北京市怀柔区2011届高三一模数学(理)试题及答案

2011.3

数 学（理科）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，共150分．考试时间120分钟．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上．

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选 涂其它答案，不能答在试卷上．

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求

的一项． 1．已知全集UR，A{x1x2}，B{xx0}，则CU(AB)

A．{x0x2} B．{xx0} C．{xx1} 2．复数

D．{xx1}

B．1 C．i

D．1

1i 1iA．i

3．已知等比数列{an}的公比为2，且a1a35，则a2a4的值为

A．10 B．15 C．20 D．25

4．如图是一正方体被过棱的中点M、N和顶点A、D、C1的两个截面截去两个角后所得的几何体，则该几何体的主视图为

A． B． C． D． 5．若a＝(1,2,－3)，b＝(2,a－1,a2－A．充分不必要条件 C．充要条件

1)， 则“a＝1”是“ab”的 3B．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

x,x16．右图是计算函数y0,1x2的值的程序框图，则

2x,x2在①、②、③处应分别填入的是

A．yx，y0，yx2 B．yx，yx2，y0 C．y0，yx，yx D．y0，yx， yx

22开始输入x否x1是否

x2

①②是 ③7．在极坐标系中，定点A1,，动点B在直线cossin0 2 输出y上运动，当线段AB最短时，动点B的极坐标是

A．(结束223,) B．(,) 2424333,) D．(,) 2424C．(8．已知三棱锥ABCO，OA、OB、OC两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN的一个端点M在

棱OA上运动，另一个端点N在BCO内运动（含边界），则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围 成的几何体的体积为

或36

66C．36 D．或36

666A．

 6B．

第Ⅱ卷（非选择题 共110分） 注意事项：

1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．命题：xR,x0的否定是 ．

10．函数f(x)2cosx1的最小正周期为 ；单调递减区间为 ． 11．如图是甲、乙两班同学身高（单位：cm）数据的茎叶图，则甲班同学身高的中位数为 ；

若从乙班身高不低于170cm的同学中随机抽取两名，则身高为173cm的同学被抽中的概率为 ．

甲班 乙班 2 18 1

9 9 1 0 17 0 3 6 8 9 8 8 3 2 16 2 5 8 8 15 9

12．已知PA是圆O的切线，切点为A，PA2．AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB1，

则圆O的半径R ．

22x2y213．已知抛物线y2px(p0)与双曲线221有相同的焦点F，点A是两曲线的一个交点，

ab2且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为 ．

14．在某条件下的汽车测试中，驾驶员在一次加满油后的连续行驶过程中从汽车仪表盘得到如下信息：

时间 10：00 11：00 注：油耗油耗（升/100公里） 9.5 9.6 可继续行驶距离（公里） 300 220 汽车剩余油量加满油后已用油量，可继续行驶距离，

加满油后已行驶距离当前油耗指定时间内的用油量 平均油耗．

指定时间内的行驶距离从以上信息可以推断在10：00—11：00这一小时内 （填上所有正确判断的序号）． ① 行驶了80公里； ② 行驶不足80公里；

③ 平均油耗超过9.6升/100公里； ④ 平均油耗恰为9.6升/100公里； ⑤ 平均车速超过80公里/小时．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）

在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的三边，已知b+cabc． 222（Ⅰ）求角A的值； （Ⅱ）若a3，cosC33，求c的长． 16．（本小题满分14分）

如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，侧棱PA底面ABCD，且PAAD分别是线段PA,PD,AB的中点． （Ⅰ）求证：PB//平面EFH； （Ⅱ）求证：PD平面AHF； （Ⅲ）求二面角HEFA的大小．

2，E,F,H 17．（本小题满分13分）

为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下表： 队别 北京 上海 天津 八一 4 6 3 5 人数

（Ⅰ）从这18名队员中随机选出两名，求两人来自同一支队的概率；

（Ⅱ）中国女排奋力拼搏，战胜韩国队获得冠军．若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的

人数为，求随机变量的分布列，及数学期望E．[来源:学科网][来源:学。科。网Z。X。X。K] 18．（本题满分13分）

已知函数f(x)xaxblnx（x0，实数a，b为常数）．

2（Ⅰ）若a1,b1，求f(x)在x1处的切线方程； （Ⅱ）若a2b，讨论函数f(x)的单调性．

19．（本小题满分14分）

2x2y2已知点A(1,2)是离心率为的椭圆C：221(ab0)上的一点．斜率为2的直线

ba2BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？ （Ⅲ）求证：直线AB、AD的斜率之和为定值．

