2020年辽宁省营口市中考数学试卷 (解析版)

一、选择题（共10小题）. 1．﹣6的绝对值是（ ） A．6

B．﹣6

C．

D．﹣

2．如图所示的几何体是由四个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是（ ）

A． B． C． D．

3．下列计算正确的是（ ） A．x2•x3＝x6 C．（x+y）2＝x2+y2

B．xy2﹣xy2＝xy2 D．（2xy2）2＝4xy4

4．如图，AB∥CD，∠EFD＝°，∠FEB的角平分线EG交CD于点G，则∠GEB的度数为 （ ）

A．66° B．56° C．68° D．58°

5．反比例函数y＝（x＜0）的图象位于（ ） A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限 ＝，则

D．第四象限

6．如图，在△ABC中，DE∥AB，且的值为（ ）

A． B． C． D．

7．如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（ ）

A．110° B．130° C．140° D．160°

8．一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（ ） A．x1＝2，x2＝﹣3 C．x1＝﹣2，x2＝﹣3

B．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝3

9．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：

射击次数

“射中九环以上”的次数

20 18

80 68

100 82

200 168

400 1000 327

823

“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数） 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ） A．0.90

B．0.82

C．0.85

D．0.84

10．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点C且交线段AB于点D，连接CD，OD，若S△OCD＝，则k的值为（ ）

A．3 B． C．2 D．1

二、填空題（每小题3分，共24分） 11．ax2﹣2axy+ay2＝ ．

12．长江的流域面积大约是1800000平方千米，1800000用科学记数法表示为 ． 13．（3

+

）（3

﹣

）＝ ．

14．从甲、乙、丙三人中选拔一人参加职业技能大赛，经过几轮初赛选拔，他们的平均成绩都是87.9分，方差分别是S甲2＝3.83，S乙2＝2.71，S丙2＝1.52．若选取成绩稳定的一人参加比赛，你认为适合参加比赛的选手是 ．

15．一个圆锥的底面半径为3，高为4，则此圆锥的侧面积为 ．

BD交于点O，OB＝2，16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，其中OA＝1，则菱形ABCD的面积为 ．

17．如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为 ．

18．如图，∠MON＝60°，点A1在射线ON上，且OA1＝1，过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B1，在射线ON上截取A1A2，使得A1A2＝A1B1；过点A2作A2B2⊥ON交射线OM于点B2，在射线ON上截取A2A3，使得A2A3＝A2B2；…；按照此规律进行下去，则A2020B2020长为 ．

三、解答题（19小题10分，20小题10分，共20分） 19．先化简，再求值：（求值．

20．随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．

（1）被分配到“洗手监督岗”的概率为 ；

（2）用列表法或面树状图法，求和王老师被分配到同一个监督岗的概率． 四、解答题（21小题12分，22小题12分，共24分）

21．“生活垃圾分类”逐渐成为社会生活新风尚，某学校为了了解学生对“生活垃圾分类”的看法，随机调查了200名学生（每名学生必须选择且只能选择一类看法），调查结果分为“A．很有必要”“B．有必要”“C．无所谓”“D．没有必要”四类．并根据调查结果绘制了图1和图2两幅统计图（均不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题：

﹣x）÷

，请在0≤x≤2的范围内选一个合适的整数代入

（1）补全条形统计图；

（2）扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数为 ；

（3）该校共有2500名学生，根据调查结果估计该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生人数．

22．如图，海中有一个小岛A，它周围10海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由东向西航行，在B点测得小岛A在北偏西60°方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏西30°方向上，如果渔船不改变方向继续向西航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（参考数据：

≈1.73）

五、解答题（23小题12分，24小题12分，共24分）

23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D． （1）求证：AB为⊙O的切线；

（2）若tanA＝，AD＝2，求BO的长．

24．某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x（元），每天的销售量为y（瓶）． （1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？

