力的大小； (2)求小物块从A到B运动过程中摩擦力所做的功；

(3)为了使小物块不离开轨道，并从轨道DE滑出，求竖直圆轨道的半径应满足什么条件？

课堂练习

1．(机械能是否守恒的q判断)关于机械能守恒定律的适用条件，以下说法中正确的是( ) A．只有重力和弹力作用时，机械能才守恒

B．当有其他外力作用时，只要合外力为零，机械能就守恒

C．当有其他外力作用时，只要除重力以外的其他外力做功为零，机械能就守恒 D．炮弹在空中飞行时，不计空气阻力，仅受重力作用，所以炮弹爆炸前后机械能守恒

2．(机械能守恒定律的应用)如图6所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出物体落到比地面低h的海平面上．若以海平面为零势能面，不计空气阻力，则下列说法中正确的是( ) A．物体到海平面时的重力势能为 mgh B．重力对物体做的功为－mgh

12

C．物体在海平面上的动能为mv0 ＋mgh

212

D．物体在海平面上的机械能为mv

20

3．(机械能守恒定律的应用)如图7所示，在一长为2L不可伸长的轻杆两端各固定一质量为2m与m的小球

143

A、B，系统可绕过轻杆的中点且垂直纸面的固定转轴O无摩擦转动．初始时轻杆处于水平状态，无初速度释放后轻杆转动，当轻杆转至竖直位置时，求小球A的速率．

4．(机械能守恒定律和动能定理的应用比较)物块A的质量为m＝2 kg，物块与坡道间的动摩擦因数为μ＝0.6，水平面光滑．坡道顶端距水平面高度为h＝1 m，倾角为θ＝37°.物块从坡道进入水平滑道时，在底端O点处无机械能损失，将轻弹簧的一端连接在水平滑道M处并固定墙上，另一自由端恰位于坡道的底端O点，如图8所示．物块A从坡顶由静止滑下，重力加速度为g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求： (1)物块滑到O点时的速度大小； (2)弹簧为最大压缩量时的弹性势能； (3)物块A被弹回到坡道后上升的最大高度．

144

7.25机械能守恒定律的应用专题训练

1．(多选)下列物体中，机械能守恒的是( )

A．做平抛运动的物体 B．被匀速吊起的集装箱

4

C．光滑曲面上自由运动的物体 D．物体以g的加速度竖直向上做匀减速运动

5

2.木块静止挂在绳子下端，一子弹以水平速度射入木块并留在其中，再与木块一起共同摆到一定高度，如图所示，从子弹开始入射到共同上摆到最大高度的过程中，下面说法正确的是( ) A．子弹的机械能守恒 B．木块的机械能守恒 C．子弹和木块的总机械能守恒

D．以上说法都不对

3．(多选)如图所示，在两个质量分别为m和2m的小球a和b之间，用一根轻质细杆连接，两小球可绕过细杆中心的水平轴无摩擦转动，现让细杆水平放置，静止释放小球后，小球b向下转动，小球a向上转动，在转动90°的过程中，以下说法正确的是( ) A．b球的重力势能减少，动能增加 B．a球的重力势能增大，动能减少 C．a球和b球的机械能总和保持不变

D．a球和b球的机械能总和不断减小

4. (多选)如图所示，物体从某一高度自由下落到竖直立于地面的轻质弹簧上．在a点时物体开始与弹簧接触，到b点时物体速度为零．则从a到b的过程中，物体( ) A．动能一直减小 B．重力势能一直减小 C．所受合外力先增大后减小

D．动能和重力势能之和一直减小

5.内壁光滑的环形凹槽半径为R，固定在竖直平面内，一根长度为2R的轻杆，一端固定有质量为m的小球甲，另一端固定有质量为2m的小球乙．现将两小球放入凹槽内，小球乙位于凹槽的最低点，如图所示，由静止释放后( )

A．下滑过程中甲球减少的机械能总是等于乙球增加的机械能 B．下滑过程中甲球减少的重力势能总是等于乙球增加的重力势能 C．甲球可沿凹槽下滑到槽的最低点

D．杆从右向左滑回时，乙球一定不能回到凹槽的最低点

6.如图所示，质量为m＝2 kg的小球系在轻弹簧的一端，另一端固定在悬点O处，将弹簧拉至水平原长位置A处由静止释放，小球到达距O点下方h＝0.5 m处的B点时速度为2 m/s.求小球从A运动到B的过程中弹簧弹力做的功(g取10 m/s2)．

