几何动点

1．如图，在等边△ABC中，AB6，ADBC于点D，点P在边AB上运动，过点P作PE//BC，与边AC交于

点E，连结ED，以PE、ED为邻边作□PEDF，设□PEDF与△ABC重叠部分图形的面积为y，线段AP的长为x(0x6)．

（1）求线段PE的长（用含x的代数式表示）； （2）当四边形PEDF为菱形时，求x的值； （3）求y与x之间的函数关系式；

（4）设点A关于直线PE的对称点为点A，当线段AB的垂直平分线与直线AD相交时，设其交点为Q，当

点P与点Q位于直线BC同侧（不包括点Q在直线BC上）时，直接写出x的取值范围．

APEB

FDC

2．（12分）如图，在平面直角坐标系中，直线AC与x轴交于点A（4,0），与y轴交于点C（0,4）．作OB⊥AC于点B，动点D在边OA上，D（m,0）（0m4）,过点D作DE⊥OA交折线OB－BA于点E．Rt△GHI的斜边HI在射线AC上，GI∥OA，GI=m，GI与x轴的距离为

m．设△GHI与△OAB重叠部分图形的面积为S． 2（1）求直线AC所对应的函数关系式．

（2）直接写出用m分别表示点G、H、I的坐标． （3）当0（4）直接写出点E落在△GHI的边上时m的取值范围．

3．如图①，平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点B的坐标为（2，4），将矩形OABC绕着点A顺时针旋转90°得到矩形AFED，直线y=kx+b经过点G（4，0），交y轴于点H． （1）点D、E的坐标分别为 ．

（2）当直线GH经过EF中点K时，如图②，动点P从点C出发，沿着折线C﹣B﹣D以每秒1个单位速度向终点D运动，连结PH、PG，设点P运动的时间为t（秒），△PGH的面积为S（平方单位）． ①求直线GH所对应的函数关系式． ②求S与t之间的函数关系式．

（3）当直线GH经过点E时，如图③，点Q是射线B﹣D﹣E﹣F上的点，过点Q作QM⊥GH于点M，作QN⊥x轴于点N，当△QMN为等腰三角形时，直接写出点Q的坐标．

4．如图，△ABC是等边三角形，AB=4cm，CD⊥AB于点D，动点P从点A出发，沿AC以2cm/s的速度向终点C运动，当点P出发后，过点P作PQ∥BC交折线AD﹣DC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQR，设四边形APRQ与△ACD重叠部分图形的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）． （1）当点Q在线段AD上时，用含t的代数式表示QR的长； （2）求点R运动的路程长；

（3）当点Q在线段AD上时，求S与t之间的函数关系式；

（4）直接写出以点B、Q、R为顶点的三角形是直角三角形时t的值．

5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=12cm，D为BC边中点．DE⊥BC交边AB于点E．点P从点E出发．以1cm/s的速度沿ED向终点D运动．同时点Q从点E出发，以

cm/s的速度沿EA向终点A运动．以PQ为边在∠AED的

内部作正方形PQMN．设正方形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（cm2）．点P的运动时间为t（s）． （1）点Q到直线DE的距离为 ．（用含t的代数式表示） （2）求正方形顶点M落在AC边上时t的值． （3）求S与t的函数关系式．

（4）直接写出整个运动过程中线段QM所扫过的面积．

6．∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，如图，在Rt△ABC中，点D从点A出发以1cm/s的速度运动到点C停止．作DE⊥AC交边AB或BC于点E，以DE为边向右作正方形DEFG．设点D的运动时间为t（s）． （1）求AC的长．

（2）请用含t的代数式表示线段DE的长． （3）当点F在边BC上时，求t的值．

（4）设正方形DEFG与△ABC重叠部分图形的面积为S（cm2），当重叠部分图形为四边形时，求S与t之间的函数关系式．

7．（10分）如图，在△ABC中，C90，ACBC6. 点P在边AC上运动，过点P作PD⊥AB于点D，以AP、

AD为邻边作□PADE . 设□PADE与△ABC重叠部分图形的面积为y，线段AP的长为x（0＜x≤6）． （1）求线段PE的长（用含x的代数式表示）． （2）当点E落在边BC上时，求x的值． （3）求y与x之间的函数关系式．

