初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题08 分式方程

专题08 分式方程

阅读与思考

分母含有未知数的方程叫分式方程．解分式方程的主要思路是去分母，把分式方程化为整式方程，常用的方法有直接去分母、换元法等．

在解分式方程中，有可能产生增根．尽管增根必须舍去，但有时却要利用增根， 挖掘隐含条件． 例题与求解

2xa【例1】 若关于x的方程x2＝－1的解为正数，则a的取值范围是______．

（黄冈市竞赛试题）

解题思路：化分式方程为整式方程，注意增根的隐含制约． 【例2】 已知

2x2x11ABCx2x1xx2x1，其中A，B，C为常数．求A＋B＋C的值．

（“五羊杯”竞赛试题） 解题思路：将右边通分，比较分子，建立A，B，C的等式． 【例3】解下列方程：

5x96x84x192x21x8； （“五羊杯”竞赛试题） （1）x19x9x6x23xx2x411222x2x83x9x12； （河南省竞赛试题） （2）

x2x1x＝3． （加拿大数学奥林匹克竞赛试（3）＋

2题）

解题思路：由于各个方程形式都较复杂，因此不宜于直接去分母．需运用解分式问题、分式方程相关技巧、方法解．

x1x8x2x7【例4】（1）方程x2x9x3x8的解是___________． （江苏省竞赛试题） 1111222 （2）方程x3x2x5x6x7x12x4的解是________．

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：仔细观察分子、分母间的特点，发现联系，寻找解题的突破口．

2kxkx12x只有一个解，试求k的值与方程的解． 【例5】若关于x的方程x1xx（江苏省竞赛试题）

解题思路：化分式方程为整式方程，解题的关键是对原方程“只有一个解”的准确理解，利用增根解题．

1115xyz6的正整数解． （“希望杯”竞赛试【例6】求方程

题）

111x,y,zyxyz，将复杂的三元不定方程转化解题思路：易知都大于1，不妨设1＜x≤≤z，则

为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计．逐步缩小其取值范围，求出结果．

能力训练

A级

ax1101．若关于x的方程x1有增根，则a的值为________． （重庆市中考试题） 2x1x2x122x12．用换元法解分式方程x时，如果设x＝y，并将原方程化为关于y的整式方

程，那么这个整式方程是___________． （上海市中考试题）

3．方程

x2113x40x2x的解为__________． （天津市中考试题）

1324．两个关于x的方程xx20与x2xa有一个解相同，则a＝_______．

（呼和浩特市中考试题）

5．已知方程

x11111xaax1a1的根是（ ）xa的两根分别为a，a，则方程．

111aA．a，a1 B．a1，a1 C．a，a1 D．a，a1

（辽宁省中考试题）

2xm16．关于x的方程x1的解是正数，则m的取值范围是（ ）

A．m＞－1 B．m＞－1且m≠0 C．m＜－1 D．m＜－l且m≠－2

（孝感市中考试题）

7．关于x的方程解是（ ） ．

222a1A．a，a B．a－1，a1 C．a，a1 D．a，a1

x22222cxaxc的两个解是x1＝c，x2＝c，则关于x的方程x1a1的两个

8．解下列方程：

2x1x1602xx（1）； （苏州市中考试题）

2x21610x4233x． （盐城市中考试题） （2）9x9．已知

x1113510x．求x10＋x5＋xx的值．

2kxkx12x只有一个解（相等的两根算作一个）10．若关于x的方程x1xx，求k的值．

（黄冈市竞赛试题）

m21022xxx11．已知关于的方程＋2＋x2x2m，其中m为实数.当m为何值时，方程恰有三个互

不相等的实数根?求出这三个实数根.

（聊城市中考试题）

12．若关于x的方程

x1xax2x2x1x1x2无解，求a的值．

（“希望杯”邀请赛试题）

B级

1111422221．方程xxx3x2x5x6x7x1221的解是__________．

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

11102222．方程x11x8x2x8x13x8的解为__________．

3．分式方程

xm1x1x1x2有增根，则m的值为_________．

2xa4．若关于x的分式方程x2＝－1的解是正数，则a的取值范围是______．

（黑龙江省竞赛试题）

2m1x3无解，则m＝__________． （沈阳市中考试题）5．（1）若关于x的方程x3 25m2（2）解分式方程x11xx1会产生增根，则m＝______． （“希望杯”邀请赛试题）

6．方程

x3116xx3x的解的个数为（ ）．

A．4个 B．6个 C．2个 D．3个

a1xx17．关于的方程的解是负数，则a的取值范围是（ ） ．

A．a＜l B．a＜1且a≠0 C．a≤1 D．a≤1且a≠0

（山西省竞赛试题）

8．某工程，甲队独做所需天数是乙、丙两队合做所需天数的a倍，乙队独做所需天数是甲、丙

111两队合做所需天数的b倍，丙队独做所需天数是甲、乙两队合做所需天数的c倍，则a1b1c1的

值是（ ）．

A．1 B．2 C．3 D．4

（江苏省竞赛试题）

xx2a710x19．已知关于x的方程（a2－1）x1有实数根．

2（1）求a的取值范围；

x1x32（2）若原方程的两个实数根为x1，x2，且x11x2111，求a的值.

（TI杯全国初中数学竞赛试颞）

10．求方程2x－xy3x＋y＋2006＝0的正整数解.

2（江苏省竞赛试题）

11．某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降. 今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1 000元．如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元．今年销售额只有8万元．

（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元?

（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑．已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案?

（3）如果乙种电脑每台售价为3 800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元．要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更

有利？ （齐齐哈尔市中考试题）