7．如图所示是一个横截面为半圆、半径为R的光滑柱面，一根不可伸长的细线两端别系着物体A、B，且mA＝2mB，由图示位置从静止开始释放A物体，当物体B达到

145

分圆

柱顶点时，求物体A的速度．

8.如图所示，质量为m的木块放在光滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边的光滑定滑轮与质量为M的砝码相连．已知M＝2m，让绳拉直后使砝码从静止开始下降h的距离(未落地)时，木块仍没离开桌面，则砝码的速度为多少？

9．如图所示，半径为R的光滑半圆弧轨道与高为10R的光滑斜轨道放在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡．在水平轨道上，轻质弹簧被a、b两小球挤压，处于静止状态．同时释放两个小球，a球恰好能通过圆弧轨道的最高点A，b球恰好能到达斜轨道的最高点B.已知a球质量为m1，b球质量为m2，重力加速度为g.求： (1)a球离开弹簧时的速度大小va； (2)b球离开弹簧时的速度大小vb； (3)释放小球前弹簧的弹性势能Ep.

10．如图所示，质量为M的小车静止在光滑水平面上，小车AB段是半径为R的四分之一光滑圆弧轨道，BC段是长为L的粗糙水平轨道，两段轨道相切于B点．一质量为m的滑块在小车上从A点由静止开始沿轨道滑下，重力加速度为g.

(1)若固定小车，求滑块运动过程中对小车的最大压力；

(2)若不固定小车，滑块仍从A点由静止下滑，然后滑入BC轨道，最后从C点滑出小车．已知滑块质量

M

m＝，在任一时刻滑块相对地面速度的水平分量是小车速度大小的2倍，滑块与轨道BC间的动摩擦因数

2

为μ．求：

①滑块运动过程中，小车的最大速度大小vm； ②滑块从B到C运动过程中，小车的位移大小．

146

7.26机械能守恒定律章末检测

一、单项选择题(本题共6小题，每小题4分，共24分)

1．关于功和能，下列说法不正确的是( ) A．滑动摩擦力对物体可以做正功

B．当作用力对物体做正功时，反作用力可以不做功

C．做曲线运动的物体，由于速度不断地变化，一定有外力对物体做功 D．只受重力作用的物体，在运动过程中机械能一定守恒

2．一物块由静止开始从粗糙斜面上的某点加速下滑到另一点，在此过程中重力对物块做的功等于( ) A．物块动能的增加量

B．物块重力势能的减少量与物块克服摩擦力做的功之和

C．物块重力势能的减少量和物块动能的增加量以及物块克服摩擦力做的功之和 D．物块动能的增加量与物块克服摩擦力做的功之和

3．从地面竖直上抛两个质量不同的小球，设它们的初动能相同，当上升到同一高度时(不计空气阻力，选抛出点为参考面)，则( )

A．所具有的重力势能相等 B．所具有的动能相等

C．所具有的机械能不等 D．所具有的机械能相等

4．一小石子从高为10 m处自由下落，不计空气阻力，经一段时间后小石子的动能恰等于它的重力势能(以地面为参考平面)，g＝10 m/s2，则该时刻小石子的速度大小为( )

A．5 m/s B．10 m/s C．15 m/s D．20 m/s

5.如图1所示，在竖直平面内，滑道ABC关于B点对称，且A、B、C三点在同一水平线上．若小滑块第一次由A滑到C，所用的时间为t1，第二次由C滑到A，所用的时间为t2，小滑块两次的初速度大小相同且运动过程始终沿着滑道滑行，小滑块与滑道的动摩擦因数恒定，则( ) A．t1＜t2

B．t1＝t2

C．t1＞t2 D．无法比较t1、t2的大小

6．如图所示，在电梯中的斜面上放置了一滑块，在电梯加速上升的过程中，滑块相对斜面静止，则在该过程中( )

A．斜面对滑块的弹力对滑块所做的功等于滑块增加的重力势能 B．滑块所受合力对滑块所做的功等于滑块增加的机械能 C．斜面对滑块的摩擦力对滑块做负功

D．斜面对滑块的弹力对滑块所做的功小于滑块增加的机械能

二、多项选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分)

7．如图3所示，一根弹簧下端固定，竖立在水平面上，其正上方A位置有一个小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力．在D位置小球速度减小到零，在小球的下降阶段中，以下说法正确的是( )

