・３８・ 中学教研（数学） ２００９年 成立． 难度和求变的良苦用心．数列与不等式的综合还 ，①当ｎ＝１时，左边＝ ３，右边＝ 因为÷＞ 有：陕西省数学高考理科第２２题、安徽省数学高考 理科第２ｌ题、安徽省数学高考文科第１９题、湖北 省数学高考理科第１９题、四川省数学高考第２２题 等，都属于稍难题 ３复习建议 所以不等式成立． ②假设当凡：ｋ时不等式成立，即 ｂｌ＋１ ｂ２＋１ ｂ１ ｂ２ ｂ ＋ｌ ｂ 高考数列的命题通常是以主观题和客观题的 形式出现的．客观题主要考查纯数列，尤其是等差、 等比数列的基本运算；主观题有纯数列问题或数列 与函数、方程、不等式、解析几何等知识的综合题， 考查的内容和形式灵活多样，常考常新，多以中、高 档题出现．纵观近几年的高考数列题，尤其是２００９ 年各省市的高考题，总体上难度有所下降，浙江省 数学高考理科试题只考了一道填空基础题．结合上 述分析，对２０１０年的高考数列复习提出如下建议： （１）牢固、全面掌握数列、等差、等比数列的基 本概念、通项求和公式；牢固、全面掌握求通项、和、 研究单调性与最值的通法． （２）关注数列的项、和的性质的灵活应用． 吾・…２ 三４・● …・６…・・・● ２一、．ｋ＞ ， ４一。．‘Ｉ 成立．则当／７，＝ｋ＋１时，左边＝ ｂ１＋１ ｂ２＋１ ｂ１ ３ ５ ｂ２ ７ ｂ ＋１ ｂ ＋１＋１ ｂ ｂ ＋１ ２后＋１ ２后＋３ 。 。百…一百‘２—ｋ—＋２＞ 厢・ ＝√ 等＝ ／ （墨± ！：± ！生± ２± 一 ４（ｋ＋１） √（ １）“＋ ｌ＿＞ 可 ， 所以当 ＝ｋ＋ｌ时，不等式也成立． 由①，②可得，不等式恒成立． 不等式的证明是高中数学中的一个难点，新课 程倾向于用基本的思想方法来证明，对于较难的用 放缩法证明不等式有所回避，让考生和一线教师重 视教材中的基础知识、基本方法和基本技能，重视 （３）内化新课程的理念，避免过于复杂、纠结 的问题的研究，多关注体现数学本质、展现数学思 想的问题．例如数列与不等式的综合难度有所下 降，更多的关注数列是特殊的函数这一数学本质． （４）要不断增强学生自主学习和自主探索的 能力，突出培养学生的创新能力，让学生在新的情 景下临危不乱，思路清晰地解决问题。 两纲的导向作用．也可看出命题者在有意识地降低 从２００９年浙江省数学高考理科第２２题看试题的区分度 ●周德生 王红卫 （西湖高级中学浙江杭州３１００２３） 高考是选拔性考试，试题一定要有区分度，以 利于不同层次学校对人才的选拔．区分度是指试题 从以上公式可以看出：试题的难度系数和区分度并 没有直接的联系，因为前者是反映样本总体的一个 参数，后者是反映样本２个部分的参数． 高考虽然是选拔性考试，但面对７５％的录取 率，怎样区分不同学习能力的学生，让学生都可以 参与其中，难度是很大的．更何况２００９年是浙江省 新课程高考的第一年，怎样才能做到变中求稳，更 是难上加难．而２００９年浙江省数学高考理科压轴 题第２２题很好地解决了这一难点． 对不同考生的知识、能力水平的鉴别程度．如果一 个题目的测试结果使水平高的考生答对（得高 分），而水平较低的考生答错（得低分），那么它的 区分能力就很强．题目的区分度反映了试题这种区 分能力的高低．一般认为，区分度的数值达到了 ０．３，便可以接受；低于０．３的题目，区分能力差． 如果把成绩从高往低排序，那么区分度 ，）： 直 塑 壬塑 二望丝 满分值 塑 垩塑 ‘ 题目已知函数，（ ）＝ 一（ｋ 一ｋ＋１） ＋ ５ 一２，ｇ（ ）＝ｋ２ｘ ＋ｋｘ＋１，其中ｋ∈Ｒ． 