四川省成都七中2015届高一下学期期末考试数学试卷(2013.06)

（特别提醒：请在答题卡上作答！）

一、选择题（每题5分，共50分）请将选项填涂在答题卡上 ．．．．．．．．．．．1. 已知ab0，则下列不等式正确的是（ C ） A．a2b2

B．1a1 C．2a2b bD． abb2

3．等差数列an的前n项和为Sn，若S22，S410，则S6等于（C ）

Ａ．12

Ｂ．18

Ｃ．24

Ｄ．42

4. 已知圆x2y2r2在曲线|x||y|4的内部，则半径r的范围是（B） A．0B

5. 如图，要测出山上石油钻井的井架BC的高，从山脚A测得AC60m， 塔顶B的仰角45，塔底C的仰角15，则井架的高BC为（ B ） A．202m B．302m C．203m D．303m

C

A

第5题图

xy≥06.若x，y满足约束条件xy3≥0，则z2xy的最大值为（ D ）

0≤x≤3 A．3 B．6 C．8 D．9 7. 已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且

an为整数的正整数n的个数是（ D ） bnAn7n45，Bnn3则使得A．2

B．3 C．4 D．5

8.设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若a(bc)cosC，则△ABC的形状是（ A ）

A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形

9. 已知直线l1:axy10与l2:xay10,给出如下结论：

①不论a为何值时,l1与l2都互相垂直;

②当a变化时, l1与l2分别经过定点A(0,1)和B(-1,0); ③不论a为何值时, l1与l2都关于直线xy0对称;

④当a变化时, l1与l2的交点轨迹是以AB为直径的圆(除去原点). 其中正确的结论有（ B ）. A．①③ B．①②④ Ｃ．①③④ Ｄ．①②③④ 10. 在△ABC中，E,F分别是AC，AB的中点，且3AB2AC，若

BEt恒成CF立，则t的最小值为（A ）

7364A． B． C． D．

7584二、填空题（每题5分，共25分）请将答案填在答题卡上 11. 不等式

x2≤0的解集是(1，2] x112.已知直线l：ax(12a)y1a0.不通过第四象限，则a的取值范围是

1a1 . 213.过直线l:y2x上一点P作圆C:x2y216x2y630的切线l1,l2，若l1,l2关

于直线l对称，则点P到圆心C的距离为 .35 14. 若方程

x21x1kx有两个实数根，则实数k的取值范围是 0k1或

1k2 . 15.下列命题：

①ABC中，若AB,则cos2Acos2B； ②若A，B，C为ABC的三个内角，则

419的最小值为ABC

③已知ansin19n16(nN)，则数列an中的最小项为； 362sinn6f(a)f(b)f(c)； abc④若函数f(x)log2(x1)，且0abc，则

⑤函数f(x)x22x5x24x13的最小值为29.

其中所有正确命题的序号是 ②③

三、解答题（16—19题每题12分，20题13分，21题14分，共75分）请在答题卡对应位置规范答题.

16. {an}是公比大于1的等比数列,Sn是{an}的前n项和.若S37,且

a13,3a2,a34构成等差数列. （Ⅰ）求{an}的通项公式.

（Ⅱ）令bnlog2a2n，求数列{bn}的前n项和Tn.

17．在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知a、b、c成等比数列，且cosB.

11的值； tanAtanC3（Ⅱ）设BABC,求a、c的值.

2解：（Ⅰ）a、b、c成等比数列,b2ac，sin2BsinAsinC ……2分

11cosAcosCcosAsinCsinAcosC  tanAtanCsinAsinCsinAsinCsin(AC)sinB147=………………………6分 sinAsinCsinAsinCsinB734（Ⅰ）求

（Ⅱ）BABC,即accosB33,而cosB，所以ac2①，b22…………8分 24由余弦定理，2=a2c22accosB,a2c25，②…………10分

32由①②解得a1,c2或a2,c1.………12分

18. 已知定义在R上的函数f(x)x(3a)x2(1a)(其中aR).

2（Ⅰ）解关于x的不等式f(x)0;

（Ⅱ）若不等式f(x)x3对任意x2恒成立,求a的取值范围.

