高等数学考研复习题及答案

一、填空题

axax1．设f(x)，则函数的图形关于 对称。

2sinx2x02．若y2，则y() .

2x10x2x2sin3． 极限limx0sinx1x 。

x2axb2，则a_____, b_____。 4.已知lim2x2xx25.已知x0时，(1ax)1与cosx1是等价无穷小，则常数a= 6.设xzy()，其中可微，则

x221322zyz= 。 y7.设ueyz，其中zz(x,y)由xyzxyz0确定的隐函数，则

ux(0,1) 。

2z1 。 8.设zf(xy)y(xy),f,具有二阶连续导数，则

xyx9.函数f(x,y)xyxyxy的可能极值点为 和 。 10.设f(x,y)x2siny(x21)|xy|则f'y(1,0)_____________. 11.x2sin2xdx .

2212.在区间[0,]上曲线ycosx,ysinx之间所围图形的面积为 .

1，则k_________。 02222214.设Ｄ：xy1 ,则由估值不等式得 (x4y1)dxdy 13．若

ekxdxD15.设D由yx,y2x,y1,y2围成（x0），则两种积分次序为_______________和_______________.

22fx,yd在直角坐标系下的

D16.设D为0y1x,0x1，则____. 17.设级数

fDx2y2dxdy的极坐标形式的二次积分为

nn112p收敛，则常数p的最大取值范围是 .

x2x4x6)dx . 18.x(1 01!2!3! 119. 方程

dx1x2dy1y20的通解为

20．微分方程4y20y250的通解为 .

21.当n=_________时，方程y'p(x)yq(x)y 为一阶线性微分方程。 22. 若44阶矩阵A的行列式为|A|3,A是A的伴随矩阵,则|A|__________.

**nA0123.设Ann与Bmm均可逆，则C =也可逆，且C＝ .

0B24.设A31，且AXE3X，则X = .

2321225．矩阵402的秩为 033 ．

26. 向量(1,0,3,5),(4,2,0,1),其内积为____________.

27. n阶方阵A的列向量组线性无关的充要条件是 . 28. 给定向量组1111,2a0b,3132,，若1,2,3线性相关，

则a，b满足关系式 .

29. 已知向量组(I)与由向量组(II)可相互线性表示，则r(I)与r(II)之间向量个数的大小关系是 .

30 向量=(2,1)T 可以用=(0,1)T与 =(1,3)T线性表示为 . 31. 方程组Ax=0有非零解是非齐次方程组AB=b有无穷组解的 条件. 32. 设A为m×n矩阵,非齐次线性方程组Axb有唯一解的充要条件是r(A) r(A|b )= . 33.已知n元线性方程组且r(A)n，则该方程组的一般解中自由未知量的个AXb有解，

数为 ．

34.设0是方阵A的一个特征值，则齐次线性方程组0EAx0的 都是A的属于0的特征向量.

35.若3阶矩阵A的特征值为1，2，-3，则A1的特征值为 .

36.设A是n阶方阵，|A|≠0,A*为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵，若A有特征值0,则

2E必有特征值.

37.,分别为实对称矩阵A的两个不同特征值1,2所对应的特征向量,则与 的内积（,）= .

38.二次型f(x1,x2,x3,x4)x1x4x2x3的秩为 . A*342039. 矩阵A24为正定矩阵,则的取值范围是_________.

0122240. 二次型f(x1,x2,x3)2x13x2tx32x1x22x1x3是正定的,则t的取值范围是_____.

41. A、B、C代表三事件，事件“A、B、C至少有二个发生”可表示为 . 42. 事件A、B相互，且知PA0.2,PB0.5则PAB .

43. 若随机事件A和B都不发生的概率为p，则A和B至少有一个发生的概率为 . 44. 在相同条件下，对目标地进行5次射击，如果每次射击命中率为0.6， 那么击中目标k次的概率为 (0k5).

45. 设随机变量X服从泊松分布，且PX=1PX=2,则PX=3= .

0x1x1x2，则a= . 46. 设随机变量X的分布密度为f(x)ax0其它47. 若二维随机变量（X，Y）的联合分布律为

Y X 1 2 1 1/16 2 3/16 b a 且X，Y相互，则常数a = ,b = .

48. 设X的分布密度为f(x)，则YX的分布密度为 . 49. 二维随机变量（X，Y）的联合分布律为

3Y X 1 2 1 2 0.2 0.3  则与应满足的条件是 ，当X，Y相互时，＝ .

50. 设随机变量X与Y相互，且X~N(1,2),Y~N(0,1).令Z = -Y + 2X +3，则

D(Z)= . 51. 已知随机变量X的数学期望E(X)1,E(X2)4.令Y＝2X－3，D(Y)= . 二、单项选择题

1．设f(x)x1 ，则f(f(x)1)=（ ）．

A． x B．x + 1 C．x + 2 D．x + 3 2． 下列函数中，（ ）不是基本初等函数．

A． y(1)x B． ylnx2 C． ysinxecosx D． y3x5 3. 下列各对函数中，（ ）中的两个函数相等. A. yxln(1x)x2与gln(1x)x B. ylnx2与g2lnx C. y1sin2x与gcosx D. yx(x1)与yx(x1)

4. 设f(x)在xx0处间断，则有（ ） (A) f(x)在xx0处一定没有意义；

(B) f(x00)f(x0); (即xlimxf(x)limxf(x))；

0x0(C) limf(x)不存在，或limf(x)；

xx0xx0(D) 若f(x)在xx0处有定义，则xx0时，f(x)f(x0)不是无穷小

112x5．函数f(x),x0 在x = 0处连续，则k = ( )．

xk,x0 A．-2

B．-1 C．1 D．2

则

exa6.若f(x)，x0为无穷间断点，x1为可去间断点，则a（ ）.

x(x1)（A）1 （B）0 （C）e （D）e

2222zln(xy2)4xy7．函数的定义域为（ ）．

-1

22222222xy2xy4xy22xy4 A． B．C． D．

xy28．二重极限lim2（ ） 4xyx0y0（A）等于0 （B）等于1 (C) 等于

1 （D）不存在 29.利用变量替换ux,v（ ）． (A)uvzzyz化为新的方程，一定可以把方程xyxyxzzzz (B)vz (C)uz (D)uvvzz u10．若f(x)f(x)，在(0,)内f'(x)0,f''(x)0,则f(x)在(,0)内（ ）. (A) f'(x)0,f''(x)0; (B) f'(x)0,f''(x)0; (C) f'(x)0,f''(x)0, (D) f'(x)0,f''(x)0, 11.设f(x)在x0的某个邻域内连续，且f(0)0，limf(x)x2sin22x01，则在点x0处

f(x)（ ）.