（4）直接写出点E到△ABC任意两边所在直线距离相等时x的值．

8．如图，在△ABC中，AC=BC=5cm，AB=6cm，CD⊥AB于点D．动点P、Q同时从点C出发，点P沿线CD做依次匀速往返运动，回到点C停止；点Q沿折线CA=AD向终点D做匀速运动；点P、Q运动的速度都是5cm/s．过点P作PE∥BC，交AB于点E，连结PQ．当点P、E不重合点P、Q不重合时，以线段PE∥BC，交AB于点E，连结PQ．当点P、E不重合且点P、Q不重合时，以线段PE、PQ为一组邻边作PEFQ．设点P运动的时间为t（s），PEFQ与△ABC重叠部分的面积为S（cm2）．

（1）用含t的代数式表示线段PE的长． （2）当点F在线段AB上时，求t的值．

（3）当点Q在线段AB上运动时，求S与t之间的函数关系式． （4）在整个运动过程中，当PEFQ为矩形时，直接写出t的值．

APECDB

9．（12分）（2016•宽城区一模）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点P从点B出发以每秒2个单位长度的速度向终点C运动，点P不与点B重合，以BP为边在BC上方作正方形BPEF，设正方形BPEF与△ABC的重叠部分图形的面积为S（平方单位），点P的运动时间为t（秒）． （1）用含t的代数式表示线段PC的长； （2）当点E落在线段AC上时，求t的值；

（3）在点P运动的过程中，求S与t之间的函数关系式；

（4）设边BC的中点为O，点C关于点P的对称点为C′，以OC′为边在BC上方作正方形OC′MN，当正方形OC′MN与△ACD重叠部分图形为三角形时，直接写出t的取值范围．

10．如图，在△ABC中，高AD交边BC于点D，AD=12cm，BD=16cm，CD=8cm．动点P从点D出发，沿折线D﹣A﹣B向终点B运动，点P在AD上的速度4cm/s，在AB上的速度5cm/s．同时点Q从点B出发，以6cm/s的速度，沿BC向终点C运动，当点Q停止运动时，点P也随之停止．设点P的运动时间为t（s）． （1）当点P在AB上时，用含t的代数式表示AP的长． （2）设△CPQ的面积为S（cm），求S与t之间的函数关系式． （3）写出PQ平行于△ABC一边时的t值．

（4）若点M是线段AD上一点，且AM=，直接写出点M在△CPQ的内部时t的取值范围．

2

11．（10分）如图，四边形ABCD为矩形，AC为对角线，AB=6，BC=8，点M是AD的中点，P、Q两点同时从点M出发，点P沿射线MA向右运动；点Q沿线段MD先向左运动至点D后，再向右运动到点M停止，点P随之停止运动．P、Q两点运动的速度均为每秒1个单位．以PQ为一边向上作正方形PRLQ．设点P的运动时间为t（秒），正方形PRLQ与△ABC重叠部分的面积为S． （1）当点R在线段AC上时，求出t的值．

（2）求出S与t之间的函数关系式，并直接写出取值范围．（求函数关系式时，只须写出重叠部分为三角形时的详细过程，其余情况直接写出函数关系式．）

（3）在点P、点Q运动的同时，有一点E以每秒1个单位的速度从C向B运动，当t为何值时，△LRE是等腰三角形．请直接写出t的值或取值范围．

12.（10分）如图，△ABC是等边三角形，AB=6cm，D为边AB中点．动点P、Q在边AB上同时从点D出发，点P沿D→A以1cm/s的速度向终点A运动．点Q沿D→B→D以2cm/s的速度运动，回到点D停止．以PQ为边在AB上方作等边三角形PQN．将△PQN绕QN的中点旋转180°得到△MNQ．设四边形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S（cm2），点P运动的时间为t（s）（0＜t＜3）． （1）当点N落在边BC上时，求t的值．

（2）当点N到点A、B的距离相等时，求t的值． （3）当点Q沿D→B运动时，求S与t之间的函数表达式．

（4）设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是E、F，直接写出四边形PEMF与四边形PQMN的面积比为2：3时t的值．