20．(本小题满分13分)

已知集合A{a1,a2,a3,,an}，其中aiR(1in,n2)，l(A)表示和aiaj(1ijn)中所有不同值的个数．

（Ⅰ）设集合P{2,4,6,8}，Q{2,4,8,16}，分别求l(P)和l(Q)； （Ⅱ）若集合A{2,4,8,,2}，求证：l(A)nn(n1)； 2（Ⅲ）l(A)是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？

参考答案及评分标准(理科) 2011.3

一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 题号 答案 1 C 2 C 3 A 4 B 5 A 6 B 7 B 8 D

二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.

9. xR,x0 10. 12.

21；[k,k](kZ) 11. 169；

233 13. 21 14. ② ③

三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 15．（本小题满分13分）

在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的三边，已知b+cabc． （Ⅰ）求角A的值； （Ⅱ）若a3，cosC2223，求c的长． 3b2c2a21解：（Ⅰ）b+cabc ， cosA-------------------------4分

2bc22220A

A -----------------------------------------------------------------------------6分

3 （Ⅱ）在ABC中，A3，a3 ，cosC3 3sinC1cos2C1由正弦定理知：

16 ------------------------------------------8分 33aC, sinAsinCcasinCsinA36326．-----------------------------------------------12分

332c26 -------------------------------------------------------------------------------13分 316．（本小题满分14分）

如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，侧棱PA底面ABCD，且PAAD分别是线段PA,PD,AB的中点． （Ⅰ）求证：PB//平面EFH； （Ⅱ）求证：PD平面AHF； （Ⅲ）求二面角HEFA的大小．

解：建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，

2，E,F,H

A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),

P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，H(1,0,0)．----------------------------1分 （Ⅰ）证明：∵PB(2,0,2)，EH(1,0,1)，

∴PB2EH,

∵PB平面EFH，且EH平面EFH，

∴PB //平面EFH．-------------------------------------------------5分

（Ⅱ）解：PD(0,2,2)，AH(1,0,0)， AF(0,1,1)，

PDAF0021(2)10, PDAH0120(2)00.PDAF,PDAH， 又AFAHA，

PD平面AHF． -----------------------------------------------------9分

（Ⅲ）设平面HEF的法向量为n(x,y,z),

因为EF(0,1,0)，EH(1,0,1)，

nEFy0,则取n(1,0,1). nEHxz0,又因为平面AEF的法向量为m(1,0,0),

mn10012, -------------------------12分 所以cosm,n2|m||n|212m,n45,

所以二面角HEFA的大小为45．-------------------------------------------------14分

17．（本小题满分13分）

为了参加广州亚运会，从四支较强的排球队中选出18人组成女子排球国家队，队员来源人数如下表： 队别 北京 上海 天津 八一 4 6 3 5 人数 (Ⅰ)从这18名队员中随机选出两名，求两人来自同一支队的概率； (Ⅱ)中国女排奋力拼搏，战胜韩国队获得冠军．若要求选出两位队员代表发言，设其中来自北京队的人数 为，求随机变量的分布列，及数学期望E．

解：(Ⅰ)“从这18名队员中随机选出两名，两人来自于同一队”记作事件A，

22C4C6C32C522则P(A). ------------------------------------------------------------5分 29C18(Ⅱ)的所有可能取值为0，1，2. -----------------------------------------------------------------2分

2112C14C4C1456C4916 ∵P(0)2，P(1)2，P(2)2，

153C18153C18C18153∴的分布列为：

 0 91 1531 56 1532 6 153P --------------------------------10分

∴E()091566412. -------------------------------------------------------13分 153153153918．（本题满分13分）

已知函数f(x)xaxblnx（x0，实数a，b为常数）．

2（Ⅰ）若a1,b1，求f(x)在x1处的切线方程； （Ⅱ）若a2b，讨论函数f(x)的单调性．

解：（Ⅰ）因为a1,b1，所以函数f(x)xxlnx，f(1)2

又f(x)2x121'，f(1)2-------------------------------------------------------------2分 x所以y22(x1)