（A）不可导 （B）可导，且f(0)0 （C）取得极大值 （D）取得极小值 12.设函数f(x),g(x)是大于零的可导函数，且f(x)g(x)f(x)g(x)0， 则当axb时，有（ ）.

（A）f(x)g(b)f(b)g(x) （B）f(x)g(a)f(a)g(x)

（C）f(x)g(x)f(b)g(b) （D）f(x)g(x)f(a)g(a) 13.设f(x)是连续函数,且F(x)（A）e（C）exx ex xf(t)dt,则F(x)( ).

xf(ex)f(x)

（B）e（D）exf(ex)f(x)

f(ex)f(x) f(ex)f(x)

14.设f(x)在1,2上具有连续导数，且f(1)1,f(2)1,则xf(x)dx（ ）.

1f(x)dx1，

1 2 2（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2

15.设f(x)在a,b上二阶可导，且f(x)0,f(x)0,f(x)0.记

S1f(x)dx S2f(b)(ba)， S3 a bf(a)f(b)(ba)，则有（ ）.

2（A）S1S2S3 （B）S2S3S1 （C）S3S1S2 （D）S1S3S2 16.设幂级数

an1n(x1)n在x1处收敛. 则此级数在x2处( ).

（A）绝对收敛 （B）条件收敛

（C）发散 （D）收敛性不能确定 17.下列命题中,正确的是（ ）. （A）若级数

u与vnn1n1n的一般项有unvn(n1,2),则有

uvnn1n1n

un11(n1,2,),则un发散 （B）若正项级数un满足un1n1n（C）若正项级数

un收敛，则limn1un11

nun（D）若幂级数

anxn的收敛半径为R(0R)，则limn1nanan1nR.

18.设级数

(1)n1an2收敛，则级数an（ ）.

nn1（A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）发散 （D）敛散性不确定

19. 微分方程xydxdydxdy的通解是（ ）

（A）xylnxyc; （B）xylnxyc;

（C）xylnxyc; （D）xylnxyc.

20. 设yf(x)满足微分方程y5y5y0，若fx00,fx00，则函数fx 在点x0（ ）

（A）取极大值； （B）取极小值； （C）附近单调增加； （D）附近单调减少. 21. 函数yyx在点x处的增量满足 yyxox21xx0

且y0，则y1（D）

（A）2; （B）; （C）e; （D）e4. 22. 若含有s个向量的向量组线性相关，且该向量组的秩为r，则必有( ). (A) r=s (B) r>s (C) r=s+1 (D) r23. 已知向量组1(1,1,1,0),2(0,k,0,1),3(2,2,0,1),4(0,0,2,1)线性相关,则

4k=( )

(A) 1 (B) 2 (C) 0 (D) 1 24． 向量组1,2,,s线性相关的充分必要条件是( ) (A) 1,2,,s中含有零向量

(B) 1,2,,s中有两个向量的对应分量成比例

(C) 1,2,,s中每一个向量都可由其余s1个向量线性表示 (D) 1,2,,s中至少有一个向量可由其余s1个向量线性表示

25.对于向量组(α1,α2,,αr),，因为0α10α20αr0，所以α1,α2,,αr是[ ].

( A )全为零向量; ( B )线性相关; ( C )线性无关; ( D )任意.

26. 设A，B均为n阶矩阵，且AB=O，则必有 （ ） (A) A=O或B=O (B)|A|=0或|B|=0 ( C) A+B=O (D) |A|+|B|=0

27．若非齐次线性方程组Am×n X = b的( )，那么该方程组无解． A．秩(A) ＝ n B．秩(A)＝m

C．秩(A） 秩 (A)

D．秩(A）= 秩(A)

）时线性方程组有无穷

1228．若线性方程组的增广矩阵为A214，则当＝（

多解。

A．1

B．4

C．2

D．

1 229.设λ=2是非奇异矩阵A的特征值,则(A)有一个特征值是 （ ） (A)

1321411 (B) ( C) 3 (D) 324430．若二次型

222正定，则（ ） f(x1,x2,x3)(k1)x1(k2)x2(k3)x3（A）k1 （B）k1 （C）k2 （D）k3

211T31. 已知(1,k,1)是矩阵A121的特征向量,则k=( )

112 (A) 1或2 (B) 1或2 (C) 1或2 (D) 1或2

32. 在随机事件A，B，C中，A和B两事件至少有一个发生而C事件不发生的随机事件可表示为（ ）

（A）ACBC （B）ABC （C）ABCABCABC （D）ABC

33. 袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为（ ）

5331431（A） （B） （C）C8 （D） 4C88888834. 设A、B互为对立事件，且PA0,PB0,则下列各式中错误的是（ ） （A）PB|A0 （B）PA|B0 （C）PAB0 （D）PA53B1

35. 离散型随机变量X的分布列为P{ X = k } =ak, k = 1,2,3,4.则a( ) （A）0.05 （B）0.1 （C）0.2 （D）0.25 36. 设随机变量X的分布函数为F(x)a1arctanx(x,a为常数)则

3PX3＝（ ） 3 （A）

1112 （B） （C） （D） 632337. 设随机变量X服从N,4,则PX2，的值（ ） （A）随增大而减小； （B）随增大而增大； （C）随增大而不变； （D）随减少而增大. 38 .设随机变量X~N(,)，则YaXb服从( )

2 （A）N(,) （B）N(0,1) （C）N22,() （D）N(ab,a22) ab39. 对目标进行3次射击，每次射击的命中率相同，如果击中次数的方差为0.72，则每次射击的命中率等于（ ）

（A）0.1 ( B ) 0.2 ( C ) 0.3 ( D ) 0.4

140. 设随机变量X的概率密度为f(x)a2x20|x|a|x|a,a0，则E(X)=( ).

