因式分解的运用【开拓思维】-教师用卷

因式分解的运用【开拓思维】

1. 已知2010-2010=2010×2009×2011，那么x的值为（ ）

A. 2018 B. 2019 C. 2020 D. 2021 【答案】B

【解析】解：2010x×2009×2011=2010x×（2010+1）（2010-1）=2010x×（20102-1）=2010x+2-2010x， ∵20102021-20102019=2010x+2-2010x， ∴x=2019， 故选：B．

将式子2010x×2009×2011化为2010x+2-2010x，则有20102021-20102019=2010x+2-2010x，即可求x．

本题考查因式分解的应用；理解题意，将已知式子进行合理的变形，再运用因式分解进行求解是解题的关键．

33

2. 已知a+2b=0，则式子a+2ab（a+b）+4b的值是______． 【答案】0

【解析】解：原式=a3+2a2b+2ab2+4b3 22

=a（a+2b）+2b（a+2b） =（a+2b）（a2+2b2） ∵a+2b=0

∴（a+2b）（a2+2b2）=0 故答案为：0

根据已知条件的a+2b=0，可以猜想要求的代数式要重新分组凑出2a+b形式，从而用整体代入法解题 本题考查了因式分解中的提公因式法和分组分解法，以及整体代入的思想

3. 不论x，y为任何实数，x2+y2-4x-2y+8的值总是（ ）

A. 正数 B. 负数 C. 非负数 D. 非正数 【答案】A 【解析】 【分析】

本题考查了因式分解的应用，非负数的性质，

先利用完全平方公式得到x2+y2-4x-2y+8=x2-4x+4+y2-2y+1+3=（x-2）2+（y-1）2+3，然后根据非负数的性质进行判断． 【解答】

解：x2+y2-4x-2y+8 =x2-4x+4+y2-2y+1+3

22

=（x-2）+（y-1）+3，

22

∵（x-2）≥0，（y-1）≥0，

22

∴（x-2）+（y-1）+3＞0，

∴不论x，y为任何实数，x2+y2-4x-2y+8的值总是正数． 故选：A．

4. 已知a，b，c是正整数，a＞b，且a2﹣ab﹣ac+bc＝11，则a﹣c等于（）

A. ﹣1 B. ﹣1或﹣11 C. 1 D. 1或11 【答案】D 【解析】 【分析】

此题考查了因式分解的应用.能够借助因式分解分析字母的取值范围是解决问题的关键．先把a2－ab－ac＋bc因式分解，再结合a、b、c是正整数和a＞b探究它们的可能值，从而求解．

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2021

2019

x【解答】

解：根据已知a2－ab－ac＋bc＝11， 即a（a－b）－c（a－b）＝11， （a－b）（a－c）＝11， ∵a＞b， ∴a－b＞0， ∴a－c＞0，

∵a、b、c是正整数， ∴a－c＝1或a－c＝11 故选D．

5. 如果2x2-3x-2019=0，那么2x3-x2-2022x-2020=______． 【答案】-3

【解析】解：∵2x-3x-2019=0， ∴2x3-x2-2022x-2020

322

=（2x-3x-2019x）+（2x-3x-2019）-3

22

=x（2x-3x-2019）+（2x-3x-2019）-3 =0+0-3 =-3．

故答案为：-3．

3222

把原式写成2x-3x-2019x+2x-3x-2019-3，再分组因式分解，然后把2x-3x-2019=0代入计算即可． 本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握提公因式法因式分解是解答本题的关键．

2

6. A. 76 【答案】C 【解析】

能被（）整除

B. 78 C. 79 D. 82

【分析】

此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，注意平方差公式的应用．应用提取公因式法、平方差公式，把803-80因式分解，即可解答． 【解答】 解：803-80 =80×（802-1）

=80×（80-1）×（80+1） =80×79×81

803-80能被80，79，81整除， 故选C．

7. 已知a，b，c为一个三角形的三边长，则4b2c2-(b2+c2-a2)2的值为（ ）．

A. 恒为正 B. 恒为负 C. 可正可负 D. 非负 【答案】A 【解析】

【分析】

本题考查了因式分解的应用和三角形中三边之间的关系.因为a，b，c为三角形的三边，所以（a-b+c）（a+b-c）（b+c+a）（b+c-a）是4个正数的积，所以恒为正.先将4b2c2-（b2+c2-a2）2进行因式分解，再根据三角形三边关系即可作答.

