等比数列 习题 简单

等比数列 习题

一、选择题（共14小题；共70分）

1. 在等比数列 {𝑎𝑛} 中，𝑎3=2，𝑎7=32，则公比 𝑞= (  )

A. 2

B. −2

1

C. ±2 D. 4

2. 已知 {𝑎𝑛} 是等比数列，𝑎2=2，𝑎5=4，则公比 𝑞= (  )

A. −2 A. 6

1

B. −2 C. 2

D. 2 D. 16

1

3. 在等比数列 {𝑎𝑛} 中，已知 𝑎1=2，𝑎2=4，那么 𝑎4 等于 (  )

B. 8

C. 10

4. 设 {𝑎𝑛} 是无穷等比数列，𝑆𝑛 是其前 𝑛 项和．关于数列 {𝑆𝑛} 有如下两个命题：

甲：数列 {𝑆𝑛} 一定不会是等比数列；乙：数列 {𝑆𝑛} 中一定不可能出现 𝑆𝑛+3=𝑆𝑛．则 (  )

A. 甲为真命题，乙为真命题 C. 甲为真假题，乙为真命题

B. 甲为真命题，乙为假命题 D. 甲为假命题，乙为假命题

5. 已知等比数列的公比为 2，其前 𝑛 项和为 𝑆𝑛，且 𝑆4=1，则 𝑆8= (  )

A. 16 A. (2𝑛−1)2

B. 17 B. (2𝑛−1)

31

C. 18 C. 4𝑛−1

D. 19 D. (4𝑛−1)

31

2222

6. 数列 {𝑎𝑛} 的通项公式是 𝑎𝑛=2𝑛−1，则 𝑎1+𝑎2+𝑎3+⋯+𝑎𝑛= (  )

7. 等比数列 {𝑎𝑛} 的前 𝑛 项和为 𝑆𝑛，已知 𝑆3=𝑎2+10𝑎1，𝑎5=9，则 𝑎1= (  )

A.

31

B. − 31

1

1

C.

9

1

D. − 9

1

8. 等比数列 {𝑎𝑛} 的公比 𝑞=−2，𝑎2=−4，则 𝑎5= (  )

A. 32 1

B. −32

1

C. 𝑆

2

1

D. −

1

9. 设 𝑆𝑛 为等比数列 {𝑎𝑛} 的前 𝑛 项和，8𝑎2+𝑎5=0，则 𝑆5 等于 (  )

A. 11

B. 5

14

C. −8 D. −11

10. 已知 {𝑎𝑛} 是等比数列，𝑎2=2，𝑎5=，则公比 𝑞 等于 (  )

A. −

21

B. −2 C. 2

12

D.

2

1

11. 公比不为 1 的等比数列 {𝑎𝑛} 的前 𝑛 项和为 𝑆𝑛，且 −2𝑎1，−𝑎2，𝑎3 成等差数列，若 𝑎1=1，

则 𝑆4= (  ) A. −5 A. 10 A. −1

B. 0 B. 13 B. 1

C. 5 C. 20 C. −2

D. 7 D. 25 D. 2

12. 若等比数列 {𝑎𝑛} 满足 𝑎1+𝑎3=5，且公比 𝑞=2，则 𝑎3+𝑎5= (  ) 13. 等比数列 {𝑎𝑛} 的前 𝑛 项和为 𝑆𝑛，若 𝑎2+𝑆3=0，则公比 𝑞= (  )

14. 已知等比数列 {𝑎𝑛} 的前三项依次为 𝑎−1，𝑎+1，𝑎+4，则 𝑎𝑛= (  )

A. 4×(2)

3𝑛

B. 4×(2)3𝑛−1

C. 4×(3)

2𝑛

D. 4×(3)2𝑛−1

二、填空题（共4小题；共20分） 15. 等比数列的前 𝑛 项和公式

等比数列 {𝑎𝑛} 的公比为 𝑞(𝑞≠0)，其前 𝑛 项和为 𝑆𝑛， 当 𝑞=1 时，𝑆𝑛= ；

当 𝑞≠1 时，𝑆𝑛= = ．

如果在 𝑎 与 𝑏 中间插入一个数 𝐺，使 𝑎，𝐺，𝑏 成等比数列，那么 𝐺 叫做 𝑎 与 𝑏 的 ．

16. 等比中项．

17. 设等比数列 {𝑎𝑛} 的公比为 𝑞，前 𝑛 项和为 𝑆𝑛．若 𝑆4=3𝑆2，则 𝑞= ． 18. 在 9 与 243 中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为 ．

