2012初中数学竞赛决赛试题

2012年全国初中数学竞赛试题

题 号 得 分 评卷人 复查人 一 1～5 二 6～10 11 12 三 13 14 总 分 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分）

1．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式a2|ab|(ca)2|bc|可以化简为（ ）．

（第1题图） （A）2ca （B）2a2b （C）a （D）a

b2．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y =（b ≠0 ）的图象有

x两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（ ）．

（A）（2，3） （B）（3，－2） （C）（－2，3） （D）（3，2） 3．如果a，b为给定的实数，且1ab，那么1，a1， 2ab，ab1这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）． （A）1 （B）

2a111 （C） （D）

2444．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（ ）．

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

5．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的

概率为p0，p1，p2，p3，则p0，p1，p2，p3中最大的是（ ）． （A）p0 （B）p1 （C）p2 （D）p3 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）

6．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 .

7．如图，正方形ABCD的边长为215，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是 .

8．如果关于x的方程x2+kx+那么

x1x220112012（第6题图） （第7题图） 329k－3k+= 0的两个实数根分别为x1，x2，

24 的值为 ．

9．2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为 .

10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD = DC. 分别延长BA，CD，交点为E. 作BF⊥EC，并与 EC的延长线交于点F. 若AE = AO， BC = 6，则CF的长为 .

（第10题图） 三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

11．已知二次函数yx2（m3）xm2，当1x3时，恒有y0；关于x的方程x2（m3）xm20的两个实数根的倒数和小于值范围．

12．如图，⊙O的直径为AB，⊙O 1过点O，且与⊙O内切于点B．C为⊙O上的点，OC与⊙O 1交于点D，且ODCD．点E在OD上，且DCDE，BE的延长线与⊙O 1交于点F，求证：△BOC∽△DO1F．

9．求m的取10

13．已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数. 当a≥2012时，求a的最小值.

（第12题图）

x2012，满足14．求所有正整数n，使得存在正整数x1，x2，　，x1x2x20，且1122012n. x1x2x2012

中国教育学会中学数学教学专业委员会

2012年全国初中数学竞赛试题参

一、选择题

1．C

解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知

ba0c，且bc，

所以 a2|ab|(ca)2|bc|a(ab)(ca)(bc)a．

2．D

解：由题设知，2a(3)，(3)(2)b，所以a，b6.

y解方程组y2x，x3，x3，3得 

y2；y2.6，x23所以另一个交点的坐标为（3，2）.

注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.

3．D

解：由题设知，1a1ab12ab，所以这四个数据的平均数为

1(a1)(ab1)(2ab)34a2b， 44(a1)a(b1)4a4b2中位数为 ， 2444a2b34a2b1于是 .

4444．D

解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，x，y均为非负整数. 由题设可得

x2n(y2)， yn2(xn)，消去x得 (2y－7)n = y+4， 2n =

(2y7)15151.

2y72y7因为

15为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只2y7能为4，5，6，11．从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7．

5．D

解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以p0

二、填空题 6．7＜x≤19

解：前四次操作的结果分别为

3x－2，3(3x－2)－2 = 9x－8，3(9x－8)－2 = 27x－26，3(27x－26)－2 = 81x－80.

由已知得 27x－26≤487， 81x－80＞487.

解得 7＜x≤19.

容易验证，当7＜x≤19时，3x2≤487 9x8≤487，故x的取值范围是 7＜x≤19．

7．8

解：连接DF，记正方形ABCD的边长为2a. 由题设易知△BFN∽△DAN，所以

ADANDN2， BFNFBN12由此得AN2NF，所以ANAF.

3在Rt△ABF中，因为AB2a，BFa，所以

910，因此p3最大． ，p1，p2，p336363636

AFAB2BF25a，

（第7题） 于是 cosBAFAB25. AF5由题设可知△ADE≌△BAF，所以 AEDAFB，

AME1800BAFAED1800BAFAFB90. 于是 AMAEcosBAF25a， 5MNANAM245AFAMa， 315

12SMNDMN4. SAFDAF15又SAFD(2a)(2a)2a2，所以SMND因为a15，所以SMND8.