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【解答】

解：∵a，b，c为一个三角形的三边长，

∴a-b+c＞0，a+b-c＞0，b+c+a＞0，b+c-a＞0， 222222 4bc-（b+c-a）

222222

=（2bc-b-c+a）（2bc+b+c-a） 2222=[a-（b-c）][（b+c）-a]

=（a-b+c）（a+b-c）（b+c+a）（b+c-a）＞0． 故4b2c2-（b2+c2-a2）2的值恒为正． 故选A．

8. 已知a-b=3,a+c=-1,则代数式ac-bc+-ab的值为( )

A. 4 B. 3 C. -3 【答案】C 【解析】

【分析】 D. -4

本题考查了因式分解的应用：用因式分解解决求值问题，利用因式分解简化计算问题．本题的关键是把所求代数式分解因式．

先利用分组分解的方法把ac-bc+a2-ab因式分解为（a-b）（c+a），再利用整体代入的方法计算．

【解答】 解：∵ac-bc+a2-ab， =c（a-b）+a（a-b）， =（a-b）（c+a）， ∵a-b=3，a+c=-1，

∴ac-bc+a2-ab=3×（-1）=-3. 故选C．

9. 若a+b=2，ab=-3，则代数式a3b+2a2b2+ab3的值为______． 【答案】-12

【解析】解：∵a+b=2，ab=-3， ∴a3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2）， =ab（a+b）2， =-3×4， =-12．

故答案为：-12．

根据a3b+2a2b2+ab3=ab（a2+2ab+b2）=ab（a+b）2，结合已知数据即可求出代数式a3b+2a2b2+ab3的值． 本题考查了因式分解的应用以及完全平方式的转化，注意因式分解各种方法的灵活运用是解题的关键．

10. 如果多项式p=a2+2b2+2a+4b+2008，则p的最小值是（）

A. 2005 B. 2006 C. 2007 【答案】A 【解析】

D. 2008

【分析】

此题主要考查了完全平方式的非负性，即完全平方式的值是大于等于0的，它的最小值为0，所以在求一个多项式的最小值时常常用凑完全平方式的方法进行求值.把p重新拆分组合，凑成完全平方式的形式，然后判断其最小值. 【解答】

解：p=a2+2b2+2a+4b+2008，

=（a2+2a+1）+（2b2+4b+2）+2005， =（a+1）2+2（b+1）2+2005，

当（a+1）2=0，（b+1）2=0时，p有最小值，

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最小值最小为2005． 故选A.

11. 数348﹣1能被30以内的两位整数整除的是（）

A. 26，24 B. 28，26 C. 27，25 【答案】B 【解析】

D. 25，23

【分析】

本题主要考查的是因式分解的应用的有关知识，由题意将给出的数进行因式分解求解即可. 【解答】 解：348﹣1

=（324-1）（324+1）

=（312-1）（312+1）（324+1）

661224

=（3-1）（3+1）（3+1）（3+1）

3362424

=（3-1）（3+1）（3+1）（3+1）（3+1） =26×28×（36+1）（324+1）（324+1），

48

∴数3﹣1能被30以内的两位整数整除的是26，28. 故选B.

12. 小强是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：a－b，x－y，x＋y，a＋b，x2－y2，a2－

