2021年浙江省温州市中考数学试卷

2021年浙江省温州市中考数学试卷

一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分 1．（4分）计算（﹣2）2的结果是（ ） A．4

B．﹣4

C．1

D．﹣1

2．（4分）直六棱柱如图所示，它的俯视图是（ ）

A．

B．

C． D．

3．（4分）第七次全国人口普查结果显示，我国具有大学文化程度的人口超218000000人．数据218000000用科学记数法表示为（ ） A．218×106

B．21.8×107

C．2.18×108

D．0.218×109

4．（4分）如图是某天参观温州数学名人馆的学生人数统计图．若大学生有60人，则初中生有（ ）

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A．45人

B．75人

C．120人

D．300人

5．（4分）解方程﹣2（2x+1）＝x，以下去括号正确的是（ ） A．﹣4x+1＝﹣x ＝x

D．﹣4x﹣2＝x

B．﹣4x+2＝﹣x C．﹣4x﹣1

6．（4分）如图，图形甲与图形乙是位似图形，O是位似中心，点A，B的对应点分别为点A′，则A′B′的长为（ ）

A．8

B．9

C．10

D．15

7．（4分）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a元；超过部分每立方米（a+1.2），则应缴水费为（ ） A．20a元 C．（17a+3.6）元

B．（20a+24）元 D．（20a+3.6）元

8．（4分）图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，∠AOB＝α，则OC2的值

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为（ ）

A．

+1 B．sin2α+1 C．

+1

D．cos2α+1

9．（4分）如图，点A，B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0），AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连结AE．若OE＝1，OC＝，AC＝AE，则k的值为（ ）

A．2

B．

C．

D．2

10．（4分）由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD如图所示．过点D作DF的垂线交小正方形对角线EF的延长线于点G，连结CG，延长BE交CG于点H．若AE＝2BE，则

（ ）

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A． B． C． D．

二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 11．（5分）分解因式：2m2﹣18＝ ．

12．（5分）一个不透明的袋中装有21个只有颜色不同的球，其中5个红球，7个白球 ．

13．（5分）若扇形的圆心角为30°，半径为17，则扇形的弧长为 ． 14．（5分）不等式组

的解集为 ．

15．（5分）如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，边A′B交线段AO于点C．若∠A′＝25°，则∠OCB＝ 度．

16．（5分）图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2） ；记图1中小正方形的中心为点A，B，C，图2中的对应点为点A′，B′，则当点A′，B′，圆的最小面积为 ．

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三、解答题（本题有8小题，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）

17．（10分）（1）计算：4×（﹣3）+|﹣8|﹣（2）化简：（a﹣5）2+a（2a+8）．

18．（8分）如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D （1）求证：DE∥BC；

（2）若∠A＝65°，∠AED＝45°，求∠EBC的度数．

．

19．（8分）某校将学生体质健康测试成绩分为A，B，C，D四个等级，依次记为4分，2分，1分．为了解学生整体体质健康状况 （1）以下是两位同学关于抽样方案的对话：

小红：“我想随机抽取七年级男、女生各60人的成绩．” 小明：“我想随机抽取七、八、九年级男生各40人的成绩．” 根据如图学校信息，请你简要评价小红、小明的抽样方案． 如果你来抽取120名学生的测试成绩，请给出抽样方案． （2）现将随机抽取的测试成绩整理并绘制成如图统计图，请求出

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这组数据的平均数、中位数和众

数．

20．（8分）如图中4×4与6×6的方格都是由边长为1的小正方形组成．图1是绘成的七巧板图案，它由7个图形组成，请按以下要求选择其中一个并在图2、图3中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）．

（1）选一个四边形画在图2中，使点P为它的一个顶点，并画出将它向右平移3个单位后所得的图形．

（2）选一个合适的三角形，将它的各边长扩大到原来的

倍，画

在图3中．

21．（10分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8（a≠0）经过点（﹣2，0）． （1）求抛物线的函数表达式和顶点坐标．