（A）-1 （B）0 （C）1 （D）以上结论均不正确

三、解答题

ax2x01.设f(x)1 x0，已知f(x)在x0处连续可导，

ln(bx2)x0试确立a,b并求f(x)

2z2.设zf(2xy,ysinx), 其中f(u,v)具有二阶连续偏导数, 求.

xy3．设

xy,x2y20讨论f(x,y)在（0，0） 2f(x,y)xy2220,xy0（1）偏导数是否存在。 （2）.是否可微。

4.在过点P(1,3,6)的所有平面中, 求一平面, 使之与三个坐标平面所围四面体的体

积最小.

5.

20xcos2xdx

6．

2222xy9。 ，其中为圆域|xy4|dD7．设f(x,y)在xy1上连续，求证：

221lim2R0Rx2y2R2f(x,y)df(0,0)。

证明 D{(x,y)|x2y2R2}

(1)n1(x4)n收敛区间及和函数S(x)： 8.求幂级数nn11y29．求解 y,y(1)0; 3xyxy10．求解xyxtanyy0,y(1). x211．求解4y4yy0满足y02,y00. 12．求解y3y2y2e满足y01,y01;

x13．设二阶常系数线性微分方程yyye的一个特解为ye定,,，并求该方程的通解.

x2x1xex，试确

cossin14．计算下列行列式sincos，

413262

21

15．计算下列行列式5

120

3121

1a16．证明：

1bb31c(abc)(ba)(ca)(cb)c3

a310117．设AX+E=A2+X，且A=020，求X.

10118．已知矩阵a1b167，求常数a，b ． 2a00b63 19． 将向量表示成1,2,3的线性组合：

（1）

1(1,1,1),2(1,2,1),3(0,0,1),(1,0,2)

20．问，取何值时，齐次方程组

有非零解？

21．设线性方程组

x1x2x30x1x2x30x2xx0231

2x1x2x31 x12x2x31

x3x2xc231试问c为何值时，方程组有解？若方程组有解时，求一般解。

22.求一个正交变换化下列二次型为标准型：

222f2x3x3x4x2x3 123（1）

23．某工人看管甲、乙、丙3台机器，在1小时内，这3台机器不需照管的概率分别为0.8，0.9，0.6，设这三台机器是否需照管是相互的，求在1小时内 (1)有机床需要工人照管的概率；(2) 机床因无人照管而停工的概率. 24．设随机变量X的分布密度为f(x)A1x2(x)

求(1) 常数A； (2) X的分布函数； .

25．设二维随机变量（X，Y）在区域0x1,yx内服从均匀分布.求 (1)（X，Y）的联合分布密度；

(2)X与Y的边缘分布密度，并问它们是否相互？ 26．设X，Y是两个相互的随机变量，其概率密度分别为

2ey,y01,0x1 fY(y) fX(x)0,其它0,y0求随机变量Z＝X＋Y的概率密度函数.

27．一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，密度函数为

x114ef(x)400xx0

为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换，若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元.求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 28.设随机变量（X，Y）服从正态分布，且X和Y分别服从正态分布N(1,3)

21XY和N(0,42)，X与Y的相关系数XY,Z,求Z的数学期望E(Z)和方差

232D(Z)；

参

一、填空题

axax1．设f(x)，则函数的图形关于 对称。

2解：f(x)的定义域为(,) ，且有

axa(x)axaxaxaxf(x)f(x)

222即f(x)是偶函数，故图形关于y轴对称。

2．若ysinx2x02x10x2，则y() .

2解：124 。

x2sin3． 极限limx0sinxx2sin1x 。

1xlim(xsin1x)limxsin1limx010 解：limx0x0x0sinxxsinxxx0sinx1注意：limxsin0（无穷小量乘以有界变量等于无穷小量）

x0xlimx111sinxlim1，其中lim=1是第一个重要极限。

x0sinxx0sinxx0sinx1xlimx0xxx2axb2，则a_____, b_____。 4.已知lim2x2xx2由所给极限存在知, 42ab0, 得b2a4, 又由

x2axbxa2a4lim2lim2, 知a2,b8 x2xx2x2x135.已知x0时，(1ax)1与cosx1是等价无穷小，则常数a=

2131ax解. limx01limx0cosx11232ax2212323x1ax1ax223a1,a.

3216.设xzy()，其中可微，则zyz1zy解 2zy

yy2zzy y2z22zyz= 。 y7.设ueyzx2，其中zz(x,y)由xyzxyz0确定的隐函数，则

ux(0,1) 。

解

uzexyz22zexy xxz1yzzz yzxy0，x1xyxx10u1yz exyz22zexyx1xyx0,y1时，z1

z1 x(0,1)2z1 。 8.设zf(xy)y(xy),f,具有二阶连续导数，则

xyx解:

z1y2f(xy)f'(xy)y'(xy)xxx2z1'1f(xy)f'(xy)yf''(xy)'(xy)y''(xy)

xyxxy[f''(xy)''(xy)]'(xy)9.函数f(x,y)xyxyxy的可能极值点为 和 。 fxyy2xyy(12xy)0x0 解  2fx2xyxx(1x2y)0y0y222x0y1x1y01x3 1y3fxx2y，fxy12y2x，fyy2x，H12y2x2y 12y2x2x0(0,0) H10(1,0) H1121不是，(0,1) H不是 0101 不是 22/31/31111 负定，极大值 （，） (,) H33331/32/310.设f(x,y)x2siny(x21)|xy|则f'y(1,0)_____________.