b2分别对应下列六个字：华、爱、我、中、游、美，现将(x2－y2)a2－(x2－y2)b2因式分解，结果呈现的密码信

息可能是( ) A. 我爱美 B. 中华游 C. 爱我中华 D. 美我中华 【答案】C 【解析】 【分析】

本题考查因式分解的应用，涉及平方差公式，提取公因式法，并考查学生的阅读理解能力． 将原式进行因式分解即可求出答案． 【解答】 解：原式＝

由条件可知，（x−y）（x＋y）（a−b）（a＋b）可表示为“爱我中华” 故选：C．

13. 已知a2+b2=2a-b-2，则3a-b的值为（ ） A. 4 【答案】A

2

2

B. 2 C. -2 D. -4

【解析】解：∵a+b=2a-b-2， ∴a2-2a+1+b2+b+1=0， ∴

∴a-1=0，b+1=0， ∴a=1，b=-2， ∴3a-b=3+1=4． 故选：A．

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，

先将原方程化成非负数和为0的形式，再根据非负数的性质求得a、b，进而代入代数式求得结果．

本题主要考查了非负数和为0的性质，因式分解，关键是进行因式分解，把原方程化为非负数和等于0的形式．

14. 计算(-2)100+(-2)101的结果是（ ）

A. -2 B. 2 C. 2100 【答案】D 【解析】

【分析】

本题主要考查因式分解的应用，直接提取公因式【解答】 解： = =. 故选D.

即可.

D. -2100

15. 设681×2019－681×2018＝a，2015×2016－2013×2018＝b，

大小关系是（ ） A. b＜c＜a B. a＜c＜b C. b＜a＜c 【答案】A

【解析】解：∵a=681×2019-681×2018 =681×（2019-2018） =681×1 =681，

b=2015×2016-2013×2018

=2015×2016-（2015-2）×（2016+2）

=2015×2016-2015×2016-2×2015+2×2016+2×2 =-4030+4032+4 =6，

，则a，b，c的

D. c＜b＜a

c=

======6＜

， ＜681，

∴b＜c＜a． 故选：A．

根据乘法分配律可求a，将b变形为2015×2016-（2015-2）×（2016+2），再注意整体思想进行计算，根据提取公因式、平方差公式和算术平方根可求c，再比较大小即可求解．

本题考查了因式分解的应用，熟记乘法分配律、平方差公式的结构特点是解题的关键．注意整体思想的运用．

16. 已知m2-m-1=0，则计算：m4-m3-m+2的结果为（ ）

A. 3 B. -3 C. 5

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D. -5

【答案】A 【解析】 【分析】

22432

观察已知m-m-1=0可转化为m-m=1，再对m-m-m+2提取公因式因式分解的过程中将m-m作为一个整体代入，逐次

2

降低m的次数，使问题得以解决．此题考查的是因式分解的应用．解决本题的关键是将m-m作为一个整体出现，逐次降低m的次数． 【解答】

解：∵m2-m-1=0 2

∴m-m=1

m4-m3-m+2=m2（m2-m）-m+2=m2-m+2=1+2=3； 故选A．

17. △ABC的三边为a、b、c且满足a2（a-b）+b2（a-b）=c2（a-b），则△ABC是（）

A. 等腰三角形或直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 【答案】A 【解析】

【分析】

本题考查因式分解的应用以及勾股定理的逆定理的应用，以及对三角形形状的掌握．因为a，b，c为三边，根据a2（a-b）+b2（a-b）=c2（a-b），可找到这三边的数量关系． 【解答】

222

解：∵a（a-b）+b（a-b）=c（a-b）， ∴（a-b）（a2+b2-c2）=0， ∴a=b或a2+b2=c2．

当只有a-b=0成立时，是等腰三角形．

222

当只有a+b-c=0成立时，是直角三角形． 当两个条件同时成立时：是等腰直角三角形． 故选：A．

18. 已知a，b，c为△ABC的三边长，且a4－b4＋b2c2－a2c2＝0，则△ABC的形状是

A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】

本题考查因式分解的应用以及勾股定理的逆定理.将题中所给的等式移项并进行因式分解，化简，再根据勾股定理的逆定理，判断三条边a、b、c之间的关系，即可得出本题答案.掌握因式分解以及勾股定理是本题的关键，对题中式子进行因式分解，化简，利用勾股定理逆定理即可. 【解答】 解：∴

， ，

，

，

，

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∴a-b=0或c2-a2-b2=0，所以a=b或c2=a2+b2即它是等腰三角形或直角三角形. 故选D.

