一、选择题(共10小题). 1.﹣6的绝对值是( ) A.6
B.﹣6
C.
D.﹣
2.如图所示的几何体是由四个完全相同的小正方体搭成的,它的俯视图是( )
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是( ) A.x2•x3=x6 C.(x+y)2=x2+y2
B.xy2﹣xy2=xy2 D.(2xy2)2=4xy4
4.如图,AB∥CD,∠EFD=°,∠FEB的角平分线EG交CD于点G,则∠GEB的度数为 ( )
A.66° B.56° C.68° D.58°
5.反比例函数y=(x<0)的图象位于( ) A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限 =,则
D.第四象限
6.如图,在△ABC中,DE∥AB,且的值为( )
A. B. C. D.
7.如图,AB为⊙O的直径,点C,点D是⊙O上的两点,连接CA,CD,AD.若∠CAB=40°,则∠ADC的度数是( )
A.110° B.130° C.140° D.160°
8.一元二次方程x2﹣5x+6=0的解为( ) A.x1=2,x2=﹣3 C.x1=﹣2,x2=﹣3
B.x1=﹣2,x2=3 D.x1=2,x2=3
9.某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下:
射击次数
“射中九环以上”的次数
20 18
80 68
100 82
200 168
400 1000 327
823
“射中九环以上”的频率(结果保留两位小数) 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82 根据频率的稳定性,估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是( ) A.0.90
B.0.82
C.0.85
D.0.84
10.如图,在平面直角坐标系中,△OAB的边OA在x轴正半轴上,其中∠OAB=90°,AO=AB,点C为斜边OB的中点,反比例函数y=(k>0,x>0)的图象过点C且交线段AB于点D,连接CD,OD,若S△OCD=,则k的值为( )
A.3 B. C.2 D.1
二、填空題(每小题3分,共24分) 11.ax2﹣2axy+ay2= .
12.长江的流域面积大约是1800000平方千米,1800000用科学记数法表示为 . 13.(3
+
)(3
﹣
)= .
14.从甲、乙、丙三人中选拔一人参加职业技能大赛,经过几轮初赛选拔,他们的平均成绩都是87.9分,方差分别是S甲2=3.83,S乙2=2.71,S丙2=1.52.若选取成绩稳定的一人参加比赛,你认为适合参加比赛的选手是 .
15.一个圆锥的底面半径为3,高为4,则此圆锥的侧面积为 .
BD交于点O,OB=2,16.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,其中OA=1,则菱形ABCD的面积为 .
17.如图,△ABC为等边三角形,边长为6,AD⊥BC,垂足为点D,点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点,连接CE,EF,则CE+EF的最小值为 .
18.如图,∠MON=60°,点A1在射线ON上,且OA1=1,过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B1,在射线ON上截取A1A2,使得A1A2=A1B1;过点A2作A2B2⊥ON交射线OM于点B2,在射线ON上截取A2A3,使得A2A3=A2B2;…;按照此规律进行下去,则A2020B2020长为 .
三、解答题(19小题10分,20小题10分,共20分) 19.先化简,再求值:(求值.
20.随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转,各地开始复工复学,某校复学后成立“防疫志愿者服务队”,设立四个“服务监督岗”:①洗手监督岗,②戴口罩监督岗,③就餐监督岗,④操场活动监督岗.和王老师报名参加了志愿者服务工作,学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗.
(1)被分配到“洗手监督岗”的概率为 ;
(2)用列表法或面树状图法,求和王老师被分配到同一个监督岗的概率. 四、解答题(21小题12分,22小题12分,共24分)
21.“生活垃圾分类”逐渐成为社会生活新风尚,某学校为了了解学生对“生活垃圾分类”的看法,随机调查了200名学生(每名学生必须选择且只能选择一类看法),调查结果分为“A.很有必要”“B.有必要”“C.无所谓”“D.没有必要”四类.并根据调查结果绘制了图1和图2两幅统计图(均不完整),请根据图中提供的信息,解答下列问题:
﹣x)÷
,请在0≤x≤2的范围内选一个合适的整数代入
(1)补全条形统计图;
(2)扇形统计图中“D.没有必要”所在扇形的圆心角度数为 ;
(3)该校共有2500名学生,根据调查结果估计该校对“生活垃圾分类”认为“A.很有必要”的学生人数.
