第二章 平面向量
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1．有关向量的注意点 (1)零向量的方向是任意的．
(2)平行向量无传递性，即a∥b，b∥c时，a与c不一定是平行向量． (3)注意数量积是一个实数，不再是一个向量． 2．向量的运算律中的注意点
(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)．
(2)向量的“乘法”不满足结合律，即(a·b)c≠a(b·c).
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专题一 有关向量共线问题
有关向量平行或共线的问题，常用共线向量定理：a∥b⇔a＝λ b(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0. [例1] 已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，若k a＋2b与2a－4b平行，求实数k的值． 解：法一：向量k a＋2b与2a－4b平行，则存在唯一实数λ，使k a＋2b＝λ(2a－4b)． 因为k a＋2b＝4(1，2)＋2(－3，2)＝ (k－6，2k＋4)．
2a－4b＝2(1，2)－4(－3，2)＝(14，－4)， 所以(k－6，2k＋4)＝λ(14，－4)．
λ＝－，k－6＝14λ，2 所以解得
2k＋4＝－4λ，
k＝－1.
即实数k的值为－1.
法二：因为k a＋2b＝k(1，2)＋2(－3，2)＝ (k－6，2k＋4)，
2a－4b＝2(1，2)－4(－3，2)＝(14，－4)，
1
ka＋2b与2a－4b平行，
所以(k－6)(－4)－(2k＋4)×14＝0. 解得k＝－1. 归纳升华
1．向量与非零向量a共线⇔存在唯一实数 λ使b＝λa.
2.在解有关向量共线问题时，应注意运用向量共线的坐标表达式，a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)共线⇔x1y2
－x2y1＝0.
[变式训练] 平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)． (1)求满足a＝m b＋n c的实数m、n； (2)若(a＋k c)∥(2b－a)，求实数k. 解：(1)因为a＝mb＋nc， 所以(3，2)＝(－m＋4n，2m＋n)． 5
m＝，9－m＋4n＝3，
所以解得
2m＋n＝2，8
n＝9.(2)因为(a＋k c)∥(2b－a)，a＋k c＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)． 16
所以2(3＋4k)＋5(2＋k)＝0，即k＝－.
13专题二 有关向量的夹角、垂直问题
非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)的夹角为θ，则
a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，
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a·bx1x2＋y1y2
cos θ＝＝22 . 2
|a||b|x1＋y1·x2＋y21
[例2] 已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝2，|a＋b|＝13，求向量a＋b与a－b的夹角θ的余弦值． 解：由已知|a|＝3，|b|＝2，|a＋b|＝13，所以(a＋b)＝13. 所以a＋2a·b＋b＝13，则(3)＋2a·b＋2＝13，得2a·b＝6. (a－b)＝a－2a·b＋b＝(3)－6＋2＝1， 所以|a－b|＝1.
（a＋b）·（a－b）a－b（3）－213
所以cos θ＝＝＝＝－.
|a＋b||a－b|1313×113归纳升华
1．本例的实质是已知平行四边形的一组邻边和对角线的长，求两对角线构成的向量的夹角，通过模的平方，沟通了向量的模与向量内积之间联系；
2．两个向量的夹角与两条直线的夹角取值范围是不同的.
22
[变式训练] (1)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为( )
3ππ3π
A. B. C. D．π 424
(2)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a＝(x，x＋1)，b＝(1，2)，且a⊥b，则x＝________．
22(1)解析：由(a－b)⊥(3a＋2b)得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0.又因为|a|＝|b|，设
3〈a，b〉＝θ，即3|a|2－|a|·|b|·cos θ－2|b|2＝0，
822所以|b|2－|b|2·cos θ－2|b|2＝0.
33所以cos θ＝
2π
.又因为0≤θ ≤π，所以θ＝. 24
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
(2)因为a⊥b，所以a·b＝0，即x＋2(x＋1)＝0，所以x＝－.