六、解答题（本题满分14分）

25．如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F．

（1）如图1，若k＝1，则AF与AE之间的数量关系是 ；

（2）如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k的式子表示）

（3）若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长．

七、解答题（本题满分14分）

26．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D． （1）求抛物线的解析式；

（2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；

①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐

标；若不存在，请说明理由；

②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．

参

一、选择题（下列各题的备选答案中，只有一个是正确的，每小题3分，共30分） 1．﹣6的绝对值是（ ） A．6

B．﹣6

C．

D．﹣

【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，可得负数的绝对值． 解：|﹣6|＝6， 故选：A．

2．如图所示的几何体是由四个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是（ ）

A． B． C． D．

【分析】找到从上面看所得到的图形即可，所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 解：从上面看易得俯视图：

．

故选：C．

3．下列计算正确的是（ ） A．x2•x3＝x6 C．（x+y）2＝x2+y2

B．xy2﹣xy2＝xy2 D．（2xy2）2＝4xy4

【分析】根据完全平方公式，同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方的运算法则分别进行计算后，可得到正确答案．

解：A、x2•x3＝x5，原计算错误，故此选项不符合题意； B、xy2﹣xy2＝xy2，原计算正确，故此选项符合题意； C、（x+y）2＝x2+2xy+y2，原计算错误，故此选项不符合题意； D、（2xy2）2＝4xy4，原计算错误，故此选项不符合题意．

故选：B．

4．如图，AB∥CD，∠EFD＝°，∠FEB的角平分线EG交CD于点G，则∠GEB的度数为 （ ）

A．66° B．56° C．68° D．58°

【分析】根据平行线的性质求得∠BEF，再根据角平分线的定义求得∠GEB． 解：∵AB∥CD，

∴∠BEF+∠EFD＝180°， ∴∠BEF＝180°﹣°＝116°； ∵EG平分∠BEF， ∴∠GEB＝58°． 故选：D．

5．反比例函数y＝（x＜0）的图象位于（ ） A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

【分析】根据题目中的函数解析式和x的取值范围，可以解答本题． 解：∵反比例函数y＝（x＜0）中，k＝1＞0， ∴该函数图象在第三象限， 故选：C．

6．如图，在△ABC中，DE∥AB，且

＝，则

的值为（ ）

A． B． C． D．

【分析】平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段成比例，据此可得结论． 解：∵DE∥AB， ∴∴

＝

＝，

的值为，

故选：A．

7．如图，AB为⊙O的直径，点C，点D是⊙O上的两点，连接CA，CD，AD．若∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是（ ）

A．110° B．130° C．140° D．160°

【分析】连接BC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，则∠B＝50°，然后利用圆的内接四边形的性质求∠ADC的度数． 解：如图，连接BC， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°，

∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°， ∵∠B+∠ADC＝180°，

∴∠ADC＝180°﹣50°＝130°． 故选：B．

8．一元二次方程x2﹣5x+6＝0的解为（ ）

A．x1＝2，x2＝﹣3 C．x1＝﹣2，x2＝﹣3

【分析】利用因式分解法解方程． 解：（x﹣2）（x﹣3）＝0， x﹣2＝0或x﹣3＝0， 所以x1＝2，x2＝3． 故选：D．

B．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝3

9．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：

射击次数

“射中九环以上”的次数

20 18

80 68

100 82

200 168

400 1000 327

823

“射中九环以上”的频率（结果保留两位小数） 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是（ ） A．0.90

B．0.82

C．0.85

D．0.84

【分析】根据大量的实验结果稳定在0.82左右即可得出结论． 解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近， ∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.82． 故选：B．

10．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点C且交线段AB于点D，连接CD，OD，若S△OCD＝，则k的值为（ ）