19. 已知a，b，c是△ABC的三条边，且满足a2-b2=c（a-b），则△ABC是（ ）

A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】C

【解析】解：已知等式变形得：（a+b）（a-b）-c（a-b）=0，即（a-b）（a+b-c）=0， ∵a+b-c≠0，

∴a-b=0，即a=b，

则△ABC为等腰三角形． 故选：C．

已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到a=b，即可确定出三角形形状． 此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

20. 现有2张边长均为x的正方形A纸片，5张长为x，宽为y的长方形B纸片和3张边长为y的C纸片，如果把

这些纸片拼成一个大的长方形，那么大长方形的长和宽应分别为

A. C.

B. D.

【答案】C 【解析】 【分析】

本题考查对多项式乘多项式几何意义的理解，应从整体和部分两方面来理解多项式乘多项式的几何意义，要与因式

2222

分解相结合．此题需先根据题意表示出重新拼出的长方形的面积是2x+5xy+3y，再把2x+5xy+3y因式分解，即可求出该长方形的长、宽． 【解答】

解：如图所示：

2张边长均为的正方形A纸片，5张长为，宽为的长方形B纸片和3张边长为的C纸片拼成一个大的长方形的

22

面积为2x+5xy+3y， 2x2+5xy+3y2=. 所以大长方形的长和宽应分别为. 故选C.

21. 若在一个两位正整数N的个位数字与十位数字之间添上数字6，组成一个新的三位数，我们称这个三位数为N的“至善数”，如34的“至善数”为3；若将一个两位正整数M加6后得到一个新数，我们称这个新数为M的“明德数”，如34的“明德数”为40．则对任意一个两位正整数A，其“至善数”与“明德数”之差能被k整除，则k可能是（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】C

【解析】分析：本题考查了整式的加减运算，列式表示数量关系。 【解答】解:设A的十位数字为a，个位数字为b 则其“至善数与“明德数”分别为：

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100a+60+b；10a+b+6 它们的差为：

100a+60+b﹣（10a+b+6） ＝90a+ ＝9（10a+6）

∴其“至善数”与“明德数”之差能被9整除，即k=9． 故选:C

22. 已知实数a，b，c，且a－2b＋c＝0，a＋2b＋c＜0，则( )

A. b＞0，b2－ac≤0 B. b＜0，b2－ac≤0 C. b＞0，b2－ac≥0 D. b＜0，b2－ac≥0 【答案】D

【解析】解：∵a-2b+c=0，a+2b+c＜0， ∴a+c=2b，b=

，

∴a+2b+c=（a+c）+2b=4b＜0， ∴b＜0， ∴b-ac=

2

2

=-ac==≥0，

即b＜0，b-ac≥0， 故选：D．

根据a-2b+c=0，a+2b+c＜0，可以得到b与a、c的关系，从而可以判断b的正负和b2-ac的正负情况，本题得以解决．

本题考查因式分解的应用、不等式的性质，解答本题的关键是明确题意，判断出b和b2-ac的正负情况．

23. 下列说法正确的是（ ）

A. 不论x取何值时，（x-1）0=1 C. 多项式x2+x+1是完全平方式 【答案】D

0

B. 的值比大

D. 4×3100-399是11的倍数

【解析】解：当x=1时，（x-1）无意义，故选项A错误； ∵

，

，

∴的值与的值一样，故选项B错误； 多项式x2+x+1=（x+）2+，故选项C错误； 4×3100-399

=399×（4×3-1） =399×11，

则4×3100-399是11的倍数，故选项D正确； 故选：D．

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根据各个选项中的说法，可以判断是否正确，从而得到答案．

本题考查完全平方式、零指数幂、有理数大小的比较，解答本题的关键是明确题意，依次判断各个选项中的说法是否正确．

24. 已知a，b为自然数，且a2-b2=45，则a，b可能的值有（ ）

A. 1对 B. 2对 C. 3对 D. 4对 【答案】C

【解析】解：∵a2-b2=（a+b）（a-b）， ∴（a+b）•（a-b）=45， 又∵已知a，b为自然数， ∴解得

或或

或

或．

，

故选：C．

把等号左边进行因式分解，然后根据自然数解求解．

本题考查了平方差公式分解因式，注意运用因式分解方法进行解决，这里a和b是自然数，所以a+b和a-b必须同正．

25. 已知：a-b=2+，b-c=2-．

求：（1）a-c的值；

222

（2）a+b+c-ab-ac-bc的值．

【答案】解：（1）a-c=（a-b）+（b-c）=（2+（2）原式=（2a+2b+2c-2ab-2ac-2bc） =[（a-2ab+b）+（a-2ac+c）+（b-2bc+c）] =[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2] =×[（2+

