《圆锥曲线与方程》单元测试卷
一、选择题:(本大题共10小题,每小题4分,共40分.)
2x3y1所表示的曲线是 1.方程
( )
(A)双曲线 (B)椭圆
(C)双曲线的一部分 (D)椭圆的一部分
2.平面内两定点A、B及动点P,设命题甲是:“|PA|+|PB|是定值”,命题乙是:“点P的轨迹是以A.B为焦点的椭圆”,那么 ( )
(A)甲是乙成立的充分不必要条件 (B)甲是乙成立的必要不充分条件
(C)甲是乙成立的充要条件 (D)甲是乙成立的非充分非必要条件
x2y2x2y22114a2a3.椭圆与双曲线有相同的焦点,则a的值是 ( )
1
(A)
2
(B)1或–2
1
(C)1或
2
(D)1
4.若抛物线的准线方程为x=–7, 则抛物线的标准方程为 ( )
(A)x2=–28y (B)y2=28x (C)y2=–28x (D)x2=28y
x2y212595.已知椭圆上的一点M到焦点F1的距离为2,N是MF1的中点,O为原点,则|ON|
等于 (A)2 (B) 4
(C) 8
3 (D) 2 ( )
6.顶点在原点,以x轴为对称轴的抛物线上一点的横坐标为6,此点到焦点的距离等于10,则抛物线焦点到准线的距离等于 ( )
(A) 4 (B)8 (C)16 (D)32
x2y217.F1F2为双曲线4的两个焦点,点P在双曲线上,且F1PF290,则F1PF2的面积是
(A) 2 (B)4 (C)8 (D)16 ( )
x2y211698.过点P(4,4)与双曲线只有一个公共点的直线有几条 ( )
(A) 1 (B) 2 (C)3 (D)4
9、已知双曲线中心在原点且一个焦点为F(7,0),直线yx1与其交于M、N两点,MN 中点的横坐标为
23,则此双曲线的方程是 ( )
x2y2x2y2x2y2x2y2111132(A)3 (B)4 (C)5 (D)2
x2y221210.若椭圆ab,AA为长轴,BB为短轴,F为靠近A点的焦点,若B'FAB,则此椭圆的
离心率为 ( )
(A)
5131212 (B)2 (C) 2 (D)2
二、填空题:(本大题共4小题,每小题4分,共16分。)
11.已知P是椭圆 + = 1 上一点,以点P以及焦点F1、F2为顶点的三角形的面积等于8, 则
259点P的横坐标是 。
x2y2
2yykx212.交抛物线8x于A,B两点,若AB中点的横坐标是2,则AB .
13.经过点P(4,–2)的抛物线的标准方程为 .
2x14.圆心在抛物线2y(x0)上,并且与抛物线的准线及y轴都相切的圆的方程是 .
三、解答题:(本大题共4小题,共44分。解答应写出文字说明,或演算步骤)
x2y219315.求与双曲线有共同的渐近线,并且经过点(3,4)的双曲线方程. (8)
x2y20解:由题意可设所求双曲线方程为:93 y2x21所求双曲线方程为:15
(3)2(4)25(3,4)93双曲线经过点
x2y21251616. 已知椭圆,P
为该椭圆上一点. (10)
(1)若P到左焦点的距离为3,求到右准线的距离;
(2)如果F1为左焦点,F2为右焦点,并且PF1PF22,求tanF1PF2的值.
解:(1)由方程知,a=5,b=4,则
3c=3,e =5.
P到左焦点的距离为3,则P到左准线的距离为
d1PF1e5,
2a2503又两准线间距离为c,∴P
503553. 到右准线的距离为3(2)由椭圆定义得PF1PF22a10…①;
又PF1PF22…②,
119,PF222;在F1PF2
由①,②联立可解得
PF1中,F1F22c6,
∴
cosF1PF2PF1PF2F1F22PF1PF22222999
,
∵F1PF2为锐角,
sinF1PF2163599, ∴
tanF1PF2163529
17.已知圆锥曲线C1的一个焦点为F(1,0),对应这个焦点的准线方程为x1,又曲线过P(3,23),
AB是过F的此圆锥曲线的弦;圆锥曲线C2中心在原点,其离心率
e31y3,e.(12) 一条准线的方程是
(1)求圆锥曲线C1和C2的方程。
(2)当值范围。
AB不超过8,且此弦所在的直线与圆锥曲线C2有公共点时,求直线AB的倾斜角的取
解:⑴过P作直线x=-1的垂线段PN.
C1:y24xp2抛物线,且.曲线;
PNPF4,曲线C1是以F(1,0)为焦点,x=-1为准线的
c3a2322,3a1,c,bC233.又其焦点在y轴上,圆锥曲线依题意知圆锥曲线为椭圆,a3c3x22y1C22:
(2)设直线AB:xmy1(mR),A(x1,y1),B(x2,y2).由抛物线定义得:
ABx1x22,
xmy13x22y12又由得
(3m22)y26my10
2,其24m80时,
x1x26m3m22。
24m2803306m28m或m-3m2233,则 依题意有即
(kAB1)0kAB3或-3kAB0m
直线AB的倾斜角
2(0,][,)33。
18. 已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M1,2,它们在x轴上有共同焦点,椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴,抛物线的顶点为坐标原点. (12)
(1)求这三条曲线的方程;
(2)已知动直线l过点P3,0,交抛物线于A,B两点,是否存在垂直于x轴的直线l被以AP为直径的圆截得的弦长为定值若存在,求出l的方程;若不存在,说明理由.
y22pxp0解:(Ⅰ)设抛物线方程为
,将M1,2代入方程得p2
抛物线方程为: y24x
………………………………………………(1分)
由题意知椭圆、双曲线的焦点为
F1,01,F21,0, c=1
…………………(2分)
对于椭圆,
2aMF1MF2112221124222
a12 a2122322 b2a2c2222 椭圆方程为: x2322y22221
………………………………(4分)
对于双曲线,
2aMF1MF2222
a21 a2322 b2c2a2222 双曲线方程为: x2322y22221
………………………………(6分)
(Ⅱ)设AP的中点为C,l的方程为:xa,以AP为直径的圆交l于D,E两点,DE中点为H
令
x3y1Ax1,y1, C1,22 ………………………………………………(7分)
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