解：因为f(1,y)siny，故fy(1,0)cosyy01 11.x2sin2xdx .

解：原式1122xd(cos2x)xcos2xxcos2xdx 2211111x2cos2xxd(sin2x)x2cos2xxsin2xsin2xdx

22222111x2cos2xxsin2xcos2xC.

22412.在区间[0,]上曲线ycosx,ysinx之间所围图形的面积为 .

解：A  0cosxsinxdx4(cosxsinx)dx(sinxcosx)dx

0 4  (sinxcosx)04(cosxsinx)211222.

41，则k_________。 0211bkxkx答案：∵edxlimed(kx)

0b2k01kxb111 limelimekb

0bkkbkk∴k2

13．若

ekxdx14.设Ｄ：xy1 ,则由估值不等式得 2222(x4y1)dxdy D解 f(x,y)x24y214(x2y2)1，又 D:x2y21 max{f(x,y)}4115，min{f(x,y)}1

(x,y)D(x,y)D由mf(x,y)dM，SD1

DI5

2215.设D由yx,y2x,y1,y2围成（x0），则fx,yd在直角坐标系下的

∴

D两种积分次序为_______________和_______________.

1x11x2解 D：（X—型）=D1+D2 ，D12 ， D22 xy21y2x2Idx12112x2f(x,y)dy1dxxf(x,y)dy222

1y2D：（Y—型）yx2y I12dyyy2f(x,y)dx

16.设D为0y1x,0x1，则____.

fDx2y2dxdy的极坐标形式的二次积分为

012sin解： D：，I02d0cosf(r)rdr

10rsincos17.设级数

nn112p收敛，则常数p的最大取值范围是 .

解：由p级数的敛散性知，仅当2p1即p1时，级数散.

nn112p收敛，其他情形均发

x2x4x6)dx . 18.x(1 01!2!3! 1解

1：因

1为

2x2x4x61ex1!2!3!，所以原积分

xe0x22112dxexd(x2)ex202101(e11)

219. 方程

dx1x2dy1y20的通解为arcsinxarcsinyc;

5x220．微分方程4y20y250的通解为yc1c2xen.

21.当n=_________时，方程y'p(x)yq(x)y 为一阶线性微分方程。

解 n0或1.

22. 若44阶矩阵A的行列式为|A|3,A是A的伴随矩阵,则|A|__________. 答案： 27

23.设Ann与Bmm均可逆，则C =**A01也可逆，且C＝ .

0BA10 答案： ; 10B24.设A31，且AXE3X，则X = .

230答案：112 021225．矩阵402的秩为 033 ．

解答：将矩阵化成阶梯形，可知填写：2。

26. 向量(1,0,3,5),(4,2,0,1),其内积为____________.

答案： 9

27. n阶方阵A的列向量组线性无关的充要条件是 . 答案：r=n,或|A|≠0;

28. 给定向量组1111,2a则a，b满足关系式 . 答案：a-2b=0

0b,3132,，若1,2,3线性相关，

29. 已知向量组(I)与由向量组(II)可相互线性表示，则r(I)与r(II)之间向量个数的大小关系是 .

答案：相等;

30 向量=(2,1)T 可以用=(0,1)T与 =(1,3)T线性表示为 .

答案：52;

31. 方程组Ax=0有非零解是非齐次方程组AB=b有无穷组解的 条件.

答案：必要不充分;

32. 设A为m×n矩阵,非齐次线性方程组Axb有唯一解的充要条件是r(A) r(A|b )= . 答案：

r(A)r(Ab)n;

且r(A)n，则该方程组的一般解中自由未知量的个AXb有解，

33.已知n元线性方程组

数为 ． 解答：nr(A)

34.设0是方阵A的一个特征值，则齐次线性方程组0EAx0的 都是A的属于0的特征向量.

答案：非零解;

35.若3阶矩阵A的特征值为1，2，-3，则A1的特征值为 . 答案：1,1,1 ;

2336.设A是n阶方阵，|A|≠0,A为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵，若A有特征值0,则

*A*32E必有特征值.

答案：(A0)32.

37.,分别为实对称矩阵A的两个不同特征值1,2所对应的特征向量,则与 的内积（,）= . 答案： 0

38.二次型f(x1,x2,x3,x4)x1x4x2x3的秩为 . 答案：4.

42039. 矩阵A24为正定矩阵,则的取值范围是_________.

01答案：33 22240. 二次型f(x1,x2,x3)2x13x2tx32x1x22x1x3是正定的,则t的取值范围是_____.

答案： t3 1. A、B、C代表三事件，事件“A、B、C至少有二个发生”可表示为 AB+BC+AC . 42. 事件A、B相互，且知PA0.2,PB0.5则PA解：∵A、B相互， ∴P(AB)=P(A)P(B)

∴P(A∪B)=P(A)+P(B)–P(AB)=0.2+0.5–0.1=0.6

43. 若随机事件A和B都不发生的概率为p，则A和B至少有一个发生的概率为 .

B .

解：P(A+B)=1–P(AB)1P(AB)1p

44. 在相同条件下，对目标地进行5次射击，如果每次射击命中率为0.6， 那么击中目标k次的概率为 (0k5).

解：设X表示击中目标的次数，则X服从二项分布，其分布律为：

45. 设随机变量X服从泊松分布，且PX=1PX=2,则PX=3= .

ek解：∵ X服从泊松分布，其分布律为P{X=k}=（k=0, 1, 2，,>0）

k!e1e2 由已知得：，求得=2 1!2!e2234e2 ∴ P{X=3}= 3!30x1x1x2，则a= . 46. 设随机变量X的分布密度为f(x)ax0其它 解：由性质 即

f(x)dx1

1201200dxxdx(ax)dx0dx

x2 02  解得：a=2

x210ax0 212112a2aa11 2247. 若二维随机变量（X，Y）的联合分布律为

Y X 1 2 1 1/16 2 3/16 b a 且X，Y相互，则常数a = ,b = .