A．3 B． C．2 D．1

【分析】根据题意设B（m，m），则A（m，0），C（，），D（m，m），然后

根据S△COD＝S△COE+S梯形ADCE﹣S△AOD＝S梯形ADCE，得到（+）•（m﹣m）＝，即可求得k＝

＝2．

解：根据题意设B（m，m），则A（m，0）， ∵点C为斜边OB的中点， ∴C（，），

∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点C， ∴k＝•

＝

，

∵∠OAB＝90°， ∴D的横坐标为m，

∵反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象过点D， ∴D的纵坐标为， 作CE⊥x轴于E，

∵S△COD＝S△COE+S梯形ADCE﹣S△AOD＝S梯形ADCE，S△OCD＝， ∴（AD+CE）•AE＝，即（+）•（m﹣m）＝， ∴∴k＝

＝1， ＝2，

故选：C．

二、填空題（每小题3分，共24分） 11．ax2﹣2axy+ay2＝ a（x﹣y）2 ．

【分析】首先提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可． 解：ax2﹣2axy+ay2

＝a（x2﹣2xy+y2） ＝a（x﹣y）2． 故答案为：a（x﹣y）2．

12．长江的流域面积大约是1800000平方千米，1800000用科学记数法表示为 1.8×106 ．【分析】根据科学记数法的表示方法：a×10n，可得答案． 解：将1800000用科学记数法表示为 1.8×106， 故答案为：1.8×106． 13．（3

+

）（3

﹣

）＝ 12 ．

【分析】直接利用平方差公式计算得出答案． 解：原式＝（3＝18﹣6 ＝12．

故答案为：12．

14．从甲、乙、丙三人中选拔一人参加职业技能大赛，经过几轮初赛选拔，他们的平均成绩都是87.9分，方差分别是S甲2＝3.83，S乙2＝2.71，S丙2＝1.52．若选取成绩稳定的一人参加比赛，你认为适合参加比赛的选手是 丙 ．

【分析】再平均数相等的前提下，方差越小成绩越稳定，据此求解可得． 解：∵平均成绩都是87.9分，S甲2＝3.83，S乙2＝2.71，S丙2＝1.52， ∴S丙2＜S乙2＜S甲2， ∴丙选手的成绩更加稳定， ∴适合参加比赛的选手是丙， 故答案为：丙．

15．一个圆锥的底面半径为3，高为4，则此圆锥的侧面积为 15π ．

【分析】首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．

解：∵圆锥的底面半径为3，高为4， ∴母线长为5，

∴圆锥的侧面积为：πrl＝π×3×5＝15π， 故答案为：15π

BD交于点O，OB＝2，16．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，其中OA＝1，则菱形ABCD

）2﹣（

）2

的面积为 4 ．

【分析】根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案． 解：∵OA＝1，OB＝2， ∴AC＝2，BD＝4，

∴菱形ABCD的面积为×2×4＝4． 故答案为：4．

17．如图，△ABC为等边三角形，边长为6，AD⊥BC，垂足为点D，点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点，连接CE，EF，则CE+EF的最小值为 3

．

【分析】过C作CF⊥AB交AD于E，则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值＝CF，根据等边三角形的性质得到BF＝AB＝解：过C作CF⊥AB交AD于E，

则此时，CE+EF的值最小，且CE+EF的最小值＝CF， ∵△ABC为等边三角形，边长为6， ∴BF＝AB＝∴CF＝

6＝3， ＝

，

＝3

，

6＝3，根据勾股定理即可得到结论．

∴CE+EF的最小值为3故答案为：3

．

18．如图，∠MON＝60°，点A1在射线ON上，且OA1＝1，过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B1，在射线ON上截取A1A2，使得A1A2＝A1B1；过点A2作A2B2⊥ON交射线OM于点B2，在射线ON上截取A2A3，使得A2A3＝A2B2；…；按照此规律进行下去，则A2020B2020长为

