2018届安徽省马鞍山市高三第三次教学质量监测(数学试卷 理)(含答案解析)

本试卷4页，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名和座位号填在答题卡上．将条形码横贴在答题卡条形码粘贴处．

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．

4．考生必须保证答题卡的整洁．考试结束后，监考员将试题卷和答题卡一并收回．

一、选择题：本题共12个题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的．

1．集合A{0,1,2}，B{x|x32a,aA}，则AB（）

A．{0,1,2}B．{1,2} C．{1} D． 【答案】C

【命题意图】本题考查集合基本运算，难度：简单题．

2．已知i为虚数单位，复数z(1i)(1ai)的虚部为4，则实数a（）

A．1 B．2 开始C．3 D．4

输入m,n【答案】C

【命题意图】本题考查复数基本运算，难度：简单题．

否3．设命题p:x1,x21，则p为（） mn?A．x1，x2„1 B．x„1，x21 是22输出mC．x剟1，x1 D．x1，x„1 kmnmk【答案】D

结束nk?【命题意图】本题考查命题相关知识，难度：简单题．

否是4．如图所示的程序框图，若输入m49，n14，则输出的结mn果是（）

A．3 B．7

nk第4题图 C．13 D．26 【答案】B

【命题意图】本题考查程序框图基本知识，难度：简单题．

15．将函数fx2cos(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数ygx的

26图象，则函数ygx的图象的一个对称中心是（）

10540) 0) ,0) A．(， B．(， C．(,0) D．(6333【答案】C

【命题意图】本题考查三角函数图象与性质，难度：简单题．

6．三棱锥SABC中，底面ABC是边长为4的正三角形，SASBSC13，AB的中点为D，则异面

直线SD与BC所成角的余弦值为（）

1133A． B． C． D．

3333【答案】A

【命题意图】本题考查异面直线所成角，难度：中等题．

x15}中任取2个不同的元素，事件A“取到的2个数之和为偶数”，事件B“取7．从集合U{xZ|1剟到的2个数均为偶数”，则P(B|A)（）

7131A． B． C． D．

21557【答案】B

【命题意图】本题考查古典概率与条件概率，难度：中等题． 8．已知sin2cos3，则tan（）

A.2 B.2 C.2 D.2

22【答案】D

【命题意图】本题考查三角函数求值计算，难度：中等题．

9．已知函数f(x)在R上满足f(x)2f(4x)2x25x，则曲线yf(x)在点(2,f(2))处的切线方程是（）

A．yx B．yx4 C．y3x8 D．y5x12 【答案】A

【命题意图】本题考查函数与导数，难度：中等题.

10．已知抛物线C:y243x的准线为l，过C的焦点F的直线交l于点A，与抛物线C的一个交点为B，若F为线段AB的中点，BHAB交l于H，则△BHF的面积为（） A．123 B．163 C．243 D．323 【答案】B

【命题意图】本题考查抛物线的基本知识，难度：中等题．

x111．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)x，则对任意实数t，函数g(x)f(x)te的零点个数最多为（） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B

【命题意图】本题考查函数性质和数形结合思想综合运用，难度：较难题． 12．如图是一种花瓶的直观图，其侧面可以看成由线段AB绕轴旋转一周得到．已轴B（直径）为知侧面与轴所在平面的交线是双曲线的一部分，若花瓶的口径

则双曲线的25dm，底部直径为22dm，最细部分直径为2dm，高为3dm，

离心率为（）

A．2

C．22 【答案】A

【命题意图】本题考查双曲线的离心率计算，难度：较难题．

B．5

2D．5

第II卷（非选择题，共90分）

A第12题图 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则

此几何体的体积为_________． 【答案】4

【命题意图】本题考查三视图基本知识，难度：简单题． 14．在(1x)5(2x1)的展开式中，x3项的系数为_________． 【答案】10

【命题意图】本题考查二项式定理，难度：简单题． 第13题图

|x||y|15．设x，y满足约束条件，若目标函数1（k0）z2xy的

k4最小值为6，则k的值为_________． 【答案】3

【命题意图】本题考查线性规划相关知识，难度：中等题．

uuuruuuruuuruuuruuur16．在△ABC中，BD2DC，|BC|35，ABAD15，则△ABC面积的最大值为_________． 【答案】15

【命题意图】本题考查平面向量和解三角形相关知识，难度：较难题．提示：设BD的中点为M，则

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur2uuur2uuurAMMBAB,AMMDAD，从而ABADAMMB|AM|25为定值.而底边BC上的高h|AM|. 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17．（12分） 已知数列{an}是递减等比数列，a24，且a2,2a3,a43成等差数列． （1）求数列{an}的通项公式；