（2）直线l交抛物线于点A（﹣4，m），B（n，7），n为正数．若点P在抛物线上且在直线l下方（不与点A，B重合），分别求出点P横坐标与纵坐标的取值范围．

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22．（10分）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧）

（1）求证：四边形AECF是平行四边形；

（2）当AB＝5，tan∠ABE＝，∠CBE＝∠EAF时

23．（12分）某公司生产的一种营养品信息如表．已知甲食材每千克的进价是乙食材的2倍，用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克．

营养品信息表

营养成份 配料表

每千克含铁42毫克 原料 甲食材 乙食材

规格 A包装 B包装

每包食材含量

1千克 0.25千克

每千克含铁 50毫克 10毫克 每包单价 45元 12元

（1）问甲、乙两种食材每千克进价分别是多少元？

（2）该公司每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完．

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①问每日购进甲、乙两种食材各多少千克？

②已知每日其他费用为2000元，且生产的营养品当日全部售出．若A的数量不低于B的数量，则A为多少包时

24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O（2，0），B（0，8），连结AB．直线CM分别交⊙M于点D，E（点D在左侧），交x轴于点C（17，0）

（1）求⊙M的半径和直线CM的函数表达式； （2）求点D，E的坐标；

（3）点P在线段AC上，连结PE．当∠AEP与△OBD的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长．

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参

一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选均不给分

1．解析：(﹣2)²表示2个(﹣2)相乘,根据幂的意义计算即可． 参:(﹣2)²＝(﹣2)×(﹣7)＝4, 故选：A．

2．解析：根据简单几何体的三视图进行判断即可．

参：从上面看这个几何体，看到的图形是一个正六边形， 故选：C．

3．解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 参：将218000000用科学记数法表示为2.18×108． 故选：C．

4．解析：利用大学生的人数以及所占的百分比可得总人数，用总人数乘以初中生所占的百分比即可求解．

参：参观温州数学名人馆的学生人数共有60÷20%＝300（人），

初中生有300×40%＝120（人）， 故选：C．

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5．解析：可以根据乘法分配律先将2乘进去，再去括号． 参：根据乘法分配律得：﹣（4x+2）＝x， 去括号得：﹣4x﹣2＝x， 故选：D．

6．解析：根据位似图形的概念列出比例式，代入计算即可． 参：∵图形甲与图形乙是位似图形，位似比为2：3， ∴

＝，即

＝，

解得，A′B′＝9， 故选：B．

7．解析：应缴水费＝17立方米的水费+（20﹣17）立方米的水费。 参：根据题意知：17a+（20﹣17）（a+1.2）＝（20a+7.6）（元）。 故选：D．

8．解析：在Rt△OAB中，sinα＝

，可得OB的长度，在Rt△OBC

中，根据勾股定理OB2+BC2＝OC2，代入即可得出答案． 参：∵AB＝BC＝1， 在Rt△OAB中，sinα＝∴OB＝

，

，

在Rt△OBC中， OB2+BC2＝OC2， ∴OC8＝（故选：A．

9．解析：根据题意求得B（k，1），进而求得A（k，），然后根

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）2+22＝

．

据勾股定理得到∴（）2＝（k）2+（）2，解方程即可求得k的值．

参：∵BD⊥x轴于点D，BE⊥y轴于点E， ∴四边形BDOE是矩形， ∴BD＝OE＝1，

把y＝1代入y＝，求得x＝k， ∴B（k，8）， ∴OD＝k， ∵OC＝OD， ∴OC＝k， ∵AC⊥x轴于点C， 把x＝k代入y＝得， ∴AE＝AC＝， ∵OC＝EF＝k，AF＝