22.如图,海中有一个小岛A,它周围10海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由东向西航行,在B点测得小岛A在北偏西60°方向上,航行12海里到达C点,这时测得小岛A在北偏西30°方向上,如果渔船不改变方向继续向西航行,有没有触礁的危险?并说明理由.(参考数据:
≈1.73)
五、解答题(23小题12分,24小题12分,共24分)
23.如图,△ABC中,∠ACB=90°,BO为△ABC的角平分线,以点O为圆心,OC为半径作⊙O与线段AC交于点D. (1)求证:AB为⊙O的切线;
(2)若tanA=,AD=2,求BO的长.
24.某超市销售一款“免洗洗手液”,这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元,当销售单价定为20元时,每天可售出80瓶.根据市场行情,现决定降价销售.市场调查反映:销售单价每降低0.5元,则每天可多售出20瓶(销售单价不低于成本价),若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x(元),每天的销售量为y(瓶). (1)求每天的销售量y(瓶)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(2)当销售单价为多少元时,销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大,最大利润为多少元?
六、解答题(本题满分14分)
25.如图,在矩形ABCD中,AD=kAB(k>0),点E是线段CB延长线上的一个动点,连接AE,过点A作AF⊥AE交射线DC于点F.
(1)如图1,若k=1,则AF与AE之间的数量关系是 ;
(2)如图2,若k≠1,试判断AF与AE之间的数量关系,写出结论并证明;(用含k的式子表示)
(3)若AD=2AB=4,连接BD交AF于点G,连接EG,当CF=1时,求EG的长.
七、解答题(本题满分14分)
26.在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx﹣3过点A(﹣3,0),B(1,0),与y轴交于点C,顶点为点D. (1)求抛物线的解析式;
(2)点P为直线CD上的一个动点,连接BC;
①如图1,是否存在点P,使∠PBC=∠BCO?若存在,求出所有满足条件的点P的坐
标;若不存在,请说明理由;
②如图2,点P在x轴上方,连接PA交抛物线于点N,∠PAB=∠BCO,点M在第三象限抛物线上,连接MN,当∠ANM=45°时,请直接写出点M的坐标.
参
一、选择题(下列各题的备选答案中,只有一个是正确的,每小题3分,共30分) 1.﹣6的绝对值是( ) A.6
B.﹣6
C.
D.﹣
【分析】根据负数的绝对值是它的相反数,可得负数的绝对值. 解:|﹣6|=6, 故选:A.
2.如图所示的几何体是由四个完全相同的小正方体搭成的,它的俯视图是( )
A. B. C. D.
【分析】找到从上面看所得到的图形即可,所有的看到的棱都应表现在俯视图中. 解:从上面看易得俯视图:
.
故选:C.
3.下列计算正确的是( ) A.x2•x3=x6 C.(x+y)2=x2+y2
B.xy2﹣xy2=xy2 D.(2xy2)2=4xy4
【分析】根据完全平方公式,同底数幂的乘法、合并同类项、积的乘方的运算法则分别进行计算后,可得到正确答案.
解:A、x2•x3=x5,原计算错误,故此选项不符合题意; B、xy2﹣xy2=xy2,原计算正确,故此选项符合题意; C、(x+y)2=x2+2xy+y2,原计算错误,故此选项不符合题意; D、(2xy2)2=4xy4,原计算错误,故此选项不符合题意.
故选:B.
4.如图,AB∥CD,∠EFD=°,∠FEB的角平分线EG交CD于点G,则∠GEB的度数为 ( )
A.66° B.56° C.68° D.58°
【分析】根据平行线的性质求得∠BEF,再根据角平分线的定义求得∠GEB. 解:∵AB∥CD,
∴∠BEF+∠EFD=180°, ∴∠BEF=180°﹣°=116°; ∵EG平分∠BEF, ∴∠GEB=58°. 故选:D.