116（2）若bnlog2()，求数列{bn}的前n项和为Sn．

anan【命题意图】本题考查数列有关知识，难度：简单题．

2解：（1）设数列{an}的公比为q，由a2,2a3,a43成等差数列得4a3=a2+a43，又a24，所以16q=4+4q3，

2即4q16q70，解得q17或q（舍去）， 22111222116n4（2）bnlog2()n2，………………………………………………7分

anan故an=a2qn24()n2()n4．即数列{an}的通项公式为an=()n4．………………6分

111Sn123Ln2n4，

842112Sn 1231L(n1)2n4n2n3，

42111两式相减得SnL2n4n2n3

8421n4221所以，S(1+1+1+L+2n4)n2n38n2n3(n1)2n3．……12分 n84212818．（12分）

如图，多面体ABCDEF中，面ABCD为矩形，面ABFE为直角梯形，AB//EF,AEF为直角，二面角

DCDABE为直二面角，AB2AD2AE2EF4．

（1）证明：平面DAF平面CBF；

（2）求直线DE与面ACF所成角的正弦值．

【命题意图】本题考查空间线面关系的证明和线面角的计

AB算，对空间想象能力和运算能力都有一定要求，难度：中等题．

解：（1）∵二面角DABE为直二面角且ABCD为矩形， E∴AD面ABFE，∴ADBF． F第18题图 又在直角梯形ABFE中易证AFBF，

∴BF面DAF，

∵BF面CBF，∴面DAF面CBF．…………………………………………5分 （2）由（1）易知AE，AB，AD两两垂直，

所以建立空间直角坐标系如图所示．…………………………………………6分 则A(0,0,0)，F(2,2,0)，C(0,4,2)，E(2,0,0)，D(0,0,2)， zuuuruuuruuurCED(2,0,2)，AF(2,2,0)，AC(0,4,2)．…………8分 Dr设面ACF的法向量为n(x,y,z)，

ruuurnAF02x2y0yr由ruuu得， A4y2z0nAC0Br令y1得n(1,1,2)．………………………10分

设直线DE与面ACF所成角大小为，

xEFuuurruuurr|EDn|23rr则sin|cosED,n|uuu．…………………………………12分 6|ED||n|22619．（12分）

某市为调查甲、乙两校学生对分层教学模式的满意度，用简单随机抽样，从这两校中分别抽取30名学生，根据他们对分层教学模式的满意度评分（百分制），绘制茎叶图如下： 甲学校 乙学校 7 4 5 5332 5 338 5333100 6 0001122335 866221100 7 0022233669 742 8 11558 20 9 0 （1）估计甲学校学生对分层教学模式的满意度评分的中位数； （2）设甲、乙两校学生对分层教学模式的满意度评分的平均值分别为x1,x2，估计x1x2的值； （3）根据学生满意度评分，将学生的满意度从低到高分为三个等级： 满意度评分 满意度等级 低于60分 不满意 60分到分 满意 不低于90分 非常满意 记事件A：“甲学校学生的满意度等级高于乙学校学生的满意度等级”．假设两学校学生的评价结果相互．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求A的概率．

【命题意图】本题以茎叶图为载体考查统计概率的基本知识，考查用样本估计总体的思想以及数据分析处理能力，难度：中等题． 解：（1）样本数据中，甲学校的满意度评分处于最中间的两个数是70、70，所以样本数据的中位数是70，由此估计甲学校学生对分层教学模式的满意度评分的中位数是70.…3分 （2）设甲、乙两校样本平均数分别为x1,x2，根据样本茎叶图可知， 30(x1x2)30x130x2(75)(55814)(241265)(262479)(2220)92 =249537729215.因此x1x20.5，故x1x2的估计值为0.5.………………7分