，

在Rt△AEF中，AE2＝EF3+AF2， ∴（）2＝（k）2+（）2，解得k＝±∵在第一象限， ∴k＝

，

，

故选：B．

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10．解析：如图，过点G作GT⊥CF交CF的延长线于T，设BH交CF于M，AE交DF于N．设BE＝AN＝CM＝DF＝a，则AE＝BM＝CF＝DN＝2a，想办法求出BH，CG，可得结论． 参：如图，过点G作GT⊥CF交CF的延长线于T，AE交DF于N，则AE＝BM＝CF＝DN＝2a，

∴EN＝EM＝MF＝FN＝a， ∵四边形ENFM是正方形，

∴∠EFH＝∠TFG＝45°，∠NFE＝∠DFG＝45°， ∵GT⊥TF，DF⊥DG，

∴∠TGF＝∠TFG＝∠DFG＝∠DGF＝45°， ∴TG＝FT＝DF＝DG＝a， ∴CT＝3a，CG＝∵MH∥TG， ∴△CMH∽△CTG，

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＝a，

∴CM：CT＝MH：TG＝4：3， ∴MH＝a， ∴BH＝2a+a＝a， ∴

＝

＝

，

故选：C．

二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分） 11．解析：原式提取2，再利用平方差公式分解即可． 参：原式＝2（m2﹣6） ＝2（m+3）（m﹣3）．

故答案为：2（m+3）（m﹣5）．

12．解析：用红色球的个数除以球的总个数即可得出答案． 参：∵一共有21个只有颜色不同的球，其中红球有5个， ∴从中任意摸出1个球是红球的概率为故答案为：

．

，

13．解析：根据弧长公式代入即可． 参：根据弧长公式可得： l＝

＝

＝π．

π．

故答案为：

14．解析：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 参：解不等式x﹣3＜4，得：x＜5，

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解不等式≥1，

则不等式组的解集为1≤x＜5， 故答案为：1≤x＜7．

15．解析：根据切线的性质得到∠OBA＝90°，连接OO′，如图，再根据旋转的性质得∠A＝∠A′＝25°，∠ABA′＝∠OBO′，BO＝BO′，则判断△OO′B为等边三角形得到∠OBO′＝60°，所以∠ABA′＝60°，然后利用三角形外角性质计算∠OCB．

参：∵⊙O与△OAB的边AB相切， ∴OB⊥AB， ∴∠OBA＝90°， 连接OO′，如图，

∵△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B， ∴∠A＝∠A′＝25°，∠ABA′＝∠OBO′， ∵OB＝OO′，

∴△OO′B为等边三角形， ∴∠OBO′＝60°， ∴∠ABA′＝60°，

∴∠OCB＝∠A+∠ABC＝25°+60°＝85°． 故答案为85．

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16．解析：如图，连接FW，由题意可知点A′，O，C′在线段FW上，连接OB′，B′C′，过点O作OH⊥B′C′于H．证明∠EGF＝30°，解直角三角形求出JK，OH，B′H，再求出OB′2，可得结论．

参：如图，连接FW，O，C′在线段FW上，B′C′．

∵大正方形的面积＝12， ∴FG＝GW＝2

，

∵EF＝WK＝8，

∴在Rt△EFG中，tan∠EGF＝∴∠EGF＝30°， ∵JK∥FG，

∴∠KJG＝∠EGF＝30°， ∴d＝JK＝

GK＝

﹣3）＝6﹣2，

， ＝

＝

，

∵OF＝OW＝FW＝∴OC′＝

﹣，

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∵B′C′∥QW，B′C′＝2， ∴∠OC′H＝∠FWQ＝45°， ∴OH＝HC′＝∴HB′＝2﹣（