13．如图，在△ABC中，AB=7，BC=4，∠B=45°，动点P、Q同时出发，点P沿A﹣C﹣B运动，在边AC的速度为每秒1个单位长度，在边CB的速度为每秒个单位长度；点Q沿B﹣A﹣B以每秒2个单位长度的速度运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也停止运动，在运动过程中，过点P作AB的垂线与AB交于点D，以PD为边向由作正方形PDEF；过点Q作AB的垂线l．设正方形PDEF与△ABC重叠部分图形的面积为y（平方单位），运动时间为t（秒）．

（1）当点P运动点C时，PD的长度为______． （2）求点D在直线l上时t的值． （3）求y与t之间的函数关系式．

（4）在运动过程中，是否存在某一时刻t使得在直线上任取一点H，均有HD=HE？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．

、

14．如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，动点E、F同时从点B出发，其中点E从点B向点A以每秒1个单位的速度运动，点F从点B出发沿B﹣C﹣A的路线向终点以每秒2个单位的速度运动，以EF为边向上（或向右）作等边三角形EFG．AH是△ABC中BC边上的高，两点运动时间为t秒，△EFG和△AHC有重合部分时，重合部分图形的周长为L．

（1）用含t的代数式表示线段CF的长； （2）求点G落在AC上时t的值； （3）求L关于t的函数关系式．

15.．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动：同时，点Q从点C出发沿CB﹣BA运动，点Q在CB上的速度为每秒2个单位长度，在BA上的速度为每秒个单位长度，当点P到达终点A时，点Q随之停止运动．以CP、CQ为邻边作▱CPMQ，设▱CPMQ与△ABC重叠部分图形的面积为y（平方单位），点P的运动时间为x（秒）． （1）当点M落在AB上时，求x的值．

（2）当点Q在边CB上运动时，求y与x的函数关系式．

（3）在P、Q两点整个运动过程中，当▱CPMQ与△ABC重叠部分图形不是四边形时，求x的取值范围． （4）以B、C、M为顶点的三角形是等腰三角形时，直接写出CP的长．

2．解：（1）设直线AC所对应的函数关系式为ykxb．（1分）

4kb0,k1,把（4,0）、（0,4）代入得，解得（2分）

0b4,b4.∴直线AC所对应的函数关系式为yx4．（3分）

313311m,m)，H(4m,m) I(4m,m)．（6分） 22222234（3）当H、B重合时，yHyB，∴m2，解得m．

23114当02231374当224388 （4）m=或2≤m≤．（12分）

35（2）G(43（1）解：∵矩形OABC绕着点A顺时针旋转90°得到矩形AFED，且B（2，4）， ∴OA=AD=2，OC=AF=4， ∴D（2，2），E（6，2）； 故答案为D（2，2），E（6，2）； （2）①解：∵E（6，2），G（4，0）， ∴K（6，1），