三、解答题（共2小题；共26分）

19. 已知数列 {𝑎𝑛} 满足 𝑎𝑛+1=3𝑎𝑛+2（𝑛∈Ν∗），且 𝑎1=2．

（1）求证：数列 {𝑎𝑛+1} 是等比数列；

（2）求数列 {𝑎𝑛} 的前 𝑛 项和 𝑆𝑛．

20. 在等比数列 {𝑎𝑛} 中，𝑎1+𝑎2=−1，𝑎2+𝑎3=2．

（1）求数列 {𝑎𝑛} 的通项公式；

（2）若 𝑎𝑘≥32，求正整数 𝑘 的取值集合．

第一部分 1. C 2. D

【解析】由通项公式及已知得 𝑎1𝑞=2  ⋯⋯①，

1

18

12

𝑎1𝑞4=4  ⋯⋯②，

由 ②÷① 得 𝑞3=，解得 𝑞=． 3. D 4. A 5. B

𝑎1(1−𝑞4)1−𝑞

【解析】（方法一）设此等比数列为 {𝑎𝑛}，则由 𝑆4=解得 𝑎1=15． 所以 𝑆8=

𝑎1(1−𝑞8)1−𝑞1

=1 及 𝑞=2，

=17．

（方法二）设此等比数列为 {𝑎𝑛}，则 𝑎5+𝑎6+𝑎7+𝑎8=𝑞4⋅𝑆4=16， 所以 𝑆8=𝑆4+(𝑎5+𝑎6+𝑎7+𝑎8)=17． 6. D 7. C

【解析】由已知条件及 𝑆3=𝑎1+𝑎2+𝑎3，得 𝑎3=9𝑎1．设数列 {𝑎𝑛} 的公比为 𝑞，则 𝑞2=

19

12

14

9．所以 𝑎5=9=𝑎1⋅𝑞4=81𝑎4，得 𝑎1=． 8. A

【解析】因为 𝑞=−，𝑎2=−，

𝑎2𝑞

所以 𝑎1=

=2．

1

141

1

1

所以 𝑎5=𝑎1𝑞4=2(−2)=32． 或利用 𝑎5=𝑎2⋅𝑞=−4(−2)=32． 9. D

【解析】由条件得 8𝑎1𝑞+𝑎1𝑞4=0，

𝑆

1−𝑞5

2

3

13

1

所以 𝑎1𝑞≠0，则 𝑞=−2，于是 𝑆5=1−𝑞2=−11． 10. D

【解析】由题意知 𝑞3=𝑎5=8，

2

𝑎1

所以 𝑞=．

2

1

11. A

12. C 【解析】𝑎3+𝑎5=𝑎1𝑞2+𝑎3𝑞2=(𝑎1+𝑎3)𝑞2=5×22=20． 13. A 【解析】因为 𝑎2+𝑆3=0， 所以 𝑎1𝑞+𝑎1+𝑎1𝑞+𝑎1𝑞2=0， 即 𝑞2+2𝑞+1=0， 解得 𝑞=−1．

14. B 【解析】题意得 (𝑎+1)2=(𝑎−1)(𝑎+4)， 解得 𝑎=5，

故 𝑎1=4，𝑎2=6， 所以 𝑞=2，则 𝑎𝑛=4×(2) 第二部分 15. 𝑛𝑎1，

𝑎1(1−𝑞𝑛)1−𝑞3

3𝑛−1

．

，

𝑎1−𝑎𝑛𝑞1−𝑞

16. 等比中项 17. −1 或 ±√2 18. 27，81

【解析】设该数列的公比为 𝑞，由题意知， 243=9×𝑞3，𝑞3=27， 所以 𝑞=3．

所以插入的两个数分别为 9×3=27，27×3=81． 第三部分 19. （1） 因为

𝑎𝑛+1+1𝑎𝑛+1

=

3𝑎𝑛+3𝑎𝑛+1

=3，𝑎1+1=3，

所以 {𝑎𝑛+1} 是首项为 3，公比为 3 的等比数列． （2） 由（1）可得 𝑎𝑛+1=3𝑛， 所以 𝑎𝑛=3𝑛−1，𝑆𝑛=依题意，得 𝑞=

𝑎2+𝑎3𝑎1+𝑎2

3(1−3𝑛)1−3

−𝑛=

3𝑛+1−32

−𝑛．

20. （1） 设等比数列 {𝑎𝑛} 的公比为 𝑞．

=−2．

将 𝑞=−2 代入 𝑎1+𝑎1𝑞=−1， 解得 𝑎1=1．

所以数列 {𝑎𝑛} 的通项公式为 𝑎𝑛=𝑎1⋅𝑞𝑛−1=(−2)𝑛−1． （2） 由 𝑎𝑘=(−2)𝑘−1≥32，得 𝑘 必为奇数． 解 2𝑘−1≥25，得 𝑘≥6． 所以 𝑘=7,9,11,⋯．

所以 𝑘 的取值集合是 {𝑘∣𝑘=2𝑚+1,𝑚=3,4,5,⋯}．