18解：（Ⅰ） f(x)(x2)[x(1a)]，

而x1x221aa1，f(x)0等价于(x2)[x(1a)]0，于是

当a1时，x1x2，原不等式的解集为(,2)(1a,)；…………2分 当a1时，x1x2，原不等式的解集为(,2)(2,)；…………4分 当a1时，x1x2，原不等式的解集为(,1a)(2,)…………6分

x24x5（Ⅱ）不等式f(x)x3，即a恒成立…………8分

x21x24x5)2(当且仅当x3时取“=”又当x2时，=(x2x2x2号). …………10分

a2…………12分

19. 已知直线l:axy2a0 (aR),圆O:x2y24． （Ⅰ）求证:直线l与圆O相交； （Ⅱ）判断直线l被圆O截得的弦何时最短？并求出最短弦的长度; （Ⅲ）如图，已知AC、BD为圆O的两条相互垂直的弦，垂足为M(1，2)，求四边形ABCD的面积的最大值.

y D A M C x B o 解：（Ⅰ）直线l:y2a(x1)，所以直线l过定点(1,2)，12(2)24， (1,2)在圆C内部，所以直线l与圆C相交。………3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，直线l过定点M(1,2)，当lOM时，弦长最短. …………4分

kl1kOM=22，a 2233 12此时，l的方程为x2y30，圆心到直线的距离d所以最短弦长为：2r2d22432 …………7分

分

20.已知数列an1n中，a11,a12a23a3nana2n1(nN)（Ⅰ）求数列an的通项an； （Ⅱ）求数列n2an的前n项和Tn；

（Ⅲ）若存在nN，使得an(n1)成立，求实数的最小值. 解：（Ⅰ）a12a23a3nann12an1，nN① aan1223a3(n1)an2an，n2②

①-②：nan1n2an2a3nn1n1n，2an2an1，…………2分 即(n1)an13nan（n2），又2a2=2，

n2时，数列nan是以2为首项，3为公比的等比数列.

nan23n2(n2)，1n,1an2n3n2,n .2…………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当n2时，n2an2n3n2，

当n1时，T11；

当n2时,Tn14306312n3n2,①

3Tn34316322(n1)3n22n3n1,② ①-②得，2Tn2n22(31323)2n3n1

故

=233n12n3n1 =1(12n)3n1

Tn11(n)3n1(n2)，又T11也满足 2211Tn(n)3n1(nN) .…………9分

22

21. 已知定点O0,0，A3,0，动点P到定点O距离与到定点A的距离的比值是（Ⅰ）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；

（Ⅱ）当4时，记动点P的轨迹为曲线D.

①若M是圆E:x2y464上任意一点，过M作曲线D的切线，切点是

221.

N，求MN的取值范围；

②已知F，G是曲线D上不同的两点，对于定点Q(3,0)，有QFQG4.试问无论F，G两点的位置怎样，直线FG能恒和一个定圆相切吗？若能，求出这个定圆的方程；若不能，请说明理由.

解（Ⅰ）设动点P的坐标为x,y，则由POPA，得(x2y2)(x3)2y2， 整理得: 1x21y26x90.

0，

当1时，则方程可化为：2x30，故方程表示的曲线是线段OA的垂直平分线；

2332y当1时，则方程可化为x，即方程表示的曲线是以

11y 2 M ·

N E · 33,0为圆心，为半径的圆. „„„„„5分 11（Ⅱ）当4时，曲线D的方程是x2y22x30， 故曲线D表示圆，圆心是D1,0，半径是2. ①由DE212405，及5<8-2有：

222222两圆内含，且圆D在圆E内部.如图所示，由MNMDDN有: MNMD4,故求MN的取值范围就是求MD的取值范围.而D是定点，M是圆上的动点，故过D作圆

E的直径，得MDmin853，MDmax8513，故5≤MN≤165，5≤MN≤165. „„„„„9分

②解法一：设点Q到直线FG的距离为d，FQG， 则由面积相等得到QFQGsindFG，且圆的半径r2. 即d24sin4sin1.于是顶点Q 到动直线FG的距离为定值， FG2rsin即动直线FG与定圆(x3)2y21相切.

n2x1x21，

1m2n236mn618m2所以x1x23(x1x2)80，由此可得8m26mnn21，2221m1m1m也即(3mn)21m2，23mn1m221„„„„„„„„（ ※ ）.

假设存在定圆xaybr2，总与直线FG相切，则

dmabn1m2是定值r，即d与m,n无关，与3mna3，1„„（ ※ ）对比，有2b01m此时

y F Q · D Gx