5.反比例函数y=(x<0)的图象位于( ) A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【分析】根据题目中的函数解析式和x的取值范围,可以解答本题. 解:∵反比例函数y=(x<0)中,k=1>0, ∴该函数图象在第三象限, 故选:C.
6.如图,在△ABC中,DE∥AB,且
=,则
的值为( )
A. B. C. D.
【分析】平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段成比例,据此可得结论. 解:∵DE∥AB, ∴∴
=
=,
的值为,
故选:A.
7.如图,AB为⊙O的直径,点C,点D是⊙O上的两点,连接CA,CD,AD.若∠CAB=40°,则∠ADC的度数是( )
A.110° B.130° C.140° D.160°
【分析】连接BC,如图,利用圆周角定理得到∠ACB=90°,则∠B=50°,然后利用圆的内接四边形的性质求∠ADC的度数. 解:如图,连接BC, ∵AB为⊙O的直径, ∴∠ACB=90°,
∴∠B=90°﹣∠CAB=90°﹣40°=50°, ∵∠B+∠ADC=180°,
∴∠ADC=180°﹣50°=130°. 故选:B.
8.一元二次方程x2﹣5x+6=0的解为( )
A.x1=2,x2=﹣3 C.x1=﹣2,x2=﹣3
【分析】利用因式分解法解方程. 解:(x﹣2)(x﹣3)=0, x﹣2=0或x﹣3=0, 所以x1=2,x2=3. 故选:D.
B.x1=﹣2,x2=3 D.x1=2,x2=3
9.某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下:
射击次数
“射中九环以上”的次数
20 18
80 68
100 82
200 168
400 1000 327
823
“射中九环以上”的频率(结果保留两位小数) 0.90 0.85 0.82 0.84 0.82 0.82 根据频率的稳定性,估计这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率约是( ) A.0.90
B.0.82
C.0.85
D.0.84
【分析】根据大量的实验结果稳定在0.82左右即可得出结论. 解:∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.82附近, ∴这名运动员射击一次时“射中九环以上”的概率是0.82. 故选:B.
10.如图,在平面直角坐标系中,△OAB的边OA在x轴正半轴上,其中∠OAB=90°,AO=AB,点C为斜边OB的中点,反比例函数y=(k>0,x>0)的图象过点C且交线段AB于点D,连接CD,OD,若S△OCD=,则k的值为( )
A.3 B. C.2 D.1
【分析】根据题意设B(m,m),则A(m,0),C(,),D(m,m),然后
根据S△COD=S△COE+S梯形ADCE﹣S△AOD=S梯形ADCE,得到(+)•(m﹣m)=,即可求得k=
=2.
解:根据题意设B(m,m),则A(m,0), ∵点C为斜边OB的中点, ∴C(,),
∵反比例函数y=(k>0,x>0)的图象过点C, ∴k=•
=
,
∵∠OAB=90°, ∴D的横坐标为m,
∵反比例函数y=(k>0,x>0)的图象过点D, ∴D的纵坐标为, 作CE⊥x轴于E,
∵S△COD=S△COE+S梯形ADCE﹣S△AOD=S梯形ADCE,S△OCD=, ∴(AD+CE)•AE=,即(+)•(m﹣m)=, ∴∴k=
=1, =2,
故选:C.
二、填空題(每小题3分,共24分) 11.ax2﹣2axy+ay2= a(x﹣y)2 .
【分析】首先提取公因式a,再利用完全平方公式分解因式即可. 解:ax2﹣2axy+ay2
=a(x2﹣2xy+y2) =a(x﹣y)2. 故答案为:a(x﹣y)2.
12.长江的流域面积大约是1800000平方千米,1800000用科学记数法表示为 1.8×106 .【分析】根据科学记数法的表示方法:a×10n,可得答案. 解:将1800000用科学记数法表示为 1.8×106, 故答案为:1.8×106. 13.(3
+
)(3
﹣
)= 12 .