∵直线y=kx+b经过点G，K， ∴

，

∴，

∴直线GH的解析式为y=x﹣2，

②当0≤t≤2时，延长CB交HG于W，如图1，

S△PHG=S△SHW﹣S△HCP﹣S△PGW= [[6×12﹣6t﹣4（12﹣t）]=﹣t+12，

②当2＜t≤4时，延长BA交HG于T，如图2， S△PHG=S△PTH+S△PGT=×4（7﹣t）=﹣2t+14，

（3）解；①当0≤t≤2时，如图3，

由题意，得N（2，0），Q（2，4﹣t），M（∴QN2=（4﹣t）2，MN2=

，，QM2=

），

+，

（Ⅰ）、当QN=QM时，即QN2=QM2， ∴（4﹣t）2=∴t=

（舍），

（舍），

+

，

（Ⅱ）、当QN=QM时，方法同（Ⅰ）的一样，得t=

（Ⅲ）、当MN=QM时，方法同（Ⅰ）的一样，得到方程无解， ②当2＜t≤6时，

由题意，得N（t，0），Q（t，2），M（方法和①（Ⅰ）一样，分三种情况， （Ⅰ）、当QN=QM时，t=6+2

（舍），或t=6﹣2

∴Q（6﹣2

，2）；

，

），

（Ⅱ）、当QN=MN时，t=﹣8（舍）或t=2，∴Q（2，2）； （Ⅲ）、当QM=MN时，t=4，∴Q（4，2）； ②当6＜t≤8时，

由题意，得N（6，0），Q（6，8﹣t），M（

，﹣

），

方法和①（Ⅰ）一样，分三种情况， （Ⅰ）、当QN=QM时，t=10+2

（舍），或t=10﹣2

∴Q（6，2

﹣2）；

（Ⅱ）、当QN=MN时，t=6（舍）或t=10（舍） （Ⅲ）、当QM=MN时，t=8（舍）； ∴Q（6﹣2

，2）或Q（2，2）或Q（4，2）或Q（6，2

﹣2）；

4解：（1）如图①，

∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=∠B=60°． ∵PQ∥BC，

∴∠APQ=∠ACB=60°，∠AQP=∠B=60°， ∴△APQ是等边三角形． ∴PQ=AP=2t．

∵△PQR是等边三角形， ∴QR=PQ=2t；

（2）过点A作AG⊥BC于点G，如图②，

则点R运动的路程长是AG+CG． 在Rt△AGC中，∠AGC=90°，sin60°=∴AG=2

，CG=2．

+2；

=

，cos60°=

=，AC=4，

∴点R运动的路程长2

（3）①当0＜t≤时，如图③，

S=S菱形APRQ=2×S正△APQ=2×②当＜t≤1时，如图④

×（2t）2=2t2；

PE=PC•sin∠PCE=（4﹣2t）×=2﹣t， ∴ER=PR﹣PE=2t﹣（2﹣t）=3t﹣2， ∴EF=ER•tanR=

（3t﹣2）

∴S=S菱形APRQ﹣S△REF =2

（3）t=或t=

提示：①当∠QRB=90°时，如图⑤，

t2﹣

（3t﹣2）2=﹣

t2+6

t﹣2

；

cos∠RQB==，

∴QB=2QR=2QA， ∴AB=3QA=6t=4， ∴t=；

②当∠RQB=90°时，如图⑥，

同理可得BC=3RC=3PC=3（4﹣2t）=4， ∴t=．

5解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠ABC=45°， ∵DE∥AC， ∴∠FEQ=45°， ∵EQ=

t，

∴QF=t， 故答案为t．

（2）过点Q作QF⊥DE交AC于G，如图1，

∵∠C=90°，DE⊥BC， ∴DE∥AC，

∴∠PFQ=∠QGM=90°， ∵四边形PQMN为正方形， ∴∠PQM=90°，PQ=MQ，

∴∠FPQ+∠FQP=∠FQP+∠GQM=90°， ∴∠FPQ=∠GQM．． ∴△FPQ≌△GQM， ∴FP=GQ，

∵AC=BC=12，点D为BC中点， ∴∠A=∠B=45°，CD=6， ∵PT=EF=t，PF=QG=2t， ∴t+2t=6， ∴t=2；

解：（3）当正方形顶点落在BC边上时，如图2，

2（6﹣t）=6， ∴t=3，

当0＜t≤2时，如图3，

S=PQ2=t2+（2t）2=5t2， 当2＜t≤3时，如图4，

S=[t﹣

（6﹣t）]2=﹣t2+45t﹣45，

当3＜t≤6时如图5，

S=（6+12）×6﹣t2（6﹣t）2﹣（6﹣t）2=﹣t2+15t+9， （4）解：如图6，

AC与MN的交点为H，由题意由EH=AH=6，△ACD≌△MHA， ∴MH=AC=6，∴EM=EH+MG=18，

∴S线段QM所扫过的面积=S△AEM=×EM×AH=×18×6=． 6解：（1）在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm， 根据勾股定理得：AC=

=10cm；

（2）分两种情况考虑：如图1所示，

过B作BH⊥AC，

∵S△ABC=AB•BC=AC•BH， ∴BH=

=

=

，

∵∠ADE=∠AHB=90°，∠A=∠A， ∴△AED∽△ABH， ∴

=

，即

=

，

解得：DE=t， 则当0≤t≤

时，DE=t；

如图2所示，

同理得到△CED∽△CBH， ∴

=

，即

=

，

解得：DE=（10﹣t）=﹣t+则当

，

；

＜t≤10时，DE=（10﹣t）=﹣t+

（3）如图3所示，

由题意，得AD+DG+GC=10，即t+t+t×=10， 解得：t=

；

（4）如图1所示，当0＜t≤如图2所示，当

时，S=（t）2=t2；

（10﹣t）2．

≤t＜10时，S=[（10﹣t）]2﹣×（10﹣t）××（10﹣t）=

7．（1）PEADAPcos45（2）x2x. (2分) 2x6． x4. （4分） 2（3）当0＜x≤4时，

221xxx2. 222C当4＜x≤6 时， PE1G DG6x.