（1+

）2019 ．

【分析】解直角三角形求出A1B1，A2B2，A3B3，…，探究规律利用规律即可解决问题． 解：在Rt△OA1B1中，∵∠OA1B1＝90°，∠MON＝60°，OA1＝1， ∴A1B1＝A1A2＝OA1•tan60°＝∵A1B1∥A2B2， ∴

＝

，

，

∴＝

（1+

， ）， （1+

）2，

∴A2B2＝

同法可得，A3B3＝…

由此规律可知，A2020B2020＝故答案为

（1+

）2019．

（1+）2019，

三、解答题（19小题10分，20小题10分，共20分） 19．先化简，再求值：（求值．

【分析】先去括号、化除法为乘法进行化简，然后根据分式有意义的条件取x的值，代入求值即可． 解：原式＝＝

＝﹣2﹣x． ∵x≠1，x≠2，

∴在0≤x≤2的范围内的整数选x＝0． 当x＝0时，原式＝﹣2﹣0＝﹣2．

20．随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转，各地开始复工复学，某校复学后成立“防疫志愿者服务队”，设立四个“服务监督岗”：①洗手监督岗，②戴口罩监督岗，③就餐监督岗，④操场活动监督岗．和王老师报名参加了志愿者服务工作，学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗．

（1）被分配到“洗手监督岗”的概率为

；

•

•

﹣x）÷

，请在0≤x≤2的范围内选一个合适的整数代入

（2）用列表法或面树状图法，求和王老师被分配到同一个监督岗的概率． 【分析】（1）直接利用概率公式计算；

（2）画树状图展示所有16种等可能的结果，找出和王老师被分配到同一个监督岗的结果数，然后根据概率公式计算．

解：（1）被分配到“洗手监督岗”的概率＝； 故答案为：； （2）画树状图为：

共有16种等可能的结果，其中和王老师被分配到同一个监督岗的结果数为4，

所以和王老师被分配到同一个监督岗的概率＝四、解答题（21小题12分，22小题12分，共24分）

＝．

21．“生活垃圾分类”逐渐成为社会生活新风尚，某学校为了了解学生对“生活垃圾分类”的看法，随机调查了200名学生（每名学生必须选择且只能选择一类看法），调查结果分为“A．很有必要”“B．有必要”“C．无所谓”“D．没有必要”四类．并根据调查结果绘制了图1和图2两幅统计图（均不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）补全条形统计图；

（2）扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数为 18° ；

（3）该校共有2500名学生，根据调查结果估计该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生人数．

【分析】（1）根据扇形统计图中的数据，可以计算出A组的人数，然后再根据条形统计图中的数据，即可得到C组的人数，然后即可将条形统计图补充完整；

（2）根据条形统计图中D组的人数，可以计算出扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数；

（3）根据扇形统计图中A组所占的百分比，即可计算出该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生人数．

解：（1）A组学生有：200×30%＝60（人）， C组学生有：200﹣60﹣80﹣10＝50（人）， 补全的条形统计图，如右图所示；

（2）扇形统计图中“D．没有必要”所在扇形的圆心角度数为：360°×故答案为：18°；

＝18°，

（3）2500×30%＝750（人），

答：该校对“生活垃圾分类”认为“A．很有必要”的学生有750人．

22．如图，海中有一个小岛A，它周围10海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由东向西航行，在B点测得小岛A在北偏西60°方向上，航行12海里到达C点，这时测得小岛A在北偏西30°方向上，如果渔船不改变方向继续向西航行，有没有触礁的危险？并说明理由．（参考数据：

≈1.73）

【分析】作高AN，由题意可得∠ABE＝60°，∠ACD＝30°，进而得出∠ABC＝∠BAC＝30°，于是AC＝BC＝12，在在Rt△ANC中，利用直角三角形的边角关系，求出AN与10海里比较即可．

【解答】 解：没有触礁的危险；

理由：如图，过点A作AN⊥BC交BC的延长线于点N， 由题意得，∠ABE＝60°，∠ACD＝30°， ∴∠ACN＝60°，∠ABN＝30°， ∴∠ABC＝∠BAC＝30°， ∴BC＝AC＝12，