【分析】直接利用平方差公式计算得出答案. 解:原式=(3=18﹣6 =12.
故答案为:12.
14.从甲、乙、丙三人中选拔一人参加职业技能大赛,经过几轮初赛选拔,他们的平均成绩都是87.9分,方差分别是S甲2=3.83,S乙2=2.71,S丙2=1.52.若选取成绩稳定的一人参加比赛,你认为适合参加比赛的选手是 丙 .
【分析】再平均数相等的前提下,方差越小成绩越稳定,据此求解可得. 解:∵平均成绩都是87.9分,S甲2=3.83,S乙2=2.71,S丙2=1.52, ∴S丙2<S乙2<S甲2, ∴丙选手的成绩更加稳定, ∴适合参加比赛的选手是丙, 故答案为:丙.
15.一个圆锥的底面半径为3,高为4,则此圆锥的侧面积为 15π .
【分析】首先根据底面半径和高利用勾股定理求得母线长,然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可.
解:∵圆锥的底面半径为3,高为4, ∴母线长为5,
∴圆锥的侧面积为:πrl=π×3×5=15π, 故答案为:15π
BD交于点O,OB=2,16.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,其中OA=1,则菱形ABCD
)2﹣(
)2
的面积为 4 .
【分析】根据菱形的面积等于对角线之积的一半可得答案. 解:∵OA=1,OB=2, ∴AC=2,BD=4,
∴菱形ABCD的面积为×2×4=4. 故答案为:4.
17.如图,△ABC为等边三角形,边长为6,AD⊥BC,垂足为点D,点E和点F分别是线段AD和AB上的两个动点,连接CE,EF,则CE+EF的最小值为 3
.
【分析】过C作CF⊥AB交AD于E,则此时,CE+EF的值最小,且CE+EF的最小值=CF,根据等边三角形的性质得到BF=AB=解:过C作CF⊥AB交AD于E,
则此时,CE+EF的值最小,且CE+EF的最小值=CF, ∵△ABC为等边三角形,边长为6, ∴BF=AB=∴CF=
6=3, =
,
=3
,
6=3,根据勾股定理即可得到结论.
∴CE+EF的最小值为3故答案为:3
.
18.如图,∠MON=60°,点A1在射线ON上,且OA1=1,过点A1作A1B1⊥ON交射线OM于点B1,在射线ON上截取A1A2,使得A1A2=A1B1;过点A2作A2B2⊥ON交射线OM于点B2,在射线ON上截取A2A3,使得A2A3=A2B2;…;按照此规律进行下去,则A2020B2020长为
(1+
)2019 .
【分析】解直角三角形求出A1B1,A2B2,A3B3,…,探究规律利用规律即可解决问题. 解:在Rt△OA1B1中,∵∠OA1B1=90°,∠MON=60°,OA1=1, ∴A1B1=A1A2=OA1•tan60°=∵A1B1∥A2B2, ∴
=
,
,
∴=
(1+
, ), (1+
)2,
∴A2B2=
同法可得,A3B3=…
由此规律可知,A2020B2020=故答案为
(1+
)2019.
(1+)2019,
三、解答题(19小题10分,20小题10分,共20分) 19.先化简,再求值:(求值.
【分析】先去括号、化除法为乘法进行化简,然后根据分式有意义的条件取x的值,代入求值即可. 解:原式==
=﹣2﹣x. ∵x≠1,x≠2,
∴在0≤x≤2的范围内的整数选x=0. 当x=0时,原式=﹣2﹣0=﹣2.
20.随着“新冠肺炎”疫情防控形势日渐好转,各地开始复工复学,某校复学后成立“防疫志愿者服务队”,设立四个“服务监督岗”:①洗手监督岗,②戴口罩监督岗,③就餐监督岗,④操场活动监督岗.和王老师报名参加了志愿者服务工作,学校将报名的志愿者随机分配到四个监督岗.