213ADB GExDGx(6x)x6. 221135yx2(x6)2x29x18. （7分）

2228（注：两段自变量的取值范围1分，每个函数关系式各1分）

12（4）3，6，(32). （10分）

711 由x6xx. 得x3.

2211 由xx(6x). 得x6.

22 y 由12122x(32).x6x. 得x22327

8解：（1）∵AC=BC=5cm，CD⊥AB于点D，

∴点D是AB的中点，AD=6÷2=3（cm）， ∵AC=5cm， ∴CD=

=

（cm）．

①当0＜t＜时，如图1，

∵PC=5t，

∴PD=CD﹣PC=4﹣5t， ∵PE∥BC，

∴∴PE=

，

=（4﹣5t）=5﹣

t．

②当＜t≤时，如图2，

，

PD=5t﹣4， ∵PE∥BC， ∴∴PE=综上，可得

，

=（5t﹣4）=

t﹣5．

PE=

（2）如图3，

．

QF=PE=

t﹣5

∵CQ=5t，

∴QA=AC﹣CQ=5﹣5t， ∵PE∥BC，PE∥QF， ∴QF∥BC， ∴

，

∵AC=BC， ∴QA=QF，

∴5﹣5t=t﹣5，

解得t=．

（3）如图4，作PM⊥BC于点M，作QN⊥BC于点N，

设PEFQ的高为h， ∵sin∠PCM=

，

﹣3t，

∴PM=PCsin∠PCM=（8﹣5t）×=∵sin∠QBN=

=，

∴QN=BQsin∠QBN=[6﹣（5t﹣5）]×=∴h=QN﹣PM=（∴S=

=

﹣4t）﹣（（

﹣4t，

﹣3t）=4﹣t，

t2+15t﹣10．

t﹣5）×（4﹣t）=﹣

（4）如图5，当PEFQ为矩形时，

PD=5t﹣4，QD=8﹣5t， ∵PEFQ为矩形， ∴∠DQP+∠DEP=90°， ∵∠B+BCD=90°，∠DEP=∠B， ∴∠DQP=∠BCD， ∴tan∠DQP=tan∠BCD=

=，

∴，

解得t=．

9【解答】解：（1）BP=2t，PC=BC﹣BP=8﹣2t，

∵

∴0＜t≤4．

，

故PC=﹣2t+8（0＜t≤4）． （2）当点P落在线段AC上时， ∵EP∥AB， ∴△CPE∽△CBA， ∴解得：t=

，即．

，

（3）按P点运动的过程中正方形BPEF与△ABC的重叠部分图形的形状不同分3种情况考虑：

①当0＜t≤时，如图1所示．

此时S=BP2=（2t）2=4t2； ②当

＜t≤3时，如图2所示．

此时BF=BP=2t，PC=8﹣2t，AF=6﹣2t， ∵NP∥AB，FM∥BC， ∴△CNP∽△CAB∽△MAF， ∴

，

∴NP=PC=6﹣t，FM=AF=8﹣t．

S=BC•AB﹣PC•NP﹣FM•AF=×6×8﹣（8﹣2t）（6﹣t）﹣（8﹣t）（6﹣2t）=﹣③当3＜t≤4时，如图3所示．

+28t﹣24；

∵PQ∥AB， ∴△CPQ∽△CBA， ∴

，

∴PQ=PC=6﹣t．

S=BC•AB﹣PC•PQ=×8×6﹣（8﹣2t）（6﹣t）=﹣t2+12t．

（4）根据P点的运动，画出正方形OC′MN与△ACD重叠部分图形为三角形时的临界点．

①当P点开始往右移动时，正方形OC′MN与△ACD重叠部分图形为三角形，达到图4所示情况时不再为三角形． 此时：OC′=ON，

∵点O为线段BC的中点，ON∥AB， ∴ON为△CAB的中位线， ∴OC′=ON=AB=3， CC′=OC′+OC=3+4=7， ∴PC=CC′==8﹣2t， 解得：t=． 即0＜t＜；

