二维随机变量的期望与方差

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二维随机变量的期望与方差

【定义11.1】设二维随机变量（X、Y）的Joint p.d.f.为f(x,y)，则：

EXxfX(x)dxxf(x,y)dydxEYyfY(y)dyyf(x,y)dxdyDX(xEX)fX(x)dx(xEX)2f(x,y)dydx DY(yEY)fY(y)dy(yEY)2f(x,y)dxdy22假定有关的广义积分是绝对收敛的。

别外：二维随机变量的函数Z=g(X,Y)的数学期望为：

EZg(x,y)f(x,y)dxdy

有关性质：

① E（X+Y）=EX+EY；因为：

E(XY)(xy)f(x,y)dxdyxf(x,y)dxdyyf(x,y)dxdyEXEY

② 设X、Y同类型，且相互，则：E(XY)=EXEY；

对连续情形：因X、Y相互，故

f(x,y)fX(x)fY(y)，

E(XY)xyf(x,y)dxdyxyfX(x)fY(y)dxdyxfX(x)dxEXEY

③ 设X、Y相互，则：D（X+Y）=DX+DY；由于X、Y相互，X-EX与Y-EY也相互，

yf(y)dyYE{[XEX][YEY]}E[XEX]E[YEY]0 因而：

D(XY)E{[XYE(XY)]2}E{[(XEX)(YEY)]2}E(XEX)2E(YEY)22E[(XEX)(YEY)]DXDY

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