32
答案：A (2)－
3
专题三 有关向量的模的问题
利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法： (1)|a|＝a＝a·a； (2)|a±b|＝a±2a·b＋b； (3)若a＝(x，y)，则|a|＝ x＋y； (4)应用三角形或平行四边形法则．
→→→→→→2
[例3] 设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，BC＝16，|AB＋AC|＝|AB－AC|，则|AM|＝( ) A．8 B．4 C．2 D．1
2
2
2
2
2
2
2
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(2)设向量a＝(0，－1)，向量b＝(cos x，sin x)，则|a＋b|的取值范围为________． →→2
解析：法一：因为BC＝16，所以|BC|＝4. →→→
又|AB－AC|＝|CB|＝4，
→→→→所以|AB＋AC|＝4，因为M为BC的中点，所以BM＝－CM. →→→→→→1→→所以AM＝AB＋BM＝AC＋CM，所以AM＝(AB＋AC)，
2→1→→1
所以|AM|＝|AB＋AC|＝×4＝2.
22
→→→→
法二：如图所示，四边形ABDC是平行四边形，又|AB＋AC|＝|AB－AC|，
→→
所以|AD|＝|CB|，所以四边形ABDC是矩形， →1→所以|AM|＝|BC|，
2→又BC＝16， →
所以|BC|＝4， →
所以|AM|＝2.
(2)a＝(0，－1)，b＝(cos x，sin x)， 所以a＋b＝(cos x，sin x－1)．
所以|a＋b|＝cos2x＋（sin x－1）2＝2－2sin x＝ 2（1－sin x）
因为－1≤sin x≤1，所以0≤|a＋b|≤2. 答案：(1)C (2)[0，2] 归纳升华
解答该类题目有以下几个关键点：
1．根据题意寻找或画出三角形或平行四边形，观察图形以便直观地得出一些结论．
2．利用三角形法则、平行四边形法则求有关的向量，并注意一些公式性质的运用，例如模与向量的平方的关系，相反向量的和为0等．
3．数形结合法的运用可使解题简捷．
2
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→→→
[变式训练] 已知向量a和b的模都是2，其夹角为60°，又知OP＝a＋2b，OQ＝－2a＋b，则|PQ|＝________． →→→
解析：PQ＝OQ－OP＝－3a－b，
→→→2222
|PQ|＝PQ·PQ＝(－3a－b)＝9a＋6a·b＋b. 因为|a|＝|b|＝2，a·b＝|a||b|cos 60°＝2， →222
所以|PQ|＝9a＋6a·b＋b＝9×4＋6×2＋4＝52. →
所以|PQ|＝213. 答案：213
专题四 数形结合思想
平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运算法则、运算律的推导中都渗透了数形结合的思想．引入向量的坐标表示，使向量运算完全代数化，将数和形紧密结合起来．运用数形结合的思想解决了三点共线，两条线段平行、垂直、夹角、距离、面积等问题．
[例4] 已知向量a与b不共线，且|a|＝|b|≠0，则下列结论正确的是( ) A．向量a＋b与a－b垂直 B．向量a－b与a垂直 C．向量a＋b与a垂直 D．向量a＋b与a－b共线
→→
解析：如图所示，作OA＝a，OC＝b，以OA和OC为邻边作▱OABC.由于|a|＝|b|≠0，则四边形OABC是菱形，所以必有AC⊥OB.
→→
又因为a＋b＝OB，a－b＝CA，所以(a＋b)⊥(a－b)． 答案：A 归纳升华
通过本题可以得出：模相等且不共线的两向量的和与两向量的差垂直．以上可以作为结论记住．
→→
34
A．－2 B．－ C．－ D．－1
23解析：建立如图所示的平面直角坐标系，
→
[变式训练] 已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA·(PB＋PC)的最小值是( )
精品
则A(0，3)，B(－1，0)，C(1，0)．
→
→
→
设P(x，y)，则PA＝(－x，3－y)，PB＝(－1－x，－y)，
PC＝(1－x，－y)，
→
→→
PA·(PB＋PC)
＝(－x，3－y)·(－2x，－2y) ＝2x＋2y－23y
2
2
3232
＝2（x－0）＋y－－，
22
→→→33
所以当x＝0，y＝时，[PA·(PB＋PC)]min＝－.
22答案：B
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