在Rt△ANC中，AN＝AC•cos60°＝12×∵AN＝6

≈10.38＞10，

＝6

，

∴没有危险．

五、解答题（23小题12分，24小题12分，共24分）

23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D． （1）求证：AB为⊙O的切线；

（2）若tanA＝，AD＝2，求BO的长．

【分析】（1）过O作OH⊥AB于H，根据角平分线的性质得到OH＝OC，根据切线的判定定理即可得到结论；

（2）设⊙O的半径为3x，则OH＝OD＝OC＝3x，在解直角三角形即可得到结论． 【解答】 （1）证明：过O作OH⊥AB于H， ∵∠ACB＝90°， ∴OC⊥BC，

∵BO为△ABC的角平分线，OH⊥AB， ∴OH＝OC，

即OH为⊙O的半径， ∵OH⊥AB， ∴AB为⊙O的切线；

（2）解：设⊙O的半径为3x，则OH＝OD＝OC＝3x， 在Rt△AOH中，∵tanA＝， ∴

＝，

∴＝，

∴AH＝4x， ∴AO＝∵AD＝2，

∴AO＝OD+AD＝3x+2， ∴3x+2＝5x， ∴x＝1，

∴OA＝3x+2＝5，OH＝OD＝OC＝3x＝3， ∴AC＝OA+OC＝5+3＝8， 在Rt△ABC中，∵tanA＝

，

＝

＝5x，

∴BC＝AC•tanA＝8×＝6， ∴OB＝

＝

＝3

．

24．某超市销售一款“免洗洗手液”，这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．根据市场行情，现决定降价销售．市场调查反映：销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x（元），每天的销售量为y（瓶）． （1）求每天的销售量y（瓶）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价为多少元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为多少元？

【分析】（1）销售单价为x（元），销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶（销售单价不低于成本价），则

为降低了多少个0.5元，再乘以20即为多售出的瓶数，

然后加上80即可得出每天的销售量y；

（2）设每天的销售利润为w元，根据利润等于每天的销售量乘以每瓶的利润，列出w关于x的函数关系式，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案． 解：（1）由题意得：y＝80+20×∴y＝﹣40x+880；

（2）设每天的销售利润为w元，则有： w＝（﹣40x+880）（x﹣16） ＝﹣40（x﹣19）2+360， ∵a＝﹣40＜0，

∴二次函数图象开口向下，

∴当x＝19时，w有最大值，最大值为360元．

答：当销售单价为19元时，销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大，最大利润为880元．

六、解答题（本题满分14分）

25．如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F．

（1）如图1，若k＝1，则AF与AE之间的数量关系是 AF＝AE ；

（2）如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k的式子表示）

（3）若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长．

，

【分析】（1）证明△EAB≌△FAD（AAS），由全等三角形的性质得出AF＝AE； （2）证明△ABE∽△ADF，由相似三角形的性质得出

，则可得出结论；

，求出AG．则可得

（3）①如图1，当点F在DA上时，证得△GDF∽△GBA，得出＝出答案；

．由△ABE∽△ADF可得出

＝，求出AE＝

②如图2，当点F在DC的延长线上时，同理可求出EG的长． 解：（1）AE＝AF．

∵AD＝AB，四边形ABCD矩形， ∴四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°， ∵AF⊥AE， ∴∠EAF＝90°， ∴∠EAB＝∠FAD， ∴△EAB≌△FAD（AAS）， ∴AF＝AE； 故答案为：AF＝AE． （2）AF＝kAE．

证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADF＝90°， ∴∠FAD+∠FAB＝90°， ∵AF⊥AE， ∴∠EAF＝90°， ∴∠EAB+∠FAB＝90°， ∴∠EAB＝∠FAD， ∵∠ABE+∠ABC＝180°，

∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣90°＝90°， ∴∠ABE＝∠ADF． ∴△ABE∽△ADF， ∴

，

∵AD＝kAB， ∴∴

， ，

∴AF＝kAE．

（3）解：①如图1，当点F在DA上时，

∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵AD＝2AB＝4， ∴AB＝2， ∴CD＝2， ∵CF＝1，

∴DF＝CD﹣CF＝2﹣1＝1． 在Rt△ADF中，∠ADF＝90°， ∴AF＝∵DF∥AB，

∴∠GDF＝∠GBA，∠GFD＝∠GAB， ∴△GDF∽△GBA， ∴

，

＝

＝

，

∵AF＝GF+AG， ∴AG＝

．

∵△ABE∽△ADF， ∴∴AE＝

＝，

＝

．

在Rt△EAG中，∠EAG＝90°， ∴EG＝

＝

＝

，

②如图2，当点F在DC的延长线上时，DF＝CD+CF＝2+1＝3，

在Rt△ADF中，∠ADF＝90°， ∴AF＝∵DF∥AB，

∵∠GAB＝∠GFD，∠GBA＝∠GDF， ∴△AGB∽△FGD， ∴

＝，

＝

＝5．

∵GF+AG＝AF＝5， ∴AG＝2，

∵△ABE∽△ADF， ∴∴AE＝

，

，

在Rt△EAG中，∠EAG＝90°， ∴EG＝

＝

或

＝．

．

综上所述，EG的长为七、解答题（本题满分14分）

26．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D． （1）求抛物线的解析式；

（2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；

①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三

象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．

【分析】（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），即可求解；

（2）①分点P（P′）在点C的右侧、点P在点C的左侧两种情况，分别求解即可； ②证明△AGR≌△RHM（AAS），则点M（m+n，n﹣m﹣3），利用点M在抛物线上和AR＝NR，列出等式即可求解．

解：（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1）， 解得：a＝1，

故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3①；

（2）由抛物线的表达式知，点C、D的坐标分别为（0，﹣3）、（﹣1，﹣4）， 由点C、D的坐标知，直线CD的表达式为：y＝x﹣3； tan∠BCO＝，则cos∠BCO＝①当点P（P′）在点C的右侧时，

；

∵∠PAB＝∠BCO，

故P′B∥y轴，则点P′（1，﹣2）； 当点P在点C的左侧时，

设直线PB交y轴于点H，过点H作HN⊥BC于点N， ∵∠PAB＝∠BCO，

∴△BCH为等腰三角形，则BC＝2CH•cos∠BCO＝2×CH×解得：CH＝，则OH＝3﹣CH＝，故点H（0，﹣）， 由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y＝x﹣②， 联立①②并解得：

，

＝

，

故点P的坐标为（1，﹣2）或（﹣5，﹣8）； ②∵∠PAB＝∠BCO，而tan∠BCO＝，

故设直线AP的表达式为：y＝x+s，将点A的坐标代入上式并解得：s＝1， 故直线AP的表达式为：y＝x+1，

联立①③并解得：，故点N（，）；

设△AMN的外接圆为圆R，

当∠ANM＝45°时，则∠ARM＝90°，设圆心R的坐标为（m，n）， ∵∠GRA+∠MRH＝90°，∠MRH+∠RMH＝90°， ∴∠RMH＝∠GAR，

∵AR＝MR，∠AGR＝∠RHM＝90°， ∴△AGR≌△RHM（AAS）， ∴AG＝m+3＝RH，RG＝﹣n＝MH， ∴点M（m+n，n﹣m﹣3），

将点M的坐标代入抛物线表达式得：n﹣m﹣3＝（m+n）2+2（m+n）﹣3③， 由题意得：AR＝NR，即（m+3）2＝（m﹣）2+（

）2④，

联立③④并解得：，

故点M（﹣，﹣）．