新华区高中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案(1)

新华区高中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC．若AB=AC=AA1=1，BC=与B1C1所成的角为（ ）

，则异面直线A1C

A．30° B．45° C．60° D．90°

2． 下面各组函数中为相同函数的是（ ） A．f（x）=

，g（x）=x﹣1

B．f（x）=

，g（x）=

C．f（x）=ln ex与g（x）=elnx D．f（x）=（x﹣1）0与g（x）=

3． 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱线长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF=中错误的是（ ）

，则下列结论

A．AC⊥BE B．EF∥平面ABCD

C．三棱锥A﹣BEF的体积为定值

D．异面直线AE，BF所成的角为定值

4． 已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为4cm，高为10cm，则一质点自点A出发，沿着三棱 柱的侧面，绕行两周到达点A1的最短路线的长为（ ）

A．16cm B．123cm C．243cm D．26cm

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5． 下列四个命题中的真命题是（ ）

A．经过定点P0x0,y0的直线都可以用方程yy0kxx0表示

B．经过任意两个不同点P1x1,y1、P2x2,y2的直线都可以用方程yy1x2x1xx1y2y1 表示

xy1表示 abD．经过定点A0,b的直线都可以用方程ykxb表示

C．不经过原点的直线都可以用方程

6． 矩形ABCD中，AD=mAB，E为BC的中点，若A．

B．

C．2

D．3

，则m=（ ）

7． 已知全集U=R，集合A={1，2，3，4，5}，B={x∈R|x≥3}，图中阴影部分所表示的集合为 （ ）

A．{1} 8． 若函数A．（﹣∞，2）

B．{1，2} C．{1，2，3} D．{0，1，2}

是R上的单调减函数，则实数a的取值范围是（ ）

B．

C．（0，2）

D．

9． 某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（ ）

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A．2 B． C． D．3

10．一个大型喷水池的有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100米到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是（ ）

A．50米 B．60米 C．80米 D．100米

11．执行如图所示程序框图，若使输出的结果不大于50，则输入的整数k的最大值为（ ） A．4

B．5

C．6

D．7

12．已知函数f（x）=2x﹣2，则函数y=|f（x）|的图象可能是（ ）

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A． B．C．

D．

2

2二、填空题

13．若实数a,b,c,d满足ba24lna2cd20，则acbd的最小值为 ▲ ． 14．已知x，y满足条件

，则函数z=﹣2x+y的最大值是 ．

15．定义某种运算⊗，S=a⊗b的运算原理如图；则式子5⊗3+2⊗4= ．

16．在三角形ABC中，已知AB=4，AC=3，BC=6，P为BC中点，则三角形ABP的周长为 ．

17．直角坐标P（﹣1，1）的极坐标为（ρ＞0，0＜θ＜π） ．

yxy22xy3x218．已知x,y满足xy4，则的取值范围为____________. 2xx1第 4 页，共 18 页

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三、解答题

19．已知y=f（x）的定义域为[1，4]，f（1）=2，f（2）=3．当x∈[1，2]时，f（x）的图象为线段；当x∈[2，4]时，f（x）的图象为二次函数图象的一部分，且顶点为（3，1）． （1）求f（x）的解析式； （2）求f（x）的值域．

20．武汉市为增强市民交通安全意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示． （1）分别求第3，4，5组的频率；

（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？

（3）在（2）的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．

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21．在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（0，4）；B（﹣3，0），C（1，1） （1）求点C到直线AB的距离； （2）求AB边的高所在直线的方程．

22．（1）直线l的方程为（a+1）x+y+2﹣a=0（a∈R）．若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值； （2）已知A（﹣2，4），B（4，0），且AB是圆C的直径，求圆C的标准方程．

23．函数f（x）=sin2x+（2）当x∈[0，

24．已知函数f（x）=aln（x+1）+x2﹣x，其中a为非零实数． （Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

sinxcosx．

（1）求函数f（x）的递增区间；

]时，求f（x）的值域．

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（Ⅱ）若y=f（x）有两个极值点α，β，且α＜β，求证：

＜．（参考数据：ln2≈0.693）

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新华区高中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参）

一、选择题

1． 【答案】C

【解析】解：因为几何体是棱柱，BC∥B1C1，则直线A1C与BC所成的角为就是异面直线A1C与B1C1所成的角．

直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC．若AB=AC=AA1=1，BC=CA1=故选：C．

，

，BA1=

，

三角形BCA1是正三角形，异面直线所成角为60°．

2． 【答案】D

【解析】解：对于A：f（x）=|x﹣1|，g（x）=x﹣1，表达式不同，不是相同函数；

对于B：f（x）的定义域是：{x|x≥1或x≤﹣1}，g（x）的定义域是{x}x≥1}，定义域不同，不是相同函数； 对于C：f（x）的定义域是R，g（x）的定义域是{x|x＞0}，定义域不同，不是相同函数； 对于D：f（x）=1，g（x）=1，定义域都是{x|x≠1}，是相同函数； 故选：D．

