四次方程通解

四次方程通解

四次方程是指最高次数为4的多项式方程，一般形式为

ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0。在求解四次方程时，通常需要使用一些特殊的方法和公式，以下将详细介绍四次方程通解的求法。

一、四次方程的一般解法

1. 常规方法

对于一般的四次方程ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0，可以通过以下步骤求解：

（1）将x变量代换成y变量，即令x=y-（b/4a）；

（2）将原方程化为关于y的形式；

（3）将y表示成两个二次根式之和或差的形式；

（4）代入x=y-（b/4a），即可得到x的值。

这种方法虽然比较简单易懂，但是计算过程较为繁琐。

2. 克莱因-戈尔德斯坦公式

克莱因-戈尔德斯坦公式是求解四次方程的另一种常用方法。该公式可以将任意一个四次方程转化为两个二次方程，并且可以用来求解所有实系数四次方程。

具体步骤如下：

（1）对于任意一个四次方程ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0，将其整理成标准形式；

（2）计算出Δ和P，其中Δ=b^2-4ac，P=c/a；

（3）根据以下公式计算出u和v：

u=(Δ+√(Δ^2-4P^3))/2

v=(Δ-√(Δ^2-4P^3))/2

（4）根据以下公式求解x：

x=±(√u±√v)/(2a)

该方法虽然比较复杂，但是可以求解所有实系数四次方程，并且可以得到所有实数解。

二、四次方程的特殊解法

1. 费拉里方法

费拉里方法是一种较为简单的求解四次方程的方法。该方法适用于形如x^4+px^2+qx+r=0的四次方程。

具体步骤如下：

（1）将原方程化为关于y=x^2的形式：y^2+py+qy+r=0；

（2）令y=z+m，其中m是一个常数，使得z满足z^2+bz+c=0的形式；

（3）将z表示为两个一次项之和或差的形式：z=-b/2±√((b/2)^2-c)；

（4）代入y=z+m和x=±√y即可得到x的值。

2. 牛顿迭代法

牛顿迭代法是一种通过不断逼近根的方法来求解四次方程的方法。该方法需要先猜测一个解，然后通过不断逼近来得到更精确的解。

具体步骤如下：

（1）猜测一个解x0；

（2）根据牛顿迭代公式计算出下一个逼近值x1：

x1=x0-(f(x0)/f'(x0))

其中f(x)为原方程，f'(x)为其导数；

（3）重复步骤2，直到达到所需精度为止。

该方法需要进行多次迭代才能得到较为精确的解，但是可以求解所有实系数四次方程，并且计算量较小。

三、四次方程的实例分析

以下是一些具体的四次方程实例分析，以便更好地理解和掌握求解方法。

1. x^4-4x^3+6x^2-4x+1=0

这个方程可以通过费拉里方法求解。将其化为关于y=x^2的形式：y^2-4y+6y-4√y+1=0。令y=z+m，使得z满足z^2+bz+c=0的形式，则有：

z=-b/2±√((b/2)^2-c)

代入得到： z=2±√3

因此，y=x^2=z+m=2±√3+m，代入x=±√y即可得到所有解。

2. x^4-6x^2+8x-3=0

这个方程可以通过克莱因-戈尔德斯坦公式求解。计算出Δ和P，其中Δ=b^2-4ac=40，P=c/a=-6/1=-6。然后计算出u和v：

u=(Δ+√(Δ^2-4P^3))/2=5+√13

v=(Δ-√(Δ^2-4P^3))/2=5-√13

最后代入公式得到：

x=±(√u±√v)/(2a)=±(1±√3)/1

因此，该方程的解为x1=-1-√3，x2=-1+√3，x3=1-√3，x4=1+√3。 四、总结

四次方程通解的求法有很多种，常规方法和克莱因-戈尔德斯坦公式是两种较为常用的方法。此外还有费拉里方法和牛顿迭代法等特殊方法。在实际应用中需要根据具体情况选择合适的方法来求解四次方程。