解：∵ X，Y相互

∴ P(X=1，Y=1)=P(X=1) · P(Y=1)

即：

1131a 161616163 16 又 ∵ pij1

∴ a=

ij ∴

∴ b=

13ab1 16169 18. 设X的分布密度为f(x)，则YX3的分布密度为 . 解：∵ P{Y≤y}=P(X3≤y)=P(X≤3y)=Fx(3y)

∴ Y=X3的分布密度为

133(y)yf(y3) ，y≠0 (y)=FX349. 二维随机变量（X，Y）的联合分布律为

Y X 1 2 1 2 0.2 0.3 21 则与应满足的条件是 ，当X，Y相互时，＝ . 解 ∵

Pljij=1 ∴ 0.20.3=1 即有=0.5

当X，Y相互 ∴P(X=1, Y=1)= P(X=1)P(Y=1) ∴ a=(a+0.2)(a+) ∴a=0.2

50. 设随机变量X与Y相互，且X~N(1,2),Y~N(0,1).令Z = -Y + 2X +3，则

D(Z)= .

解 ∵ X与Y相互，∴ D(Z)=D(–Y+2X+3)=D(–Y)+D(2X+3) =(–1)2D(Y)+4D(X)=1+4×2=9。

51. 已知随机变量X的数学期望E(X)1,E(X)4.令Y＝2X－3，则

2D(Y)= . 解 D(Y)=D(2X–3)=4D(X)=4{E(X2)–[E(X)]2}=4(4–12)=12。

二、单项选择题

1．设f(x)x1 ，则f(f(x)1)=（ ）．

A． x B．x + 1 C．x + 2 D．x + 3

解 由于f(x)x1，得 f(f(x)1)(f(x)1)1＝f(x)2 将f(x)x1代入，得f(f(x)1)=(x1)2x3 正确答案：D

2． 下列函数中，（ ）不是基本初等函数．

xA． y() B． ylnx C． y1e2sinx D． y3x5 cosx2 解 因为ylnx是由ylnu，ux复合组成的，所以它不是基本初等函数．

2正确答案：B

3. 下列各对函数中，（ ）中的两个函数相等. A. yxln(1x)ln(1x)2与 B. ylnx与g2lnx g2xxC. y1sin2x与gcosx D. y解： A

4. 设f(x)在xx0处间断，则有（ ） (A) f(x)在xx0处一定没有意义；

x(x1)与yx(x1)

(B) f(x00)f(x0); (即limf(x)limf(x))；

xx0xx0(C) limf(x)不存在，或limf(x)；

xx0xx0(D) 若f(x)在xx0处有定义，则xx0时，f(x)f(x0)不是无穷小 答案：D

112x,x05．函数f(x) 在x = 0处连续，则k = ( xk,x0 A．-2

答案： B

)．

B．-1 C．1 D．2

exa6.若f(x)，x0为无穷间断点，x1为可去间断点，则a（ ）.

x(x1)（A）1 （B）0 （C）e （D）e

-1

解：由于x0为无穷间断点, 所以(ea)xx00, 故a1. 若a0, 则x1也是无穷

间断点. 由x1为可去间断点得ae.故选(C).

2222zln(xy2)4xy7．函数的定义域为（ ）．

22222222xy2xy4xy22xy4 A． B．C． D．

解：z的定义域为：

22xy20 2x2y24 选D 224xy0xy28．二重极限lim2（ ） 4x0xyy0（A）等于0 （B）等于1 (C) 等于 D）

1 （D）不存在 2xy2k解：lim2与k相关，因此该极限不存在 2xkyxy41ky09.利用变量替换ux,v（ ）． (A)uvzzyz化为新的方程，一定可以把方程xyxyxzzzz (B)vz (C)uz (D)uvvzz uy可得xu，yuv，故z是u，v的函数，又ux，x解 z是x，y的函数，从ux，vvzzz1yzzzy故z是x,y的复合函数，故12，0，从而

yuvxxxuvxzzzyzyzzzyxxu xyuxvxvuu左边=x因此方程变为： u选A

zz u10．若f(x)f(x)，在(0,)内f'(x)0,f''(x)0,则f(x)在(,0)内（ ）.

(A) f'(x)0,f''(x)0; (B) f'(x)0,f''(x)0; (C) f'(x)0,f''(x)0, (D) f'(x)0,f''(x)0, 解：选(C).

11.设f(x)在x0的某个邻域内连续，且f(0)0，limf(x)x2sin22x01，则在点x0处

f(x)（ ）.

（A）不可导 （B）可导，且f(0)0 （C）取得极大值 （D）取得极小值 解：因为limf(x)x2sin22x01, 则f(x)0f(0)在x0的邻域内成立, 所以f(0)为f(x)的极小值.故选(D).

12.设函数f(x),g(x)是大于零的可导函数，且f(x)g(x)f(x)g(x)0， 则当axb时，有（ ）.

（A）f(x)g(b)f(b)g(x) （B）f(x)g(a)f(a)g(x) （C）f(x)g(x)f(b)g(b) （D）f(x)g(x)f(a)g(a)

f(x)f(x)g(x)f(x)g(x),则F(x)0, 解：考虑辅助函数F(x)g(x)g2(x)则F(x)严格单调减少函数.当xb时,即有f(x)g(b)g(x)f(b).应选(A).

13.设f(x)是连续函数,且F(x)（A）e（C）exxf(x)f(b), g(x)g(b) ex xf(t)dt,则F(x)( ).

xf(ex)f(x)

（B）e（D）exf(ex)f(x)

f(ex)f(x) f(ex)f(x)

f(ex)f(x)，故选（A）.

解：由积分上限函数的导数可得F(x)ex14.设f(x)在1,2上具有连续导数，且f(1)1,f(2)1,则xf(x)dx（ ）.

