正态分布-讲义(学生版)

⑥当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图所示．经典例题

1.关于正态曲线的性质：①曲线关于直线对称，并且曲线在轴上方；；

②曲线关于轴对称，且曲线的最高点的坐标是③曲线最高点的纵坐标是，且曲线无最低点；④越大，曲线越“高瘦”；越小，曲线越“矮胖”．

2

其中正确的是（ ）．A.①②巩固练习

2.如图是当取三个不同值，，时的三种正态曲线，那么，，的大小关系是（ ）．

B.②③

C.③④

D.①③

A.B.C.D.

2. 正态分布

知识精讲（1）正态分布的概念

若随机变量的概率分布密度函数为：为参数），则称随机变量服从正态分布，记为，．（其中实数和正态分布完全由参数和确定，其中参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计．注意：若若，则．为图中区域的面积，而，如下图所示，取值不超过的概率为区域的面积．3

（2）若原则，则对于任何实数，为下图阴影部分的面积，对于固定的的概率越大，即集和而言，该面积随着的减小而变大．这说明越小，落在区间中在周围概率越大．特别有，①②③由间以外取值的概率只有．，，．知，正态总体几乎总取值于区间，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．的随机变量只取之间的值，并简称之内．而在此区在实际应用中，通常认为服从于正态分布之为原则．经典例题

3.已知随机变量服从正态分布4.设随机变量巩固练习

5.随机变量服从正态分布A.

B.

，且，则，若，则 ．

服从的总体分布可记为 ．

，则C.

（ ）．D.

4

6.设随机变量服从正态分布A.B.C.D.

，，，，，若，则与的值分别为（ ）．

经典例题7.已知随机变量数，（1）求参数，的值．（2）求8.某校高三年级的学生数学成绩在（附数据：A.

人B.

人．名学生在一次模拟考试中，数学考试成绩服从正态分布分以上的学生人数大约为（ ）．

，C.

人D.

人），则该年级，且正态分布密度函数在．上是增函数，在上为减函巩固复习

9.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外，据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：为（ ）．附：若．A.10.某市高二分布，则成绩在参考数据：．经典例题

11.新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人类中发现的新型冠状病毒，即新型冠状病毒．年月日，国家卫健委决定将“新型冠状病毒感染的肺炎”暂命名为“新型B.

C.

D.

，标准差为，成绩服从正态 ，则 ，）服从正态分布 ，则果实直径在 内的概率

名学生参加市体能测试，成绩采用百分制，平均分为的人数为 ．

， ，

冠状病毒肺炎”，简称“新冠肺炎”．患者初始症状多为发热、乏力和干咳，并逐渐出现呼吸困难等严重表现．基于目前的流行病学调查，潜伏期为天，潜伏期具有传染性，无症状感染者也可能5

成为传染源．某市为了增强民众防控病毒的意识，举行了“预防新冠病毒知识竞赛”网上答题，随机抽取人，答题成绩统计如图所示．频率组距成绩分

（1）由直方图可认为答题者的成绩服从正态分布和成绩的方差，那么这名答题者成绩超过，其中，分别为答题者的平均成绩分的人数估计有多少人？（同一组中的数据用该组的区间中点值作代表）

（2）如果成绩超过分的民众我们认为是“防御知识合格者”，用这名答题者的成绩来估计．（精确到全市的民众，现从全市中随机抽取人，“防御知识合格者”的人数为，求）附：①②；③12.

，．，，则；，年春节期间，武汉市爆发了新型冠状病毒肺炎疫情，在党的坚强领导下，全国人民团结一心，众志成城，共同抗击疫情．某中学寒假开学后，为了普及传染病知识，增强学生的防范意识，提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛(满分分)，竞赛奖励规则如下，得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在况，随机抽取了内的学生获一等奖，其他学生不得奖．教务处为了解学生对相关知识的掌握情名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如下样本频率分布直方图．6

频率组距竞赛成绩（分）

（1）现从该样本中随机抽取两名学生的竞赛成绩，求这两名学生中恰有一名学生获奖的概率．（2）若该校所有参赛学生的成绩近似服从正态分布计值，利用所得正态分布模型解决以下问题：

1若该校共有名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过分的学生数（结果，其中，为样本平均数的估四舍五入到整数）．

2若从所有参赛学生中(参赛学生数大于绩在)随机抽取名学生进行座谈，设其中竞赛成分以上的学生数为 ，求随机变量 的分布列和均值．

，则，．，附：若随机变量服从正态分布巩固练习

13.从某公司生产线生产的某种产品中抽取所示的频率分布直方图：

件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图频率组距质量指标值（1）求这件产品质量指标的样本平均数 和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．

（2）

7

由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布数 ，近似为样本方差．1利用该正态分布，求2已知每件该产品的生产成本为价为．，其中近似为样本平均元，每件合格品（质量指标值的定元；若为次品（质量指标值元．若该公司卖出．若．，除了全额退款外且每件次品还件这种产品，记表示这件产品的利润，求，则，．须赔付客户附：14.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取其尺寸（单位：正态分布个零件，并测量）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从．个零件中其尺寸在之外的零件（1）假设生产状态正常，记表示一天内抽取的数，求及的数学期望．（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

1试说明上述监控生产过程方法的合理性．2下面是检验员在一天内抽取的个零件的尺寸：附：若随机变量服从正态分布，，则，．用样本平均数作为的估计值，用样本标准差作为的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计和（精确到，中为抽取的第个零件的尺寸，．）．经计算得，其3. 标准正态分布

知识精讲若随机变量布．

，则当，时，称随机变量服从标准正态分布，简称标准正态分8

标准正态分布的密度函数为线．如图所示：

，，其相应的密度曲线称为标准正态曲

由于标准正态总体这个表中，相应于分所示．

的值在正态总体的研究中占有非常重要的地位，专门制作了“标准正态分布表”．在

是指总体取值小于的概率，即，如图左边的部由于标准正态曲线关于轴对称，标准正态分布表中仅给出了对应于非负值，那么由下图根据面积相等知．

的值，因此，如果知识点睛一般的正态分布态分布均可以化成标准正态分布来说，取值小于的概率来进行研究．事实上，可以证明，对任一正．

可将非标准正态分布问题转化为标准正态分布问题．

所以，可以利用公式经典例题

15.随机变量服从标准正态分布，如果，则 ．

9

巩固练习

16.设随机变量服从标准正态分布内取值的概率为 ．

17.已知随机变量A.B.C.D.

，记，则下列结论不正确的是（ ）．

，在某项测量中，已知，则在三、思维导图

你学会了吗？画出思维导图总结本课所学吧！

四、出门测

18.已知随机变量服从正态分布19.设两个正态分布和，且，则 ．

的密度曲线如图所示，则有（ ）．

A.B.C.D.20.某小区有在，，，，户居民，各户每月的用电量（单位：度）近似服从正态分布，则用电量度以上的居民户数约为（ ）．

，则）C.

D.

，（参考数据：若随机变量服从正态分布，A.21.

B.

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从某企业的某种产品中抽取方图件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直频率组距质量指标值（1）求这表）；（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布数，近似为样本方差．①利用该正态分布，求②某用户从该企业购买了；件这种产品，记表示这．，件产品中质量指标值位于区间，其中近似为样本平均件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代的产品件数，利用（Ⅰ）的结果，求附：．若～，则．11