Ｓ黧 数学思想 能＿ 乡，ｋ～＾Ｌ卜 复用 彻 谎～一～ ●・ ・● 栅摊与央一 一 中想 学咀 导 ～思 ，一 Ｃ ２） （０） ３） Ｄ．ｇ（０） ２） ３） 思路点拨要比较函数值的大 思路点拨本题给的是一个函 数的关系式．由周期性定义当满足 “韩信点兵——孙子问题”是我 国古代著名趣题之一．这种神机妙算 最早出现在我国《算经十书》之一的 《孙子算经》中．原文是：“今有物不知 其数，三三数之剩二，五五数之剩三， 七七数之剩二．问物几何？”意思是 说：现有一些物品不知道其数目．三 ，（ ＋ ） ）时非零常数 为函 ） 小，就要由已知条件求得函数解析式． 的周期．ＹＫ￣ｆ（ｘ－－－４）＝－ｆ（ ）其有负号， 由此想到若利用公式两次则可消去 本题中的 ），ｇ ）都未知，只有一个 等式，就需要我们再挖掘一个等式， 负号，得到周期，所￣Ｘｆ（ｘ一８） ），所 由函数的奇偶性容易想到用替换，从 而得到方程组．因 ）．ｇ ）＝ｅ ， 以函数是以８为周期的周期函数．由 此可将自变量的值通过周期变换和 个三个的数，最后余下两个，五个五 个的数，最后余下三个，七个七个的 数，最后也余下两个．这些物品可能 是多少个？相信聪明的你能够给出答 案！如何算出得呢？事实上，函数与方 程的思想就给你指明了方向！ 一用 替换 得 ）－ｇ（ ）＝ｅ 因为 函－￣ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）分别是Ｒ上的奇函数、 奇偶性转化到区间［０，２］上，进而利 用增函数的性质比较大小．因为 ） 偶函数，所以，（ ）十ｇ ）＝一ｅ ，）一 ｅ－ｘｇ（ ）＝ ，解 （ ）＝—ｅｘ－ｇ（ ）＝ －满足－厂（ 一４）＝－ｆ（ ），则，（一２５）＝ Ｚ ｆ（－１） （８０） （０），ｆ（１１） （３），又因 ）在Ｒ上是奇函数，由 ０）：０，得 ｅ－－＊ ＋ｅｘ—， 而 ）单调递增且－，（０）＝０，所 ８０） ０） ，，（一２５） 一１）＝ １），而 ￣ｆ（ｘ－－４）＝－ｆ（ｘ）．￣Ｙｃｆ（１１） ３）＝ ３－ ４）＿厂（１）．又因为．厂（ ）在区间［０，２］上 是增函数，所ｖＸｆ（１） ０）＝０，所以－ｆ（１）＜ ０，Ｆ 一２５） ８０） １１），故选Ｄ． ｒＸｆ（３）＞ｆ（２）＞Ｏ，而ｇ（０）＝一ｌ，故选Ｄ．本 题利用函数的性质再得一方程。通过解 方程组求得函数的解析式．最终回归到 利用函数的单调性、奇偶性和周 函数的单调性比较函数值的大小关系。 这是函数与方程相结合的结果． 期性可以求函数解析式，对函数进行 化简等，或构造函数解析式，利用单 调性来比较函数值的大小． 例 ２ 已知定义在Ｒ上的奇 函 （ ），满足 （ ＿４）：＿，（ ），且在区 间［０，２］上是增函数，则（ ） 函数的思想，就是用运动和变化 的观点、集合对应的思想，去分析和 研究数学问题中的数量关系，建立函 数关系或构造函数．运用函数的图象 例１ 若函势 （ ），ｇ（ ）分别 是Ｒ上的奇函数、偶函数，且满足厂（ ） （ ）＝ ，则有（ ） Ａ ２） ３）＜ｇ（０） Ｂ．ｇ（０） ３） ２） Ａ Ａ－２５）＜ｆ（１１）ｖ￣（８ｏ） Ｂ．＿厂（８ｏ）＜ｆＯ１） 一２５） Ｃ． １１） ８０）勺 一２５） Ｄ．Ａ一２５） ８０）＜ｆ（１１） 和性质去分析问题、转化同题，从而 学问题，是一种行之有效的手段，其 使问题获得解决． ｛。 １一号）．用分离参数法解不等式 独特功能在于充分运用构建的一元 ÷３ 设口＞１，若仅有一个常 恒成立问题．其实质就是函数思想的 二次方程及根的判别式和求根公式 数ｃ使得对于任意的 ∈［０，２ａ］，都有 延伸，因为分离参数的目的就是为了 变更命题，从而使问题获得解决． Ｙ∈［ｎ，ａｑ满足方程ｌ０ ＋ｌ０黝 ，这时 构造函数． ｎ的取值的集合为——— 思路点拨题目给出的方程中 含有 ，Ｙ，ａ，ｃ等多个字母，而条件是对 任意的 ∈［０， ］都有Ｙ∈［口， ］，这使 在一个含有多个变元的数学问 方程的思想，就是数学问题中的 我们联想到函数的定义域、值域，所 题里，选定合适的主变元，即将函数 各字母从数量关系分析人手，转化为 以必须把方程改写为关＇ｔ－ｙ￣函数． 