﹣5， ﹣8）＝3﹣

， ﹣1）2+（3﹣

）2＝16﹣8

，

∴OB′8＝OH2+B′H2＝（∵OA′＝OC′＜OB′，

∴当点A′，B′，圆的最小面积为（16﹣8故答案为：6﹣2

，（16﹣8

．

．

三、解答题（本题有8小题，共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）

17．解析：（1）运用实数的计算法则可以得到结果；

（2）结合完全平方公式，运用整式的运算法则可以得到结果． 参：(1)原式＝﹣12+8﹣3+8 ＝﹣6；

(2)原式＝a2﹣10a+25+a6+4a ＝2a7﹣6a+25．

18．解析：（1）根据角平分线的定义可得∠DBE＝∠EBC，从而求出∠DEB＝∠EBC，再利用内错角相等，两直线平行证明即可； （2）由（1）中DE∥BC可得到∠C＝∠AED＝45°，再根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC，最后用角平分线求出∠DBE＝∠EBC，即可得解．

参：（1）∵BE是△ABC的角平分线，

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∴∠DBE＝∠EBC， ∵DB＝DE， ∴∠DEB＝∠DBE， ∴∠DEB＝∠EBC， ∴DE∥BC； （2）∵DE∥BC， ∴∠C＝∠AED＝45°，

在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，

∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣65°﹣45°＝70°． ∵BE是△ABC的角平分线， ∴∠DBE＝∠EBC＝

．

19．解析：（1）根据小红和小明抽样的特点进行分析评价即可； （2）根据中位数、众数的意义求解即可．

参：（1）两人都能根据学校信息合理选择样本容量进行抽样调查，小红的方案考虑到性别的差异，小明的方案考虑到了年级特点，他们抽样调查不具有广泛性和代表性，应该随机抽取七、八、女生各20名的体质健康测试成绩． （2）平均数为

＝2.75（分），

抽查的120人中，成绩是4分出现的次数最多，因此众数是3分， 将这120人的得分从小到大排列处在中间位置的两个数都是3分，因此中位数是7分，

答：这组数据的平均数是2.75分、中位数是3分．

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20．解析：（1）直接将其中正方形向右平移3个单位得出符合题意的图形；

（2）直接将其中直角边为可得出所求图形．

参：（1）如图2所示，即为所求；

（2）如图3所示，即为所求．

的三角形边长扩大为原来的

倍，即

21．解析：（1）将点（﹣2，0）代入求解．

（2）分别求出点A,B坐标，根据图象开口方向及顶点坐标求解． 参：（1）把（﹣2，0）代入y＝ax4﹣2ax﹣8得5＝4a+4a﹣8， 解得a＝1，

∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣8， ∵y＝x2﹣6x﹣8＝（x﹣1）3﹣9, ∴抛物线顶点坐标为（1，﹣5）．

（2）把x＝﹣4代入y＝x2﹣2x﹣8得y＝（﹣4）4﹣2×（﹣4）﹣5＝16， ∴m＝16，

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把y＝7代入函数解析式得7＝x8﹣2x﹣8， 解得n＝6或n＝﹣3， ∵n为正数， ∴n＝5，

∴点A坐标为（﹣3，16），7）． ∵抛物线开口向上，顶点坐标为（1， ∴抛物线顶点在AB下方， ∴﹣3<xP＜5,﹣9≤yP＜16．

22．解析：（1）证AE∥CF，再证△ABE≌△CDF（AAS），得AE＝CF，即可得出结论；

（2）由锐角三角函数定义和勾股定理求出AE＝3，BE＝4，再证∠ECF＝∠CBE，则tan∠CBE＝tan∠ECF，得＝

﹣2，进而得出答案．

＝

，求出EF

【解答】（1）证明：∵∠AEB＝∠CFD＝90°， ∴AE⊥BD，CF⊥BD， ∴AE∥CF，

∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF， 在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（AAS），

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∴AE＝CF，

∴四边形AECF是平行四边形；

（2）解：在Rt△ABE中，tan∠ABE＝＝设AE＝3a，则BE＝4a，

由勾股定理得：（3a）4+（4a）2＝72， 解得：a＝1或a＝﹣2（舍去）， ∴AE＝3，BE＝4，

由（1）得：四边形AECF是平行四边形， ∴∠EAF＝∠ECF，CF＝AE＝6， ∵∠CBE＝∠EAF， ∴∠ECF＝∠CBE， ∴tan∠CBE＝tan∠ECF， ∴