(1)被分配到“洗手监督岗”的概率为
;
•
•
﹣x)÷
,请在0≤x≤2的范围内选一个合适的整数代入
(2)用列表法或面树状图法,求和王老师被分配到同一个监督岗的概率. 【分析】(1)直接利用概率公式计算;
(2)画树状图展示所有16种等可能的结果,找出和王老师被分配到同一个监督岗的结果数,然后根据概率公式计算.
解:(1)被分配到“洗手监督岗”的概率=; 故答案为:; (2)画树状图为:
共有16种等可能的结果,其中和王老师被分配到同一个监督岗的结果数为4,
所以和王老师被分配到同一个监督岗的概率=四、解答题(21小题12分,22小题12分,共24分)
=.
21.“生活垃圾分类”逐渐成为社会生活新风尚,某学校为了了解学生对“生活垃圾分类”的看法,随机调查了200名学生(每名学生必须选择且只能选择一类看法),调查结果分为“A.很有必要”“B.有必要”“C.无所谓”“D.没有必要”四类.并根据调查结果绘制了图1和图2两幅统计图(均不完整),请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)补全条形统计图;
(2)扇形统计图中“D.没有必要”所在扇形的圆心角度数为 18° ;
(3)该校共有2500名学生,根据调查结果估计该校对“生活垃圾分类”认为“A.很有必要”的学生人数.
【分析】(1)根据扇形统计图中的数据,可以计算出A组的人数,然后再根据条形统计图中的数据,即可得到C组的人数,然后即可将条形统计图补充完整;
(2)根据条形统计图中D组的人数,可以计算出扇形统计图中“D.没有必要”所在扇形的圆心角度数;
(3)根据扇形统计图中A组所占的百分比,即可计算出该校对“生活垃圾分类”认为“A.很有必要”的学生人数.
解:(1)A组学生有:200×30%=60(人), C组学生有:200﹣60﹣80﹣10=50(人), 补全的条形统计图,如右图所示;
(2)扇形统计图中“D.没有必要”所在扇形的圆心角度数为:360°×故答案为:18°;
=18°,
(3)2500×30%=750(人),
答:该校对“生活垃圾分类”认为“A.很有必要”的学生有750人.
22.如图,海中有一个小岛A,它周围10海里内有暗礁,渔船跟踪鱼群由东向西航行,在B点测得小岛A在北偏西60°方向上,航行12海里到达C点,这时测得小岛A在北偏西30°方向上,如果渔船不改变方向继续向西航行,有没有触礁的危险?并说明理由.(参考数据:
≈1.73)
【分析】作高AN,由题意可得∠ABE=60°,∠ACD=30°,进而得出∠ABC=∠BAC=30°,于是AC=BC=12,在在Rt△ANC中,利用直角三角形的边角关系,求出AN与10海里比较即可.
【解答】 解:没有触礁的危险;
理由:如图,过点A作AN⊥BC交BC的延长线于点N, 由题意得,∠ABE=60°,∠ACD=30°, ∴∠ACN=60°,∠ABN=30°, ∴∠ABC=∠BAC=30°, ∴BC=AC=12,
在Rt△ANC中,AN=AC•cos60°=12×∵AN=6
≈10.38>10,
=6
,
∴没有危险.
五、解答题(23小题12分,24小题12分,共24分)
23.如图,△ABC中,∠ACB=90°,BO为△ABC的角平分线,以点O为圆心,OC为半径作⊙O与线段AC交于点D. (1)求证:AB为⊙O的切线;
(2)若tanA=,AD=2,求BO的长.