【点评】本题考查了判断两个函数是否是同一函数问题，考查指数函数、对数函数的性质，是一道基础题． 3． 【答案】 D

【解析】解：∵在正方体中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B1D1DB，BE⊂平面B1D1DB，∴AC⊥BE，故A正确； ∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，EF⊂平面A1B1C1D1，∴EF∥平面ABCD，故B正确； ∵EF=

，∴△BEF的面积为定值×EF×1=

，又AC⊥平面BDD1B1，∴AO为棱锥A﹣BEF的高，∴三棱

锥A﹣BEF的体积为定值，故C正确；

∵利用图形设异面直线所成的角为α，当E与D1重合时sinα=，α=30°；当F与B1重合时tanα=直线AE、BF所成的角不是定值，故D错误；

，∴异面

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故选D．

4． 【答案】D 【解析】

考

点：多面体的表面上最短距离问题．

【方法点晴】本题主要考查了多面体和旋转体的表面上的最短距离问题，其中解答中涉及到多面体与旋转体的侧面展开图的应用、直角三角形的勾股定理的应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，学生的空间想象能力、以及转化与化归思想的应用，试题属于基础题． 5． 【答案】B 【解析】

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考

点：直线方程的形式.

【方法点晴】本题主要考查了直线方程的表示形式，对于直线的点斜式方程只能表示斜率存在的直线；直线的斜截式方程只能表示斜率存在的直线；直线的饿两点式方程不能表示和坐标轴平行的直线；直线的截距式方程不能表示与坐标轴平行和过原点的直线，此类问题的解答中熟记各种直线方程的局限性是解答的关键.111] 6． 【答案】A

【解析】解：∵AD=mAB，E为BC的中点， ∴=∵∴∴

•=﹣+

=， ， =（

+

）（

﹣

）=|

|2﹣|

|2+

=（

﹣1）|

|2=0，

+

=

+

，

﹣1=0，

或m=﹣

（舍去），

解得m=故选：A

【点评】本题考查了向量的加减的几何意义和向量的数量积运算，以及向量垂直的条件，属于中档题．

7． 【答案】B

【解析】解：图中阴影部分表示的集合中的元素是在集合A中，但不在集合B中． 由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（CUB）∩A， 又A={1，2，3，4，5}，B={x∈R|x≥3}， ∵CUB={x|x＜3}，

∴（CUB）∩A={1，2}．

则图中阴影部分表示的集合是：{1，2}． 故选B． 于基础题．

【点评】本小题主要考查Venn图表达集合的关系及运算、Venn图的应用等基础知识，考查数形结合思想．属

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8． 【答案】B

【解析】解：∵函数

是R上的单调减函数，

∴∴故选B

【点评】本题主要考查分段函数的单调性问题，要注意不连续的情况．

9． 【答案】D

【解析】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是： V=故选D．

=3⇒x=3．

【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．

10．【答案】A

【解析】解：如图所示， 设水柱CD的高度为h．

在Rt△ACD中，∵∠DAC=45°，∴AC=h． ∵∠BAE=30°，∴∠CAB=60°． 在Rt△BCD中，∠CBD=30°，∴BC=

．

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222

在△ABC中，由余弦定理可得：BC=AC+AB﹣2ACABcos60°．

∴（

222）=h+100﹣，

2

化为h+50h﹣5000=0，解得h=50．

故选：A．

【点评】本题考查了直角三角形的边角关系、余弦定理，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．

11．【答案】A

解析：模拟执行程序框图，可得 S=0，n=0

满足条，0≤k，S=3，n=1 满足条件1≤k，S=7，n=2 满足条件2≤k，S=13，n=3 满足条件3≤k，S=23，n=4 满足条件4≤k，S=41，n=5

满足条件5≤k，S=75，n=6 …

若使输出的结果S不大于50，则输入的整数k不满足条件5≤k，即k＜5， 则输入的整数k的最大值为4． 故选：

12．【答案】B

x

【解析】解：先做出y=2的图象，在向下平移两个单位，得到y=f（x）的图象， 再将x轴下方的部分做关于x轴的对称图象即得y=|f（x）|的图象． 故选B

【点评】本题考查含有绝对值的函数的图象问题，先作出y=f（x）的图象，再将x轴下方的部分做关于x轴的对称图象即得y=|f（x）|的图象．

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二、填空题

13．【答案】5 【解析】

考

点：利用导数求最值

【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′（x）＞0或f′（x）＜0求单调区间；第二步：解f′（x）＝0得两个根x1、x2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小． 14．【答案】 4 ．

【解析】解：由约束条件

作出可行域如图，

化目标函数z=﹣2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过点A（﹣2，0）时， 直线y=2x+z在y轴上的截距最大，即z最大，此时z=﹣2×（﹣2）+0=4． 故答案为：4．