A．小球、弹簧和地球组成的系统的机械能守恒 B．在B位置小球动能最大 C．在C位置小球动能最大

D．从A到C位置小球重力势能的减少等于小球动能的增加

8．如图4所示，某段滑雪雪道倾角为30°，总质量为m(包括雪具在内)的滑雪运动员从距底端高为h处的雪

147

1

道上由静止开始匀加速下滑，加速度为g.在他从上向下滑到底端的过程中，下列说法正确的是( )

3

A．运动员减少的重力势能全部转化为动能

2

B．运动员获得的动能为mgh

3

2

C．运动员克服摩擦力做功为mgh

3

1

D．下滑过程中系统减少的机械能为mgh 3

9．如图5所示A、B两个单摆，摆球的质量相同，摆线长LA＞LB，悬点O、O′等高，把两个摆球拉至水平后，选OO′所在的平面为零势能面，都由静止释放，不计阻力，摆球摆到最低点时( ) A．A球的动能大于B球的动能 B．A球的重力势能大于B球的重力势能 C．两球的机械能总量相等

D．两球的机械能总量小于零

10．某兴趣小组遥控一辆玩具车，使其在水平路面上由静止启动，在前2 s内做匀加速直线运动，2 s末达到额定功率，2 s到14 s保持额定功率运动，14 s末停止摇控，让玩具车自由滑行，其v－t图象如图6所示．可认为整个过程玩具车所受阻力大小不变，已知玩具车的质量为m＝1 kg，取g＝10 m/s2，则( ) A．玩具车所受阻力大小为2 N

B．玩具车在4 s末牵引力的瞬时功率为9 W C．玩具车在2 s到10 s内位移的大小为39 m D．玩具车整个过程的位移为90 m

三、填空题(本题共2小题，共12分)

11．(6分)使用如图7甲所示的装置验证机械能守恒定律，打出一条纸带如图乙所示．图乙中O是打出的第一个点迹，A、B、C、D、E、F……是依次打出的点迹，量出OE间的距离为l，DF间的距离为s，已知打点计时器打点的周期是T＝0.02 s.

(1)上述物理量如果在实验误差允许的范围内满足关系式________________________，即验证了重物下落过程中机械能是守恒的．

(2)如果发现图乙中OA距离大约是4 mm，则出现这种情况的原因可能是____________________________，如果出现这种情况，上述的各物理量间满足的关系式可能是________________________．

12．(6分)某同学为探究“恒力做功与物体动能改变的关系”，设计了如下实验，他的操作步骤是：

148

①摆好实验装置如图8.

②将质量为200 g的小车拉到打点计时器附近，并按住小车．

③在质量为10 g、30 g、50 g的三种钩码中，他挑选了一个质量为50 g的钩码挂在拉线P上． ④打开打点计时器的电源，释放小车，打出一条纸带．

(1)在多次重复实验得到的纸带中取出较为满意的一条，经测量、计算，得到如下数据：第一个点到第N个点的距离为40.0 cm；打下第N点时小车的速度大小为1.00 m/s.

该同学将钩码的重力当作小车所受的拉力，算出拉力对小车做的功为________J，小车动能的增量为________J．(g＝9.8 m/s2)

(2)此次实验探究结果，他没能得到“恒力对物体做的功等于物体动能的增量”，且误差很大，显然，在实验探究过程中忽视了各种产生误差的因素．请你根据该同学的实验操作过程帮助分析一下，造成较大误差的主要原因是(至少说出两种可能)：

________________________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________. 四、计算题(本题共4小题，共40分)

3

13．(8分)小球自h＝2 m的高度由静止释放，与地面碰撞后反弹的高度为h.设碰撞时没有动能的损失，且

4小球在运动过程中受到的空气阻力大小不变，求： (1)小球受到的空气阻力是重力的多少倍？ (2)小球从开始到停止运动的过程中运动的总路程．

14．(10分)一列车的质量是5.0×105 kg，在平直的轨道上以额定功率3 000 kW加速行驶，当速度由10 m/s加速到所能达到的最大速率30 m/s时，共用了2 min，则在这段时间内列车前进的距离是多少？

15．(10分)如图9所示，竖直平面内有一光滑圆弧轨道，其半径为R＝0.5 m，平台与轨道的最高点等高，一质量m＝0.8 kg的小球从平台边缘的A处水平射出，恰能沿圆弧轨道上P点的切线方向进入轨道内侧，

149

轨道半径OP与竖直线的夹角为53°，已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，g取10 m/s2，试求： (1)小球从平台上的A点射出时的速度大小v0；