）2+42+（2-）2]

2

2

2

2

2

2

2

2

2

）+（2-）=4；

=15．

【解析】（1）根据a-c=（a-b）+（b-c）即可代入求解；

（2）把已知的式子化成[（a-b）+（a-c）+（b-c）]的形式，然后代入求解． 本题考查了代数式的求值，正确利用因式分解的方法把所求的式子进行变形是关键．

2

2

2

26. 已知

A. 4 【答案】D 【解析】

，则当

B. 8

时，d的值为（ ）

C. 12 D. 16

【分析】

此题主要考查了因式分解的应用，要熟练掌握，注意根据题目的特点，先通过因式分解将式子变形，然后再进行整体代入．根据x2-2x-4=0，可得：x2-2x=4，把x2-2x=4代入d=x4-2x3+x2-10x-4，求出d的值是多少即可． 【解答】

解：∵x2-2x-4=0， ∴x2-2x=4，

∴d=x4-2x3+x2-10x-4 =x2（x2-2x）+x2-10x-4

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=4x2+x2-10x-4 =5x2-10x-4 =5（x2-2x）-4 =5×4-4 =20-4 =16. 故选D.

27. 若实数满足

A. B. C. D. 【答案】A 【解析】

，则的值是（ ）

【分析】

本题考查求代数式的值，解题的关键是利用整体代入思想.先把原式因式分解，代入a+b的值求出ab值. 【解答】

解：∵a+b=5，

a2b+ab2=ab（a+b）=-10， ∴ab=-10÷5=-2. 故选A.

28. 乘积

A.

B.

应等于

C. D.

【答案】C 【解析】 【分析】

本题主要考查的是因式分解的应用，有理数的混合运算的有关知识，利用平方差公式因式分解，进一步整理利用分子分母交错约分得出答案即可． 【解答】 解：原式====， 故选C.

29. △ABC的三边a，b，c为互不相同的整数，且abc+ab+ac+bc+a+b+c=119，则△ABC的周长为____________. 【答案】12 【解析】

【分析】

本题考查因式分解的应用，三角形三边关系。

将原式变形后进行因式分解可得到（a+1）（b+1）（c+1）=120，再利用三角形的三边关系以及三边都是互不相同

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的整数这两个条件加以分析即可得出答案． 【解答】

∵abc+ab+ac+bc+a+b+c=119 ∴ab(c+1)+a(c+1)+b(c+1)+(c+1)=120 (a+1)(b+1)(c+1)=120

∵a，b，c为互不相同的整数，且是△ABC的三边 ∴a+1，b+1，c+1也是互不相同的正整数，且都大于1. 故可分为以下6种情况：

(1)120=3×4×10，即△ABC的三边长分别为2，3，9；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去。 (2)120=3×2×20，即△ABC的三边长分别为2，1，19；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去。 (3)120=3×8×5，即△ABC的三边长分别为2，7，4；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去。 (4)120=6×4×5，即△ABC的三边长分别为5，3，4；即a+1+b+1+c+1=6+4+5，a+b+c=12. (5)120=6×2×10，即△ABC的三边长分别为5，1，9；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去。 (6)120=12×2×5，即△ABC的三边长分别为11，1，4；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去。 (7)120=2×4×15，即△ABC的三边长分别为2，4，15；由三角形的三边关系可知不合题意，舍去。 综上可知，△ABC的周长为12. 故答案为12.

30. 已知a＋b＝2，ab＝1，则a2b＋ab2的值为 ． 【答案】2 【解析】

【分析】

本题主要考查了因式分解的应用可整体代入求代数式的值，解答此题可将a2b＋ab2分解因式，然后整体代入计算即可.

【解答】

解：∵a＋b＝2，ab＝1， ∴a2b＋ab2=ab(a+b)=1×2=2. 故答案为2.