【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．

15．【答案】 14 ．

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【解析】解：有框图知S=a⊗b=

∴5⊗3+2⊗4=5×（3﹣1）+4×（2﹣1）=14 故答案为14

【点评】新定义题是近几年常考的题型，要重视．解决新定义题关键是理解题中给的新定义．

16．【答案】 7+

【解析】解：如图所示， 设∠APB=α，∠APC=π﹣α． 在△ABP与△APC中，

222

由余弦定理可得：AB=AP+BP﹣2AP•BPcosα，

AC2=AP2+PC2﹣2AP•PCcos（π﹣α），

222

∴AB+AC=2AP+222∴4+3=2AP+

， ，

解得AP=．

．

∴三角形ABP的周长=7+故答案为：7+

．

【点评】本题考查了余弦定理的应用、中线长定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

17．【答案】

【解析】解：ρ=∴点P的极坐标为故答案为：

．

=．

，tanθ=

=﹣1，且0＜θ＜π，∴θ=

．

．

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18．【答案】2,6 【解析】

考点：简单的线性规划．

【方法点睛】本题主要考查简单的线性规划.与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数

22的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成.常见代数式的几何意义：（1）xy表示点

x,y与原点0,0的距离；（2）xayb表示点x,y与点a,b间的距离；（3）

yb22y可表示点xx,y与0,0点连线的斜率；（4）xa表示点x,y与点a,b连线的斜率.

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）当x∈[1，2]时f（x）的图象为线段， 设f（x）=ax+b，又有f（1）=2，f（2）=3 ∵a+b=2，2a+b=3，

解得a=1，b=1，f（x）=x+1，

当x∈[2，4]时，f（x）的图象为二次函数的一部分， 且顶点为（3，1），

2

设f（x）=a（x﹣3）+1，又f（2）=3， 2

所以代入得a+1=3，a=2，f（x）=2（x﹣3）+1．

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（2）当x∈[1，2]，2≤f（x）≤3， 当x∈[2，4]，1≤f（x）≤3， 所以1≤f（x）≤3． 故f（x）的值域为[1，3]．

20．【答案】

【解析】解：（1）由题意可知第3组的频率为0.06×5=0.3， 第4组的频率为0.04×5=0.2， 第5组的频率为0.02×5=0.1； （2）第3组的人数为0.3×100=30， 第4组的人数为0.2×100=20， 第5组的人数为0.1×100=10； 因为第3，4，5组共有60名志愿者，

所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者， 每组抽取的人数分别为：第3组

=3；第4组

=2；第5组

=1；

应从第3，4，5组各抽取3，2，1名志愿者．

（3）记第3组3名志愿者为1，2，3；第4组2名志愿者为4，5；第5组1名志愿者为6； 在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者有：

（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6）， （2，3），（2，4），（2，5），（2，6）， （3，4），（3，5），（3，6）， （4，5），（4，6）， （5，6）；

共有15种，第4组2名志愿者为4，5；至少有一名志愿者被抽有9种， 所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为

．

【点评】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，频率分布直方图，考查计算能力．

21．【答案】 【解析】解（1）∵

∴根据直线的斜截式方程，直线AB：

，

，化成一般式为：4x﹣3y+12=0，

；

∴根据点到直线的距离公式，点C到直线AB的距离为

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（2）由（1）得直线AB的斜率为，∴AB边的高所在直线的斜率为由直线的点斜式方程为：

∴AB边的高所在直线的方程为3x+4y﹣7=0．

22．【答案】

【解析】解：（1）当a=﹣1时，直线化为y+3=0，不符合条件，应舍去； 当a≠﹣1时，分别令x=0，y=0，解得与坐标轴的交点（0，a﹣2），（∵直线l在两坐标轴上的截距相等， ∴a﹣2=

，解得a=2或a=0；

，

，化成一般式方程为：3x+4y﹣7=0，

，0）．

（2）∵A（﹣2，4），B（4，0）， ∴线段AB的中点C坐标为（1，2）． 又∵|AB|=

∴所求圆的半径r=|AB|=

．

，

22

因此，以线段AB为直径的圆C的标准方程为（x﹣1）+（y﹣2）=13．

23．【答案】

【解析】解：（1）令

f（x）的递增区间为（2）∵∴

∴f（x）的值域是

，∴

，∴…（12分）

解得

…（6分） …（8分）

…（10分）

…

…（2分）

【点评】本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的最值，考查计算能力．

24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）

．

当a﹣1≥0时，即a≥1时，f'（x）≥0，f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；

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当0＜a＜1时，由f'（x）=0得，故f（x）在调递增；

当a＜0时，由f'（x）=0得，f（x）在

所以α+β=0，αβ=a﹣1．

证明：（Ⅱ）由（I）知，0＜a＜1，且

，

上单调递减，在

上单调递增，在

，

上单调递减，在

上单

上单调递增．

，

．

由0＜a＜1得，0＜β＜1． 构造函数

．

，

22

设h（x）=2（x+1）ln（x+1）﹣2x+x，x∈（0，1），

则

因为0＜x＜1， 所以，h'（x）＞0，

，

故h（x）在（0，1）上单调递增， 所以h（x）＞h（0）=0，即g'（x）＞0， 所以g（x）在（0，1）上单调递增， 所以故

．

，

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