1f(x)dx1，

1 2 2（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2

解：因为

 2 1xf(x)dxxdf(x)xf(x)1f(x)dx2f(2)f(1)f(x)dx

1 1 1 22 2 221(1)2，故应选（A）

15.设f(x)在a,b上二阶可导，且f(x)0,f(x)0,f(x)0.记

S1f(x)dx S2f(b)(ba)， S3 a bf(a)f(b)(ba)，则有（ ）.

2（A）S1S2S3 （B）S2S3S1 （C）S3S1S2 （D）S1S3S2

解：依题意, 函数在上严格单调减少, 且其图形是向上凸的曲线. 依据几何图形可得

S2S3S1, 故选(B).

16.设幂级数

an1n(x1)在x1处收敛. 则此级数在x2处( ). n（A）绝对收敛 （B）条件收敛

（C）发散 （D）收敛性不能确定 解：选（A）.

17.下列命题中,正确的是（ ）. （A）若级数

u与vnn1n1n的一般项有unvn(n1,2),则有

uvnn1n1n

un11(n1,2,),则un发散 （B）若正项级数un满足un1n1n（C）若正项级数

un收敛，则limn1un11

nun（D）若幂级数

anxn的收敛半径为R(0R)，则limn1anan1nR.

un11(n1,2,)有unu10(n1,2,)，因此limun0，从而un发散.解：由

nunn1故选（B）. 18.设级数

(1)n1nan2收敛，则级数an（ ）.

nn1（A）绝对收敛 解：因为

（B）条件收敛

n（C）发散

（D）敛散性不确定

(1)n1nan2收敛，即幂级数anxn在x2处收敛，由Able定理知，幂级数

n1在x1处绝对收敛，亦即

an1n绝对收敛.故选（A）.

19. 微分方程xydxdydxdy的通解是（ ）

（A）xylnxyc; （B）xylnxyc; （C）xylnxyc; （D）xylnxyc. 解：D

20. 设yf(x)满足微分方程y5y5y0，若fx00,fx00，则函数fx 在点x0（ ）

（A）取极大值； （B）取极小值； （C）附近单调增加； （D）附近单调减少. 解：B

21. 函数yyx在点x处的增量满足 yyxox1x2x0

且y0，则y1（D）

（A）2; （B）; （C）e; （D）e4.

4dydxarctanxyCe解 令x0，得 ，C，y1e4，故选（D）。 2y1x22. 若含有s个向量的向量组线性相关，且该向量组的秩为r，则必有( ). (A) r=s (B) r>s (C) r=s+1 (D) r23. 已知向量组1(1,1,1,0),2(0,k,0,1),3(2,2,0,1),4(0,0,2,1)线性相关,则

k=( )

(A) 1 (B) 2 (C) 0 (D) 1

答案：(C)

24． 向量组1,2, (A) 1,2,(B) 1,2,(C) 1,2,(D) 1,2,答案：(D)

,s线性相关的充分必要条件是( )

,s中含有零向量

,s中有两个向量的对应分量成比例

,s中每一个向量都可由其余s1个向量线性表示 ,s中至少有一个向量可由其余s1个向量线性表示

,αr),，因为0α10α20αr0，所以α1,α2,25.对于向量组(α1,α2,,αr是[ ].

( A )全为零向量; ( B )线性相关; ( C )线性无关; ( D )任意. 答案： D;

26. 设A，B均为n阶矩阵，且AB=O，则必有 （ ） (A) A=O或B=O (B)|A|=0或|B|=0 ( C) A+B=O (D) |A|+|B|=0 答案：B

27．若非齐次线性方程组Am×n X = b的( )，那么该方程组无解． A．秩(A) ＝ n B．秩(A)＝m

C．秩(A） 秩 (A)

D．秩(A）= 秩(A)

解 根据非齐次线性方程组解的判别定理，得 Am×n X = b无解秩(A)  秩(A) 正确答案：C

28．若线性方程组的增广矩阵为A2多解。

A．1

B．4

C．2

D．

12，则当＝（ 14）时线性方程组有无穷

1 2解 将增广矩阵化为阶梯形矩阵，

2121 A2140120此线性方程组未知量的个数是2，若它有无穷多解，则其增广矩阵的秩应小于2，即

1120，从而＝，即正确的选项是D。

212129.设λ=2是非奇异矩阵A的特征值,则(A)有一个特征值是 （ ）

3411(A) (B) ( C) 3 (D)

3244答案：C 30．若二次型

222正定，则（ ） f(x1,x2,x3)(k1)x1(k2)x2(k3)x3（A）k1 （B）k1 （C）k2 （D）k3

答案：(D)

211T31. 已知(1,k,1)是矩阵A121的特征向量,则k=( )

112 (A) 1或2 (B) 1或2 (C) 1或2 (D) 1或2

答案：(C)

32. 在随机事件A，B，C中，A和B两事件至少有一个发生而C事件不发生的随机事件可表示为（ ）

（A）ACBC （B）ABC （C）ABCABCABC （D）ABC

解 由事件间的关系及运算知，可选（A）

33. 袋中有5个黑球，3个白球，大小相同，一次随机地摸出4个球，其中恰有3个白球的概率为（ ）

5331431（A） （B） （C）C8 （D） 4C888888解 基本事件总数为C8，设A表示“恰有3个白球”的事件，A所包含的基本事件数为C5=5，故P(A)=

15345，故应选（D）。 4C834. 设A、B互为对立事件，且PA0,PB0,则下列各式中错误的是（ ） （A）PB|A0 （B）PA|B0 （C）PAB0 （D）PAB1

解： 因为A、B互为对立事件，所以P(A+B)=1，P(AB)=0，又P(A)0，P(B)>0，

所以B=A，因而P(B|A)=P(A|A)=1，故选（A）

35. 离散型随机变量X的分布列为P{ X = k } =ak, k = 1,2,3,4.则a( ) （A）0.05 （B）0.1 （C）0.2 （D）0.25

解：由概率分布性质可知，常数a应满足

P(Xk)1，∴ a+2a+3a+4a=1，即有

k14a=0.1，故应选（B）。

36. 设随机变量X的分布函数为F(x)a1arctanx(x,a为常数)则

3PX3＝（ ） 3 （A）

解：∵ P1112 （B） （C） （D） 632333 x3F(3)F33311a arctan3aarctan3 131111，故应选（C）。 636237. 设随机变量X服从N,4,则PX2，的值（ ） （A）随增大而减小； （B）随增大而增大； （C）随增大而不变； （D）随减少而增大.

