高中数学必修一函数的概念及其表示

考点一：由函数的概念判断是否构成函数

函数概念：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合

B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。

例1. 下列从集合A到集合B的对应关系中，能确定y是x的函数的是（ ）

① A={xx∈Z}，B={yy∈Z}，对应法则f：x→y=

x; 32② A={xx>0,x∈R}, B={yy∈R}，对应法则f：x→y=3x; ③ A=R,B=R, 对应法则f：x→y=x; 变式1. 下列图像中，是函数图像的是（ ）

y O 2y O y O y O X X X X ① ② ③ ④ 变式2. 已知函数y=f（x），则对于直线x=a（a为常数），以下说法正确的是（ ）

A. y=f（x）图像与直线x=a必有一个交点 B.y=f（x）图像与直线x=a没有交点

C.y=f（x）图像与直线x=a最少有一个交点 D.y=f（x）图像与直线x=a最多有一个交点

变式4.对于函数y＝f(x)，以下说法正确的有…( ) ①y是x的函数 ②对于不同的x，y的值也不同

③f(a)表示当x＝a时函数f(x)的值，是一个常量 ④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

变式5．设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有( )

A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．② 考点二：同一函数的判定

函数的三要素：定义域、对应关系、值域。

如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等。 例2. 下列哪个函数与y=x相同（ ）

①. y=x ②.yx ③. y2x ④.y=t ⑤.y23x3；⑥.yx2

变式1. 下列各组函数表示相等函数的是（ ）

x29 A. y 与 yx3 B. yx21 与 yx1

x3 C. yx（x≠0） 与 y1（x≠0） D. y2x1，x∈Z 与y2x1，x∈Z

0变式2. 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？

（1）y1(x3)(x5)x3y2x5 （2）y1x1x1 y2(x1)(x1)

2（3）f1(x)(2x5) f2(x)2x5

考点三：求函数的定义域

（1）当f（x）是整式时，定义域为R；

（2）当f（x）是分式时，定义域是使分母不为0的x取值集合；

（3）当f（x）是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负值的x取值集合；

（4）当f（x）是零指数幂或负数指数幂时，定义域是使幂的底数不为0的x取值集合；

（5）当f（x）是对数式时，定义域是使真数大于0且底数为不等于1的正数的x取值集合； 例3. ①函数y1xx21的定义域是（ ）

A. 1,1 B. ( -1 , 1 ) C. [ -1 , 1 ] D. (-∞ ,-1 )∪( 1 ,+∞ ) 1

②函数y＝x＋1＋的定义域是(用区间表示)________．

2－x变式1. 求下列函数的定义域 (1)f(x)

11； (2)f(x)3x2； (3)f(x)x1. x22xx1(4)y0xx (5)y＝

；

|x|－2

1

求复合函数的定义域

例5. 已知函数f（2x1）定义域为1,3, 求f（x）的定义域

变式1. 已知函数f（x1）的定义域为[ 0，3 ]，求f（x）的定义域

变式2. 已经函数f（x）定义域为[ 0 , 4], 求fx

的定义域

2

考点四：求函数的值域 例6．求下列函数的值域

① y3x1 ， x∈{1，2 ,3，4，5 } ( 观察法 )

②yx4x6 ，x∈1,5 ( 配方法 ：形如yaxbxc )

22

变式1. 求下列函数的值域

2① y2x4x3 ② f(x)2x3x4 (1x2)

2

考点五：求函数的解析式

例7 . 已知f（x）= x2x，求f（x1）的解析式 （ 代入法 / 拼凑法/换元法 ）

变式1. 已知f（x）= 2x1， 求f（x）的解析式

变式2. 已知f（x+1）= x3x3，求f（x）的解析式

变式3. 已知f(x1)x2x，试求f(x)的解析式.

例8. 若f [ f（x）] = 4x+3，求一次函数f（x）的解析式 （ 待定系数法 ）

变式1.一次函数f(x)满足f[f(x)]4x5，求该函数的解析式.

变式2．已知f(x)是二次函数，且f(0)=2，f(x+1)－f(x)=x－1，求f(x)的解析式.

222

变式3．已知二次函数f（x）＝x－bx＋c满足f（1＋x）＝f（1－x）， 且f（0）＝3，求f（x）解析式.

变式4.已知函数f（x）是一次函数，且满足3f（x＋1）－2f（x－1）＝2x＋17，求f（x）.

例9. 已知f（x）2 f（x）= x ，求函数f（x）的解析式 （ 消去法/ 方程组法 ）

变式1. 已知2 f（x） f（x）= x+1 ，求函数f（x）的解析式

变式2. 已知2 f（x）f 

考点六：函数的求值

例11. 已经函数f（x）= 2xx，求f（2）和f（a）+f (a)的值

32

1 = 3x ，求函数f（x）的解析式 x1x2变式1. 已知f（2x）= ，求f（2）的值

x例12. 已知函数

fx5x1x0，求f（1）+f（1）的值 3x2x0变式1. 已知函数

fxfx2x12x21x1 ，求f [f（4）]的值 xx1

变式2. 已知函数

fn，求f（5）的值 n1f(n2)n2

x2x(,1]1，求满足f（x）=的x值 例13 . 设函数fx2log81x,x(1,)

xx1变式1. 已知函数fx，若f（x）=2，求x的值

xx1

考点七：映射

例1．判断下列对应是否是映射？

变式1.判断下列两个对应是否是集合A到集合B的映射？

（1）设A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6，7，8，9}，对应法则f:x2x1 （2）设AN,B{0,1}，对应法则f:xx除以2得的余数 （3）AN，B{0,1,2}，f:xx被3除所得的余数 （4）设X{1,2,3,4},Y{1,,,}f:xx取倒数

（5）A{x|x2,xN},BN，f:x小于x的最大质数

*111234自主练习题

1、判断下列图象能表示函数图象的是（ ）

y y 0 x 0 x (B (A)

y y 0 x (D0 x (C)

2． 设集合P=x0x4,Q=y0y2,由以下列对应f中不能构成A到B的映射的是 （ ） ．．A．y12x B． y13x C． y23x D． y18x

3．下列各组函数中，表示同一函数的是 A．y1,y （ ）

x2 B．yx1x1,yx21 C ．yx,y3x3 D． y|x|,y(x) x4．函数yf(x)的图象与直线x1的公共点数目是（ ） A．1 B．0 C．0或1 D．1或2

5．设函数f(x)2x3,g(x2)f(x)，则g(x)的表达式是（ ） A．2x1 B．2x1 C．2x3 D．2x7

3x24(x0)6．若函数f(x)(x0)，则f(f(0))= ．

0(x0)x21(x0)7．已知函数f(x)，若f(x)10,则x 。

2x(x0)8．若函数f(2x1)x2x，则f(3)= . 9．求下列函数的定义域

（1）y （5）y

2x83x （2）yx2

x24(x1)0xx3 （6）f(x)x1 x1