②当P点运动到图5所示情况时，正方形OC′MN与△ACD重叠部分图形开始为三角形． 此时MC′=CC′=OC′，OC=OC′+CC′=4， ∴MC′=

，CC′=

，

∴PC=CC′==8﹣2t， 解得：t=

；

③当P点运动到图6所示情况，正方形OC′MN与△ACD重叠部分图形为三角形，P再运动一点时不再为三角形． 此时OC′=ON=AB=3，CC′=OC﹣OC′=4﹣3=1， ∴PC=CC′==8﹣2t， t=解得：

t的取值范围为0＜t＜和．综上知：当正方形OC′MN与△ACD重叠部分图形为三角形时，

＜t≤

10.【解答】解：（1）当点P运动到点A时，t=

=3（s），

由题可得：当点P在AB上时，AP=5（t﹣3）=5t﹣15；

（2）∵AD⊥BC，AD=12，BD=16，∴AB=20． 当点P运动到点B时，t=3+当点Q运动到点C时，t=根据题意可得：0＜t≤4．

①当0＜t≤3 时，点P在AD上，如图1，

=7（s）， =4（s），

∴S=PD•QC=×4t•（24﹣6t）=﹣12t2+48t； ②当3＜t≤4时，点P在AB上，如图2，

过点P作PH⊥BC于H，则有PH∥AD， ∴△BHP∽△BDA， ∴∴

==

，

=

，

∴PH=21﹣3t，

∴S=QC•PH=（24﹣6t）•（21﹣3t）=9t2﹣99t+252；

（3）①当PQ∥AB时，△DPQ∽△DAB， ∴

，

∴解得t=

；

，

②当PQ∥AC时，△BPQ∽△BAC， ∴∴

解得t=；

（4）当点M在△CPQ的内部时，t的取值范围是解题过程如下： ①当点P在AD上时， ∵点M在△CPQ的内部，

∴点P在AM上（不包括点M），点Q在BD上（不包括点D）， ∴12﹣＜4t≤12，0≤6t＜16， ∴

＜t＜；

＜t＜或＜t＜

．

=

，

，

②当点P在AB上时， Ⅰ．当PC经过M时，如图3，

过点P作PE⊥AD于E，则有PE∥CD， ∴△AEP∽△ADB，△EMP∽△DMC， ∴∴

==

=

，=

=，

， =

，

∴EP=4t﹣12，AE=3t﹣9，EP•DM=8EM， ∴EM=AM﹣AE=﹣3t+9=∴（4t﹣12）•

=8（

﹣3t，DM=AD﹣AM=12﹣=﹣3t），

，

解得：t=；

Ⅱ．当PQ经过M时，如图4，

过点P作PE⊥AD于E，则有PE∥CD， ∴△AEP∽△ADB，△EMP∽△DMQ， ∴∴

==

=

，=

=，

，

=

，

∴EP=4t﹣12，AE=3t﹣9，EP•DM=（6t﹣16）EM， ∴EM=AM﹣AE=﹣3t+9=∴（4t﹣12）•

2

﹣3t，DM=AD﹣AM=12﹣=

﹣3t），

，

=（6t﹣16）（

整理得：6t﹣33t+42=0， 解得：t1=2（舍去），t2=；

结合Ⅰ和Ⅱ得：当点M在△CPQ的内部时，t的取值范围是＜t＜综合①和②可得：当点M在△CPQ的内部时，t的取值范围是11.【解答】解：（1）当点R在线段AC上时，应该满足：设MP为t，则PR=2t，AP=4﹣t， ∴可得：解得：t=（2）当当