即f(x)在x1处的切线方程为2xy0-------------------------------------------------5分

（Ⅱ）因为a2b，所以f(x)x(2b)xblnx，则

2b(2xb)(x1) (x0)

xxb 令f(x)0，得x1，x21．----------------------------------------------------------------7分

2 f(x)2x(2b)（1）当

b0，即b0时，函数f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)； 2b1，即0b2时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： 2bb(1,) (0,) (,1) 22-------------------------------------------------------------------------------------------------------8分

（2）当0x f(x) f(x)

      所以，函数f(x)的单调递增区间为(0,)，(1,)，单调递减区间为(,1)；-------9分

b2b2b1，即b2时，函数f(x)的单调递增区间为(0,)；-----------------------------10分 2b（4）当1，即b2时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：

2bbx (0,1) (1,) (,) 22（3）当

f(x) f(x)

      所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，(,)，单调递减区间为(1,)；--------------12分 综上，当b0时，函数f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)；当0b2时，函数f(x)的单调递增区间为(0,)，(1,)，单调递减区间为(,1)；当b2时，函数f(x)的单调递增区间为(0,)；当b2时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，(,)，单调递减区间为(1,)．-----------------------------------------------------------------------------------------------------------13分

b2b2b2b2b2b219．（本小题满分14分）

2x2y2已知点A(1,2)是离心率为的椭圆C：221(ab0)上的一点．斜率为2的直线

ba2BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？ （Ⅲ）求证：直线AB、AD的斜率之和为定值．

解：（Ⅰ）e2c12， 221，a2b2c2 2abaa2，b2，c2

x2y21--------------------------------------------------------------------------------------5分 24 （Ⅱ）设直线BD的方程为y2xb

B Y D A y2xb224x22bxb40 222xy4 8b640 22b22

2O X b242b, ----① x1x2 x1x2-----② 24648b26BD1(2)x1x2338b2，

4422设d为点A到直线BD：y2xb的距离， db3

SABD12BDd(8b2)b22 ，当且仅当b2时取等号. 24因为2(22,22)，所以当b2时，ABD的面积最大，最大值为2--------10分

（Ⅲ）设D(x1,y1)，B(x2,y2)，直线AB、AD的斜率分别为：kAB 、kAD，则

kADkABy12y22x11x212x1b22x2b2

x11x21=22b[x1x22] ------* 将（Ⅱ）中①、②式代入*式整理得

x1x2(x1x2)122b[x1x22]=0，

x1x2(x1x2)1即kADkAB0----------------------------------------------------------------------------------------------14分

20．(本小题满分13分)

已知集合A{a1,a2,a3,,an}，其中aiR(1in,n2)，l(A)表示和aiaj(1ijn)中所有不同值的个数．

（Ⅰ）设集合P{2,4,6,8}，Q{2,4,8,16}，分别求l(P)和l(Q)；

（Ⅱ）若集合A{2,4,8,,2}，求证：l(A)nn(n1)； 2（Ⅲ）l(A)是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由？ 解：（Ⅰ）由246,268,2810,4610,4812,6814, 得l(P)5.

由246,2810,21618,4812,41620,81624,

得l(Q)6.----------------------------------------------------------------------------------------------5分

2（Ⅱ）证明：因为aiaj(1ijn)最多有Cnn(n1)n(n1)个值，所以l(A). 22又集合A{2,4,8,,2}，

任取aiaj,akal(1ijn,1kln), 当jl时,不妨设jl，则aiaj2aj2即aiajakal.

当jl,ik时，aiajakal.

因此，当且仅当ik,jl时， aiajakal. 即所有aiaj(1ijn)的值两两不同， 所以l(A)j1nalakal，

n(n1). -----------------------------------------------------------------------------------------9分 2 （Ⅲ） l(A)存在最小值，且最小值为2n3．

不妨设a1a2a3an,可得

a1a2a1a3a1ana2anan1an,

所以aiaj(1ijn)中至少有2n3个不同的数，即l(A)2n3. 事实上，设a1,a2,a3,,an成等差数列，

考虑aiaj(1ijn)，根据等差数列的性质， 当ijn时，aiaja1aij1；

当ijn时，aiajaijnan；

因此每个和aiaj(1ijn)等于a1ak(2kn)中的一个，或者等于

alan(2ln1)中的一个.

所以对这样的A,l(A)2n3,所以l(A)的最小值为2n3. --------------------------------------13分