【分析】(1)过O作OH⊥AB于H,根据角平分线的性质得到OH=OC,根据切线的判定定理即可得到结论;
(2)设⊙O的半径为3x,则OH=OD=OC=3x,在解直角三角形即可得到结论. 【解答】 (1)证明:过O作OH⊥AB于H, ∵∠ACB=90°, ∴OC⊥BC,
∵BO为△ABC的角平分线,OH⊥AB, ∴OH=OC,
即OH为⊙O的半径, ∵OH⊥AB, ∴AB为⊙O的切线;
(2)解:设⊙O的半径为3x,则OH=OD=OC=3x, 在Rt△AOH中,∵tanA=, ∴
=,
∴=,
∴AH=4x, ∴AO=∵AD=2,
∴AO=OD+AD=3x+2, ∴3x+2=5x, ∴x=1,
∴OA=3x+2=5,OH=OD=OC=3x=3, ∴AC=OA+OC=5+3=8, 在Rt△ABC中,∵tanA=
,
=
=5x,
∴BC=AC•tanA=8×=6, ∴OB=
=
=3
.
24.某超市销售一款“免洗洗手液”,这款“免洗洗手液”的成本价为每瓶16元,当销售单价定为20元时,每天可售出80瓶.根据市场行情,现决定降价销售.市场调查反映:销售单价每降低0.5元,则每天可多售出20瓶(销售单价不低于成本价),若设这款“免洗洗手液”的销售单价为x(元),每天的销售量为y(瓶). (1)求每天的销售量y(瓶)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(2)当销售单价为多少元时,销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大,最大利润为多少元?
【分析】(1)销售单价为x(元),销售单价每降低0.5元,则每天可多售出20瓶(销售单价不低于成本价),则
为降低了多少个0.5元,再乘以20即为多售出的瓶数,
然后加上80即可得出每天的销售量y;
(2)设每天的销售利润为w元,根据利润等于每天的销售量乘以每瓶的利润,列出w关于x的函数关系式,将其写成顶点式,按照二次函数的性质可得答案. 解:(1)由题意得:y=80+20×∴y=﹣40x+880;
(2)设每天的销售利润为w元,则有: w=(﹣40x+880)(x﹣16) =﹣40(x﹣19)2+360, ∵a=﹣40<0,
∴二次函数图象开口向下,
∴当x=19时,w有最大值,最大值为360元.
答:当销售单价为19元时,销售这款“免洗洗手液”每天的销售利润最大,最大利润为880元.
六、解答题(本题满分14分)
25.如图,在矩形ABCD中,AD=kAB(k>0),点E是线段CB延长线上的一个动点,连接AE,过点A作AF⊥AE交射线DC于点F.
(1)如图1,若k=1,则AF与AE之间的数量关系是 AF=AE ;
(2)如图2,若k≠1,试判断AF与AE之间的数量关系,写出结论并证明;(用含k的式子表示)
(3)若AD=2AB=4,连接BD交AF于点G,连接EG,当CF=1时,求EG的长.
,
【分析】(1)证明△EAB≌△FAD(AAS),由全等三角形的性质得出AF=AE; (2)证明△ABE∽△ADF,由相似三角形的性质得出
,则可得出结论;
,求出AG.则可得
(3)①如图1,当点F在DA上时,证得△GDF∽△GBA,得出=出答案;
.由△ABE∽△ADF可得出
=,求出AE=
②如图2,当点F在DC的延长线上时,同理可求出EG的长. 解:(1)AE=AF.
∵AD=AB,四边形ABCD矩形, ∴四边形ABCD是正方形, ∴∠BAD=90°, ∵AF⊥AE, ∴∠EAF=90°, ∴∠EAB=∠FAD, ∴△EAB≌△FAD(AAS), ∴AF=AE; 故答案为:AF=AE. (2)AF=kAE.
证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠BAD=∠ABC=∠ADF=90°, ∴∠FAD+∠FAB=90°, ∵AF⊥AE, ∴∠EAF=90°, ∴∠EAB+∠FAB=90°, ∴∠EAB=∠FAD, ∵∠ABE+∠ABC=180°,
∴∠ABE=180°﹣∠ABC=180°﹣90°=90°, ∴∠ABE=∠ADF. ∴△ABE∽△ADF, ∴
,
∵AD=kAB, ∴∴
, ,
∴AF=kAE.