31. 已知|x-y+2|+【答案】-4 【解析】

=0,则-的值为 .

【试题解析】 【分析】

此题考查的是绝对值的非负性和算术平方根的非负性以及二元一次方程组的解灵活运用因式分解求代数式的求值.先根据实数非负数的性质得到关于x，y的二元一次方程，解方程求出x-y和x+y整体的值，将所求代数式利用平

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方差公式分解因式后整体代入计算即可. 【解答】

解：由题意得：x-y+2=0，x+y-2=0， 解得：x-y=-2，x+y=2， 22

∴x-y=（x-y）（x+y）=-2×2=-4. 故答案为-4.

32. 长为a、宽为b的矩形，它的周长为16，面积为12，则【答案】96

的值为_______.

【解析】解：∵长为a、宽为b的矩形，它的周长为16，面积为12， ∴ab=12，a+b=8，

∴a2b+ab2=ab（a+b）=12×8=96． 故答案为：96．

根据题意得出ab=12，a+b=8，进而将原式分解因式得出即可．

此题主要考查了提取公因式法分解因式的应用，正确分解因式是解题关键．

33. 若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如3＝

，5＝）．已

知“智慧数”按从小到大顺序构成如下数列：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，…．则第2020个“智慧数”是____________． 【答案】2696 【解析】 【分析】

本题主要考查了平方差公式，有一定的难度，主要是对题中新定义的理解与把握．

如果一个数是智慧数，就能表示为两个正整数的平方差，设这两个数分别m、n，设m＞n，即智慧数=m2-n2=（m+n）（m-n），因为m，n是正整数，因而m+n和m-n就是两个自然数．要判断一个数是否是智慧数，可以把这个数分解因数，分解成两个整数的积，看这两个数能否写成两个正整数的和与差． 【解答】

解：1不能表示为两个正整数的平方差，所以1不是“智慧数”．对于大于1的奇正整数2k+1，有2k+1=（k+1）2-k2（k=1，2，…）．所以大于1的奇正整数都是“智慧数”．

对于被4整除的偶数4k，有4k=（k+1）2-（k-1）2（k=2，3，…）．

即大于4的被4整除的数都是“智慧数”，而4不能表示为两个正整数平方差，所以4不是“智慧数”．

22

对于被4除余2的数4k+2（k=0，1，2，3，…），设4k+2=x-y=（x+y）（x-y），其中x，y为正整数， 当x，y奇偶性相同时，（x+y）（x-y）被4整除，而4k+2不被4整除； 当x，y奇偶性相异时，（x+y）（x-y）为奇数，而4k+2为偶数，总得矛盾． 所以不存在自然数x，y使得x2-y2=4k+2．即形如4k+2的数均不为“智慧数”．

因此，在正整数列中前四个正整数只有3为“智慧数”，此后，每连续四个数中有三个“智慧数”． 因为2020=1+3×673，4×（673+1）=2696， 所以2696是第2020个“智慧数”， 故答案为：2696．

34. 已知两实数与，

，

（1）请判断与的大小，并说明理由． （2）请根据（1）的结论，求（3）请判断

的最小值（其中，均为正数） 的正负性，，为互不相等的实数）

第12页，共18页

【答案】解：（1）M≥N；理由如下：

∵M-N=a2+b2-2ab=（a-b）2≥0，∴M≥N； （2）∵

∴最小值为5；

222

（3）a+b+c-ab-ac-bc＞0，理由如下： ∵a2+b2+c2-ab-ac-bc =（2a2+2b2+2c2-2ab-2ac-2bc） =[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]，

∵a，b，c为互不相等的实数， ∴a2+b2+c2-ab-ac-bc＞0．

【解析】本题考查了因式分解的应用、偶次方的非负性质；熟练掌握用完全平方公式分解因式，并能进行推理论证是解决问题的关键．

（1）由M-N是一个完全平方式，分解因式得出M-N=（a-b）2≥0，即可得出结论； （2）由（1）的结论容易得出结果；

（3）把原式化成=[（a-b）2+（a-c）2+（b-c）2]，即可得出结论．

35. 已知a=2005x+2006，b=2005x+2007，c=2005x+2008，则a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc=______． 【答案】3