自变量作为参数。而将参数作为函数 确定各字母的值，或各字母间的相等 再进一步研究函数的性质．由已知 自变量，使解题更具有灵活性，从而 与不等关系，即方程关系与不等式关 巧妙解决问题 ｌｏ ＋ｌｏ ＝＝ｃ，得），＝ （其中 ∈［口， 系，然后通过解方程（不等式），或利 用方程、不等式的有关定理性质．使 ＾例 ７ 设不等式２ｘ≮ ０＇ —ｌ＞ｍ（ ｚ一 ２０］），函数为反比例函数，在［口，２ａ］（ａ＞１）上单调递减，所以＂３ ∈［－０，２ａ］ 问题得到解决． １）对满足 ≤２的一切实数ｍ恒成立。 求实数 的取值范围． 时，），∈ｆ孚， １．又因为对于任意 懊５ 如果函数），： 的最 思路点拨此题易形成思维定 的 ∈［ｎ，２ａ］，都有Ｙ∈［ａ ｙ ］，所以 大值是４，最小值是一ｌ，求实数ａ，６的 式．若视其为关于 的不等式．再分类 Ｊ孚 ， ・。 有且只值． 讨论．则十分麻烦．现改变视角．视不 思路点拨 由 的最大值是４，知 等式为关于ｍ的不等式，即厂（ｍ）＝（ ２－ ｌ【Ｃ≤３． １ ≤ 存在实数 使 ：４．即 ＃￣４ｘ＝－ａｘ＋ １）ｍ一（ 一１）＜０在ｍ∈［一２，２］上恒成 ｘ２＋１ 有一个常数ｃ符合题意。所ｖＸ２＋ｌｏｇｆｌ＝ 立．则问题转化为求一次函数（或常 ３，解得ａ＝２，所以０的取值的集合为 ４一ｂ－－Ｏ有实根，故有△１＝ １６（４－６）≥ 数函数）厂（ｍ）的值在区间ｍ∈［－２，２］ ｛２｝．本题看似方程问题，实质是函数 Ｑ又由ｙ的最大值是４，知对任意实数 内恒负时参数 应满足的条件．而 问题．运用函数的性质解题． 恒有 ≤４，即缸 ＋４＿６ｉ＞０恒成 ｆ（ｍ）的图象是一条线段，要使 ｍ）＜ 例４设 ）：１ｇ—１＋２％ ４一￣ａ，其 ０， 只 需 使 －２）＜０， 即 立，故△１＝＝口｜２＿１６（４一ｂ）≤Ｑ从而有Ａ１＝ ２）＜０， 中ａ∈Ｒ，如果当 ∈（一∞，１］时，，（ ）有 １６（４一ｂ）－０．同样可由，，的最小值 意义，求ａ的取值范围． 是一１，可得△２ ＿４（１＋６）＝Ｑ由 ｆ【一２（２ｘ￣１）（ ）一（２ｘ一１）一（ －１＜０，）＜０ ，从而解得 Ｅ 思路点拨 函数 ）有意义只和 对数的真数有关，即１＋ ＋４ ＞０，可以 ’可解得｛ ’对题给的最值， ｆ—Ｘ／－ｆ—－－１，—Ｖ＇－３—－＋ｌ １．本题区别于关 ＼ ２ ２ ／ 考虑采用分离参数法，再构造函数， 一方面认为是方程的实数解．另一方 于 的不等式２ｘ—ｌ＞ｍ（ｘ￣－Ｉ）的解集是 将不等式恒成立问题转化为函数的 面又认为是不等式的恒成立条件，这 便是此题的精妙之处． ［一２，２］时求 的值、关于 的不等式 最值问题， ＞一 当 ２ｘ—ｌ＞ｍ（ｘ２－１）在［－２，２］上恒成立时求 佣¨６ ＡＡＢＣ的三边ａ，ｂ，ｃ满 ｍ的取值范围．一般地，在一个含有 ∈（一∞，１］时恒成立，而），＝（寺），ｙ＝ 足ｂ＝８＿Ｉｃ， －ｂｃ一１２ａ＋５２＝０，试确定 多个变量的数学问题中．我们应确定 ＡＡＢＣ的形状． 合适的变量和参数，从而揭示函数关 ㈡ 都是减函 ＝一 思路点拨把题中给出的两个 系．使问题更明朗化． 条件整理一下可以发现是ｂ＋ｃ＝８．ｂｃ＝ 函数与方程的思想，是求解数量 （ 在（一 ，１］上是增函数，故 ＝ｌ ａ２—１２ａ＋５２，所以ｂ．ｃ是方程ｔ２－８ｔ＋ａ２— 关系问题的主要思想方法．一个数学 １２ａ＋５２－－０的两实根。故△＝—４（ｎ２＿ｌ２口＋ 问题，若能建立描述其数量差的函数 时，ｇ ）取得最大值是ｇ（１）一（寺＋ ３６）ｉ＞０，即－－４（ａ一６）。ｉ＞ｏ，所以口＝６从 表达式，或列出表示其数量关系的方 ÷）＿一 ３，从而得。的取值范围是 而得ｂ＝ｅ－－－４，因此△ＡＢＣ是等腰三角 程式（组）（包括不等式组），则一般可 形．构建一元二次方程的模型解决数 使问题得到解决．雹