28．

348SAFDa2. 1515解：根据题意，关于x的方程有

39=k2－4(k23k)≥0，

42由此得 (k－3)2≤0．

又(k－3)2≥0，所以(k－3)2=0，从而k=3. 此时方程为x2+3x+

3x1=x2=.

29=0，解得4故

x1x220112012=

12=． x239．8

解：设平局数为a，胜（负）局数为b，由题设知

2a3b130，

由此得0≤b≤43. 又 ab(m1)(m2)，所以2a2b(m1)(m2). 于是

2 0≤b130(m1)(m2)≤43，

87≤(m1)(m2)≤130，

由此得 m8，或m9.

当m8时，b40，a5；当m9时，b20，a35，a题设.

故m8．

ab55，不合2210．

32 2解：如图，连接AC，BD，OD.

由AB是⊙O的直径知∠BCA =∠BDA = 90°. 依题设∠BFC = 90°，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，所以

∠BCF =∠BAD,

所以 Rt△BCF∽Rt△BAD ，因此

BCBA. CFAD（第10题） 因为OD是⊙O的半径，AD = CD，所以OD垂直平分AC，OD∥BC， 于是

DEOE2. 因此 DCOBDE2CD2AD，CE3AD.

由△AED∽△CEB，知DEECAEBE．因为AE所以 2AD3ADBA3BA，BA=22AD ，故 22CFBC32AD. BC2BA22BA3，BEBA， 22三、解答题

11．解： 因为当1x3时，恒有y0，所以

2（m3）（4m2）0，

2即（m1）0，所以m1．

„„„„（5分）

当x1时，y≤0；当x3时，y≤0，即

(1)2(m3)(1)m2≤0，

(3)m≤20， 且 323m

解得m≤5．

„„„„（10分）

设方程x2m3xm20的两个实数根分别为x1，x2，由一元二次方

程根与系数的关系得

x1x2m3，x1x2m2．

因为

119，所以 x1x210x1x2m39， x1x2m210解得m12，或m2．

因此m12．

„„„„（20分）

12． 证明：连接BD，因为OB为O1的直径，所以

ODB90．又因为DCDE，所以△CBE是等腰三角

形．

„„„„（5分）

设BC与O1交于点M，连接OM，则OMB90．又因为OCOB，所以

（第12题） BOC2DOM2DBC2DBFDO1F．

„„„„（15分）

又因为BOC，DO1F分别是等腰△BOC，等腰△DO1F的顶角，所以

△BOC∽△DO1F．

„„„„（20分）

13．解：设a－b = m（m是素数），ab = n2（n是正整数）. 因为 (a+b)2－4ab = (a－b)2， 所以 (2a－m)2－4n2 = m2，

(2a－m+2n)(2a－m－2n) = m2.

„„„„（5分）

因为2a－m+2n与2a－m－2n都是正整数，且2a－m+2n＞2a－m－2n (m为素数)，所以

2a－m+2nm 2，2a－m－2n1.

(m1)2m21解得 a，n.

442（m1）于是 b= a－m.

4„„„„（10分）

(m1)2又a≥2012，即≥2012.

4(1)2又因为m是素数，解得m≥. 此时，a≥=2025.

4当a2025时，m，b1936，n1980. 因此，a的最小值为2025.

„„„„（20分）

x2012都是正整数，且x1x2x2012，所以 14．解：由于x1，x2，　，x1≥1，x2≥2，„，x2012≥2012．

于是 n122012122012≤2012． x1x2x2012122012„„„„（10分）

x201220122012，则 当n1时，令x12012，x222012，　，1220121.„„„„（15分） x1x2x2012xkk， 当nk1时，其中1≤k≤2011，令 x11，x22，　， xk1(2012k)(k1),xk2(2012k)(k2)，x2012(2012k)2012，则

1220121k(2012k)k1n． x1x2x20122012k综上，满足条件的所有正整数n为1，　2，　，　2012．

„„„„（20分）