专题08 分式方程
阅读与思考
分母含有未知数的方程叫分式方程.解分式方程的主要思路是去分母,把分式方程化为整式方程,常用的方法有直接去分母、换元法等.
在解分式方程中,有可能产生增根.尽管增根必须舍去,但有时却要利用增根, 挖掘隐含条件. 例题与求解
2xa【例1】 若关于x的方程x2=-1的解为正数,则a的取值范围是______.
(黄冈市竞赛试题)
解题思路:化分式方程为整式方程,注意增根的隐含制约. 【例2】 已知
2x2x11ABCx2x1xx2x1,其中A,B,C为常数.求A+B+C的值.
(“五羊杯”竞赛试题) 解题思路:将右边通分,比较分子,建立A,B,C的等式. 【例3】解下列方程:
5x96x84x192x21x8; (“五羊杯”竞赛试题) (1)x19x9x6x23xx2x411222x2x83x9x12; (河南省竞赛试题) (2)
x2x1x=3. (加拿大数学奥林匹克竞赛试(3)+
2题)
解题思路:由于各个方程形式都较复杂,因此不宜于直接去分母.需运用解分式问题、分式方程相关技巧、方法解.
x1x8x2x7【例4】(1)方程x2x9x3x8的解是___________. (江苏省竞赛试题) 1111222 (2)方程x3x2x5x6x7x12x4的解是________.
(“希望杯”邀请赛试题)
解题思路:仔细观察分子、分母间的特点,发现联系,寻找解题的突破口.
2kxkx12x只有一个解,试求k的值与方程的解. 【例5】若关于x的方程x1xx(江苏省竞赛试题)
解题思路:化分式方程为整式方程,解题的关键是对原方程“只有一个解”的准确理解,利用增根解题.
1115xyz6的正整数解. (“希望杯”竞赛试【例6】求方程
题)
111x,y,zyxyz,将复杂的三元不定方程转化解题思路:易知都大于1,不妨设1<x≤≤z,则
为一元不等式,通过解不等式对某个未知数的取值作出估计.逐步缩小其取值范围,求出结果.
能力训练
A级
ax1101.若关于x的方程x1有增根,则a的值为________. (重庆市中考试题) 2x1x2x122x12.用换元法解分式方程x时,如果设x=y,并将原方程化为关于y的整式方
程,那么这个整式方程是___________. (上海市中考试题)
3.方程
x2113x40x2x的解为__________. (天津市中考试题)
1324.两个关于x的方程xx20与x2xa有一个解相同,则a=_______.
(呼和浩特市中考试题)
5.已知方程
x11111xaax1a1的根是( )xa的两根分别为a,a,则方程.
111aA.a,a1 B.a1,a1 C.a,a1 D.a,a1
(辽宁省中考试题)
2xm16.关于x的方程x1的解是正数,则m的取值范围是( )
A.m>-1 B.m>-1且m≠0 C.m<-1 D.m<-l且m≠-2
(孝感市中考试题)
7.关于x的方程解是( ) .
222a1A.a,a B.a-1,a1 C.a,a1 D.a,a1
x22222cxaxc的两个解是x1=c,x2=c,则关于x的方程x1a1的两个
8.解下列方程:
2x1x1602xx(1); (苏州市中考试题)
2x21610x4233x. (盐城市中考试题) (2)9x9.已知
x1113510x.求x10+x5+xx的值.
2kxkx12x只有一个解(相等的两根算作一个)10.若关于x的方程x1xx,求k的值.
(黄冈市竞赛试题)
m21022xxx11.已知关于的方程+2+x2x2m,其中m为实数.当m为何值时,方程恰有三个互
不相等的实数根?求出这三个实数根.
(聊城市中考试题)
12.若关于x的方程
x1xax2x2x1x1x2无解,求a的值.
(“希望杯”邀请赛试题)
B级
1111422221.方程xxx3x2x5x6x7x1221的解是__________.
(“祖冲之杯”邀请赛试题)
11102222.方程x11x8x2x8x13x8的解为__________.
3.分式方程
xm1x1x1x2有增根,则m的值为_________.
2xa4.若关于x的分式方程x2=-1的解是正数,则a的取值范围是______.
(黑龙江省竞赛试题)
2m1x3无解,则m=__________. (沈阳市中考试题)5.(1)若关于x的方程x3 25m2(2)解分式方程x11xx1会产生增根,则m=______. (“希望杯”邀请赛试题)
6.方程
x3116xx3x的解的个数为( ).
A.4个 B.6个 C.2个 D.3个
a1xx17.关于的方程的解是负数,则a的取值范围是( ) .
A.a<l B.a<1且a≠0 C.a≤1 D.a≤1且a≠0
(山西省竞赛试题)
8.某工程,甲队独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的a倍,乙队独做所需天数是甲、丙
111两队合做所需天数的b倍,丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的c倍,则a1b1c1的
值是( ).
A.1 B.2 C.3 D.4
(江苏省竞赛试题)
xx2a710x19.已知关于x的方程(a2-1)x1有实数根.
2(1)求a的取值范围;
x1x32(2)若原方程的两个实数根为x1,x2,且x11x2111,求a的值.
(TI杯全国初中数学竞赛试颞)
10.求方程2x-xy3x+y+2006=0的正整数解.
2(江苏省竞赛试题)
11.某电脑公司经销甲种型号电脑,受经济危机影响,电脑价格不断下降. 今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1 000元.如果卖出相同数量的电脑,去年销售额为10万元.今年销售额只有8万元.
(1)今年三月份甲种电脑每台售价多少元?
(2)为了增加收入,电脑公司决定再经销乙种型号电脑.已知甲种电脑每台进价为3500元,乙种电脑每台进价为3000元,公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台,有几种进货方案?
(3)如果乙种电脑每台售价为3 800元,为打开乙种电脑的销路,公司决定每售出一台乙种电脑,返还顾客现金a元.要使(2)中所有方案获利相同,a值应是多少?此时,哪种方案对公司更
有利? (齐齐哈尔市中考试题)
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