倍长中线巧解题

A 一、证明线段不等

例1 如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线．

求证：AB+AC＞2AD

B D C

E

图1 变式1：如图，点D、E三等分△ABC的BC边，求证：AB+AC>AD+AE

AA P

EE BCGDBCD

HN M二、证明线段相等

例2 如图2，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．

G A F 2 3 1 B E D

F 1 H E2 变式2：如图，D为线段AB的中点，在AB上取异于D的点C，分别以AC、BC为斜边在AB同侧作等

BCD腰直角三角形ACE与BCF，连结DE、DF、EF，求A证：△DEF为等腰三角形 G三、求线段的长

四、证明线段倍分

例4 如图4，CB，CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线，且AC=AB．求证：CE=2CD． C 2 3 A D 1 B F “截长补短法”在几何证明问题中的运用

例1. 已知，如图1-1，在四边形ABCD中，

BC＞AB，AD=DC，BD平分∠ABC.求证：∠BAD+∠BCD=180°.

例2. 如图2-1，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=

∠CDE，∠DCE=∠ECB.求证：CD=AD+BC.

例3. 已知，如图3-1，∠1=∠2，P为BN上一

点，且PD⊥BC于点D，AB+BC=2BD. 求证：∠BAP+∠BCP=180°.

ADB图1-1

CDAECB图2-1

APNB12DC图3-1

例4. 已知：如图4-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，

∠1＝∠2.求证：AB=AC+CD.

练习：

A12

BACDBDC

图4-1

A 5.已知：如下右图，∠BED =∠CAD,D是BC的中点,求证:BE=AC 1、已知，如右图：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC， AD平分∠BAC.求证：AC+ CD =AB

C

D

B

2、已知：如右图，AC‖BD，EA、EB分别平分∠CAB和

∠DBA，CD过E点，求证：AB=AC+BD．

C

A

E

D

B

3.已知：如下左图，D是EF的中点,BE=CF,求证：△ABC是等腰三角形。

A E

BC DF

4.已知：如下中图，AD平分∠BAC,AB⊥BD,∠BAC=2∠C,求证:AC=2AB

AEBDC