第８期 周德生，等：从２００９年浙江省数学高考理科第２２题看试题的区分度 ・３９・ （１）设函数Ｐ（ ）＝ ）＋ｇ（ ），若Ｐ（ ）在区 不单调”，是指ｐ（ ）的导数在区间（０，３）上既有正 又有负，从而可把原问题转化为我们熟悉的二次函 数在给定区间上的根的分布问题．结合二次函数的 间（０，３）上不单调，求ｋ的取值范围． （２）设函数ｇ（ ）：ｆＬ ， ，是否存在 ， ， ‘ｕ 对任意给定的非零实数 ，存在惟一的非零实数 （ ：≠ 。），使得ｇ （ ）≠９ （ ）成立？若存在， 求后的值；若不存在，请说明理由． 作为压轴题，命题者严格遵循普通高考考试说 明的要求，不出偏、难、怪题．试题的背景是高三师 生非常熟悉的利用导函数在某区间的符号来判断 原函数的单调性，人口宽、思维量大，可从数形结 合、正反等不同角度思考．下面笔者就该题的第 （１）小题对学生能力考核的区分功能谈几点看法： １解题思路扫描 思路１从对立面考虑，学生平时比较熟悉、 习惯的是“Ｐ（ ）在区间（０，３）上单调”这一类的问 题，“Ｐ（ ）在区间（０，３）上不单调”这一命题的否命 题就是“ｐ（ ）在区间（０，３）上单调”，即只需要考虑 ｐ Ｏ ｐ Ｐ（ ）的导数在区间（０，３）上恒为正及恒为负的情 Ｏ ＝ ）３ ） 况，然后取补集即可．恒为正的情况结合二次函数 性质画图分析有如图１所示的３种情况，通过讨论 对称轴 ＝ 与区间（０，３）的位置关系及函数在 丁 或 Ｊ ｐ ３ Ｏ ｝ ● ● ● Ｌ ） ＝ ） ｕ ３ ： ｌ 图１ 丁 区间上的最值可以求出ｋ的取值范围；恒为负的情 况结合二次函数性质画图分析有如图２所示的３ ｔ ， 种情况，通过常规的讨论对称轴 ＝ 与区间 Ｊ （０，３）的位置关系及函数在区间上的最值可以求 出ｋ的取值范围． 图２ 通过两类５种情况的分析计算求出后的取值 范围，然后取补集即可得正确答案（一５，一２）． 思路２从正面考虑，“Ｐ（ ）在区间（０，３）上 图像特点（如图３），可得以下３种情况： （１）ｐ （Ｏ）・Ｐ （３）＜０． △＞０； ０＜ ＝ ＜３； （２） Ｐ （０）＞Ｏ； Ｐ （３）＞０． Ｊ Ｊ ， ｜ ．．／ ｛． ＼ ｆ ／Ｖ Ｄ ｆ 图３ 其中，第（２）种情况用另一种思路也可以写成： ｏ＜ ＝ ＜３； Ｐ （Ｏ）＞０； Ｐ （３）＞Ｏ； 最／Ｊ、值ｐ （ ）＜ｏ． 综合（１），（２），（３）即可求出ｋ的取值范围． 思路３从正面考虑，“Ｐ（ ）在区间（０，３）上 不单调”即Ｐ （ ）＝０在（０，３）上有实数解，且无重 根，从而把原问题转化为学生比较熟悉的一元二次 方程在给定区间上有解的问题．考虑到由Ｐ （ ）＝ ０得ｋ（２ｘ＋１）＝一（３ 一２ ＋５），其中有２个变量 （１个一次，１个二次），将一次变量ｋ分离出来即 变成关于 的函数在（０，３）上的值域的问题，然后 用导数或其他方法都可求出ｋ的取值范围． ２区分度解析 本题的区分度主要从以下几个层次体现． 区分层次１对“若Ｐ（ ）在区间（０，３）上不单 调”的理解，从学生抽样调查情况知有１０％左右的 学生对这句话不能理解或理解不清、不到位，不能 进行等价转化，从而导致解题失败． 区分层次２ 思路１ 从学生抽样调查情况知利用思路１ ・４０・ 中学教研（数学） ２００９年 解题的学生以下３个区分点不到位的各占了约 １． ０ （２）当 ＝ ≥３，即．１｝≤一８时，ｐ （ ）在（ｏ， 区分点１二次函数的图像及性质是否熟练， 能否根据题目的信息快速、准确、不遗漏地画出几 种情况的对应图形？ ３）上单调递减，由最小值ｐ，（３）≥ｏ得 ≥一孕，此 ， 时没有符合要求的后； 区分点２二次函数对称轴与区间的分类讨 （３）由△≤０得一２≤ ≤７，ｐ（ ）的导数在区向 论原理是否清楚，能否做到思路清晰，不重复、不遗 漏？ 区分点３运算能力是否到位，几种情况算出 的｜ｊ｝的范围是取交集还是并集？忽略取补集． 思路２从学生抽样调查情况来看，用思路２ 解题的学生的区分点主要在以下几个方面． 区分点１考虑到区间（０，３）为开区间，很多 学生容易把第（１）种情况直接写为Ｐ （０）・ Ｐ （３）≤０；或者根本没有考虑到Ｐ （０），Ｐ （３）中一 个为０的情况（虽然此时 的值可以直接算出，很 容易验证是否满足）． 区分点２未结合二次函数在给定区间上有 正有负时根的情况，考虑不周全，漏掉了第（２）种 情况． 区分层次３把原题转化为常规的二次函数 在给定区间上的问题是许多学生（大约６０％）都能 想到的，但多种情况的分类讨论又是广大学生最容 易出错的地方．因此把原问题转化为方程有解，再 利用分离变量的方法（这也是一大区分点）转化为 函数在给定区间上的值域问题，从而避免又繁又容 易出错的分类讨论的思路３是本题最大的区分点． 能用这种方法解决此题的必然是那些对高中数学 知识熟练驾驭的高手（估计也就在２０％左右）． 新课程重视学生的数学基础知识和基本技能． ２００９年浙江省数学高考理科第２２题以学生整个 初、高中最为熟悉的二次函数作为背景，解题人口 宽，基础性明显，很好地体现了新课程这一核心理 念．同时，思路３（标准答案）中分离变量的方法很 好地与高等数学接轨（在高等数学中微分方程等 课程里分离变量是一种很常用的方法），很好地体 现了新课程的发展性学习理念． ３ ３种思路详解 思路１详解Ｐ（ ）的导数在区间（０，３）上恒 为正（图形见前面思路扫描处）． １ Ｌ （１）当 ＝ ≤０，即后≥１时，Ｐ （ ）在（０，３） Ｊ 上单调递增，由最小值ｐ （０）≥０得Ｉｉ｝≥一５，此时 ｜ｉ｝≥１： （０，３）上恒为负； （４）由△＞０得Ｉｊ｝＞７或 ＜一２，由ｐ （０）≤Ｏ 得｜ｊ｝≤一５，又由ｐ，（３）≤ｏ得后≤一萼，此时后≤一５ 或｜ｊ｝＞７； 综上所述，当ｐ（ｘ）的导数在区间（Ｏ，３）上恒为 正或恒为负时，．１｝≤一５或 ≥一２，故后的取值范围 为（一５，一２）． 思路２详解（图形见前面思路扫描处） （１）由ｐ，（Ｏ）．ｐ，（３）＜Ｏ，得一５＜后＜一ｚ＿６ ； （２）由Ａ＞０得 ＞７或后＜一２，由０＜ ＝ ＜３得一８＜Ｊｊ｝＜１，由ｐ （ｏ）＞ｏ得后＞一５，由 ｐ，（３）＞０得尼＞一下２６，故此时一 ＜后＜一２； （３）当Ｐ （０）＝０时，后＝一５，此时ｐ （３）＝ 一９＜０不满足题意，当Ｐ （３）＝０时，．． ． ＝一 ，此 ，， 时Ｐ，（Ｏ）： ９＞０符合题意故此时｜ｉ｝：一２＿６ ．，综上所述，后的取值范围为（一５，一２）． 思路３详解 （１）由ｐ（ｘ）＝ ）＋ｇ（ ）＝ 。＋（ＪＩ｝一１） ＋（后＋５） 一１， 得Ｐ （ ）＝３ｘ ＋２（ 一１） ＋（后＋５）． 因为ｐ（ｘ）在区间（０，３）上不单调，所以ｐ （ ）＝０ 在（Ｏ，３）上有实数解，且无重根．由Ｐ （ ），得 ｋ（２ｘ＋１）＝一（３ｘ 一２ｘ＋５）， 解得 一 ＝ 一÷ ＋１）＋ 一 】． 令ｆ＝２ｘ＋１，得￡∈（１，７）．记 （￡）＝￡＋ ，则＾（ｔ） 在（１，３］上单调递减，在［３，７）上单调递增，所以 （￡）∈［６，ｌｏ），于是（２ ＋１）＋ Ｅ［６，ｌ０），因 此后∈（一５，一２］．而当．ｊ｝＝一２时，有ｐ （ ）＝０在 （０，３）上有２个相等的实根 ＝１，故舍去，所以后仨 （一５。一２）．