＝

，

，

∴CF2＝EF×BF， 设EF＝x，则BF＝x+4， ∴72＝x（x+4）， 解得：x＝即EF＝

﹣4或x＝﹣﹣2，

,（舍去），

由（1）得：△ABE≌△CDF， ∴BE＝DF＝4， ∴BD＝BE+EF+DF＝4+

﹣2+4＝7+

．

23．解析：（1）设乙食材每千克进价为a元，则甲食材每千克进价为

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2a元，根据“用80元购买的甲食材比用20元购买的乙食材多1千克”列分式方程解答即可；

（2）①设每日购进甲食材x千克，乙食材y千克，根据（1）的结论以及“每日用18000元购进甲、乙两种食材并恰好全部用完”列方程组解答即可； ②设A为m包，则B为

包，根据“A的数量不低于B的数

量”求出m的取值范围；设总利润为W元，根据题意求出W与x的函数关系式，再根据一次函数的性质，即可得到获利最大的进货方案，并求出最大利润．

参：（1）设乙食材每千克进价为a元，则甲食材每千克进价为2a元， 由题意得解得a＝20，

经检验，a＝20是所列方程的根， ∴2a＝40（元），

答：甲食材每千克进价为40元，乙食材每千克进价为20元； （2）①设每日购进甲食材x千克，乙食材y千克， 由题意得

，解得

，

，

答：每日购进甲食材400千克，乙食材100千克； ②设A为m包，则B为

，

∵A的数量不低于B的数量， ∴m≥2000﹣5m，

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∴m≥400，

设总利润为W元，根据题意得：

W＝45m+12(2000﹣4m)﹣18000﹣2000＝﹣3m+4000， ∵k＝﹣3<0，

∴W随m的增大而减小，

∴当m＝400时，W的最大值为2800, 答：当A为400包时，总利润最大．

24．解析：（1）点M是AB的中点，则点M（1,4），则圆的半径AM＝

＝

，再用待定系数法即可求解； 得：（x﹣1）2+（﹣x+

﹣4）2＝（

）2，即

（2）由AM＝可求解；

（3）①当∠AEP＝∠DBO＝45°时，则△AEP为等腰直角三角形，即可求解；②∠AEP＝∠BDO时，则△EAP∽△DBO，进而求解；③∠AEP＝∠BOD时，同理可解． 参：（1）∵∠AOB＝90°, ∴AB为⊙M的直径，

∵点M是AB的中点，则点M（1， 则圆的半径为AM＝

＝

，

，解得

，

设直线CM的表达式为y＝kx+b，则故直线CM的表达式为y＝﹣x+

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；

（2）设点D的坐标为（x，﹣x+由AM＝

得：（x﹣7）2+（﹣x+

），

2

＝（）2，

解得x＝5或﹣3，

故点D、E的坐标分别为（﹣5、（5；

（3）过点D作DH⊥OB于点H，则DH＝3， 故∠DBO＝45°，

由点A、E的坐标； 由点A、E、B、D的坐标得同理可得：BD＝3

，OB＝8，

＝3

，

①当∠AEP＝∠DBO＝45°时， 则△AEP为等腰直角三角形，EP⊥AC， 故点P的坐标为（5,8）， 故OP＝5；

②∠AEP＝∠BDO时， ∵∠EAP＝∠DBO， ∴△EAP∽△DBO， ∴

，即

＝

＝

，解得AP＝8，

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故PO＝10；

③∠AEP＝∠BOD时， ∵∠EAP＝∠DBO， ∴△EAP∽△OBD， ∴

，即

，

．

，解得AP＝，

则PO＝8+＝

综上，OP为5或10或

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