解：∵ X～N(, 4) ∴ P[X≤2+]=PX21(1)，而(1)22值不随的变化而变化， ∴ P{X≤2+}值随增大而不变，故应选（C）。

38 .设随机变量X~N(,)，则YaXb服从( ) （A）N(,) （B）N(0,1) （C）N222,() （D）N(ab,a22) ab解 选（D），∵ E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b=a+b D(Y)=D(aX+b)=a2D(X)=a2 ∴ Y～N(a+b，a2)。

39. 对目标进行3次射击，每次射击的命中率相同，如果击中次数的方差为0.72，则每次射击的命中率等于（ ）

（A）0.1 ( B ) 0.2 ( C ) 0.3 ( D ) 0.4

解 选（D）；由题意知：X～B(3, p)，而D(X)=3 · p · (1–p)=0.72 ∴ p=0.4。

22140. 设随机变量X的概率密度为f(x)a2x20|x|a|x|a,a0，则E(X)=( ).

（A）-1 （B）0 （C）1 （D）以上结论均不正确

解 选（B）；∵E(X)=函数，∴ E(X)=0。

三、解答题

xf(x)dxaxaax22dx，而被积函数为对称区间上的奇

ax2x01.设f(x)1 x0，已知f(x)在x0处连续可导，

ln(bx2)x0试确立a,b并求f(x) 解 limfxlimlnbxx0x02lnb，limfxlimaxa，fx在x02x0x0处连续，lnba1，即a1,be。

当x0时，fxlnex2当x0时，fx2x，

2xex2，

f0xf0lnex21lim0， 当x0时，f0limx0x0xxf0xf01x21f0limlim0，故

x0x0xx2x,x0。 fx2x,x0ex22z2.设zf(2xy,ysinx), 其中f(u,v)具有二阶连续偏导数, 求.

xy解:

z2f1ycosxf2, x2z2(f11sinxf12)cosxf2ycosx(f21sinxf22) xy2f11(2sinxycosx)f12cosxf2ysinxcosxf22.

xy,x2y20讨论f(x,y)在（0，0） 23．设2f(x,y)xy220,xy0（1）偏导数是否存在。 （2）.是否可微。 解：（1）fx(0,0)limx0f(x,0)f(0,0)00lim0 x0xx同理可得fy(0,0)0，偏导数存在。 （2）若函数f在原点可微，则

zdzf(0x,0y)f(0,0)fx(0,0)xfy(0,0)y应是较高阶的无穷小量，为此，考察极限lim所知，此极限不存在，因而函数f在原点不可微。

zdzlimxyxy22

0xy，由前面

(x,y)(0,0)x2y24.在过点P(1,3,6)的所有平面中, 求一平面, 使之与三个坐标平面所围四面体的体

积最小.

解: 设平面方程为AxByCz1, 其中A,B,C均为正, 则它与三坐标平面围成四面体的体积为V11, 且A3B6C1, 令

6ABCF(A,B,C,)ABC(A3B6C1), 则由

FABC0FAC30, 求得 AFAB60AA3B6C11A31. 由于问题存在最小值, 因此所求平面方程为 B91C18xyz11, 且Vmin391881. 391865.

20xcos2xdx

211解：2xcos2xdx=xsin2x2sin2xdx

0220021110cos2x(11)

44206．

2222xy9。 ，其中为圆域|xy4|dD解：将区域D分为D1,D2，其中D1(x,y)|x2y24,D2(x,y)|4x2y29。于是

222222|xy4|d(4xy)d(xy4)dDD1D222223d(4r)rdr002d(r4)rdr02321122(2r2r4)02(r42r2)4441222

7．设f(x,y)在xy1上连续，求证：

1lim2R0Rx2y2R2f(x,y)df(0,0)。

证明 D{(x,y)|x2y2R2}

由重积分中值定理，(,y)D，使得f(x,y)df(,y)R2f(,y)，当R0时，

D(,y)(0,0)

由f的连续性，知limf(,y)f(0,0)，从而有：

k0limr01R2x2y2f(x,y)d

limlimr01R2f(,y)limf(,y)2r0R1R2f(,y)limf(,y)2k0RR0

f(0,0)(1)n1(x4)n收敛区间及和函数S(x)： 8.求幂级数nn1解：Rlimann1lim1，所以，1x41，3x5.

nannn11()，由调和级数知发散； nn1当x3时，级数成为

(1)n当x5时，级数成为，由交错级数的Leibniz判别法知此级数是收敛的. 所以收

nn1敛区间为(3,5].

(1)n111n(x4)，则S(x)(1)n1(x4)n1设S(x)， n1(x4)x3n1n1所以，S(x)ln(x3), (3x5).

1y29．求解 y,y(1)0; 3xyxy解 原方程可化为

ydydx，两边积分得

1y2x21x211x222222。由y10得c1，1y1xcx,ccln1ylnlnc，即11221x2故1y21xx22即为所求。

yy0,y(1). x2yycosududxy解 原式可化为ytan0，令u，得xutanu，即, 两

xxsinuxxcyc边积分得 lnsinulnxlnc，即sinu，sin，由y(1)得c1，故所

xxx2y1求特解为sin。

xx10．求解xyxtan11．求解4y4yy0满足y02,y00.