；

时，正方形PRLQ与△ABC没有重叠部分，所以重叠部分的面积为0； 时，正方形PRLQ与△ABC重叠部分的面积为直角三角形KRW的面积=

，

，即

，

．

．

＜t＜或＜t＜，

；

当

时，正方形PRLQ与△ABC重叠部分的面积=×（2t﹣3）2t=2t2﹣3t．

当3＜t≤4时，正方形PRLQ与△ABC重叠部分的面积=×（12﹣2t）×2t=﹣2t2+12t． 当4＜t≤8时，正方形PRLQ与△ABC重叠部分的面积为S=

；

综上所述S与t之间的函数关系式为：S=．

（3）在点P、点Q运动的同时，有一点E以每秒1个单位的速度从C向B运动，

①当点E是BC的中点时，点E在LR的中垂线线上时，EL=ER．此时t=4s，△LRE是等腰三角形； 当点E与点B重合时，点E在LR的中垂线线上时，EL=ER．此时t=8s，△LRE是等腰三角形； 综上所述，t的取值范围是4≤t≤8； ②当EL=LR时，如图所示：

LR=2t，CF=NL=4﹣t，则EF=2t﹣4．FL=CN=6﹣2t，

则在直角△EFL中，由勾股定理得到：EL2=EF2+FL2=（2t﹣4）2+（6﹣2t）2． 故由EL=LR得到：EL2=LR2，即4t2=10t2﹣40t+52， 整理，得 t2﹣10t+13=0， 解得 t1=5+2所以当t=5﹣2

（舍去），t2=5﹣2

．

（s）时，△LRE是等腰三角形；

．

同理，当ER=LR时，

综上所述，t的取值范围是4≤t≤8时，△LRE是等腰三角形；当t=4s，或t=8s或是等腰三角形．

12.【解答】解：（1）∵△PQN与△ABC都是等边三角形， ∴当点N落在边BC上时，点Q与点B重合． ∴DQ=3 ∴2t=3． ∴t=；

（2）∵当点N到点A、B的距离相等时，点N在边AB的中线上， ∴PD=DQ， 当0＜t＜时， 此时，PD=t，DQ=2t ∴t=2t

∴t=0（不合题意，舍去）， 当≤t＜3时， 此时，PD=t，DQ=6﹣2t ∴t=6﹣2t， 解得t=2；

综上所述，当点N到点A、B的距离相等时，t=2；

（3）由题意知：此时，PD=t，DQ=2t 当点M在BC边上时， ∴MN=BQ

∵PQ=MN=3t，BQ=3﹣2t ∴3t=3﹣2t ∴解得t= 如图①，当S△PNQ=

PQ2=

时， t2；

t2，

s或s时，△LRE

∴S=S菱形PQMN=2S△PNQ=

如图②，当时，

设MN、MQ与边BC的交点分别是E、F， ∵MN=PQ=3t，NE=BQ=3﹣2t， ∴ME=MN﹣NE=PQ﹣BQ=5t﹣3， ∵△EMF是等边三角形， ∴S△EMF=