(3)解:①如图1,当点F在DA上时,
∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=CD,AB∥CD, ∵AD=2AB=4, ∴AB=2, ∴CD=2, ∵CF=1,
∴DF=CD﹣CF=2﹣1=1. 在Rt△ADF中,∠ADF=90°, ∴AF=∵DF∥AB,
∴∠GDF=∠GBA,∠GFD=∠GAB, ∴△GDF∽△GBA, ∴
,
=
=
,
∵AF=GF+AG, ∴AG=
.
∵△ABE∽△ADF, ∴∴AE=
=,
=
.
在Rt△EAG中,∠EAG=90°, ∴EG=
=
=
,
②如图2,当点F在DC的延长线上时,DF=CD+CF=2+1=3,
在Rt△ADF中,∠ADF=90°, ∴AF=∵DF∥AB,
∵∠GAB=∠GFD,∠GBA=∠GDF, ∴△AGB∽△FGD, ∴
=,
=
=5.
∵GF+AG=AF=5, ∴AG=2,
∵△ABE∽△ADF, ∴∴AE=
,
,
在Rt△EAG中,∠EAG=90°, ∴EG=
=
或
=.
.
综上所述,EG的长为七、解答题(本题满分14分)
26.在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx﹣3过点A(﹣3,0),B(1,0),与y轴交于点C,顶点为点D. (1)求抛物线的解析式;
(2)点P为直线CD上的一个动点,连接BC;
①如图1,是否存在点P,使∠PBC=∠BCO?若存在,求出所有满足条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由;
②如图2,点P在x轴上方,连接PA交抛物线于点N,∠PAB=∠BCO,点M在第三
象限抛物线上,连接MN,当∠ANM=45°时,请直接写出点M的坐标.
【分析】(1)y=ax2+bx﹣3=a(x+3)(x﹣1),即可求解;
(2)①分点P(P′)在点C的右侧、点P在点C的左侧两种情况,分别求解即可; ②证明△AGR≌△RHM(AAS),则点M(m+n,n﹣m﹣3),利用点M在抛物线上和AR=NR,列出等式即可求解.
解:(1)y=ax2+bx﹣3=a(x+3)(x﹣1), 解得:a=1,
故抛物线的表达式为:y=x2+2x﹣3①;
(2)由抛物线的表达式知,点C、D的坐标分别为(0,﹣3)、(﹣1,﹣4), 由点C、D的坐标知,直线CD的表达式为:y=x﹣3; tan∠BCO=,则cos∠BCO=①当点P(P′)在点C的右侧时,
;
∵∠PAB=∠BCO,
故P′B∥y轴,则点P′(1,﹣2); 当点P在点C的左侧时,
设直线PB交y轴于点H,过点H作HN⊥BC于点N, ∵∠PAB=∠BCO,
∴△BCH为等腰三角形,则BC=2CH•cos∠BCO=2×CH×解得:CH=,则OH=3﹣CH=,故点H(0,﹣), 由点B、H的坐标得,直线BH的表达式为:y=x﹣②, 联立①②并解得:
,
=
,
故点P的坐标为(1,﹣2)或(﹣5,﹣8); ②∵∠PAB=∠BCO,而tan∠BCO=,
故设直线AP的表达式为:y=x+s,将点A的坐标代入上式并解得:s=1, 故直线AP的表达式为:y=x+1,
联立①③并解得:,故点N(,);
设△AMN的外接圆为圆R,
当∠ANM=45°时,则∠ARM=90°,设圆心R的坐标为(m,n), ∵∠GRA+∠MRH=90°,∠MRH+∠RMH=90°, ∴∠RMH=∠GAR,
∵AR=MR,∠AGR=∠RHM=90°, ∴△AGR≌△RHM(AAS), ∴AG=m+3=RH,RG=﹣n=MH, ∴点M(m+n,n﹣m﹣3),
将点M的坐标代入抛物线表达式得:n﹣m﹣3=(m+n)2+2(m+n)﹣3③, 由题意得:AR=NR,即(m+3)2=(m﹣)2+(
)2④,
联立③④并解得:,
故点M(﹣,﹣).
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