【解析】解：∵a=2005x+2006，b=2005x+2007，c=2005x+2008， ∴a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1，

则原式=（2a+2b+2c-2ab-2ac-2bc）=[（a-b）+（a-c）+（b-c）]=3． 故答案为：3．

已知等式整理变形后，利用完全平方公式化简，将各自的值代入计算即可求出值． 此题考查了因式分解的应用，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．

2

2

2

2

2

2

36. 若x=+1，y=-1，则x2y+xy2=______． 【答案】

【解析】解：∵x=+1，y=-1， ∴xy=（+1）（-1）=2-1=1， x+y=（+1）+（-1）=2， 22

∴xy+xy=xy（x+y）=1×2=2．

22

先求出xy，x+y，再将xy+xy变形为xy（x+y）．然后代入计算即可．

本题考查了代数式求值以及因式分解的运用，难度适中．能够根据字母的取值将所求式子进行因式分解是解题的关键．

37. 若△ABC的边a,b满足【答案】1＜m＜7 【解析】

,则第三边c的中线长m的取值范围为___________

【分析】

本题考查全等三角形的应用，因式分解的应用，三角形三边关系，根据题干的等式求出a与b的值，作图后易求△AOD≌△BOC，得到AD=BC，最后根据三角形三边关系可求结果. 【解答】 解：∵ ∴

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∴a=6，b=8

设CO是对边AB的中线，延长CO至D点，使得DO=OC，并连接AD，如图：

又∵∠AOD=∠BOC，AO=BO ∴△AOD≌△BOC ∴AD=BC 在△CDA中，AC-AD＜CD＜AD+AC 即b-a＜CD＜a+b ∵CD=2CO ∴2＜2CO＜14 ∴1＜CD＜7 ∴1＜m＜7

故答案为：1＜m＜7

38. 如图，

大正方形的边长为，小正方形的边长为，，表示四个相同长方形的两边长（）.

则①

；②

；③

；④

，中正确的是（ ）

A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】

【分析】

本题考查了因式分解的应用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力． 根据长方形的长和宽，结合图形进行判断，即可得出选项． 【解答】

解：①x-y等于小正方形的边长，即x-y=n，正确； ②∵xy为小长方形的面积， ∴xy=

，

故本项正确；

③x2-y2=（x+y）（x-y）=mn，故本项正确； ④x2+y2=（x+y）2-2xy=m2-2×=

，

故本项错误．

所以正确的有①②③． 故选A．

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39. 如图是正方形或长方形三类卡片各若干张，若要用这些卡片拼成一个面积为2a2+3ab+b2的长方形（所拼长方形

中每类卡片都要有，卡片之间不能重叠），则你所拼长方形的两边长分别是____________，____________（用含a、b字母的代数式表示）﹒

【答案】； 【解析】 ↵ 【分析】

本题主要考查了因式分解的应用.根据【解答】 解：

面积是长方形的长是故答案为；.

可得答案.

，

，宽是

，

40. 如图，在一块边长为acm的正方形纸板四角，各截去一个边长为bcm（b＜）的正方形，计算：

当a＝13.2，b＝3.4时，剩余部分（阴影部分）的面积是___________cm2.

【答案】128 【解析】

【分析】

此题主要考查了利用平方差公式求代数式的值，熟练掌握平方差公式是解题的关键，首先根据题意列出阴影部分面积的代数式，然后利用平方差公式化简，代入求解即可. 【解答】

解：边长为a（cm）的正方形面积为：a2（cm2），

22

剪去4个边长为b（cm）•的正方形面积为：4b（cm）， 剩余部分面积的代数式为：a2-4b2； 当a=13.2，b=3.4时， 剩余部分的面积为：

.

故答案为128.