(2)小球从平台上的射出点A到圆轨道入射点P之间的水平距离L； (3)小球到达圆弧轨道最低点时的速度大小；

(4)小球沿轨道通过圆弧的最高点Q时对轨道的内壁还是外壁有弹力，并求出弹力的大小．

16．(12分)同学们参照伽利略时期演示平抛运动的方法制作了如图10所示的实验装置，图中水平放置的底1

板上竖直地固定有M板和N板．M板上部有一半径为R的圆弧形的粗糙轨道，P为最高点，Q为最低点，

4Q点处的切线水平，距底板高为H.N板上固定有三个圆环．将质量为m的小球从P处静止释放，小球运动至Q飞出后无阻碍地通过各圆环中心，落到底板上距Q水平距离为L处，不考虑空气阻力，重力加速度为g.求：

L

(1)距Q水平距离为的圆环中心到底板的高度；

2

(2)小球运动到Q点时速度的大小以及对轨道压力的大小和方向； (3)摩擦力对小球做的功．

必修2综合检测

一、单项选择题(本题共6小题，每小题4分，共24分)

150

1．一只小船在静水中的速度为3 m/s，它要渡过一条宽为30 m的河，河水流速为5 m/s，则以下说法正确的是( )

A．该船可以沿垂直于河岸方向的航线过河 B．水流的速度越大，船渡河的时间就越长

C．船头正指对岸渡河，渡河时间最短 D．船头方向斜向上游，船渡河的时间才会最短

2．甲、乙两球位于同一竖直线上的不同位置，甲比乙高h，如图所示．将甲、乙两球分别以v1、v2的速度沿同一水平方向抛出，不计空气阻力，在下列条件下，乙球可能击中甲球的是( ) A．同时抛出，且v1＜v2 B．甲先抛出，且v1＜v2 C．甲先抛出，且v1＞v2

D．甲后抛出，且v1＞v2

3．如图所示，小球A质量为m，固定在长为L的轻细直杆一端，并随杆一起绕杆的另一端O点在竖直平面内做圆周运动，如果小球经过最高位置时速度为

3gL，则此时杆对球的作用力为( ) 4

13

A．支持力，mg B．支持力，mg

4413

C．拉力，mg D．拉力，mg 44

4．物体做自由落体运动，Ep表示重力势能，h表示下落的距离，以水平地面为零势能面，下列所示图象中，能正确反映Ep和h之间关系的是( )

5．不久前欧洲天文学家在太阳系外发现了一颗可能适合人类居住的行星，命名为“格利斯581c”，该行星的质量是地球的5倍，直径是地球的1.5倍．设想在该行星表面附近绕行星沿圆轨道运行的人造卫星的动能Ek1

为Ek1，在地球表面附近绕地球沿圆轨道运行的相同质量的人造卫星的动能为Ek2，则为( )

Ek2A．0.13

B．0.3

C．3.33 D．7.5

6．如图所示，把小车放在光滑的水平桌面上，用轻绳跨过定滑轮使之与盛有砂子的小桶相连，已知小车的质量为M，小桶与砂子的总质量为m，把小车从静止状态释放后，在小桶下落竖直高度为h的过程中，若不计滑轮及空气的阻力，下列说法中正确的是( ) A．绳拉车的力始终为mg

B．当M远远大于m时，才可以认为绳拉车的力为mg C．小车获得的动能为mgh

D．小桶和砂子获得的动能为mgh

二、多项选择题(本题共4小题，每小题6分，共24分)

7．如图所示，一质点从倾角为θ的斜面顶点以水平速度v0抛出，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )

151

v0tan θ

A．质点抛出后，经时间为离斜面最远

gv0

B．质点抛出后，当离斜面最远时速度大小为 sin θv0

C．质点抛出后，当离斜面最远时速度大小为

cos θ

v0

D．质点抛出后，经时间为离斜面最远

gtan θ

8．如图5所示的传动装置中，右轮半径为2r，a为它边缘上的一点，b为轮上的一点，b距轴为r.左侧为一轮轴，大轮的半径为4r，d为它边缘上的一点，小轮的半径为r，c为它边缘上的一点．若传动中轮不打滑，则( )

A．a点与c点的线速度大小相等 B．b点与d点的线速度大小相等

C．a点与d点的向心加速度大小之比为1∶8

D．a点与b点的角速度大小相等

9．足够长的粗糙斜面上，用力推着一物体m沿斜面向上运动，t＝0时撤去推力，0～6 s内速度随时间的变化情况如图6所示，由图象可知( )