（3）根据茎叶图所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，得到甲、乙两学校对应满意度等级的概率如下表： 满意度评分 低于60分 60分到分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 2311 甲 30156215 乙 3015623212151所以P(A).………………12分

30151515156620．（12分）

x2y2y22已知以椭圆C1:x1和C2:21(a2)的焦点为顶点的四边形的面积为12．

4a4（1）求椭圆C2的方程；

（2）直线l与椭圆C1相切，与椭圆C2交于A,B两点，求AB的最大值． 【命题意图】本题考查椭圆相关知识的综合运用，难度：中等题．

x2y2解：（1）椭圆C2的方程为1．………………4分

1y22l:xmyn（2）易知，直线l的斜率不为0，所以可设，与x1联立得： 422222(4m1)y8mny4n40，由0得n4m1．

x2y2222将l:xmyn与1联立得(m4)y2mnyn160，

12mnn216设A(x1,y1),B(x2,y2)，则y1y22，y1y22，………………6分

m4m4则AB=1m41m22(y1y2)4y1y21m222mn2n216………………8分 (2)42m4m44m2n2161m21m2415415 (m24)2(m24)2(m21)2+6(m21)+94151(m21)+9+6m21„41512(m21)25． 9+6m21（当且仅当m2时，等号成立）………………………………11分 所以，AB的最大值为25．………………………………12分 21．（12分） 1124（1）试讨论函数f(x)极值点个数；

已知函数f(x)(x2x)lnxx2(a1)x1，aR.

）（2）当2aln22时，函数f(x)在1，上最小值记为g(a)，求g(a)的取值范围.

【命题意图】本题考查导数知识的综合运用，难度：难题．

解：（1）∵f(x)（x1)lnx2a，………………………………1分

111记h(x)(x1)lnx2，则h(x)lnx1，h(x)20(x0时)

xxx∴h(x)在上递增且h(1)0. （0，）∴当0x1时，h(x)0，当x1时，h(x)0. ∴h(x)在上递减，在上递增， （0,1）（，1）又x0时，h(x)，x时，h(x)，h(x)minh(1)2，…………4分 当a2时，f(x)0，f(x)在定义域上递增，无极值点，

当a2时，yf(x)有两变号零点，有两极值点.…………………………6分

上递增， （2）由（1）知，f(x)在1，又∵f(1)2a0，f(2)ln22a0.

存在唯一实数t(1,2)使f(t)0，a(t1)lnt2，…………………………8分

（1，t上递减，在t,上递增， f(x)在

11f(x)ming(a)(t2t)lntt2(a1)t1

2411t2lntt2t1………………………………10分 24上递增， 又明显a(t1)lnt2在1，对任意一个a2,ln22,都存在唯一t1,2与之对应，反之亦然.

设u(t)t2lntt2t1，t1,2

1124上递减，u(2)u(t)u(1)， u(t)t(lnt1)10u(t)在（1,2）77（22ln2，）.……………………12分 g(a)的取值范围为

44即22ln2u(t)（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在平面直角坐标系xOy中，直线C1：yx.在以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：22cos4sin40.

（1）求C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；

（2）设C1与C2的交点为M,N，求MN.

【命题意图】本题考查极坐标系和参数方程基本知识，难度：中等题．

解：（1）因为xcos,ysin，所以C1的极坐标方程为，C2的普通方程为4x12y21.……………………5分

2（2）将=440，代入22cos4sin40，得232解得1=22，2=2，MN=1－2=2.……………………10分 23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）

已知函数f(x)2x4x1． （1）求证：f(x)3；

（2）若函数g(x)f(x)x2m在区间[0,1]有零点，求实数m的取值范围． 【命题意图】本题考查含绝对值不等式基本知识，函数零点问题，难度：中等题． 解：（1）当x2时，f(x)3x33；当1x2时，f(x)5x3；当x1时，f(x)3x33；综上，f(x)3；……………………5分

（2）由题意可知，问题等价方程mf(x)x2在区间[0,1]有解，即 函数ym和函数yx2x5图象在区间[0,1]上有交点， 因为当x[0,1]时，yx2x5[1919,5]，所以m[5,].………………10分 44