41. 如图所示的圆形工件，大圆的半径R为65.4mm，四个小圆的半径r为17.3mm，则图中阴

影部分的面积是_____mm2（结果保留π）．

【答案】3080π 【解析】

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【分析】

本题主要考查了因式分解的应用，解题时注意圆的面积公式及因式分解的综合运用．根据圆的面积公式列出代数式，再进行分解因式代入数据计算即可求解． 【解答】

解：S阴影=S大圆-4S小圆

22

=πR-4πr=π（R2-4r2）

=π（R+2r）（R-2r）

=π（65.4+34.6）（65.4-34.6）

2

=3080π（mm）． 故答案为3080π．

42. 把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的信息，或可以求出一些不规

则图形的面积．

（1）如图1所示，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m，宽为n的全等小长方形，且m＞n．观察图形，可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为____．

（2）若图1中每块小长方形的面积为12cm2，四个正方形的面积和为50cm2，试求图中所有裁剪线（虚线部分）长之和．

（3）将图2中边长为a和b的正方形拼在一起，B，C，G三点在同一条直线上，连接BD和BF，若这两个正方形的边长满足a+b＝10，ab＝16，请求出阴影部分的面积．

【答案】解：（1）（m+2n）（2m+n）； （2）由题意得：mn=12，2n2+2m2=50， 22

∴n+m=25，

∴（m+n）2=n2+m2+2mn=49， ∵m＞n＞0， ∴m+n=7，

∴图中所有裁剪线（虚线部分）长之和=6（m+n）=42（cm）； （3）阴影部分的面积=a2+b2-0.5a2-0.5b（a+b）

=0.5（a2+b2-ab）=0.5[（a+b）2-3ab]=0.5×（100-48）=26． 【解析】 【分析】

本题考查的是因式分解的应用，读懂图形信息、掌握完全平方公式是解题的关键． （1）依据大长方形的面积，即可得到2m2+5mn+2n2=（m+2n）（2m+n）；

（2）依据mn=12，2n2+2m2=50，即可得到（m+n）2=n2+m2+2mn=49，进而得出m+n=7，据此可得所有裁剪线（虚线部分）长之和=6（m+n）=42（cm）；

（3）阴影部分的面积等于两个正方形的面积之和减去两个直角三角形的面积．

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【解答】

解：（1）∵大长方形的面积=2m2+5mn+2n2， 大长方形的面积=（m+2n）（2m+n），

22

∴2m+5mn+2n=（m+2n）（2m+n）， 故答案为（m+2n）（2m+n）； （2）见答案； （3）见答案.

43. 我们常利用数形结合思想探索整式乘法的一些法则和公式．类似地，我们可以借助一个棱长为a的大正方体进

行以下探索：

（1）在大正方体一角截去一个棱长为b（b＜a）的小正方体，如图1所示，则得到的几何体的体积为________； （2）将图1中的几何体分割成三个长方体①、②、③，如图2所示，∵BC＝a，AB＝a-b，CF＝b， ∴长方体①的体积为ab（a-b）．

类似地，长方体②的体积为________，长方体③的体积为________；（结果不需要化简） （3）将表示长方体①、②、③的体积相加，并将得到的多项式分解因式的结果为________； （4）用不同的方法表示图1中几何体的体积，可以得到的等式为________； （5）已知a-b＝4，ab＝2，求a3-b3的值．

【答案】（1）a3-b3．

（2）b2（a-b），a2（a-b）；

22

（3）（a-b）（a+ab+b）；

（4） a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）； （5）∵a-b＝4，ab＝2， ∴ a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）

2

=（a-b）[（a-b）+3ab] =4×（42+3×2） =4×22 =88. 【解析】 【分析】

本题考查了因式分解的应用，认识立体图形以及利用数形结合思想解决问题是本题的关键． （1）由大正方体的体积减去小正方体的体积可得； （2）根据长方体的体积=长×宽×高，可求体积； （3）根据提公因式法可求得；

（4）根据几何体体积的不同表示方法可得：a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）； （5）运用（4）的结论和完全平方公式即可求出值．

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【解答】

解：（1）由题意可得：a3-b3． 故答案为：a3-b3．

22

（2）由题意可得：b（a-b），a（a-b）

22

故答案为：b（a-b），a（a-b）

2222

（3）由题意可得：b（a-b）+a（a-b）+ab（a-b）=（a-b）（a+ab+b） 故答案为：（a-b）（a2+ab+b2）

（4）根据几何体体积的不同表示方法可得：a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）

3322

故答案为：a-b=（a-b）（a+ab+b） （5）见答案．

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