高中数学空间几何

空间几何体的结构特征及三视图和直观图

[知识能否忆起]

一、多面体的结构特征 多面体 棱柱 棱锥 棱台 二、旋转体的形成

几何体 圆柱 圆锥 圆台 球

三、简单组合体

简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成，有多面体与多面体、多面体与旋转体、旋转体与旋转体的组合体．

五、三视图

几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．

[小题能否全取]

1．(教材习题改编)以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是( ) A．球的三视图总是三个全等的圆 B．正方体的三视图总是三个全等的正方形 C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形 D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆

解析：选A B中正方体的放置方向不明，不正确．C中三视图不全是正三角形．D中

旋转图形 矩形 直角三角形 直角梯形 半圆 旋转轴 任一边所在的直线 一条直角边所在的直线 垂直于底边的腰所在的直线 直径所在的直线 结构特征 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个面的交线都平行且相等 有一个面是多边形，而其余各面都是有一个公共顶点的三角形 棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分 俯视图是两个同心圆．

2．(2012·杭州模拟)用任意一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是( )

A．圆柱 C．球体

B．圆锥

D．圆柱、圆锥、球体的组合体

解析：选C 当用过高线的平面截圆柱和圆锥时，截面分别为矩形和三角形，只有球满足任意截面都是圆面．

3．下列三种叙述，其中正确的有( )

①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． A．0个 C．2个

B．1个 D．3个

解析：选A ①中的平面不一定平行于底面，故①错．②③可用下图反例检验，故②③不正确．

4．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为________．

解析：由三视图中的正、侧视图得到几何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为③.

答案：③ 1.正棱柱与正棱锥

(1)底面是正多边形的直棱柱，叫正棱柱，注意正棱柱中“正”字包含两层含义：①侧棱垂直于底面；②底面是正多边形．

(2)底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫正棱锥，注意正棱锥中“正”字包含两层含义：①顶点在底面上的射影必需是底面正多边形的中心，②底面是正多边形，特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．

2．对三视图的认识及三视图画法

(1)空间几何体的三视图是该几何体在三个两两垂直的平面上的正投影，并不是从三个方向看到的该几何体的侧面表示的图形．

(2)在画三视图时，重叠的线只画一条，能看见的轮廓线和棱用实线表示，挡住的线要画成虚线．

(3)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体用平行投影画出的轮廓线．

典题导入

[例1] (2012·哈师大附中月考)下列结论正确的是( ) A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥

B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥

C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥 D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线

[自主解答] A错误，如图1是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，它的各个面都是三角形，但它不是三棱锥；B错误，如图2，若△ABC不是直角三角形，或△ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥；

图1

空间几何体的结构特征

图2

C错误，若该棱锥是六棱锥，由题设知，它是正六棱锥．易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长，这与题设矛盾．

[答案] D

由题悟法

解决此类题目要准确理解几何体的定义，把握几何体的结构特征，并会通过反例对概念进行辨析．举反例时可利用最熟悉的空间几何体如三棱柱、四棱柱、正方体、三棱锥、三棱台等，也可利用它们的组合体去判断．

三视图的长度特征

三视图中，正视图和侧视图一样高，正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽，即“长对正，宽相等，高平齐”．

[注意] 画三视图时，要注意虚、实线的区别．

以题试法

2．(1)(2012·莆田模拟)如图是底面为正方形、一条侧棱垂直于底面的四棱锥的三视图，那么该四棱锥的直观图是下列各图中的( )

解析：选D 由俯视图排除B、C；由正视图、侧视图可排除A. (2)(2012·济南模拟)

如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，其正视图如图所示，则此三棱柱侧视图的面积为( )

A．22 C.3

B．4 D．23

解析：选D 依题意，得此三棱柱的左视图是边长分别为2，3的矩形，故其面积是23.

1．(2012·青岛摸底)如图，在下列四个几何体中，其三视图(正视图、侧视图、俯视图)中有且仅有两个相同的是( )

A．②③④ C．①③④

B．①②③ D．①②④

解析：选A ①的三个视图都是边长为1的正方形；②的俯视图是圆，正视图、侧视图都是边长为1的正方形；③的俯视图是一个圆及其圆心，正视图、侧视图是相同的等腰三角形；④的俯视图是边长为1的正方形，正视图、侧视图是相同的矩形．

2．有下列四个命题：

①底面是矩形的平行六面体是长方体； ②棱长相等的直四棱柱是正方体；

③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体； ④对角线相等的平行六面体是直平行六面体． 其中真命题的个数是( ) A．1 C．3

B．2 D．4

解析：选A 命题①不是真命题，因为底面是矩形，但侧棱不垂直于底面的平行六面体不是长方体；命题②不是真命题，因为底面是菱形(非正方形)，底面边长与侧棱长相等的直四棱柱不是正方体；命题③也不是真命题，因为有两条侧棱都垂直于底面一边不能推出侧棱

与底面垂直；命题④是真命题，由对角线相等，可知平行六面体的对角面是矩形，从而推得侧棱与底面垂直，故平行六面体是直平行六面体．

3．一个锥体的正视图和侧视图如图所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )

解析：选C C选项不符合三视图中“宽相等”的要求，故选C.

4．如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图．在正视图右侧，按照画三视图的要求画出的该几何体的侧视图是( )

解析：选B 由直观图和正视图、俯视图可知，该几何体的侧视图应为面PAD，且EC投影在面PAD上，故B正确．

6．(2012·东北三校一模)一个几何体的三视图如图所示，则侧视图的面积为( )

A．2＋3 C．2＋23

B．1＋3 D．4＋3

1

解析：选D 依题意得，该几何体的侧视图的面积等于22＋×2×3＝4＋3.

27．(2012·昆明一中二模)一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积1为，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的________．(填入所有可能的图形前的编号) 2

①锐角三角形；②直角三角形；③四边形；④扇形；⑤圆．

解析：如图1所示，直三棱柱ABE－A1B1E1符合题设要求，此时俯视图△ABE是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC－A1B1C1符合题设要求，此时俯视图△ABC是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD－A1B1C1D1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD)是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除④⑤.

答案：①②③

8．(2013·安徽名校模拟)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．

解析：结合三视图可知，该几何体为底面边长为2、高为2的正三棱柱除去上面的一个高为1的三棱锥后剩下的部分，其直观图如图所示，故该几11153何体的体积为×2×2sin 60°×2－××2×2sin 60°×1＝.

2323

53答案：

3

9．7. 某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是

A．2

B. 1

C.

21正视图1侧视图2 3 D.

1 32俯视图210一个长方体被一个平面截去一部分后所剩几何体的正视图和俯视图 如图所示，则该几何体的侧视图可以为

图1正视图

A． B． C． D．

6.沿一个正方体三个面的对角线截得几何体如图所示，则该几何体的左视图为

A

B C

D

第6小题