A．0～1 s内重力的平均功率大小与1～6 s内重力平均功率大小之比为5∶1 B．0～1 s内摩擦力的平均功率与1～6 s内摩擦力平均功率之比为1∶1 C．0～1 s内机械能变化量大小与1～6 s内机械能变化量大小之比为1∶5

D．1～6 s内动能变化量大小与机械能变化量大小之比为1∶3

1

10．如图7所示，MNP为竖直面内一固定轨道，其圆弧段MN与水平段NP相切于N，P端固定一竖直挡

4板，NP长度为2 m，圆弧半径为1 m．一个可视为质点的物块自M端从静止开始沿轨道下滑，与挡板发生碰撞(机械能不损失)后，最终停止在水平轨道上某处．已知物块在MN段的摩擦可忽略不计，与NP段轨道间的动摩擦因数为0.2.则物块( ) A．运动过程中与挡板发生1次碰撞 B．返回圆弧轨道的最大高度为0.6 m C．在NP间往返一次克服摩擦力做功8 J

D．第一次与第二次经过圆弧轨道上N点时对轨道的压力之比为15∶7

三、实验题(本题共2小题，共12分)

11．(5分)某同学把附有滑轮的长木板平放在实验桌面上，将细绳一端拴在小车上，另一端绕过定滑轮挂上适当的钩码使小车在钩码的牵引下运动，以此定量研究绳拉力做功与小车动能变化的关系．此外还准备了打点计时器及配套的电源、导线、复写纸、纸带、小木块等．组装的实验装置如图所示． (1)若要完成该实验，必须的实验器材还有________________________________________；

(2)(多选)实验开始前，他先通过调节长木板的倾斜程度来平衡小车所受摩擦力，再调节木板一端定滑轮的高度，使牵引小车的细绳与木板平行．实验中将钩码重力做的功当作细绳拉力做的功．经多次实验发现拉力做的功总是要比小车动能增量大一些，这一情况可能是下列哪些原因造成的__________(填字母代号)．

152

A．释放小车的位置离打点计时器太近 B．小车的质量比钩码的质量大了许多

C．摩擦阻力未完全被小车重力沿木板方向的分力平衡掉 D．钩码做匀加速运动，钩码重力大于细绳拉力

12．(7分)如图9所示，在“验证机械能守恒定律”的实验中，电火花计时器接在220 V、50 Hz的交流电源上，自由下落的重物质量为1 kg，打下一条理想的纸带如图10所示，取g＝9.8 m/s2，O为下落起始点，A、B、C为纸带上打出的连续点迹，则：

(1)打点计时器打B点时，重物下落的速度vB＝__________m/s；从起始点O到打B点的过程中，重物的重力势能减少量ΔEp＝__________J，动能的增加量ΔEk＝________J．(结果均保留3位有效数字) (2)分析ΔEkΔEp的误差原因是__________________________________________________．

四、计算题(本题共4小题，共40分)

13．(8分)宇航员站在某星球表面，从高h处以初速度v0水平抛出一个小球，小球落到星球表面时，与抛出点的水平距离是x，已知该星球的半径为R，引力常量为G，求： (1)该星球的质量M； (2)该星球的第一宇宙速度．

14．(10分)如图11所示是离心轨道演示仪结构示意图．光滑弧形轨道下端与半径为R的光滑圆轨道相接，整个轨道位于竖直平面内．质量为m的小球从弧形轨道上的A点由静止滑下，进入圆轨道后沿圆轨道运动，最后离开圆轨道．小球运动到圆轨道的最高点时，对轨道的压力恰好与它所受到的重力大小相等．重力加速度为g，不计空气阻力，求：

(1)小球运动到圆轨道的最高点时速度的大小；

153

(2)小球开始下滑的初始位置A点距水平面的竖直高度h.

15．(10分)如图12所示，光滑斜面AB的倾角θ＝53°，BC为水平面，BC的长度lBC＝1.10 m，CD为光滑1

的圆弧，半径R＝0.60 m．一个质量m＝2.0 kg的物体，从斜面上A点由静止开始下滑，物体与水平面BC4间的动摩擦因数μ＝0.20.轨道在B、C两点光滑连接．当物体到达D点时，继续竖直向上运动，最高点距离D点的高度h＝0.20 m．sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6.g取10 m/s2.求： (1)物体运动到C点时速度大小vC； (2)A点距离水平面的高度H；

(3)物体最终停止的位置到C点的距离s.

1

因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容

查看全文