2x1，故通解为yC1C2xe2，由

21x21解 特征方程为4410，1,2y02,y00得C12,C21，故y2xe12．求解y3y2y2e满足y01,y01;

x为所求特解。

解 对应的齐次方程的通解为YC1eC2ex2x，设特解为yAxe代入原方程得

*xA2，故原方程通解为yC1exC2e2x2xex，由y01,y01得

C11,C20，y12xex。

13．设二阶常系数线性微分方程yyye的一个特解为ye定,,，并求该方程的通解. 解 将ye2xx2x1xex，试确

1xex，y2e2xex1xex，y4e2x2ex1xex，代入

原方程得42e2x420321xexex，故32

103,2,1，方程为y3y2yex，故通解为 yC1exC2e2xe2x1xex。

cossin14．计算下列行列式sincos，

cos解：sin

sincoscos2sin21

21

15．计算下列行列式5

1202100513262466

3121

21解：51204132621223121556622

305035001a16．证明：

证：

1bb31c(abc)(ba)(ca)(cb)c3

a31aa31bb31c311ba1ca(ba)(ca)c00b(b2a2)c(c2a2)11b(ba)c(ca)

(ba)(ca)110c(ca)b(ba)(abc)(ba)(ca)(cb)

10117．设AX+E=A2+X，且A=020，求X.

101201

解：由AX+E=A2+X，得(A–E)X=A2–E，而A–E可逆，故X=A+E=030.

102

18．已知矩阵 解 因为

a1b1670b263，求常数a，b ． a0a1b1abab267  2a63a00bab 所以 a3,ab6，得b = 2 ． 19． 将向量表示成1,2,3的线性组合：

（1）解：设

1(1,1,1),2(1,2,1),3(0,0,1),(1,0,2)

k11k22k33，按分量展开得到

k1k21k12k20kkk223 1

求解得到k21,k12,k31，即2123 20．问，取何值时，齐次方程组

x1x2x30x1x2x30x2xx023 1

有非零解？

解：齐次方程组有非零解的必要条件是系数行列式等于零，故

1110111112101011(1)0

即0或1齐次方程组有非零解。 21．设线性方程组

2x1x2x31 x12x2x31

x3x2xc231试问c为何值时，方程组有解？若方程组有解时，求一般解。

解

211112110531

A1211132c053c11211 0531 0c00可见，当c = 0时，方程组有解。且

11053 A015000原方程组的一般解为

351 50

31xx3155 （x3是自由未知量）

x13x235522.求一个正交变换化下列二次型为标准型：

222f2x3x3x4x2x3 123（1）

解：对应的矩阵为

200200A032AE032(2)(5)(1)0023023，

特征值为

12,25,31

01212222，标准型为f2y15y2y3

1P00正交矩阵为

0121223．某工人看管甲、乙、丙3台机器，在1小时内，这3台机器不需照管的概率分别为0.8，0.9，0.6，设这三台机器是否需照管是相互的，求在1小时内 (1)有机床需要工人照管的概率；(2) 机床因无人照管而停工的概率.

解：(1) 设Ai表示“甲、乙、丙三台机床无需照管”i=1, 2, 3，则有机床需要工人照管的事

件为A1A2A3，因而

P(A1A2A3)1P(A1)P(A2)P(A3)10.80.90.6=0.568

(2) 以B表示“机床因无人照看而停工”

P(B)P(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)

=0.2×0.1×0.6+0.2×0.9×0.4+0.8×0.1×0.4+0.2×0.1×0.4 =0.124

24．设随机变量X的分布密度为f(x)A1x2(x)

求(1) 常数A； (2) X的分布函数； . 解：

(1) 由性质

f(x)dx1

A1x2dxAarctanxA1

1 ∴ A=

11(2) 由(1)知f(x)= 21xxx11 ∴ F(x)=f(x)dxdx

1x2111x arctanxarctanx

211 arctanx (–∞2 即：

25．设二维随机变量（X，Y）在区域0x1,yx内服从均匀分布.求 (1)（X，Y）的联合分布密度；

(2)X与Y的边缘分布密度，并问它们是否相互？ 解：(1)区域0≤x≤1，y2≤x的面积A由图如示： 则：A2210xdx4/3

122,0x1,yx3/4,0x1,yx依题意有：f(x,y)A 0,其它0,其它 (2)∵fX(x)3x3x,0x1xdy f(x,y)dy42其它0,fY(y)313dx(1y2),1y1y2 f(x,y)dy44其它0,332x,0x1(1y),1y1∴ fX(x)2 fY(y)4

其它其它0,0,又 ∵ fX(x)fY(y)f(x,y)

∴ X, Y不相互.

26．设X，Y是两个相互的随机变量，其概率密度分别为

ey,y01,0x1 fY(y) fX(x)0,其它0,y0求随机变量Z＝X＋Y的概率密度函数.

解：设Z的密度函数为fZ(z)，则由卷积公式得

fZ(z)fY(zx)dx01令zxtzz1fY(t)dt

a) 当z<0时，fY(t)=0，∴fZ(z)=0 b) 当0≤z<1时，z-1<0，z≥0

fz(z)0z10dtetdt1ez

0zc) 当z≥1时，z-1≥0

fZ(z)zz1etdte1zez(e1)ez

0,z0z0z1 综述：fZ(z)1e,(e1)ez,z127．一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，密度函数为

x11e4f(x)400xx0

为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换，若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元.求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 解：法一：P{X≥1}=

1f(x)dx114edxe4，设Y表示厂方出售一台设备的赢利4x1数，则Y的分布律为

Y 100 –200 P e∴ E(Y)=100e1414 1e1414

14(200)(1e)300e1x20033.。

x11 法二：E(Y)=(200)e4dx100e4dx

0144 =200ex410100ex41300e1420033.。

228.设随机变量（X，Y）服从正态分布，且X和Y分别服从正态分布N(1,3)

1XY和N(0,42)，X与Y的相关系数XY,Z,求Z的数学期望E(Z)和方差

232D(Z)；

解： E(Z)=E1111XY1E(X)E(Y)10；

2323323 D(Z)=DXYXYXYDD2cov, 3232321111D(X)D(Y)2cov(X,Y)9432

11113242XYD(X)D(Y)14943313432