ME2=

（5t﹣3）2

．

；

（4）MN、MQ与边BC的交点分别是E、F， 此时，＜t＜，

t=1或

．

13.【解答】解：（1）如图1所示：

．

∵PD⊥AB， ∴∠PDB=90°． 又∵∠DBP=45°． ∴PD=BD=BC×

=4

×

=4．

故答案为：4．

（2）如图1所示：∵AB=7，BD=4， ∴AD=3． ∴AC=5．

∴sin∠A=，cos∠A=．

如图2所示：当点P在AC上时，AP=t，则PD=t，AD=t，BQ=2t．

∵AD+BQ=7， ∴t+2t=7． 解得：t=

．

如图3所示：当点Q由A到B时．AD=t，AQ=2（t﹣3.5）．

根据题意得： t=2（t﹣3.5）． 解得t=5． 综上所述，当t=

或t=5时，点D在直线l上．

（3）如图4所示：

∵PD=t， ∴S=DP2=（t）2=

t2．

当点F恰好在BC上时．EF=BB=t． ∵AD+DE+EB=7， ∴t+t+t=7．

解得：t=∴当0＜t≤当

． 时，S=

t2．

＜t≤5时，如图5所示．

∵AQ=t，DE=PD=t， ∴EB=7﹣t．

∵∠GEB=90°，∠B=45°， ∴EG=EB=7﹣t． ∴FG=FE﹣GE=

t﹣7．

t2+

t﹣

．

∴S=PD2﹣FH•FG=﹣

当5＜t≤7时，如图6所示．

∵AD=AC×+CP=3+（t﹣5）=t﹣2，

∴DB=7﹣（t﹣2）=9﹣t． ∴S=（9﹣t）2=t2﹣9t+

．

综上所述，S与t的关系式为S=．

（4）如图7所示：当l为DE的垂直平分线时，直线l上任意一点H，使的HD=HE．

∵AD=t，DE=DP=t， ∴AQ=t+t． ∵QB=2t． ∴t+2t=7． 解得：t=． 如图8所示：

∵由（3）可知AD=t﹣2，PD=9﹣t， ∴AQ=t﹣2+4.5﹣t=2.5+t． ∴2.5+t=2t﹣7． 解得：t=

．

时，在直线l上存在点H使得HD=HE．

综上所述，当t=或t=

14.【解答】

解：（1）根据题意得：BF=2t， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC=AB=6，

∴CF=BC﹣BF=6﹣2t； 故答案为：6﹣2t；

（2）点G落在线段AC上时，如图1所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC， ∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°，

∵△EFG是等边三角形，

∴∠GFE=60°，GF=EF=BF•sin60°=t，

∵EF⊥AB，

∴∠BFE=90°﹣60°=30°， ∴∠GFB=90°， ∴∠GFC=90°， ∴CF=∵BF+CF=BC， ∴2t+t=6， 解得：t=2；

（3）当＜t≤2时，如图2，L=2当2＜t≤3时，如图3所示：L=﹣9，

当3＜t＜6时，如图4，L=

（6﹣t）+

×

（6﹣t）+（6﹣t）×

=﹣

+7

+9．

t+

（2t﹣3）=

﹣2

，

（6﹣2t）=

+7

=

=t，

t+（6﹣t）×+[6﹣（6﹣t）﹣2（6﹣2t）]+

15【解答】解：（1）当点M落在AB上时，如图1， 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4， ∴∠A=∠B=45°，

∵四边形CPMQ是平行四边形， ∴CP∥MQ，CP=MQ=x， ∴∠BQM=∠C=90°， ∴∠QMB=∠B=45°，

∴BQ=MQ， ∴4﹣2x=x， ∴x=；

（2）①当0＜x≤时，如图2，▱CPMQ与△ABC重叠部分图形是 ▱CPMQ，

∵CQ=x，PC=x， ∴y=S▱CPMQ=2x•x=2x2， ②当＜x≤2时，如图3，

由题意有，CQ=2x，QM=PC=x，∠B=45°，∠M=90°， ∴QN=BQ=4﹣2x，

∵BN=BQ=（4﹣2x）=4﹣2x， ∵QM=x，

∴MN=QM﹣QN=3x﹣4， ∴S△MNH=MN2=（3x﹣4）2， ∴y=S矩形QCPM﹣S△MNH =2x2﹣（9x2﹣24x+16） =﹣x2+12x﹣8，

（3）①当0＜x≤时，如图1，2，重叠部分是四边形， ②当＜x＜2时，如图3，重叠部分是五边形， ③当2≤x＜4时，如图4，重叠部分是四边形， ④当x=4时，如图5，重叠部分是三角形，

∴当＜x＜2时和x=4时，当▱CPMQ与△ABC重叠部分图形不是四边形； （4）①当0＜x≤2时， i）当MC=MB时，如图6， ∵MQ⊥AB， ∴CQ=BQ，

∵CQ=2x，BQ=4﹣2x， ∴2x=4﹣2x， ∴x=1；

ii）、当CM=CB时，如图7， ∴CM=BC=4，

∵MQ⊥AB，MQ=x，CQ=2x， 根据勾股定理得，CM2=CQ2+MQ2 ∴16=（2x）2+x2， ∴x=

或x=﹣

（舍），

②当2＜x≤4时，如图8， i）当MC=MB时，MD⊥BC ∴CD=BD，则AQ=BQ x=4

ii）当BC=MB时，如图9，延长MQ交BC于D，则MD⊥BC， MQ=PC=x，BQ=（x﹣2），BM=BC=4， ∴∠ABC=45°， ∴DQ=BD=x﹣2，

在Rt△MDB中，MB2=MD2+BD2， ∴42=（x﹣2）2+（x+x﹣2）2， x=

，x=

（舍）， 或

或4．

综上所述：PC=1或